Tieto dve veličiny sa nazývajú priamo úmerné, ak keď sa jeden z nich zvýši niekoľkokrát, druhý sa zvýši o rovnakú sumu. Preto, keď sa jeden z nich niekoľkokrát zníži, druhý sa zníži o rovnakú hodnotu.

Vzťah medzi takýmito veličinami je priamo úmerný vzťah. Príklady priamej úmernej závislosti:

1) pri konštantnej rýchlosti je prejdená vzdialenosť priamo úmerná času;

2) obvod štvorca a jeho strana sú priamo úmerné veličiny;

3) náklady na produkt zakúpený za jednu cenu sú priamo úmerné jeho množstvu.

Ak chcete rozlíšiť priamu úmernosť od inverznej, môžete použiť príslovie: „Čím ďalej do lesa, tým viac palivového dreva.

Úlohy týkajúce sa priamo úmerných veličín je vhodné riešiť pomocou proporcií.

1) Na výrobu 10 dielov potrebujete 3,5 kg kovu. Koľko kovu pôjde na výrobu 12 týchto častí?

(Uvažujeme takto:

1. Do vyplneného stĺpca umiestnite šípku v smere od najväčšieho čísla po najmenšie.

2. Čím viac častí, tým viac kovu treba na ich výrobu. To znamená, že ide o priamo úmerný vzťah.

Na výrobu 12 dielov nech je potrebných x kg kovu. Vytvoríme pomer (v smere od začiatku šípky po jej koniec):

12:10=x:3,5

Ak chcete nájsť , musíte rozdeliť súčin extrémnych výrazov známym stredným výrazom:

To znamená, že bude potrebných 4,2 kg kovu.

Odpoveď: 4,2 kg.

2) Za 15 metrov látky zaplatili 1680 rubľov. Koľko stojí 12 metrov takejto látky?

(1. Do vyplneného stĺpca umiestnite šípku v smere od najväčšieho čísla po najmenšie.

2. Čím menej látky kúpite, tým menej za ňu zaplatíte. To znamená, že ide o priamo úmerný vzťah.

3. Preto je druhá šípka v rovnakom smere ako prvá).

Nech stojí x rubľov 12 metrov látky. Urobíme pomer (od začiatku šípky po jej koniec):

15:12=1680:x

Ak chcete nájsť neznámy extrémny člen podielu, vydeľte súčin stredných členov známym extrémnym členom podielu:

To znamená, že 12 metrov stojí 1344 rubľov.

Odpoveď: 1344 rubľov.

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Akademický predmet: matematika; 6. ročník (učebnica „Matematika 6“ od N.Ya. Vilenkina a ďalších)

Predmet: Priame a nepriamo úmerné vzťahy.

Typ lekcie: učenie nového materiálu pomocou informačných technológií

Ciele a ciele:

• Vzdelávacie:
  • upevniť základné pojmy: proporcia, hlavná vlastnosť proporcie;
  • formovať u žiakov pojmy priamej a nepriamej úmernej závislosti;
  • rozvíjať schopnosť riešiť problémy pomocou proporcií;
• Vývojový:
  • myslieť logicky pri určovaní závislostí v súlade s podmienkami problému;
  • rozvíjať kompetentnú matematickú reč; pamäť, pozornosť, vyvodzovanie záverov na základe uvažovania;
  • podporovať rozvoj kognitívneho záujmu, tvorivých schopností, schopnosti porovnávať a analyzovať;
• Vzdelávacie:
  • vzbudiť záujem o matematiku;
  • rozvíjať zručnosti trvalej pozornosti.

Vyučovacie metódy: komunikatívne, diferencované, výskumné a vyhľadávacie.

Formy organizácie lekcií: frontálny prieskum, samostatná práca, autotest.

Vybavenie: m/m projektor, plátno, počítač, monitor, prezentácia.

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačná etapa

Pozdravy;

Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu.

– Dnes sa zoznámime s novými pojmami: priame a nepriamo úmerné vzťahy a naučíme sa riešiť problémy na základe nových poznatkov.

2. Aktualizácia základných vedomostí a zručností žiakov(snímka 2)

1. Čo je to proporcia?
2. Formulujte základnú vlastnosť proporcie.
3. Aké zmeny pomerov vedú opäť k správnym pomerom?
4. Z pomeru vytvorte tri nové správne pomery: 5:15 = 4:12
5. Aké zmeny podmienok tohto podielu opäť vedú k správnym pomerom?
6. Vytvorte tri nové správne proporcie z pomeru: (snímka 3)

a) 135:__ = 90:2
b) 18: 3 = __ : __

– Ktorá z týchto úloh má jediné riešenie a ktorá má veľa riešení? prečo?

Stanovenie výchovného problému pre žiakov

– Pomôžu nám získané poznatky pri riešení praktických problémov?

3. Formovanie nových poznatkov

Ústna diskusia (hľadanie riešenia) (snímka 4)

1. Za 2 kg zeleniny sme zaplatili 10 rubľov. Koľko stojí 8 kg zeleniny?

• Koľkokrát viac zeleniny ste si kúpili?
• Ak ste si kúpili viac, mali by ste zaplatiť menej alebo viac?

Záver: ak sa množstvo tovaru niekoľkonásobne zvýši, potom sa náklady na nákup zvýšia o rovnakú sumu.

Počas ústneho úsudku žiaci určujú, ako sa menia vzájomne závislé veličiny v danom probléme.

Definícia: dve veličiny sa nazývajú priamo úmerné, ak keď sa jedna z nich niekoľkokrát zvýši (zníži), druhá sa o rovnakú hodnotu zvýši (zníži).

2. Dva traktory orali pole za 6 dní. Koľko dní bude trvať 4 traktorom na oranie tohto poľa, ak budú pracovať s rovnakou produktivitou?

• Ak bude viac traktorov, potrvá oranie toho istého poľa viac alebo menej dní?
• Koľkokrát sa zvýšil počet traktorov? Koľkokrát menej dní bude trvať dokončenie rovnakej práce?

Počas ústneho úsudku študenti určujú, ako sa v tomto probléme menia vzájomne závislé veličiny.

Definícia: dve veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ak keď sa jedna z nich niekoľkokrát zvýši (zníži), druhá sa zníži (zvýši) o rovnakú hodnotu.

Otestujte prácu – otestujte sa

Teoretický test umožňuje upraviť ďalšiu prezentáciu materiálu (snímky 6; 7; 8)

Nehovorte „áno“ a „nie“, nakreslite ich znakom: (snímka 5)

"Áno"- znamenie «+» ,
"nie"- znamenie «–» .

1. Vzťah medzi množstvom tovaru a kúpnou cenou je priamo úmerný.
2. Výška a vek dieťaťa sú priamo úmerné.
3. Ak je šírka obdĺžnika konštantná, jeho dĺžka a plocha sú priamo úmerné.
4. Rýchlosť auta a čas, keď sa pohybuje, sú nepriamo úmerné.
5. Rýchlosť auta a jeho prejdená vzdialenosť sú nepriamo úmerné.
6. Dve množstvá sa nazývajú nepriamo úmerné, ak sa jedna z nich zvýši o polovicu, druhá sa zníži o polovicu.
7. Nosnosť strojov a ich počet sú priamo úmerné.
8. Obvod štvorca a dĺžka jeho strany sú priamo úmerné.

Pozrime sa na odpovede: vzájomné overenie pomocou m/m projektora (snímka 9): + – + + – + – +

Ohodnoťte sa:(snímka 10)

8 správnych odpovedí - "5"
7-6 správnych odpovedí - "4"
5-4 správne odpovede – „3“

4. Telovýchovná minúta

5. Formovanie zručností a schopností

Riešenie problémov na úrovni povinného školenia (snímky 11; 12)

6. Fáza počiatočného overenia

Študenti samostatne pracujú na možnostiach so vzájomnou kontrolou vo dvojiciach.

Variant 1 – č. 785;
Variant 2 – č. 836;

Skontrolujeme riešenie: možnosť 1 – snímka 14; Možnosť 2 – snímka 16)

7. Zhrnutie lekcie. Reflexia

Skontrolujte si:(snímka 17)

• Aké množstvá sa nazývajú priamo úmerné? Uveďte príklady priamo úmerných veličín.
• Aké množstvá sa nazývajú nepriamo úmerné? Uveďte príklady nepriamo úmerných veličín.
• Uveďte príklady veličín, pre ktoré závislosť nie je priamo ani nepriamo úmerná.

8. Stanovenie domácich úloh(snímka 18)

• preštudujte si paragraf 22, č. 805; 811; 812;
• zostavte text dvoch úloh o priamych a nepriamych úmerných vzťahoch (riešenie na nasledujúcej hodine doplní sused vo vašej lavici).

Najjednoduchší spôsob, ako pochopiť priamo úmerný vzťah, je použiť príklad stroja, ktorý vyrába diely konštantnou rýchlosťou. Ak za dve hodiny vyrobí 25 dielov, tak za 4 hodiny vyrobí dvakrát toľko dielov – 50. Čím viac času bude fungovať, tým viac dielov vyrobí.

Matematicky to vyzerá takto:

4: 2 = 50: 25 alebo takto: 2: 4 = 25: 50

Priamo úmerné veličiny sú tu prevádzková doba stroja a počet vyrobených dielov.

Hovorí sa: Počet dielov je priamo úmerný dobe prevádzky stroja.

Ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom sú pomery zodpovedajúcich veličín rovnaké. (V našom príklade ide o pomer času 1 k času 2 = vo vzťahu k počtu častí v čase 1 Komu počet častí v čase 2)

Inverzná úmernosť

Inverzná úmernosť sa často vyskytuje v problémoch s rýchlosťou. Rýchlosť a čas sú nepriamo úmerné veličiny. V skutočnosti, čím rýchlejšie sa objekt pohybuje, tým menej času zaberie cesta.

Napríklad:

Ak sú množstvá nepriamo úmerné, potom sa pomer hodnôt jednej veličiny (rýchlosť v našom príklade) rovná inverznému pomeru inej veličiny (v našom príklade čas). (V našom príklade sa pomer prvej rýchlosti k druhej rýchlosti rovná pomeru druhej rýchlosti k prvej rýchlosti.

Vzorové problémy

Úloha 1:

Riešenie:

Napíšme si krátke vyjadrenie problému:

Úloha 2:

Riešenie:

Stručný záznam: