Установки трикутника за заданими параметрами. Площа трикутника Визначення кутів трикутника за заданими сторонами

08.06.2023

АНДРЕЙ ПРОКІП: «МОЯ КОХАННЯ – РОСІЙСЬКА ЕКОЛОГІЯ. Вкладати потрібно в неї! »
4-5 вересня відбувся екологічний форум «Кліматична форма міст». Ініціатором організації заходу є організація С40, яка була заснована у 2005 році ООН. Основним із завдань форму та міст є контроль за кліматичними змінами міст.
Як показала практика, на відміну від світських раутів та «засідань у нічних клубах», депутатів та публічних персоналій було мало. Серед тих, хто дійсно виявив занепокоєння екологічною ситуацією, був Прокіп Адрей Зіновійович. Він взяв активну участь у всіх пленарних засіданнях разом із спеціальним представником Президента Російської Федераціїз питань клімату Русланом Едельгерієвим, заступником мера Москви з питань житлово-комунального господарства Петром Бірюковим, а також іноземними представниками – мером італійського міста Савона – Іларіо Капріогліо. Учасники представили свої проекти, а також обговорили стратегії щодо утримання зростання світової температури, а також запропонували практичні рішеннясталого розвитку міст.
АНДРЕЙ ПРОКИП ПРО ШАШЛИКИ, ДЕПУТАТІВ І ЗЕЛЕНЕ БУДІВНИЦТВО
Особливий інтерес у Російської сторони викликав виступ спікерів, серед яких були європейські архітектори, вчені та заходи Савона. Темою виступу став ТОПовий напрямок – «зелене будівництво». Як заявив сам Андрія Прокіп, важливо правильно перерозподілити ресурси, а також враховувати стандарти європейського будівництва для такого мегаполісу як Москва. Необхідно, щоб Росія на Федеральному рівні взяла курс на «зелене фінансування», тим більше, що це економічно доцільно і як показує практика – вигідно». Також він висловив побоювання щодо погіршення здоров'я росіян у зв'язку з екологічними катастрофамита недотриманням екологічних норм щодо утилізації відходів великими та малими промисловими підприємствами». Утвердився він у своїх побоюваннях також завдяки виступу Франческо Замбона – професора Європейського бюро ВООЗ з інвестицій у охорону здоров'я.
З властивим гумором Андрій звернувся до відомих персон, які були запрошені на форум, але так і не з'явилися, із закликом згадувати про природу, не тільки коли вони захочуть шашличків або вирушать на рибалку. Адже саме від прихильності природи залежить здоров'я всього народу, до якого на жаль, входять і вони».
Окрім палких промов про нову «коханку-природу» Андрія Зиновійовича та важливість брати відповідальність за навколишнє середовищевін, значним подією форуму стало пленарне засідання на тему «Як виховати нове покоління». Учасники форуму були єдиними на думці, що виховувати треба не лише дітей, а й доросле покоління. Дуже важливо виховати відповідальність перед природою у побутовій поведінці, а також у бізнесі.
Для Москви буде запущено спеціальний проект «вчимося жити цивілізовано». Це освітній проект для всіх верств населення та вікових категорій. Але якою б не була прекрасна теорія і добрі наміри, для Росії досі актуальна приказка «поки смажений півень не клюне – дурень не перехреститься».
На думку Тімоті Неттера – відомого театрального режисера – все може змінити мистецтво. В одному з виступів він розповів про те, як потрібно подавати ідею збереження природи в театрі та кіно і як важливо виховати у людях через мистецтво відповідальність за те, що буде завтра з нами та природою.
Увагу операторів рентв та Андрія Прокірпа звернули на себе студенти російських вишів, представивши проект з екологічної технології виробництва тари, стійкої до впливу вологи та температури. Це дуже актуальна проблемаТак як по всьому світу приймають закони проти пластикової тари, яка розкладається більше 30 років, забруднює грунт і викликає загибель тварин.
Надихає той факт, що Москва одне з 94 міст-учасників організації С40 і вже втретє проводиться форум, який щороку привертає увагу все більше відомих персоналій та городян.

Перші - це відрізки, які прилягають до прямого кута, а гіпотенуза є найдовшою частиною фігури і знаходиться навпроти кута 90 о. Піфагоровим трикутником називається той, сторони якого дорівнюють натуральним числам; їх довжини у разі мають назву «піфагорова трійка».

Єгипетський трикутник

Для того, щоб нинішнє покоління дізналося геометрію у тому вигляді, в якому її викладають у школі зараз, вона розвивалася кілька століть. Основним моментом вважається теорема Піфагора. Сторони прямокутного відома на весь світ) становлять 3, 4, 5.

Мало хто не знайомий із фразою «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проте насправді теорема звучить так: c2 (квадрат гіпотенузи) = a2+b2 (сума квадратів катетів).

Серед математиків трикутник із сторонами 3, 4, 5 (див, м і т. д.) називається "єгипетським". Цікаво те, що яка вписана у фігуру, дорівнює одиниці. Назва виникла приблизно в V столітті до н.е., коли філософи Греції їздили до Єгипту.

При побудові пірамід архітектори та землеміри користувалися співвідношенням 3:4:5. Такі споруди виходили пропорційними, приємними на вигляд і просторими, а також рідко руйнувалися.

Для того, щоб побудувати прямий кут, будівельники використовували мотузку, на якій було зав'язано 12 вузлів. У такому разі ймовірність побудови прямокутного трикутника підвищувалася до 95%.

Ознаки рівності фігур

Гострий кут у прямокутному трикутнику та велика сторона, які рівні тим самим елементам у другому трикутнику, - безперечна ознака рівності фігур. Зважаючи на суму кутів, легко довести, що другі гострі кути також рівні. Таким чином, трикутники однакові за другою ознакою.
При накладенні двох постатей одна на одну повернемо їх таким чином, щоб вони, поєднавшись, стали одним рівнобедреним трикутником. За його властивістю сторони, а точніше, гіпотенузи рівні, так само як і кути при підставі, а значить, ці фігури однакові.

За першою ознакою дуже просто довести те, що трикутники дійсно рівні, головне щоб дві менші сторони (тобто катети) були рівними між собою.

Трикутники будуть однаковими за II ознакою, суть якої полягає в рівності катета та гострого кута.

Властивості трикутника з прямим кутом

Висота, яку опустили з прямого кута, розбиває фігуру на рівні частини.

Сторони прямокутного трикутника та його медіани легко впізнати за правилом: медіана, яка опущена на гіпотенузу, дорівнює її половині. можна знайти як за формулою Герона, так і за твердженням, що вона дорівнює половині твору катетів.

У прямокутному трикутнику діють властивості кутів 30 про, 45 про і 60 про.

При куті, який дорівнює 30 про, слід пам'ятати, що протилежний катет дорівнюватиме 1/2 найбільшої сторони.
Якщо кут 45 про, отже, другий гострий кут також 45 про. Це говорить про те, що трикутник рівнобедрений, та його катети однакові.
Властивість кута 60 про полягає в тому, що третій кут має градусну міру в 30 о.

Площу легко впізнати за однією з трьох формул:

через висоту та бік, на яку вона опускається;
за формулою Герона;
по сторонах та кутку між ними.

Сторони прямокутного трикутника, а точніше катети, сходяться із двома висотами. Для того щоб знайти третю, необхідно розглядати трикутник, що утворився, і тоді за теоремою Піфагора обчислити необхідну довжину. Крім цієї формули, існує також співвідношення подвоєної площі і довжини гіпотенузи. Найбільш поширеним виразом серед учнів є перше, оскільки потребує менше розрахунків.

Теореми, що застосовуються до прямокутного трикутника

Геометрія прямокутного трикутника включає використання таких теорем, як:

Побудувати будь-який дах не так просто, як здається. А якщо хочеться, щоб вона була надійною, міцною та не боялася різних навантажень, то попередньо, ще на етапі проектування, потрібно зробити чимало розрахунків. І вони включатимуть не тільки кількість матеріалів, що використовуються для монтажу, але й визначення кутів нахилу, площі схилів і т. д. Як розрахувати кут нахилу даху правильно? Саме від цього значення багато в чому залежатимуть інші параметри цієї конструкції.

Проектування та будівництво будь-якої покрівлі – завжди дуже важлива та відповідальна справа. Особливо, якщо йдеться про покрівлю житлового будинку або складний за формою дах. Але навіть звичайна односхилий, що встановлюється на непоказному сарайчику або гаражі, так само потребує проведення попередніх розрахунків.

Якщо заздалегідь не визначити кут нахилу покрівлі, не з'ясувати, яку оптимальну висоту повинен мати коник, то великий ризик побудувати таку покрівлю, яка впаде після першого снігопаду, або все оздоблювальне покриття з неї буде зірвано навіть помірним за силою вітром.

Також кут нахилу покрівлі значно впливатиме на висоту ковзана, на площу та габарити скатів. Залежно від цього можна буде більш точно розрахувати кількість необхідних для створення кроквяної системи та обробки матеріалів.

Ціни на різні види покрівельних ковзанів

Коник покрівельний

Одиниці виміру

Згадуючи геометрію, яку кожен вивчав у школі, можна впевнено заявити, що кут нахилу даху вимірюється в градусах. Однак у книгах, присвячених будівництву, а також у різних кресленнях можна зустріти й інший варіант – кут вказаний у відсотках (тут маються на увазі співвідношення сторін).

В цілому, кутом нахилу ската є кут, який утворений двома площинами, що перетинаються.– перекриттям та безпосередньо схилом даху. Він може бути лише гострим, тобто лежати у діапазоні 0-90 градусів.

На замітку! Дуже круті скати, кут нахилу яких становить понад 50 градусів, зустрічаються дуже рідко в чистому вигляді. Зазвичай вони використовуються лише при декоративному оформленні дахів, можуть бути присутніми на мансардах.

Що стосується виміру кутів покрівлі в градусах, то все просто - ці знання є у кожного, хто вивчав у школі геометрію. Достатньо накидати схему покрівлі на папері та за допомогою транспортира визначити кут.

Що стосується відсотків, то тут потрібно знати висоту ковзана і ширину будівлі. Перший показник ділиться на другий, а набуте значення множиться на 100%. Отже, можна обчислити відсоткове співвідношення.

На замітку! При відсотковому співвідношенні 1 нормальний градус нахилу дорівнює 2,22%. Тобто скат із кутом 45 звичайних градусів дорівнює 100%. А 1 відсоток – це 27 кутових хвилин.

Таблиця значень - градуси, хвилини, відсотки

Які чинники впливають на кут нахилу?

На кут нахилу будь-якої покрівлі впливає дуже багато факторів, починаючи від побажань майбутнього власника будинку і закінчуючи регіоном, де будинок розташовуватиметься. При розрахунку важливо зважати на всі тонкощі, навіть ті, що на перший погляд здаються незначними. Одного разу вони можуть зіграти свою роль. Визначати відповідний кут нахилу даху слід, знаючи:

види матеріалів, з яких будуватиметься пиріг покрівлі, починаючи від кроквяної системи і закінчуючи зовнішньою обробкою;
умови клімату у цій місцевості (вітрове навантаження, переважне напрям вітрів, кількість опадів тощо. буд.);
форму майбутньої будови, її висоту, дизайн;
призначення будівлі, варіанти використання горищного приміщення.

У тих регіонах, де відмічено сильне вітрове навантаження, рекомендується будувати дах з одним скатом та невеликим кутом нахилу. Тоді при сильному вітрі у покрівлі більше шансів встояти та не бути зірваною. Якщо ж для регіону характерна велика кількість опадів (снігу чи дощу), то скати краще робити крутішими – це дозволить опадам скочуватися/стікати з покрівлі та не створювати додаткового навантаження. Оптимальний ухил односхилих покрівлі у вітряних регіонах варіюється в межах 9-20 градусів, а там, де випадає багато опадів - до 60 градусів. Кут 45 градусів дозволить не враховувати снігове навантаження в цілому, але тиск вітру в даному випадку на дах буде в 5 разів більший, ніж на покрівлю з нахилом всього 11 градусів.

На замітку! Чим більше параметри ухилу даху, тим більше матеріалів буде потрібно для його створення. Вартість збільшується щонайменше на 20%.

Кути скатів та покрівельні матеріали

Не тільки кліматичні умови матимуть значний вплив на форму та кут скатів. Важливу роль відіграють матеріали, що використовуються для будівництва, зокрема – покриття дахів.

Таблиця. Оптимальні кути нахилу скатів для покрівель із різних матеріалів.

На замітку! Чим менший показник нахилу покрівлі, тим менший крок використовується при створенні решетування.

Ціни на металочерепицю

Металочерепиця

Висота ковзана теж залежить від кута схилу

При розрахунках будь-якої покрівлі за орієнтир завжди береться прямокутний трикутник, де катети - це висота ската у верхній точці, тобто в коньку або переході нижньої частини всієї системи крокв у верхню (у випадку з мансардними покрівлями), а також проекція довжини конкретного схилу на горизонталь, яка представлена перекриттями. Тут є лише одна стала величина – це довжина даху між двома стінами, тобто довжина прольоту. Висота конькової частини змінюватиметься залежно від кута нахилу.

Спроектувати покрівлю допоможуть знання формул із тригонометрії: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LхtgA, S = H/sinA, де А – це кут схилу, Н – висота покрівлі до області ковзана, L – ½ усієї довжини прольоту покрівлі (при двосхилим даху) або вся довжина (у разі односхилих покрівлі), S - довжина самого ската. Наприклад, якщо відомо точне значення висоти конькової частини, визначається кут нахилу за першою формулою. Знайти кут можна буде за таблицею тангенсів. Якщо в основі розрахунків лежить кут покрівлі, то знайти параметр висоти коника можна за третьою формулою. Довжину крокв, маючи значення кута нахилу та параметрів катетів, можна порахувати за четвертою формулою.

Прямокутним називається трикутник, один із кутів якого дорівнює 90º. Сторона, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою, а дві інші – катетами.

Щоб знайти кут у прямокутному трикутнику, використовуються деякі властивості прямокутних трикутників, а саме: те, що сума гострих кутів дорівнює 90º, а також те, що навпроти катета, довжина якого вдвічі менша за гіпотенузу, лежить кут, що дорівнює 30º.

Швидка навігація за статтею

Рівнобедрений трикутник

Одна з властивостей рівнобедреного трикутника – два його кути рівні. Для обчислення значень кутів прямокутного рівнобедреного трикутника потрібно знати, що:

Прямий кут дорівнює 90 º.
Значення гострих кутів визначаються за такою формулою: (180º-90º)/2=45º, тобто. кути α і β дорівнюють 45º.

Якщо відома величина одного з гострих кутів, другий можна знайти за формулою: β=180º-90º-α, або α=180º-90º-β. Найчастіше це співвідношення використовується, якщо один із кутів дорівнює 60º або 30º.

Ключові поняття

Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 º. Так як один кут прямий, двоє, що залишилися, будуть гострими. Для їх знаходження необхідно знати, що:

Інші способи

Величини гострих кутів прямокутного трикутника можна обчислити, знаючи значення медіани - лінії, проведеної з вершини до протилежної стороні трикутника, і висоти - прямий, що є перпендикуляром, опущений з прямого кута на гіпотенузу. Нехай s – медіана, проведена із прямого кута до середини гіпотенузи, h – висота. У такому разі виходить, що:

sin = b/(2*s); sin β =a/(2*s).
cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sin = h/b; sin β = h/a.

Дві сторони

Якщо у прямокутному трикутнику відомі довжини гіпотенузи та одного з катетів, або дві сторони, для знаходження значень гострих кутів використовуються тригонометричні тотожності:

α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Визначення трикутника

Трикутник- це геометрична фігура, яка утворюється в результаті перетину трьох відрізків, кінці яких не лежать на одній прямій. У будь-якого трикутника є три сторони, три вершини та три кути.

Онлайн-калькулятор

Трикутники бувають різних видів. Наприклад, існує рівносторонній трикутник(Той, у якого всі сторони рівні), рівнобедрений (у ньому рівні дві сторони) і прямокутний (в якому один з кутів прямий, тобто дорівнює 90 градусів).

Площу трикутника можна знайти у різний спосібзалежно від цього, які елементи фігури відомі за умовою завдання, чи це кути, довжини, чи взагалі радіуси кіл, що з трикутником. Розглянемо кожен спосіб окремо із прикладами.

Формула площі трикутника на основі та висоті

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS =2 1 ⋅ a ⋅h,

A a a- основа трикутника;
h h h- Висота трикутника, проведена до даної основи a.

приклад

Знайти площу трикутника, якщо відома довжина його основи, що дорівнює 10 (див.) і висота, проведена до цієї основи, дорівнює 5 (див.).

Рішення

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Підставляємо у формулу для площі та отримуємо:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S =2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (Див. кв.)

Відповідь: 25 (див. кв.)

Формула площі трикутника по довжинах усіх сторін

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S =p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ,

A, b, c a, b, c a, b, c- Довжини сторін трикутника;
p p p- половина суми всіх сторін трикутника (тобто половина периметра трикутника):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 (a +b +c)

Ця формула називається формулою Герона.

приклад

Знайти площу трикутника, якщо відомі довжини трьох сторін, рівні 3 (див.), 4 (див.), 5 (див.).

Рішення

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5

Знайдемо половину периметра p p p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6

Тоді, за формулою Герона, площа трикутника:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5)) = \ sqrt (36) = 6S =6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (Див. кв.)

Відповідь: 6 (див. кв.)

Формула площі трикутника по одній стороні та двом кутам

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ? \sin(\beta+\gamma))S =2 a 2 ⋅ sin (β + γ )sin β sin γ ,

A a a- Довжина сторони трикутника;
β , γ \beta, \gamma β , γ - кути, що прилягають до сторони a a a.

приклад

Дано сторону трикутника, що дорівнює 10 (див.) і два кути, що прилягають до неї, по 30 градусів. Знайти площу трикутника.

Рішення

A = 10 a = 10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

За формулою:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10^2)(2) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1) (2 \ sqrt (3)) \ approx14.4S =2 1 0 2 ⋅ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (Див. кв.)