Parametre trojuholníka podľa daných parametrov. Oblasť trojuholníka Určenie uhlov trojuholníka z daných strán

08.06.2023

ANDREY PROKIP: „MOJA MILENKA JE RUSKÁ EKOLÓGIA. POTREBUJETE DO TOHO INVESTOVAŤ!“
V dňoch 4. – 5. septembra sa konalo environmentálne fórum „Klimatický tvar miest“. Iniciátorom podujatia je organizácia C40, ktorú v roku 2005 založila OSN. Hlavnou úlohou formulára a miest je kontrolovať klimatické zmeny v mestách.
Ako ukázala prax, na rozdiel od spoločenských podujatí a „stretnutí v nočných kluboch“ bolo poslancov a verejných činiteľov málo. Medzi tými, ktorí skutočne prejavili obavy z environmentálnej situácie, bol Prokip Adrey Zinovievič. Spolu s osobitným zástupcom prezidenta sa aktívne zúčastňoval na všetkých plenárnych zasadnutiach Ruská federácia o klimatických otázkach Ruslan Edelgeriev, námestník primátora Moskvy pre bývanie a komunálne služby Pyotr Biryukov, ako aj zahraniční predstavitelia - primátor talianskeho mesta Savona - Ilario Caprioglio. Účastníci prezentovali svoje projekty a tiež diskutovali o stratégiách na obmedzenie nárastu globálnych teplôt a tiež navrhli praktické riešenia trvalo udržateľný rozvoj miest.
ANDREY PROKIP O šašlikoch, poslancoch a zelenej budove
Ruskú stranu zaujali najmä vystúpenia rečníkov, medzi ktorými boli európski architekti, vedci a starostovia Savony. Témou prejavu bol TOP smer – „zelená výstavba“. Ako sám Andrey Prokip uviedol, „pre metropolu, akou je Moskva, je dôležité správne prerozdeľovať zdroje, ako aj brať do úvahy európske stavebné normy. Je potrebné, aby Rusko na federálnej úrovni nabralo kurz smerom k „zelenému financovaniu“, najmä preto, že je ekonomicky realizovateľné a ako ukazuje prax, ziskové. Vyjadril tiež obavy zo zhoršenia zdravotného stavu Rusov v súvislosti s ekologických katastrof a nedodržiavanie environmentálnych noriem pre likvidáciu odpadu veľkými aj malými priemyselné podniky" V obavách sa potvrdil aj vďaka vystúpeniu Francesca Zambonu, profesora z Európskeho úradu WHO pre investície do zdravia.
Andrei s charakteristickým humorom oslovil známych ľudí, ktorí boli pozvaní na fórum, no nikdy sa neukázali, s výzvou, aby „spomínali na prírodu, nielen keď chcú grilovať alebo ísť na ryby. Koniec koncov, zdravie celého ľudu závisí od benevolentnosti prírody, ktorá ich, žiaľ, zahŕňa.“
Okrem vášnivých prejavov o novej „povahe milenca“ Andreja Zinovieviča a o dôležitosti prevzatia zodpovednosti za životné prostredie Významným podujatím fóra bolo totiž plenárne zasadnutie na tému „Ako vychovávať novú generáciu“. Účastníci fóra sa zhodli v názore, že je potrebné vzdelávať nielen deti, ale aj dospelú generáciu. Je veľmi dôležité vštepovať zodpovednosť voči prírode do každodenného správania, ako aj do podnikania.
Pre Moskvu sa spustí špeciálny projekt „naučiť sa žiť civilizovaným spôsobom“. Ide o vzdelávací projekt pre všetky vrstvy obyvateľstva a vekové kategórie. Ale bez ohľadu na to, aká úžasná je teória a dobré úmysly, príslovie „kým nepichne pečený kohút, hlupák sa nepokríži“ je pre Rusko stále aktuálne.
Podľa Timothyho Nettera, slávneho divadelného režiséra, umenie môže zmeniť všetko. V jednom zo svojich prejavov hovoril o tom, ako by sa myšlienka ochrany prírody mala prezentovať v divadle a kine a aké dôležité je vzdelávať ľudí prostredníctvom umenia, aby boli zodpovední za to, čo sa s nami a prírodou stane zajtra.
Študenti z ruských univerzít zaujali prevádzkovateľov Rentv a Andrey Prokirpu prezentáciou projektu ekologickej technológie na výrobu nádob, ktoré sú odolné voči vlhkosti a teplote. Toto je veľmi aktuálny problém, keďže po celom svete sa prijímajú zákony proti plastovým nádobám, ktorým mimochodom trvá viac ako 30 rokov, kým sa rozložia, znečisťujú pôdu a spôsobujú smrť zvierat.
Povzbudzujúce je, že Moskva je jedným z 94 zapojených miest v organizácii C40 a toto fórum sa koná už po tretíkrát, čo každý rok priťahuje pozornosť čoraz viac známych osobností a občanov.

Prvým sú segmenty, ktoré susedia s pravým uhlom, a prepona je najdlhšia časť obrázku a je umiestnená oproti uhlu 90 stupňov. Pytagorovský trojuholník je trojuholník, ktorého strany sa rovnajú prirodzeným číslam; ich dĺžky sa v tomto prípade nazývajú „pytagorejská trojica“.

egyptský trojuholník

Aby súčasná generácia spoznala geometriu v podobe, v akej sa teraz vyučuje v škole, vyvíjala sa niekoľko storočí. Za základný bod sa považuje Pytagorova veta. Strany obdĺžnika sú známe po celom svete) sú 3, 4, 5.

Len málo ľudí nepozná frázu „Pythagorejské nohavice sú si vo všetkých smeroch rovnaké“. V skutočnosti však veta znie takto: c 2 (druhá mocnina prepony) = a 2 + b 2 (súčet štvorcov nôh).

Medzi matematikmi sa trojuholník so stranami 3, 4, 5 (cm, m atď.) nazýva „egyptský“. Zaujímavosťou je, že to, čo je na obrázku vpísané, sa rovná jednej. Názov vznikol okolo 5. storočia pred Kristom, keď grécki filozofi cestovali do Egypta.

Pri stavbe pyramíd použili architekti a geodeti pomer 3:4:5. Takéto štruktúry sa ukázali byť proporcionálne, príjemné na pohľad a priestranné a tiež sa zriedka zrútili.

Na vytvorenie pravého uhla použili stavitelia lano s 12 uzlami. V tomto prípade sa pravdepodobnosť zostrojenia pravouhlého trojuholníka zvýšila na 95%.

Znaky rovnosti čísel

Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku a dlhá strana, ktoré sa rovnajú rovnakým prvkom v druhom trojuholníku, sú nesporným znakom rovnosti čísel. Ak vezmeme do úvahy súčet uhlov, je ľahké dokázať, že aj druhé ostré uhly sú rovnaké. Trojuholníky sú teda identické podľa druhého kritéria.
Pri ukladaní dvoch figúrok na seba ich otáčame tak, aby po spojení vznikol jeden rovnoramenný trojuholník. Podľa jeho vlastnosti sú strany, alebo skôr prepony, rovnaké, ako aj uhly na základni, čo znamená, že tieto čísla sú rovnaké.

Na základe prvého znaku je veľmi ľahké dokázať, že trojuholníky sú skutočne rovnaké, hlavné je, že dve menšie strany (t. j. nohy) sú si navzájom rovné.

Trojuholníky budú identické podľa druhého kritéria, ktorého podstatou je rovnosť nohy a ostrého uhla.

Vlastnosti trojuholníka s pravým uhlom

Výška, ktorá je znížená z pravého uhla, rozdeľuje postavu na dve rovnaké časti.

Strany pravouhlého trojuholníka a jeho stred sa dajú ľahko rozpoznať podľa pravidla: stredná hodnota, ktorá pripadá na preponu, sa rovná jej polovici. dá sa zistiť tak z Heronovho vzorca, ako aj z tvrdenia, že sa rovná polovici súčinu nôh.

V pravouhlom trojuholníku platia vlastnosti uhlov 30°, 45° a 60°.

Pri uhle 30° treba pamätať na to, že opačná noha sa bude rovnať 1/2 najväčšej strany.
Ak je uhol 45°, potom druhý ostrý uhol je tiež 45°. To naznačuje, že trojuholník je rovnoramenný a jeho nohy sú rovnaké.
Vlastnosťou uhla 60° je, že tretí uhol má mieru stupňa 30°.

Oblasť možno ľahko zistiť pomocou jedného z troch vzorcov:

cez výšku a stranu, na ktorej klesá;
podľa Heronovho vzorca;
na stranách a uhol medzi nimi.

Strany pravouhlého trojuholníka, alebo skôr nohy, sa zbiehajú s dvoma výškami. Aby sme našli tretí, je potrebné zvážiť výsledný trojuholník a potom pomocou Pytagorovej vety vypočítať požadovanú dĺžku. Okrem tohto vzorca existuje aj vzťah medzi dvojnásobnou plochou a dĺžkou prepony. Najbežnejší výraz medzi študentmi je prvý, pretože vyžaduje menej výpočtov.

Vety platné pre pravouhlý trojuholník

Geometria pravouhlého trojuholníka zahŕňa použitie viet, ako sú:

Stavba akejkoľvek strechy nie je taká jednoduchá, ako sa zdá. A ak chcete, aby bol spoľahlivý, odolný a nebál sa rôznych zaťažení, musíte najprv vo fáze návrhu urobiť veľa výpočtov. A budú zahŕňať nielen množstvo materiálov použitých na montáž, ale aj určenie uhlov sklonu, plôch sklonu atď. Ako správne vypočítať uhol sklonu strechy? Od tejto hodnoty budú do značnej miery závisieť zostávajúce parametre tohto dizajnu.

Návrh a konštrukcia akejkoľvek strechy je vždy veľmi dôležitou a zodpovednou záležitosťou. Najmä pokiaľ ide o strechu obytnej budovy alebo strechu so zložitým tvarom. Ale aj obyčajné naklonenie, inštalované na nepopísateľnom prístrešku alebo garáži, tiež potrebuje predbežné výpočty.

Ak si vopred neurčíte uhol sklonu strechy, nezistíte, aká by mala byť optimálna výška hrebeňa, potom je vysoké riziko výstavby strechy, ktorá sa po prvom snežení zrúti, prípadne celá konečný náter sa odtrhne aj pri miernom vetre.

Taktiež uhol strechy výrazne ovplyvní výšku hrebeňa, plochu a rozmery svahov. V závislosti od toho bude možné presnejšie vypočítať množstvo materiálov potrebných na vytvorenie krokvového systému a dokončovacie materiály.

Ceny za rôzne typy hrebeňových striech

Hrebeň zastrešenia

Jednotky

Pri spomienke na geometriu, ktorú každý študoval v škole, možno s istotou povedať, že uhol strechy sa meria v stupňoch. V knihách o stavbe, ako aj na rôznych výkresoch však nájdete inú možnosť - uhol je uvedený v percentách (tu máme na mysli pomer strán).

vo všeobecnosti Uhol sklonu je uhol, ktorý tvoria dve pretínajúce sa roviny– strop a samotný sklon strechy. Môže byť iba ostrý, to znamená ležať v rozmedzí 0-90 stupňov.

Na poznámku! Veľmi strmé svahy, ktorých uhol sklonu je viac ako 50 stupňov, sú v čistej forme mimoriadne zriedkavé. Zvyčajne sa používajú iba na dekoratívny dizajn striech, môžu byť prítomné v podkroví.

Pokiaľ ide o meranie uhlov strechy v stupňoch, všetko je jednoduché - každý, kto študoval geometriu v škole, má tieto znalosti. Stačí si na papier načrtnúť schému strechy a pomocou uhlomeru určiť uhol.

Čo sa týka percent, treba poznať výšku hrebeňa a šírku stavby. Prvý ukazovateľ sa vydelí druhým a výsledná hodnota sa vynásobí 100%. Týmto spôsobom je možné vypočítať percento.

Na poznámku! Pri percente 1 je typický stupeň sklonu 2,22 %. To znamená, že sklon s uhlom 45 bežných stupňov sa rovná 100%. A 1 percento je 27 oblúkových minút.

Tabuľka hodnôt - stupne, minúty, percentá

Aké faktory ovplyvňujú uhol sklonu?

Uhol sklonu akejkoľvek strechy je ovplyvnený veľmi veľkým počtom faktorov, počnúc želaniami budúceho majiteľa domu a končiac regiónom, kde sa dom bude nachádzať. Pri výpočte je dôležité vziať do úvahy všetky jemnosti, dokonca aj tie, ktoré sa na prvý pohľad zdajú zanedbateľné. Jedného dňa možno zohrajú svoju rolu. Určte vhodný uhol strechy tým, že budete vedieť:

druhy materiálov, z ktorých bude strešný koláč postavený, počnúc krokvovým systémom a končiac vonkajšou dekoráciou;
klimatické podmienky v danej oblasti (zaťaženie vetrom, prevládajúci smer vetra, množstvo zrážok atď.);
tvar budúcej budovy, jej výška, dizajn;
účel stavby, možnosti využitia podkrovného priestoru.

V tých regiónoch, kde je silné zaťaženie vetrom, sa odporúča postaviť strechu s jedným sklonom a miernym uhlom sklonu. Vtedy má strecha pri silnom vetre väčšiu šancu stáť a neodtrhnúť sa. Ak je región charakterizovaný veľkým množstvom zrážok (sneh alebo dážď), potom je lepšie urobiť svah strmší - to umožní, aby sa zrážky valili / odvádzali zo strechy a nevytvárali dodatočné zaťaženie. Optimálny sklon šikmej strechy vo veterných oblastiach sa pohybuje medzi 9-20 stupňami a tam, kde je veľa zrážok - až 60 stupňov. Uhol 45 stupňov vám umožní ignorovať zaťaženie snehom ako celok, ale v tomto prípade bude tlak vetra na strechu 5-krát väčší ako na streche so sklonom iba 11 stupňov.

Na poznámku! Čím väčšie sú parametre sklonu strechy, tým väčšie je množstvo materiálov potrebných na jej vytvorenie. Náklady sa zvýšia minimálne o 20 %.

Uhly sklonu a strešné materiály

Nielen klimatické podmienky budú mať výrazný vplyv na tvar a uhol svahov. Dôležitú úlohu zohrávajú aj materiály použité na stavbu, najmä strešné krytiny.

Tabuľka. Optimálne uhly sklonu pre strechy z rôznych materiálov.

Na poznámku! Čím nižší je sklon strechy, tým menší je sklon použitý pri vytváraní opláštenia.

Ceny za kovové dlaždice

Kovové dlaždice

Výška hrebeňa závisí aj od uhla sklonu

Pri výpočte akejkoľvek strechy sa ako referenčný bod vždy berie pravouhlý trojuholník, kde nohy sú výškou sklonu v hornom bode, to znamená pri hrebeni alebo prechode spodnej časti celého systému krokiev. do hornej časti (v prípade manzardové strechy), ako aj priemet dĺžky konkrétneho svahu na vodorovnú rovinu, ktorú predstavujú podlahy. Tu je len jedna konštantná hodnota - to je dĺžka strechy medzi dvoma stenami, to znamená dĺžka rozpätia. Výška hrebeňovej časti sa bude líšiť v závislosti od uhla sklonu.

Znalosť vzorcov z trigonometrie vám pomôže navrhnúť strechu: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LxtgA, S = H/sinA, kde A je uhol sklonu, H je výška strechy k oblasti hrebeňa, L je ½ celého rozpätia strechy (s sedlová strecha) alebo po celej dĺžke (v prípade šikmej strechy), S je dĺžka samotného sklonu. Napríklad, ak je známa presná hodnota výšky hrebeňovej časti, potom sa uhol sklonu určí pomocou prvého vzorca. Uhol môžete nájsť pomocou tabuľky dotyčníc. Ak sú výpočty založené na uhle strechy, potom parameter výšky hrebeňa možno nájsť pomocou tretieho vzorca. Dĺžka krokiev, ktorá má hodnotu uhla sklonu a parametre nôh, je možné vypočítať pomocou štvrtého vzorca.

Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak jeden z jeho uhlov je 90º. Strana oproti pravému uhlu sa nazýva prepona a ďalšie dve sa nazývajú nohy.

Na nájdenie uhla v pravouhlom trojuholníku sa používajú niektoré vlastnosti pravouhlých trojuholníkov, a to: súčet ostrých uhlov je 90º a tiež skutočnosť, že oproti nohe, ktorej dĺžka je polovica dĺžky prepony, leží uhol rovný 30°.

Rýchla navigácia v článku

Rovnoramenný trojuholník

Jednou z vlastností rovnoramenného trojuholníka je, že jeho dva uhly sú rovnaké. Ak chcete vypočítať uhly pravouhlého rovnoramenného trojuholníka, musíte vedieť, že:

Pravý uhol je 90°.
Hodnoty ostrých uhlov sú určené vzorcom: (180º-90º)/2=45º, t.j. uhly α a β sa rovnajú 45°.

Ak je známa veľkosť jedného z ostrých uhlov, druhý možno nájsť pomocou vzorca: β=180º-90º-α alebo α=180º-90º-β. Najčastejšie sa tento pomer používa, ak je jeden z uhlov 60º alebo 30º.

Kľúčové pojmy

Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°. Keďže jeden uhol je pravý, zvyšné dva budú ostré. Aby ste ich našli, musíte vedieť, že:

iné metódy

Hodnoty ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka je možné vypočítať tak, že poznáte hodnotu mediánu - čiary vedenej z vrcholu na opačnú stranu trojuholníka a výšky - priamky, ktorá je kolmicou. z pravého uhla k prepone. Nech s je medián nakreslený z pravého uhla do stredu prepony, h je výška. V tomto prípade sa ukazuje, že:

sin a=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
cos a=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sin a=h/b; sin β =h/a.

Dve strany

Ak sú v pravouhlom trojuholníku známe dĺžky prepony a jednej z nôh alebo dvoch strán, na nájdenie hodnôt ostrých uhlov sa použijú trigonometrické identity:

a = arcsín (a/c), p = arcsín (b/c).
a=arcos(b/c), p=arcos(a/c).
a=arctg(a/b), p=arctg(b/a).

Definícia trojuholníka

Trojuholník je geometrický útvar, ktorý je vytvorený ako výsledok priesečníka troch segmentov, ktorých konce neležia na rovnakej priamke. Každý trojuholník má tri strany, tri vrcholy a tri uhly.

Online kalkulačka

Existujú trojuholníky rôzne druhy. Napríklad existuje rovnostranný trojuholník(ten, v ktorom sú všetky strany rovnaké), rovnoramenný (v ňom sú dve strany rovnaké) a pravouhlý (v ktorom je jeden z uhlov rovný, t. j. rovný 90 stupňom).

Môžete nájsť oblasť trojuholníka rôzne cesty v závislosti od toho, aké prvky obrázku sú známe z podmienok úlohy, či už ide o uhly, dĺžky alebo dokonca polomery kružníc spojených s trojuholníkom. Pozrime sa na každú metódu samostatne s príkladmi.

Vzorec pre oblasť trojuholníka na základe jeho základne a výšky

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ⋅ a ⋅h,

A a a- základňa trojuholníka;
h h h- výška trojuholníka nakresleného k danej základni a.

Príklad

Nájdite plochu trojuholníka, ak je známa dĺžka jeho základne, ktorá sa rovná 10 (cm) a výška k tejto základni sa rovná 5 (cm).

Riešenie

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Nahradíme to do vzorca pre oblasť a dostaneme:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (pozri námestie)

odpoveď: 25 (cm štvorcových)

Vzorec pre oblasť trojuholníka založený na dĺžkach všetkých strán

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ,

A, b, c a, b, c a, b, c- dĺžky strán trojuholníka;
p p p- polovica súčtu všetkých strán trojuholníka (to znamená polovica obvodu trojuholníka):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 (a +b+c)

Tento vzorec sa nazýva Heronov vzorec.

Príklad

Nájdite obsah trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho troch strán, rovné 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Riešenie

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5

Nájdeme polovicu obvodu p p p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6

Potom podľa Heronovho vzorca je plocha trojuholníka:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (pozri námestie)

Odpoveď: 6 (pozri štvorec)

Vzorec pre oblasť trojuholníka s jednou stranou a dvoma uhlami

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 a 2 ⋅ hriech (β + γ)hriech β hriech γ ,

A a a- dĺžka strany trojuholníka;
β , γ \beta, \gama β , γ - uhly susediace so stranou a a a.

Príklad

Je daná strana trojuholníka rovná 10 (cm) a dva susedné uhly 30 stupňov. Nájdite oblasť trojuholníka.

Riešenie

A = 10 a = 10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Podľa vzorca:

S = 1 0 2 2 ⋅ hriech ⁡ 3 0 ∘ hriech ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=^\dok(2)(10) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\približne 14,4S=2 1 0 2 ⋅ hriech (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) hriech 3 0 ∘ hriech 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (pozri námestie)