Як дізнатися площу рівностороннього трикутника: основні формули. Правильний трикутник

У шкільному курсі геометрії дуже багато часу приділяється вивченню трикутників. Учні обчислюють кути, будують бісектриси та висоти, з'ясовують, чим фігури відрізняються одна від одної, і як найпростіше знайти їх площу та периметр. Здається, що це ніяк не знадобиться в житті, але іноді корисно дізнатися, наприклад, як визначити, що трикутник рівносторонній або тупокутний. Як це зробити?

Типи трикутників

Три точки, які не лежать на одній прямій, та відрізки, які їх з'єднують. Здається, що ця фігура – ​​найпростіша. Якими можуть бути трикутники, якщо вони мають лише три сторони? Насправді варіантів є досить велика кількість, і деяким з них приділяється особлива увага в рамках шкільного курсу геометрії. Правильний трикутник – рівносторонній, тобто всі його кути та сторони рівні. Він має низку примітних властивостей, про які йтиметься далі.

У рівнобедреного рівні лише дві сторони, і він також досить цікавий. У прямокутного і як нескладно здогадатися, відповідно, один із кутів прямий або тупий. При цьому вони також можуть бути рівнобедреними.

Існує і особливий званий єгипетським. Його сторони дорівнюють 3, 4 та 5 одиницям. При цьому він прямокутний. Вважається, що активно використовувався єгипетськими землемірами та архітекторами для побудови прямих кутів. Є думка, що з його допомогою було зведено знамениті піраміди.

І все ж таки всі вершини трикутника можуть лежати на одній прямій. У цьому випадку він називатиметься виродженим, у той час як усі інші – невиродженими. Саме вони є одним із предметів вивчення геометрії.

Трикутник рівносторонній

Зрозуміло, правильні фігури завжди викликають найбільший інтерес. Вони здаються досконалішими, витонченішими. Формули обчислення їх характеристик найчастіше простіше та коротше, ніж для звичайних фігур. Це стосується і трикутників. Не дивно, що з вивченні геометрії їм приділяється досить багато уваги: ​​школярів вчать відрізняти правильні постаті з інших, і навіть розповідають про деякі їх цікаві характеристики.

Ознаки та властивості

Як неважко здогадатися із назви, кожна сторона рівностороннього трикутника дорівнює двом іншим. Крім того, він має низку ознак, завдяки яким можна визначити, чи правильна фігура чи ні.

Якщо спостерігається хоча б одна з перелічених вище ознак, то трикутник - рівносторонній. Для правильної постаті справедливі усі згадані твердження.

Всі трикутники мають низку примітних властивостей. По-перше, середня лінія, тобто відрізок, що ділить дві сторони навпіл і паралельний третій, дорівнює половині основи. По-друге, сума всіх кутів цієї фігури завжди дорівнює 180 градусів. Крім того, у трикутниках спостерігається ще один цікавий взаємозв'язок. Так, проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Але це, звичайно, до рівностороннього трикутника відношення не має, адже у нього всі кути рівні.

Вписані та описані кола

Нерідко у курсі геометрії учні також вивчають те, як постаті можуть взаємодіяти друг з одним. Зокрема, вивчаються кола, вписані в багатокутники або описані біля них. Про що йде мова?

Вписаним називають таке коло, для якого всі сторони багатокутника є дотичні. Описаною – ту, яка має точки дотику з усіма кутами. Для кожного трикутника завжди можна побудувати як перше, так і друге коло, але тільки одну кожного виду. Докази двох цих

теорем наводяться у шкільному курсі геометрії.

Крім обчислення параметрів самих трикутників, деякі завдання також мають на увазі розрахунок радіусів цих кіл. І формули стосовно
рівносторонньому трикутнику виглядають наступним чином:

де r - радіус вписаного кола, R - радіус описаного кола, a - довжина сторони трикутника.

Обчислення висоти, периметра та площі

Основні параметри, обчисленням яких займаються школярі під час вивчення геометрії, залишаються незмінними майже будь-яких постатей. Це периметр, площа та висота. Для простоти розрахунків є різні формули.

Так, периметр, тобто довжина всіх сторін, обчислюється такими способами:

P = 3a = 3√3R = 6√3r, де a - сторона правильного трикутника, R - радіус описаного кола, r - вписаної.

h = (√3/2) * a, де a - довжина сторони.

Нарешті, формула виводиться із стандартної, тобто добутку половини основи на його висоту.

S = (√ 3/4) * a 2 , де a - Довжина сторони.

Також ця величина може бути обчислена через параметри описаного або вписаного кола. Для цього також існують спеціальні формули:

S = 3√ 3r 2 = (3√3/4)*R 2 , де r і R - відповідно радіуси вписаного та описаного кіл.

Побудова

Ще один цікавий тип завдань, що стосується у тому числі трикутників, пов'язаний з необхідністю накреслити ту чи іншу фігуру, використовуючи мінімальний набір

інструментів: циркуль та лінійку без поділів.

Для того щоб побудувати правильний трикутник лише за допомогою цих пристроїв, необхідно виконати кілька кроків.

1. Потрібно накреслити коло з будь-яким радіусом і з центром довільно взятої точки А. Її необхідно відзначити.
2. Далі слід провести пряму через цю точку.
3. Перетину кола та прямої необхідно позначити як В і С. Усі побудови повинні проводитися з максимально можливою точністю.
4. Далі треба побудувати ще одне коло з тим самим радіусом і центром у точці С або дугу з відповідними параметрами. Місця перетину будуть позначені як D та F.
5. Крапки B, F, D необхідно з'єднати відрізками. Рівносторонній трикутник збудований.

Вирішення подібних завдань зазвичай представляє для школярів проблему, але це вміння може стати в нагоді і в звичайному житті.

В елементарній геометрії рівностороннім трикутником вважається правильний багатокутник, що має три сторони. Якщо дещо розширити та конкретизувати це визначення, то вийде, що трикутник є правильним у тому випадку, якщо всі його сторони мають однакову довжину, а кути дорівнюють 60°. Тому, як знайти , вчать на уроках геометрії середній школі, а на практиці ці знання нерідко доводиться застосовувати інженерам-конструкторам та архітекторам.

Обчислення площі рівностороннього трикутника

a- сторона трикутника

h- Висотать трикутника

S- площа

Зодчим площа рівностороннього трикутникадоводиться шукати у разі, якщо таку форму мають елементи будинків, проектуванням яких займаються. Такими можуть бути нестандартні вікна (як звичайні, так і мансардні), які нерідко трапляються в будинках, що мають оригінальне архітектурне рішення. Їх проектувальникам формула площі рівностороннього трикутникапотрібно для того, щоб з'ясувати, чи достатній розмір буде мати вікно для того, щоб через нього до приміщення проникало необхідну кількість денного світла. Крім того, форму рівносторонніх трикутників досить часто мають фронтони тих житлових. заміських будинківта котеджів, а також господарських будівель, скати дахів яких іноді розташовуються під кутом 60 °.

Рівносторонні трикутникинерідко можна зустріти у складі різних технічних пристроївта інструментів. Наприклад, таку форму мають змінні пластини прохідних твердосплавних токарних різців. На державці вони встановлюються шляхом установки на спеціальну вісь, а фіксуються за допомогою клиноподібного сталевого елемента, притиск якого здійснюється за рахунок різьбового з'єднання. Після того, як одна з граней вставки затуплюється в процесі різання, пластина знімається, повертається на 60° фіксується заново, в результаті чого може використовуватися інша, гостра грань. Таким чином, за рахунок того, що твердосплавна пластина має форму рівностороннього трикутника, така переустановка може відбуватися тричі. Заточенню грані, що затупилися, не підлягають, і ці елементи ріжучого інструменту утилізуються шляхом переплавлення.

Як автомобілістам, так і пішоходам добре відомі дорожні знаки, що є рівносторонні трикутники. Така форма робить їх більш помітними, і тому вони здебільшого є застережливими. Зрозуміло, що у процесі їх розробки та написання відповідної нормативно-технічної документації доводилося використовувати формулу розрахунку площі рівностороннього трикутника.

Чудово знають, що таке рівносторонній трикутник, любителі такої популярної гри, як більярд За допомогою спеціальних рамок, що мають відповідну форму, відбувається встановлення куль у певному порядку перед початком кожної партії. Виготовляються ці вироби з деревини, пластичних мас чи металів.

Серед геометричних фігур, які у розділі геометрія, найчастіше доводиться зіштовхуватися під час вирішення тих чи інших завдань із трикутником. Він є освіченою трьома прямими. Вони в одній точці не перетинаються і не є паралельними. Можна дати інше визначення: трикутник є ламану замкнуту лінію, що складається з трьох ланок, де її початок і кінець з'єднуються в одній точці. Якщо всі три сторони мають рівну величину, то це правильний трикутник, або, як то кажуть, рівносторонній.

Як визначити Для вирішення подібних завдань необхідно знати деякі властивості цієї геометричної фігури. По-перше, у цього всі кути рівні. По-друге, висота, що опускається з вершини на основу, є одночасно і медіаною, і висотою. Це говорить про те, що висота ділить вершину трикутника на два рівні кути, а протилежну сторону - на два рівні відрізки. Так як рівносторонній трикутник складається з двох, то при визначенні шуканої величини необхідно використовувати теорему Піфагора.

Розрахунок площі трикутника можна зробити у різний спосіб, Залежно від відомих величин.

1. Розглянемо рівносторонній трикутник із відомими стороною b та висотою h. Площа трикутника в цьому випадку дорівнюватиме одній другій твори сторони і висоти. У вигляді формули це виглядатиме так:

Говорячи словами, площа рівностороннього трикутника дорівнює одному другому твору його сторони та висоти.

2. Якщо відома лише величина сторони, то перш ніж шукати площу, необхідно обчислити її висоту. Для цього розглянемо половину трикутника, в якому висота буде одним із катетів, гіпотенуза – це сторона трикутника, а другий катет – половина сторони трикутника згідно з його властивостями. Все з тієї ж теореми Піфагора Як відомо, квадрат гіпотенузи відповідає сумі квадратів катетів. Якщо розглядати половину трикутника, то в даному випадку сторона є гіпотенузою, половина сторони – одним катетом, а висота – другим.

(b/2)²+ h2= b² , звідси

h²= b²-(b/2)². Приведемо до спільного знаменника:

Як бачимо, висота фігури, що розглядається, дорівнює добутку половини його боку і кореня з трьох.

Підставимо у формулу і побачимо: S=1/2* b* b/2√3= b²/4√3.

Тобто площа рівностороннього трикутника дорівнює добутку четвертої частини квадрата сторони та кореня з трьох.

3. Є такі завдання, де необхідно визначити площу рівностороннього трикутника при відомій висоті. І це виявляється простіше простого. Ми вже вивели у попередньому випадку, що h²= 3 b²/4. Далі необхідно звідси вивести бік і підставити формулу площі. Виглядатиме це так:

b²=4/3* h², звідси b=2h/√3. Підставивши у формулу, за якою знаходиться площа, отримаємо:

S=1/2* h*2h/√3, звідси S= h²/√3.

Мають місце завдання, коли необхідно знайти площу рівностороннього трикутника по радіусу вписаного або описаного кола. Для цього розрахунку також існують певні формули, які мають такий вигляд: r = √3* b/6, R=√3* b/3.

Діємо вже за знайомим нам принципом. При відомому радіусі виводимо з формули бік і обчислюємо її, підставивши відому величину радіуса. Отримане значення підставляємо вже відому формулу для розрахунку площі правильного трикутника, проводимо арифметичні обчислення і знаходимо шукану величину.

Як бачимо, для того, щоб вирішити аналогічні завдання, необхідно знати не лише властивості правильного трикутника, а й теорему Піфагора, і радіус описаного та вписаного кола. Для тих, хто володіє цими знаннями, рішення подібних завдань не представлятиме особливих труднощів.

Знайти площу рівностороннього трикутника можна за будь-якою формулою для довільної фігури даного типу або скористатися тими, в яких вже враховано особливість саме цієї фігури та математичні вирази суттєво спрощені.

Перший випадок вимагає заміни всіх сторін однаковим значенням і врахування того, що всі кути у трикутника дорівнюють 60º. Потім залишиться провести нескладні перетворення, які й призведуть до формул, даних у готовому вигляді трохи нижче.

Формула 1: відома сторона

У цій та наступних формулах прийняті стандартні позначення величин трикутника. Докладніше їх можна переглянути в запропонованій таблиці.

Розрахунок площі трикутника в цьому випадку буде здійснюватися за формулою:

S = √3/4 * а 2 .

Вона легко виходить із тієї, яка відома для довільної фігури із трьома сторонами. Просто у формулі потрібно врахувати те, що всі сторони трикутника рівні.

Якщо говорити точніше, то знадобиться формула Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Значення напівпериметра для рівностороннього трикутника дорівнюватиме 3а/2. Таким чином, у кожній дужці під коренем вийде вираз ((3а/2) - а). Воно дасть після перетворення а/2.

Так як дужок три, то у цього виразу з'явиться третій ступінь. Отже, воно перетвориться на а 3 /8.

Його ще потрібно помножити на напівпериметр, що визначається як сума сторін, розділена на 2. Вийде вираз: 3а 4/16. Після отримання квадратного кореня якраз і залишиться той вираз, що дано в першій формулі для площі рівностороннього трикутника.

Тому немає потреби запам'ятовувати багато формул. Можна просто запам'ятати одну – Герона. З неї шляхом простих математичних перетворень виходять інші, наприклад, для рівностороннього трикутника.

Формула 2: дано радіус вписаного кола

Цей вислів дуже нагадує попередній запис. Але все ж таки є суттєві відмінності: використовується інша літера, ірраціональність пішла в знаменник, з'явився множник 3 і зникла цифра 4. Загалом її легко запам'ятати.

S = 3√3 * r 2 .

Цю формулу теж легко отримати з тієї, що дана для довільного трикутника. У ній радіус множиться на суму сторін та ділиться на 4. Оскільки сторони мають однакове значення, що сума заміниться на 3а. Тепер потрібно прибрати «а», щоб залишилося лише значення радіусу. Для цього буде потрібний вираз, в якому сторона ділиться на твір 2 і синуса протилежного стороні кута. Оскільки кут дорівнює 60º, то значення синуса буде √3/2. Тоді сторона виразиться через радіус так: а = √3R. Після нескладного перетворення можна дійти виразу для площі, яке дано спочатку.

Формула 3: дана описана коло та її радіус

Вона дуже схожа на першу. Тільки її чисельнику з'являється цифра 3 і змінилася буква на R.

S = 3√3/4 * R 2 .

Оскільки радіус вдвічі більший за той, який розглядався в попередньому пункті, то зрозуміло, як вона виходить. У ньому просто замість r ставиться R/2. І провадяться необхідні перетворення.

Тому формулу можна не запам'ятовувати. Тільки пам'ятати співвідношення радіусів вписаної і описаної біля рівностороннього трикутника кіл.

Формула 4: відома висота

У цьому випадку площа рівностороннього трикутника дорівнює:

S = н 2 / √3.

Щоб зрозуміти, як виходить така формула, потрібно знову скористатися спільною всім трикутників. Вона виглядає як твір сторони на висоту та на ½. Тепер, щоб дізнатися площу рівностороннього трикутника, доведеться згадати чи вивести математичний вираз для висоти.

Її нескладно дізнатися, якщо скористатися тим, що висота утворює прямокутний трикутник. Отже, висота можна знайти як катет - з теореми Піфагора. Другий катет дорівнюватиме половині сторони, так як висота є ще й медіаною (це відома властивість рівностороннього трикутника). Тоді висота визначатиметься як квадратний корінь із різниці двох квадратів. Перший "а", а другий "а/2". Після зведення на другий ступінь та вилучення кореня залишається: н = (√3/2)*а. З нього а = 2н/3. Після підстановки їх у основну всім трикутників формулу вийде той вираз, що зазначено на початку розділу.

Приклад №1

Умови.Обчислити площу рівностороннього трикутника, якщо відомо, що його сторона має значення 4 см.

Рішення.Оскільки відомо значення сторін фігури, необхідно користуватися першою формулою.

Спочатку потрібно буде звести до квадрата число 4. Від цієї дії вийде число 16. Тепер воно скорочується з четвіркою, що стоїть у знаменнику. І в результаті в чисельнику залишається 4 і 3, а знаменник стає рівним одиниці, значить, його можна просто не записувати. Це результат, який і потрібно знайти у завданні.

Відповідь: 4√3 см 2 .

Приклад №2

Умови.Усі сторони рівностороннього трикутника дорівнюють 2√2 дм. Обчислити його площу.

Рішення.Міркування такі ж, як у першому завданні. Тільки значення квадрата сторони буде іншим. У ньому потрібно окремо звести до другого ступеня 2 та ірраціональність. І результат буде таким: 4*2 = 8. Після скорочення зі знаменником залишається 2 і √3 у чисельнику дробу, а знаменник зникає.

Відповідь: 2√3 дм 2 .

Приклад №3

Умови.У рівносторонній трикутник вписано коло, його радіус 2,5 см. Необхідно обчислити площу трикутника.

Рішення.Для розрахунку необхідної величини потрібно скористатися другою формулою.

Спочатку значення радіусу потрібно звести у квадрат. Вийде 6,25. Потім це значення потрібно помножити на три. Результатом цієї дії стане число 18,75. Але це ще не кінцеве значення: у ньому буде множник √3, який присутній у формулі, що використовується.

Відповідь: 18,75√3 см 2 .

Приклад №4

Умови.Потрібно визначити, чому дорівнює площа рівностороннього трикутника, якщо відома його висота - 3 дм.

Рішення.Звичайно, вибрати потрібно четверту формулу. З її допомогою найпростіше знайти відповідь цього завдання.

Достатньо лише звести у квадрат число 3, тобто висоту, що дасть значення 9. А потім розділити його на √3, що стоїть у формулі.

Оскільки в математиці не прийнято залишати ірраціональність у знаменнику відповіді, то її потрібно позбутися. Для цього дріб 9/√3 потрібно помножити на дріб з однаковим чисельником і знаменником, а саме √3/√3. Від цього дії в чисельнику з'явиться значення 9√3, а знаменнику з'явиться число 3.

Цей дріб можна і потрібно скоротити на 3. Це кінцевий результат.

Відповідь:площа - 3√3 дм 2 .

Приклад №5

Умови.Дано рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює 27 см 2 . За цією величиною потрібно дізнатися про довжину сторони фігури.

Рішення.Оскільки йдеться про сторону, то підійде перша формула. З неї можна відразу вивести математичний вираз, який дозволить визначити бік трикутника.

Для цього площу потрібно помножити на 4 і поділити на квадратний корінь із трьох. Так вийде значення для сторони у квадраті. Щоб отримати просто бік, потрібно витягти корінь. Вираз для сторони виглядатиме так: а = 2 * √(S/√3).

Оскільки площа відома, можна відразу приступати до обчислень. Підкорене вираз виглядає як приватне 27 і √3. Потрібно позбутися ірраціональності у знаменнику. Вийде 27√3, розділене на 3. Після скорочення у знаменнику залишається 1, яку можна не писати, а в чисельнику залишається 9√3.

Наступною дією буде вилучення кореня з виразу, що вийшов. Перший множник дає значення 3. А ось другий – √3 – вимагає до себе уваги. Щоб спростити завдання, можна витягти це коріння і округлити значення.

√3 = 1,73; тепер із нього ще раз витягаємо корінь і отримуємо 1,32.

Залишилося тільки помножити його на 2 і отримати результат, що шукається.

Відповідь:сторона дорівнює 2,64 см.

Найчастіші запитання

Чи можливо виготовити друк на документі за наданим зразком? Відповідь Так можливо. Надішліть на нашу електронну адресу скан-копію або фото хорошої якості, і ми виготовимо необхідний дублікат.

Які види оплати ви приймаєте? Відповідь Ви можете сплатити документ під час отримання на руки у кур'єра, після того, як перевірите правильність заповнення та якість виконання диплома. Також це можна зробити в офісі поштових компаній, що пропонують послуги післяплати.
Всі умови доставки та оплати документів розписані у розділі «Оплата та доставка». Також готові вислухати Ваші пропозиції щодо умов доставки та оплати за документ.

Чи можу я бути впевнена, що після оформлення замовлення ви не зникнете з моїми грошима? Відповідь У сфері виготовлення дипломів у нас є досить тривалий досвід роботи. У нас є кілька сайтів, які постійно оновлюються. Наші фахівці працюють у різних куточках країни, виготовляючи понад 10 документів на день. За роки роботи наші документи допомогли багатьом людям вирішити проблеми працевлаштування або перейти на більш високооплачувану роботу. Ми заробили довіру і визнання серед клієнтів, тому у нас немає причин чинити подібним чином. Тим більше, що це просто неможливо зробити фізично: Ви оплачуєте своє замовлення у момент отримання його на руки, передоплати немає.

Чи можу я замовити диплом будь-якого ВНЗ? Відповідь Загалом, так. Ми працюємо у цій сфері майже 12 років. За цей час сформувалася майже повна база видаваних документів багатьох ВНЗ країни і за різні роки видачі. Все, що Вам потрібно – вибрати ВУЗ, спеціальність, документ та заповнити форму замовлення.

Що робити при виявленні в документі помилок та помилок? Відповідь Отримуючи документ у нашого кур'єра чи поштової компанії, ми рекомендуємо ретельно перевірити всі деталі. Якщо буде виявлено друкарську помилку, помилку або неточність, Ви маєте право не забирати диплом, при цьому потрібно вказати виявлені недоліки особисто кур'єру або письмово, відправивши лист на електронну пошту.
У найкоротший термін ми виправимо документ та повторно відправимо на вказану адресу. Зрозуміло, пересилання буде сплачено нашою компанією.
Щоб уникнути подібних непорозумінь перед тим, як заповнювати оригінальний бланк, ми надсилаємо на пошту замовнику макет майбутнього документа, для перевірки та затвердження остаточного варіанту. Перед надсиланням документа кур'єром або поштою ми також робимо додаткове фото та відео (в т. ч. в ультрафіолетовому світінні), щоб Ви мали наочне уявлення про те, що отримаєте у результаті.

Що потрібно зробити, щоб замовити диплом у вашій компанії? Відповідь Для замовлення документа (атестата, диплома, академічної довідки та ін.) необхідно заповнити онлайн-форму замовлення на нашому сайті або повідомити свою електронну пошту, щоб ми надіслали вам бланк анкети, який потрібно заповнити та надіслати назад нам.
Якщо ви не знаєте, що вказати в якомусь полі форми замовлення/анкети, залиште їх незаповненими. Всю інформацію, що бракує, ми тому уточнимо в телефонному режимі.

Останні відгуки

Віктор:

Дуже задоволений своїм дипломом. Дякую. Якби Ви ще паспорти навчилися робити, це було б ідеально.

Каріна:

Сьогодні здобула свій диплом. Дякую за якісну роботу. Усі терміни також дотримані. Обов'язково рекомендуватиму Вас усім своїм знайомим.