İki miktara denir doğrudan orantılı Biri birkaç kat arttığında diğeri de aynı oranda artıyorsa. Buna göre biri birkaç kat azaldığında diğeri de aynı miktarda azalır.

Bu miktarlar arasındaki ilişki doğrudan orantılı bir ilişkidir. Doğrudan orantılı bağımlılık örnekleri:

1) sabit bir hızda kat edilen mesafe zamanla doğru orantılıdır;

2) bir karenin çevresi ve kenarı doğru orantılı büyüklüklerdir;

3) Tek fiyattan satın alınan bir ürünün maliyeti, miktarıyla doğru orantılıdır.

Doğru orantılı bir ilişkiyi ters olandan ayırmak için şu atasözünü kullanabilirsiniz: "Ormana ne kadar uzaksa, o kadar yakacak odun olur."

Orantıları kullanarak doğrudan orantılı büyüklükleri içeren problemleri çözmek uygundur.

1) 10 parça yapmak için 3,5 kg metale ihtiyacınız vardır. Bu parçalardan 12 tanesini yapmak için ne kadar metal harcanacak?

(Şöyle mantık yürütüyoruz:

1. Dolu sütuna en büyük sayıdan en küçüğüne doğru bir ok yerleştirin.

2. Ne kadar çok parça olursa, bunları yapmak için o kadar çok metal gerekir. Bu, bunun doğrudan orantılı bir ilişki olduğu anlamına gelir.

12 parça yapmak için x kg metale ihtiyaç duyulduğunu varsayalım. Oranı oluşturuyoruz (okun başından sonuna kadar):

12:10=x:3,5

Bulmak için uç terimlerin çarpımını bilinen orta terime bölmeniz gerekir:

Bu, 4,2 kg metalin gerekli olacağı anlamına gelir.

Cevap: 4,2 kg.

2) 15 metre kumaş için 1680 ruble ödediler. Bu kumaşın 12 metre fiyatı ne kadar?

(1. Dolu sütuna en büyük sayıdan en küçüğüne doğru bir ok yerleştirin.

2. Ne kadar az kumaş satın alırsanız, o kadar az ödemeniz gerekir. Bu, bunun doğrudan orantılı bir ilişki olduğu anlamına gelir.

3. Bu nedenle ikinci ok birinciyle aynı yöndedir).

X rublenin 12 metre kumaşa mal olduğunu varsayalım. Bir orantı yaparız (okun başından sonuna kadar):

15:12=1680:x

Oranın bilinmeyen ekstrem terimini bulmak için orta terimlerin çarpımını oranın bilinen ekstrem terimine bölün:

Bu, 12 metrenin 1344 rubleye mal olduğu anlamına gelir.

Cevap: 1344 ruble.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Akademik konu: matematik; 6. Sınıf (N.Ya. Vilenkin ve diğerleri tarafından yazılan “Matematik 6” ders kitabı)

Ders: Doğrudan ve ters orantılı ilişkiler.

Ders türü: bilgi teknolojisini kullanarak yeni materyal öğrenme

Amaçlar ve hedefler:

• eğitici:
  • temel kavramları pekiştirmek: orantı, oranın ana özelliği;
  • öğrencilerde doğrudan ve ters orantılı bağımlılık kavramlarını oluşturmak;
  • orantıları kullanarak problemleri çözme yeteneğini geliştirmek;
• Gelişimsel:
  • problemin koşullarına göre bağımlılıkları belirlerken mantıklı düşünün;
  • yetkin matematiksel konuşma geliştirmek; hafıza, dikkat, muhakemeye dayalı sonuçlar çıkarma;
  • bilişsel ilginin, yaratıcı yeteneklerin, karşılaştırma ve analiz yeteneğinin gelişimini teşvik etmek;
• Eğitici:
  • matematiğe ilgi uyandırmak;
  • Sürekli dikkat becerilerini geliştirmek.

Öğretme teknikleri: iletişimsel, farklılaştırılmış, araştırma ve arama.

Ders organizasyon biçimleri:ön anket, bireysel çalışma, kendi kendine test.

Teçhizat: m/m projektör, perde, bilgisayar, monitör, sunum.

DERSLER SIRASINDA

1. Organizasyon aşaması

Selamlar;

Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarının kontrol edilmesi.

– Bugün yeni kavramlarla tanışacağız: doğrudan ve ters orantısal ilişkiler ve yeni bilgilere dayanarak problemleri çözmeyi öğreneceğiz.

2. Öğrencilerin temel bilgi ve becerilerini güncellemek(slayt 2)

1. Oran nedir?
2. Oranın temel özelliğini formüle edin.
3. Oran terimlerinin hangi yeniden düzenlemeleri yine doğru orantılara yol açar?
4. Orandan üç yeni doğru orantı oluşturun: 5:15 = 4:12
5. Bu oranın terimlerinin hangi yeniden düzenlemeleri yine doğru orantılara yol açar?
6. Orandan üç yeni doğru orantı oluşturun: (slayt 3)

a) 135:__ = 90:2
b) 18: 3 = __ : __

– Bu görevlerden hangisinin tek bir çözümü var, hangisinin birçok çözümü var? Neden?

Öğrenciler için bir eğitim problemi belirlemek

– Edinilen bilgi pratik problemlerin çözümünde bize yardımcı olacak mı?

3. Yeni bilginin oluşumu

Sözlü tartışma (çözüm arayışı) (slayt 4)

1. 2 kg sebzeye 10 ruble ödedik. 8 kg sebzenin fiyatı ne kadar?

• Kaç kat daha fazla sebze satın aldınız?
• Daha fazlasını satın aldıysanız, daha az mı yoksa daha fazla mı ödemelisiniz?

Çözüm: malın miktarı birkaç kat artarsa ​​satın alma maliyeti aynı miktarda artar.

Sözlü yargılama sırasında öğrenciler, belirli bir problemde birbirine bağlı niceliklerin nasıl değiştiğini belirler.

Tanım: Biri birkaç kez arttığında (azaldığında) diğeri aynı miktarda artarsa ​​(azalırsa), iki miktara doğru orantılı denir.

2. İki traktör bir tarlayı 6 günde sürdü. 4 traktör aynı verimle çalışırsa bu tarlayı sürmek kaç gün sürer?

• Daha fazla traktör varsa aynı tarlayı sürmek daha fazla mı yoksa daha az mı gün sürer?
• Traktör sayısı kaç kat arttı? Aynı işi tamamlamak kaç gün daha az sürer?

Sözlü yargılama sırasında öğrenciler bu problemde birbirine bağlı niceliklerin nasıl değiştiğini belirler.

Tanım: Biri birkaç kez arttığında (azaldığında) diğeri aynı miktarda azalıyorsa (artıyorsa) iki niceliğe ters orantılı denir.

Test çalışması - kendinizi test edin

Teorik test, materyalin daha ileri sunumunu ayarlamanıza olanak tanır (slayt 6; 7; 8)

“Evet” ve “hayır” demeyin, bir işaretle çizin: (slayt 5)

"Evet"- imza «+» ,
"HAYIR"- imza «–» .

1. Mal miktarı ile satın alma fiyatı arasındaki ilişki doğru orantılıdır.
2. Çocuğun boyu ve yaşı doğru orantılıdır.
3. Bir dikdörtgenin genişliği sabitse uzunluğu ve alanı doğru orantılıdır.
4. Bir arabanın hızı ile hareket ettiği süre ters orantılıdır.
5. Bir arabanın hızı ile kat ettiği mesafe ters orantılıdır.
6. İki nicelikten biri yarı yarıya artarken diğeri yarı yarıya azalıyorsa ters orantılı denir.
7. Makinelerin taşıma kapasitesi ile sayıları doğru orantılıdır.
8. Karenin çevresi ile bir kenarının uzunluğu doğru orantılıdır.

Cevapları kontrol edelim: m/m projektör kullanılarak karşılıklı doğrulama (slayt 9): + – + + – + – +

Kendini değerlendir:(slayt 10)

8 doğru cevap - "5"
7-6 doğru cevap - "4"
5-4 doğru cevap – “3”

4. Beden eğitimi dakikası

5. Beceri ve yeteneklerin oluşumu

Zorunlu eğitim düzeyinde problem çözme (slayt 11; 12)

6. İlk doğrulama aşaması

Öğrenciler çiftler halinde karşılıklı kontrol ile seçenekler üzerinde bağımsız çalışırlar.

Seçenek 1 – No. 785;
Seçenek 2 – No. 836;

Çözümü kontrol ediyoruz: seçenek 1 – slayt 14; Seçenek 2 – slayt 16)

7. Dersi özetlemek. Refleks

Kendini kontrol et:(slayt 17)

• Hangi miktarlara doğrudan orantılı denir? Doğru orantılı büyüklüklere örnekler veriniz.
• Hangi miktarlara ters orantılı denir? Ters orantılı büyüklüklere örnekler veriniz.
• Bağımlılığın doğrudan veya ters orantılı olmadığı niceliklere örnekler verin.

8. Ödev verme(slayt 18)

• çalışma paragrafı 22, No. 805; 811; 812;
• Doğru ve ters orantı ilişkilerine ilişkin iki problemin metnini yazın (bir sonraki derste çözüm masanızdaki komşunuz tarafından tamamlanacaktır).

Doğru orantılı ilişkiyi anlamanın en kolay yolu, parçaları sabit hızda üreten bir makine örneğini kullanmaktır. Eğer iki saatte 25 parça yaparsa, 4 saatte iki kat daha fazla parça (50) yapacaktır. Ne kadar çok çalışırsa o kadar çok parça üretecektir.

Matematiksel olarak şöyle görünür:

4: 2 = 50: 25 veya bunun gibi: 2: 4 = 25: 50

Buradaki doğru orantılı büyüklükler makinenin çalışma süresi ve üretilen parça sayısıdır.

Diyorlar ki: Parça sayısı makinenin çalışma süresiyle doğru orantılıdır.

İki nicelik doğru orantılıysa, karşılık gelen niceliklerin oranları eşittir. (Örneğimizde bu, zaman 1'in zaman 2'ye oranıdır = zaman içindeki parça sayısıyla ilişki 1İle zaman içindeki parça sayısı 2)

Ters orantılılık

Hız problemlerinde sıklıkla ters orantı bulunur. Hız ve zaman ters orantılı büyüklüklerdir. Aslında bir nesne ne kadar hızlı hareket ederse, seyahat etmesi o kadar az zaman alır.

Örneğin:

Miktarlar ters orantılıysa, o zaman bir büyüklüğün (örneğimizde hız) değerlerinin oranı, başka bir miktarın (örneğimizde zaman) ters oranına eşittir. (Örneğimizde birinci hızın ikinci hıza oranı ikinci zamanın birinciye oranına eşittir.

Örnek problemler

Görev 1:

Çözüm:

Sorunun kısa bir açıklamasını yazalım:

Görev 2:

Çözüm:

Kısa giriş: