Щільність ймовірності випадкової величини дорівнює. Функція розподілу ймовірностей та щільність ймовірності

Безперервні випадкові величини характеризуються тим, що їх значення можуть як завгодно мало відрізнятися один від одного.

Ймовірність події X < х(де X- Значення , а х– довільне значення), що розглядається як функція від х, називається функцією розподілу ймовірностей:

F(x) = Р(Х <х).

Похідна від функції розподілу ймовірностей називається функцією щільності розподілу ймовірностей чи щільністю ймовірності:

f(x) = F"(x).

Функція розподілу ймовірностей виражається через щільність ймовірності як інтеграла:

х 1 , х 2) дорівнює збільшенню функції розподілу ймовірностей на цьому інтервалі:

P(x 1 <X<x 2) = F(x 2) – F(x 1). (4)

3.1. Випадкова величина Xзадана функцією розподілу ймовірностей:

Знайти щільність імовірності f(x) і можливість потрапляння випадкової величини X в інтервали (1; 2,5), (2,5; 3,5).

Рішення. Щільність ймовірності знаходимо за формулою f(x) = F"(x):

Імовірності влучення випадкової величини Xв інтервали обчислюємо за формулою (3.1):

Р(1 < X < 2,5) = F(2,5) – F(1) = 0,5 2 – 0 = 0,25;

Р(2,5 < X < 3,5) = F(3,5) – F(2,5) = 1 – 0,25= 0,75.

3.2. Щільність ймовірності безперервної випадкової величини X:

Знайти функцію розподілу F(х) та побудувати її графік.

Рішення.

якщо ,

Якщо х > 2.

Графік функції представлено на рис. 3.1.

Мал. 3.1

3.3. Щільність ймовірності безперервної випадкової величини Xзадана у вигляді

Знайти параметр С.

Рішення. На підставі рівності

Математичне очікування та дисперсія. Мода та медіана

Середнім значеннямабо математичним очікуваннямбезперервної випадкової величини X

М(Х) = М х = ,

де f(x) - Щільність ймовірності.

Дисперсієюбезперервної випадкової величини Xназивається значення інтегралу

D(X) = D x= .

Для визначення дисперсії може бути використана формула

D x = .

Модою М 0 (Х Xназивається таке значення цієї величини, густина ймовірності якого максимальна.

Медіаною Ме(Х) безперервної випадкової величини Xназивається таке її значення, при якому виконується рівність

Р(Х < Me) = Р(Х > Me).

3.4. Випадкова величина X f(x) = х/2 в інтервалі (0; 2), поза цим інтервалом f(x) = 0. Знайти математичне очікування величини X.

Рішення. На підставі формули

3.5. Випадкова величина Xзадана щільністю ймовірності f(x) = x/8 в інтервалі (0; 4). Поза цим інтервалом f(x) = 0. Знайти математичне очікування.

3.6. Випадкова величина Xзадана щільністю ймовірності f(x) = при . Знайти математичне очікування.

3.7. Випадкова величина Xзадана щільністю ймовірності f(x) = З(х 2 + 2х) в інтервалі (0; 1). Поза цим інтервалом f(x) = 0. Знайти параметр З.

Рішення. Так як

Звідки З = .

Рівномірний розподіл

Безперервна випадкова величина називається рівномірно розподіленоюна відрізку [ а, b], якщо її щільність ймовірності має вигляд:

Математичне очікування та дисперсія рівномірно розподіленої випадкової величини визначаються виразами

3.8. Випадкова величина Xрозподілена рівномірно на відрізку. Знайти функцію розподілу F(x), математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення величини.

Рішення. Щільність ймовірності для величини Xмає вигляд:

Отже, функція розподілу, яка обчислюється за формулою:

,

запишеться так:

Математичне очікування буде рівним М х= (1 + 6) / 2 = 3,5. Знаходимо дисперсію та середнє квадратичне відхилення:

D x = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

Нормальний розподіл

Випадкова величина Xрозподілена за нормальним законом, якщо її функція щільності розподілу ймовірностей має вигляд:

де М х- математичне очікування;

- Середнє квадратичне відхилення.

Імовірність потрапляння випадкової величини в інтервал ( а, b) знаходиться за формулою

Р(а < X < b) = Ф - Ф = Ф ( z 2) - Ф( z 1), (5)

де Ф( z) = - Функція Лапласа.

Значення функції Лапласа для різних значень zнаведено у Додатку 2.

3.9. Математичне очікування нормально розподіленої випадкової величини Xодно М х= 5, дисперсія дорівнює D x= 9. Написати вираз для густини ймовірності.

3.10. Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Xвідповідно дорівнюють 12 і 2. Знайти ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, укладеного в інтервалі (14; 16).

Рішення. Використовуємо формулу (21.2), враховуючи, що М х = 12, = 2:

Р(14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

По таблиці значень функції Лапласа знаходимо Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772. Після підстановки отримуємо значення ймовірності:

Р(14 <Х < 16) = 0,1359.

3.11. Є випадкова величина X, розподілена за нормальним законом, математичне очікування якої дорівнює 20, середнє квадратичне відхилення дорівнює 3. Знайти симетричний щодо математичного очікування інтервал, в який з ймовірністю р= 0,9972 потрапить довільна величина.

Рішення. Так як Р(х 1 < Х < х 2) = р= 2Ф(( х 2 – М х)/ ), то Ф( z) = р/ 2 = 0,4986. За таблицею функції Лапласа знаходимо значення z, Що відповідає отриманому значенню функції Ф( z) = 0,4986: z= 2,98. Враховуючи те що z = (х 2 – М х)/ , визначаємо = х 2 – М х = z= 3 · 2,98 = 8,94. Шуканий інтервал матиме вигляд (11,06; 28,94).

Врахуємо, що f(x) = F"(x). Тоді отримаємо:

Підставимо у вираз для математичного очікування

.

Інтегруючи частинами, отримуємо М х= 1/ , або М х = 1/0,1.

Для визначення дисперсії проінтегруємо частинами перший доданок. В результаті отримаємо:

.

Врахуємо знайдений вираз для М х. Звідки

.

В даному випадку М х = 10, D x = 100.

СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Властивості щільності розподілу

Для початку нагадаємо, що таке щільність розподілу:

Розглянемо властивості щільності розподілу:

Властивість 1:Функція $\varphi (x)$ щільності розподілу невід'ємна:

Доведення.

Ми знаємо, що функція розподілу $F(x)$ - функція, що не убуває. З визначення випливає, що $ \ varphi \ left (x \ right) = F "(x) $, а похідна незменшуваної функції - є функція невід'ємна.

Геометрично ця властивість означає, що графік функції $\varphi \left(x\right)$ щільності розподілу знаходиться або вище, або на самій осі $Ox$ (рис. 1)

Малюнок 1. Ілюстрація нерівності $ Varphi (x) Ge 0 $.

Властивість 2:Невласний інтеграл від функції щільності розподілу в межах від $-\infty $ до $+\infty $ дорівнює 1:

Доведення.

Згадаймо формулу для знаходження ймовірності того, що випадкова величина потрапить інтервал $(\alpha ,\beta)$:

Малюнок 2.

Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина потрапить до інтервалу $(-\infty ,+\infty $):

Малюнок 3.

Очевидно, що випадкова величина завжди потрапить до інтервалу $(-\infty ,+\infty $), отже, ймовірність такого потрапляння дорівнює одиниці. Отримуємо:

Геометрично, друга властивість означає, що площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції щільності розподілу $varphi (x)$ і віссю абсцис чисельно дорівнює одиниці.

Можна також сформулювати зворотну властивість:

Властивість 3:Будь-яка невід'ємна функція $f(x)\ge 0$, що задовольняє рівності $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ є функцією щільність розподілу деякої безперервної випадкової величини.

Ймовірнісний зміст густини розподілу

Надамо змінної $x$ збільшення $\triangle x$.

Імовірнісний зміст щільності розподілу: Ймовірність того, що безперервна випадкова величина $X$ прийме значення з інтервалу$(x,x+\triangle x)$, приблизно дорівнює добутку щільності розподілу ймовірності в точці $x$ на збільшення $\triangle x$:

Малюнок 4. Геометрична ілюстрація імовірнісного сенсу густини розподілу безперервної випадкової величини.

Приклади розв'язання задач із використанням властивостей щільності розподілу

Приклад 1

Функція щільності розподілу ймовірності має вигляд:

Малюнок 5.

1. Знайти коефіцієнт $ \ alpha $.
2. Побудувати графік густини розподілу.

1. Розглянемо невласний інтеграл $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)$, отримуємо:

Малюнок 6.

Використовуючи властивість 2, отримаємо:

\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac(1)(2).\]

Тобто, функція щільності розподілу має вигляд:

Малюнок 7.

1. Побудуємо її графік:

Малюнок 8.

Приклад 2

Функція щільності розподілу має вигляд $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$

(Нагадаємо, що $ chx $ - гіперболічний косинус).

Знайти значення коефіцієнта $ \ alpha $.

Рішення. Використовуємо другу властивість:

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \limits^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\]

Оскільки $chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$, то

\[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x)))=2arctge^x+C\]

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \]

Отже:

\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]

Визначення. Безперервнийназивають випадкову величину, яка може набувати всіх значень деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Для безперервної випадкової величини запроваджується поняття функції розподілу.

Визначення. Функцією розподілуймовірностей випадкової величини Х називають функцію F(х), що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше x, тобто:

F(х) = P(X< x)

Часто замість терміну "функція розподілу" використовують термін "інтегральна функція розподілу".

Властивості функції розподілу:

1. Значення функції розподілу належать відрізку:

0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. Функція розподілу є незменшуюча функція, тобто:

якщо x > x,

то F(x) ≥ F(x).

3. Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, укладеного в інтервалі:

ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу [ a; b], що дорівнює певному інтегралу від її щільності ймовірності в межах від aдо b:

.

При цьому загальна формула функції F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини, якою можна користуватися, якщо відома функція щільності f(x) :

.

Графік щільності ймовірності безперервної випадкової величини називається її кривою розподілу (мал. нижче).

Площа фігури (на малюнку заштрихована), обмеженою кривою, прямими, проведеними з крапок aі bперпендикулярно осі абсцис, і віссю Ох, графічно відображає ймовірність того, що значення безперервної випадкової величини Хзнаходиться в межах від aдо b.

Властивості функції густини ймовірності безперервної випадкової величини

1. Імовірність того, що випадкова величина набуде будь-якого значення з інтервалу (і площа фігури, яку обмежують графік функції) f(x) і вісь Ох) дорівнює одиниці:

2. Функція щільності ймовірності не може набувати негативних значень:

а поза існування розподілу її значення дорівнює нулю

Щільність розподілу f(x), як і функція розподілу F(x), одна із форм закону розподілу, але на відміну функції розподілу, вона універсальна: щільність розподілу існує лише безперервних випадкових величин.

Згадаємо про два найважливіших у практиці види розподілу безперервної випадкової величини.

Якщо функція щільності розподілу f(x) безперервної випадкової величини в деякому кінцевому інтервалі [ a; b] набуває постійного значення C, а за межами інтервалу набуває значення, що дорівнює нулю, таке розподіл називається рівномірним .

Якщо графік функції щільності розподілу симетричний щодо центру, середні значення зосереджені поблизу центру, а при віддаленні від центру збираються більш від середнього (графік функції нагадує розріз дзвона), то таке розподіл називається нормальним .

приклад 1.Відома функція розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини:

Знайти функцію f(x) густини ймовірності безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 4 до 8: .

Рішення. Функцію щільності ймовірності отримуємо, знаходячи похідну функції розподілу ймовірностей:

Графік функції F(x) - парабола:

Графік функції f(x) - пряма:

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 4 до 8:

приклад 2.Функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини дана у вигляді:

Обчислити коефіцієнт C. Знайти функцію F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 0 до 5: .

Рішення. Коефіцієнт Cзнайдемо, користуючись властивістю 1 функції щільності ймовірності:

Таким чином, функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини:

Інтегруючи, знайдемо функцію F(x) розподілу ймовірностей. Якщо x < 0 , то F(x) = 0. Якщо 0< x < 10 , то

.

x> 10 , то F(x) = 1 .

Таким чином, повний запис функції розподілу ймовірностей:

Графік функції f(x) :

Графік функції F(x) :

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 0 до 5:

приклад 3.Щільність ймовірності безперервної випадкової величини Xзадана рівністю, при цьому. Знайти коефіцієнт Аймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[, функцію розподілу безперервної випадкової величини X.

Рішення. За умовою приходимо до рівності

Отже, , звідки . Отже,

.

Тепер знаходимо ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[:

Тепер отримаємо функцію розподілу цієї випадкової величини:

приклад 4.Знайти густину ймовірності безперервної випадкової величини X, яка набуває лише невід'ємних значень, а її функція розподілу .

Математичне очікування

Дисперсіябезперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю:

Призначення сервісу. Онлайн калькулятор призначений для вирішення завдань, у яких задані або щільність розподілу f(x) або функція розподілу F(x) (див. приклад). Зазвичай у таких завданнях потрібно знайти математичне очікування, середнє квадратичне відхилення, побудувати графіки функцій f(x) та F(x).

Інструкція. Виберіть тип вихідних даних: щільність розподілу f(x) або функцію розподілу F(x) .

Задано щільність розподілу f(x):

Задано функцію розподілу F(x):

Безперервна випадкова величина задана щільністю ймовірностей
(Закон розподілу Релея – застосовується у радіотехніці). Знайти M(x), D(x).

Випадкову величину X називають безперервний якщо її функція розподілу F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функція розподілу безперервної випадкової величини застосовується для обчислення ймовірностей попадання випадкової величини заданий проміжок:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
причому для безперервної випадкової величини не має значення, включаються до цього проміжку його межі чи ні:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Щільністю розподілу безперервної випадкової величини називається функція
f(x)=F'(x) , похідна від функції розподілу.

Властивості щільності розподілу

1. Щільність розподілу випадкової величини невід'ємна (f(x) ≥ 0) за всіх значень x.
2. Умова нормування:

Геометричний зміст умови нормування: площа під кривою щільності розподілу дорівнює одиниці.
3. Імовірність потрапляння випадкової величини X у проміжок від α до β може бути обчислена за формулою

Геометрично ймовірність попадання безперервної випадкової величини X у проміжок (α, β) дорівнює площі криволінійної трапеції під кривою щільності розподілу, що спирається на цей проміжок.
4. Функція розподілу виражається через щільність так:

Значення щільності розподілу в точці x не дорівнює ймовірності прийняти це значення, для безперервної випадкової величини може йти тільки про ймовірність попадання в заданий інтервал. Нехай)