Plocha základne valca cez priemer. Polomer valca, online výpočet

Valec je geometrické teleso ohraničené dvoma rovnobežnými rovinami a valcovou plochou. V článku budeme hovoriť o tom, ako nájsť oblasť valca a pomocou vzorca vyriešime niekoľko problémov ako príklad.

Valec má tri povrchy: horný, základný a bočný.

Horná a spodná časť valca sú kruhy a dajú sa ľahko identifikovať.

Je známe, že plocha kruhu sa rovná πr 2. Preto vzorec pre oblasť dvoch kruhov (horná a spodná časť valca) bude πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Tretí, bočný povrch valca, je zakrivená stena valca. Aby sme si tento povrch lepšie predstavili, skúsme ho transformovať, aby získal rozpoznateľný tvar. Predstavte si, že valec je obyčajná plechová dóza, ktorá nemá vrchné veko ani dno. Urobme zvislý rez na bočnej stene od vrchu po spodok plechovky (Krok 1 na obrázku) a snažme sa výslednú figúrku čo najviac otvoriť (narovnať) (Krok 2).

Po úplnom otvorení výslednej nádoby uvidíme známu postavu (krok 3), je to obdĺžnik. Plocha obdĺžnika sa dá ľahko vypočítať. Ešte predtým sa však na chvíľu vráťme k pôvodnému valcu. Vrchol pôvodného valca je kruh a vieme, že obvod sa vypočíta podľa vzorca: L = 2πr. Na obrázku je označený červenou farbou.

Keď je bočná stena valca úplne otvorená, vidíme, že obvod sa stáva dĺžkou výsledného obdĺžnika. Stranami tohto obdĺžnika bude obvod (L = 2πr) a výška valca (h). Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho strán - S = dĺžka x šírka = L x h = 2πr x h = 2πrh. V dôsledku toho sme dostali vzorec na výpočet plochy bočného povrchu valca.

Vzorec pre bočný povrch valca
S strana = 2πrh

Celková plocha valca

Nakoniec, ak spočítame plochu všetkých troch plôch, dostaneme vzorec pre celkovú plochu valca. Plocha povrchu valca sa rovná ploche hornej časti valca + plocha základne valca + plocha bočného povrchu valca alebo S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Niekedy sa tento výraz píše identicky so vzorcom 2πr (r + h).

Vzorec pre celkový povrch valca
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h)
r – polomer valca, h – výška valca

Príklady výpočtu povrchovej plochy valca

Aby sme pochopili vyššie uvedené vzorce, skúsme vypočítať povrch valca pomocou príkladov.

1. Polomer základne valca je 2, výška je 3. Určte plochu bočného povrchu valca.

Celková plocha sa vypočíta podľa vzorca: strana S. = 2πrh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočný povrch valca je 37,68.

2. Ako nájsť povrch valca, ak je výška 4 a polomer 6?

Celková plocha povrchu sa vypočíta podľa vzorca: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

Povrch valca je 376,8.

S valcom je spojené veľké množstvo problémov. V nich musíte nájsť polomer a výšku tela alebo typ jeho sekcie. Navyše niekedy musíte vypočítať plochu valca a jeho objem.

Ktoré teleso je valec?

V školských osnovách sa študuje kruhový valec, to znamená jeden na základni. Vyznačuje sa však aj elipsovitým vzhľadom tejto postavy. Už z názvu je jasné, že jeho základom bude elipsa alebo ovál.

Valec má dve základne. Sú si navzájom rovné a sú spojené segmentmi, ktoré kombinujú zodpovedajúce body základov. Nazývajú sa generátory valca. Všetky generátory sú navzájom paralelné a rovnaké. Tvoria bočný povrch tela.

Vo všeobecnosti je valec naklonené teleso. Ak generátory zvierajú so základňami pravý uhol, potom hovoríme o priamom obrazci.

Je zaujímavé, že kruhový valec je rotačné teleso. Získava sa otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.

Hlavné prvky valca

Hlavné prvky valca vyzerajú takto.

1. Výška. Je to najkratšia vzdialenosť medzi základňami valca. Ak je rovná, potom sa výška zhoduje s tvoriacou čiarou.
2. Polomer. Zhoduje sa s tým, ktorý sa dá nakresliť na základni.
3. Os. Toto je priamka, ktorá obsahuje stredy oboch základní. Os je vždy rovnobežná so všetkými generátormi. V priamom valci je kolmý na základne.
4. Axiálny rez. Vzniká, keď valec pretína rovinu obsahujúcu os.
5. Dotyková rovina. Prechádza jednou z tvoriacich čiar a je kolmá na osový rez, ktorý je pretiahnutý touto tvoriacou čiarou.

Ako je valec spojený s hranolom, ktorý je do neho vpísaný alebo popísaný okolo neho?

Niekedy existujú problémy, pri ktorých je potrebné vypočítať plochu valca, ale sú známe niektoré prvky súvisiaceho hranola. Ako spolu tieto čísla súvisia?

Ak je hranol vpísaný do valca, potom jeho základne sú rovnaké polygóny. Okrem toho sú vpísané do zodpovedajúcich základov valca. Bočné okraje hranola sa zhodujú s generátormi.

Opísaný hranol má na svojej základni pravidelné mnohouholníky. Sú popísané okolo kruhov valca, ktoré sú jeho základňami. Roviny, ktoré obsahujú plochy hranola, sa dotýkajú valca pozdĺž ich generátorov.

Na ploche bočnej plochy a základne pre pravý kruhový valec

Ak rozbalíte bočnú plochu, dostanete obdĺžnik. Jeho strany sa budú zhodovať s tvoriacou čiarou a obvodom základne. Preto bočná oblasť valec sa bude rovnať súčinu týchto dvoch veličín. Ak si vzorec zapíšete, dostanete nasledovné:

S strana = l * n,

kde n je generátor, l je obvod.

Okrem toho sa posledný parameter vypočíta podľa vzorca:

l = 2 π * r,

tu r je polomer kruhu, π je číslo „pi“ rovné 3,14.

Keďže základom je kruh, jeho plocha sa vypočíta pomocou nasledujúceho výrazu:

S main = π * r 2 .

Na ploche celého povrchu pravého kruhového valca

Keďže je tvorený dvoma základňami a bočnou plochou, musíte tieto tri množstvá pridať. To znamená, že celková plocha valca sa vypočíta podľa vzorca:

S poschodie = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Často sa píše v inej forme:

S poschodie = 2 π * r (n + r).

Na plochách nakloneného kruhového valca

Pokiaľ ide o základy, všetky vzorce sú rovnaké, pretože sú to stále kruhy. Ale bočný povrch už nedáva obdĺžnik.

Na výpočet plochy bočného povrchu nakloneného valca budete musieť vynásobiť hodnoty tvoriacej čiary a obvodu úseku, ktorý bude kolmý na vybranú tvoriacu čiaru.

Vzorec vyzerá takto:

Strana S = x * P,

kde x je dĺžka tvoriacej čiary valca, P je obvod rezu.

Mimochodom, je lepšie zvoliť časť tak, aby tvorila elipsu. Potom sa zjednodušia výpočty jeho obvodu. Dĺžka elipsy sa vypočíta pomocou vzorca, ktorý dáva približnú odpoveď. Na úlohy školského kurzu však často stačí:

l = π * (a + b),

kde „a“ a „b“ sú poloosi elipsy, to znamená vzdialenosť od stredu k jej najbližšiemu a najvzdialenejšiemu bodu.

Plocha celého povrchu sa musí vypočítať pomocou nasledujúceho výrazu:

S poschodie = 2 π * r 2 + x * R.

Aké sú niektoré časti pravého kruhového valca?

Keď úsek prechádza osou, jeho plocha je určená ako súčin tvoriacej čiary a priemeru základne. Vysvetľuje to skutočnosť, že má tvar obdĺžnika, ktorého strany sa zhodujú s určenými prvkami.

Ak chcete nájsť prierez valca, ktorý je rovnobežný s axiálnym, budete potrebovať aj vzorec pre obdĺžnik. V tejto situácii sa jedna z jej strán bude stále zhodovať s výškou a druhá sa bude rovnať tetive základne. Ten sa zhoduje s čiarou rezu pozdĺž základne.

Keď je rez kolmý na os, vyzerá ako kruh. Okrem toho je jeho plocha rovnaká ako plocha základne obrázku.

Je tiež možné pretínať sa v určitom uhle k osi. Potom je výsledkom prierezu ovál alebo jeho časť.

Vzorové problémy

Úloha č.1. Daný rovný valec, ktorého základná plocha je 12,56 cm2. Je potrebné vypočítať celkovú plochu valca, ak je jeho výška 3 cm.

Riešenie. Je potrebné použiť vzorec pre celkovú plochu kruhového rovného valca. Chýbajú mu ale údaje, konkrétne polomer základne. Ale oblasť kruhu je známa. Z toho je ľahké vypočítať polomer.

Ukázalo sa, že sa rovná druhej odmocnine kvocientu, ktorý sa získa vydelením plochy základne pi. Po vydelení 12,56 číslom 3,14 je výsledok 4. Druhá odmocnina zo 4 je 2. Preto bude mať polomer túto hodnotu.

Odpoveď: S podlaha = 50,24 cm2.

Úloha č.2. Valec s polomerom 5 cm je vyrezaný rovinou rovnobežnou s osou. Vzdialenosť od rezu k osi je 3 cm Výška valca je 4 cm Musíte nájsť plochu prierezu.

Riešenie. Tvar prierezu je obdĺžnikový. Jedna z jeho strán sa zhoduje s výškou valca a druhá sa rovná tetive. Ak je známe prvé množstvo, potom je potrebné nájsť druhé.

Na tento účel je potrebné vykonať dodatočnú konštrukciu. Na základni nakreslíme dva segmenty. Obaja začnú v strede kruhu. Prvý bude končiť v strede tetivy a bude sa rovnať známej vzdialenosti od osi. Druhý je na konci akordu.

Dostanete pravouhlý trojuholník. Je v nej známa prepona a jedna z nôh. Prepona sa zhoduje s polomerom. Druhá noha sa rovná polovici akordu. Neznáma noha vynásobená 2 poskytne požadovanú dĺžku akordu. Vypočítajme jeho hodnotu.

Aby ste našli neznámu nohu, budete musieť odmocniť preponu a známu nohu, odpočítať druhú od prvej a vziať druhú odmocninu. Štvorce sú 25 a 9. Ich rozdiel je 16. Po odmocnení zostáva 4. Toto je požadovaná noha.

Tetiva sa bude rovnať 4 * 2 = 8 (cm). Teraz môžete vypočítať plochu prierezu: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Odpoveď: S kríž sa rovná 32 cm2.

Úloha č.3. Je potrebné vypočítať axiálnu plochu prierezu valca. Je známe, že je v ňom vpísaná kocka s hranou 10 cm.

Riešenie. Osový rez valca sa zhoduje s obdĺžnikom, ktorý prechádza štyrmi vrcholmi kocky a obsahuje uhlopriečky jej podstav. Strana kocky je tvoriacou čiarou valca a uhlopriečka podstavy sa zhoduje s priemerom. Súčin týchto dvoch veličín dá oblasť, ktorú potrebujete v probléme zistiť.

Ak chcete zistiť priemer, budete musieť použiť poznatok, že základňa kocky je štvorec a jej uhlopriečka tvorí rovnostranný pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je požadovaná uhlopriečka obrazca.

Na jej výpočet budete potrebovať vzorec Pytagorovej vety. Musíte odmocniť stranu kocky, vynásobiť ju 2 a vziať druhú odmocninu. Desať na druhú mocninu je sto. Vynásobené 2 je dvesto. Druhá odmocnina z 200 je 10√2.

Rez je opäť obdĺžnik so stranami 10 a 10√2. Jeho plochu možno jednoducho vypočítať vynásobením týchto hodnôt.

Odpoveď. S prierez = 100√2 cm 2.

Valec je postava pozostávajúca z valcovej plochy a dvoch rovnobežne umiestnených kruhov. Výpočet plochy valca je problém v geometrickom odvetví matematiky, ktorý sa dá vyriešiť celkom jednoducho. Na jeho riešenie existuje niekoľko metód, ktoré sa nakoniec vždy zídu na jeden vzorec.

Ako nájsť plochu valca - pravidlá výpočtu

• Ak chcete zistiť plochu valca, musíte pridať dve oblasti základne k ploche bočného povrchu: S = Sside + 2Sbase. V podrobnejšej verzii tento vzorec vyzerá takto: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Bočný povrch daného geometrického telesa možno vypočítať, ak je známa jeho výška a polomer kruhu ležiaceho na jeho základni. V tomto prípade môžete vyjadriť polomer z obvodu, ak je daný. Výšku je možné zistiť, ak je v podmienke uvedená hodnota generátora. V tomto prípade sa tvoriaca čiara bude rovnať výške. Vzorec pre bočný povrch tohto telesa vyzerá takto: S= 2 π rh.
• Plocha základne sa vypočíta pomocou vzorca na nájdenie plochy kruhu: S osn= π r 2 . Pri niektorých problémoch nemusí byť daný polomer, ale obvod môže byť daný. Pomocou tohto vzorca je polomer vyjadrený pomerne jednoducho. С=2π r, r= С/2π. Musíte tiež pamätať na to, že polomer je polovica priemeru.
• Pri vykonávaní všetkých týchto výpočtov sa číslo π zvyčajne neprekladá na 3,14159... Len ho treba pridať vedľa číselnej hodnoty, ktorá bola získaná ako výsledok výpočtov.
• Ďalej stačí vynásobiť nájdenú plochu základne 2 a k výslednému číslu pridať vypočítanú plochu bočného povrchu obrázku.
• Ak problém naznačuje, že valec má axiálny prierez a že ide o obdĺžnik, riešenie bude mierne odlišné. V tomto prípade bude šírka obdĺžnika priemer kruhu ležiaceho na spodnej časti tela. Dĺžka obrázku sa bude rovnať tvoriacej čiare alebo výške valca. Je potrebné vypočítať požadované hodnoty a nahradiť ich do už známeho vzorca. V tomto prípade musí byť šírka obdĺžnika rozdelená na dve, aby sa našla plocha základne. Na nájdenie bočného povrchu sa dĺžka vynásobí dvoma polomermi a číslom π.
• Môžete vypočítať plochu daného geometrického telesa prostredníctvom jeho objemu. K tomu je potrebné odvodiť chýbajúcu hodnotu zo vzorca V=π r 2 h.
• Pri výpočte plochy valca nie je nič zložité. Musíte len poznať vzorce a vedieť z nich odvodiť množstvá potrebné na vykonanie výpočtov.

Pri štúdiu stereometrie je jednou z hlavných tém „Valec“. Oblasť bočného povrchu sa považuje, ak nie za hlavnú, potom za dôležitý vzorec pri riešení geometrických problémov. Dôležité je však zapamätať si definície, ktoré vám pomôžu orientovať sa v príkladoch a pri dokazovaní rôznych teorémov.

Koncept valca

Najprv je potrebné zvážiť niekoľko definícií. Až po ich preštudovaní môžeme začať uvažovať o otázke vzorca pre oblasť bočného povrchu valca. Na základe tohto záznamu je možné vypočítať ďalšie výrazy.

• Valcový povrch sa chápe ako rovina opísaná tvoriacou čiarou, ktorá sa pohybuje a zostáva rovnobežná s daným smerom, pričom sa posúva pozdĺž existujúcej krivky.
• Existuje aj druhá definícia: valcová plocha je tvorená sústavou rovnobežných čiar pretínajúcich danú krivku.
• Tvoriaca čiara sa bežne nazýva výška valca. Keď sa pohybuje okolo osi prechádzajúcej stredom základne, získa sa naznačené geometrické teleso.
• Osou rozumieme priamku prechádzajúcu oboma základňami obrazca.
• Valec je stereometrické teleso ohraničené pretínajúcou sa bočnou plochou a dvoma rovnobežnými rovinami.

Existujú odrody tohto objemového čísla:

1. Kruhom rozumieme valec, ktorého vedením je kruh. Jeho hlavnými komponentmi sú polomer základne a tvoriaca čiara. Ten sa rovná výške postavy.
2. Je tam rovný valec. Svoj názov dostal vďaka kolmosti formujúcej sa figúry k základniam.
3. Tretím typom je skosený valec. V učebniciach preň nájdete iný názov: „kruhový valec so skosenou základňou“. Tento údaj je určený polomerom základne, minimálnou a maximálnou výškou.
4. Rovnostranným valcom sa rozumie teleso, ktoré má rovnakú výšku a priemer v kruhovej rovine.

Legenda

Tradične sa hlavné „komponenty“ valca nazývajú takto:

• Polomer základne je R (nahrádza tiež podobnú hodnotu stereometrického obrazca).
• Generátor - L.
• Výška - H.
• Plocha základne je základňa S (inými slovami, je potrebné nájsť zadaný parameter kruhu).
• Výšky skoseného valca sú h 1 , h 2 (minimum a maximum).
• Bočná plocha je na strane S (ak ju rozložíte, získate akýsi obdĺžnik).
• Objem stereometrického útvaru je V.
• Celková plocha - S.

"Súčasti" stereometrického obrazca

Pri štúdiu valca hrá dôležitú úlohu bočná plocha. Je to spôsobené tým, že tento vzorec je zahrnutý v niekoľkých ďalších, zložitejších. Preto je potrebné sa dobre orientovať v teórii.

Hlavné zložky obrázku sú:

1. Bočný povrch. Ako je známe, získava sa v dôsledku pohybu tvoriacej čiary pozdĺž danej krivky.
2. Kompletný povrch zahŕňa existujúce základne a bočnú rovinu.
3. Prierez valca je spravidla obdĺžnik umiestnený rovnobežne s osou obrázku. Inak sa tomu hovorí rovina. Ukazuje sa, že dĺžka a šírka sú tiež súčasťami iných postáv. Takže, konvenčne, dĺžky sekcie sú generátory. Šírka - rovnobežné akordy stereometrickej figúry.
4. Osovým rezom rozumieme umiestnenie roviny cez stred telesa.
5. A na záver posledná definícia. Tangenta je rovina prechádzajúca cez tvoriacu čiaru valca a umiestnená v pravom uhle k axiálnemu rezu. V tomto prípade musí byť splnená jedna podmienka. Špecifikovaná tvoriaca čiara musí byť zahrnutá v rovine osového rezu.

Základné vzorce pre prácu s valcom

Na zodpovedanie otázky, ako nájsť povrch valca, je potrebné študovať hlavné „komponenty“ stereometrického obrazca a vzorce na ich nájdenie.

Tieto vzorce sa líšia v tom, že prvé výrazy sú uvedené pre skosený valec a potom pre rovný.

Príklady s rozloženým riešením

Je potrebné zistiť plochu bočného povrchu valca. Je daná uhlopriečka rezu AC = 8 cm (a je osová). Pri kontakte s generatrix sa ukáže< ACD = 30°

Riešenie. Keďže hodnoty uhlopriečky a uhla sú známe, potom v tomto prípade:

• CD = AC*cos 30°.

Komentár. Trojuholník ACD je v konkrétnom príklade obdĺžnikový. To znamená, že kvocient CD a AC = kosínus existujúceho uhla. Význam goniometrických funkcií nájdete v špeciálnej tabuľke.

Podobne môžete nájsť hodnotu AD:

• AD = AC*sin 30°

Teraz musíte vypočítať požadovaný výsledok pomocou nasledujúcej formulácie: plocha bočného povrchu valca sa rovná dvojnásobku výsledku vynásobenia „pi“, polomeru čísla a jeho výšky. Mal by sa použiť iný vzorec: plocha základne valca. Rovná sa výsledku vynásobenia „pí“ druhou mocninou polomeru. A nakoniec posledný vzorec: celková plocha povrchu. Rovná sa súčtu predchádzajúcich dvoch oblastí.

Valce sú dané. Ich objem = 128*p cm³. Ktorý valec má najmenší celkový povrch?

Riešenie. Najprv musíte použiť vzorce na zistenie objemu postavy a jej výšky.

Keďže celkový povrch valca je známy z teórie, je potrebné použiť jeho vzorec.

Ak vezmeme do úvahy výsledný vzorec ako funkciu plochy valca, minimálny „ukazovateľ“ sa dosiahne v extrémnom bode. Ak chcete získať poslednú hodnotu, musíte použiť diferenciáciu.

Vzorce je možné zobraziť v špeciálnej tabuľke na hľadanie derivátov. Následne sa nájdený výsledok vyrovná nule a nájde sa riešenie rovnice.

Odpoveď: S min sa dosiahne pri h = 1/32 cm, R = 64 cm.

Je uvedený stereometrický obrazec - valec a rez. Ten sa vykonáva tak, že je umiestnený rovnobežne s osou stereometrického telesa. Valec má tieto parametre: VK = 17 cm, v = 15 cm, R = 5 cm Je potrebné nájsť vzdialenosť medzi rezom a osou.

Keďže prierezom valca sa rozumie VSKM, t.j. obdĺžnik, jeho strana BM = h. Je potrebné zvážiť VMC. Trojuholník je pravouhlý trojuholník. Na základe tohto tvrdenia môžeme odvodiť správny predpoklad, že MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

Z toho môžeme usúdiť, že MK = BC = 8 cm.

Ďalším krokom je nakreslenie rezu základňou obrázku. Je potrebné zvážiť výslednú rovinu.

AD je priemer stereometrického útvaru. Je paralelná s časťou uvedenou vo vyhlásení o probléme.

BC je priamka umiestnená v rovine existujúceho obdĺžnika.

ABCD - lichobežník. V tomto konkrétnom prípade sa považuje za rovnoramenný, pretože je okolo neho opísaný kruh.

Ak nájdete výšku výsledného lichobežníka, môžete získať odpoveď uvedenú na začiatku úlohy. A to: zistenie vzdialenosti medzi osou a nakresleným rezom.

Aby ste to dosiahli, musíte nájsť hodnoty AD a OS.

Odpoveď: úsek je umiestnený 3 cm od osi.

Úlohy na upevnenie materiálu

Daný valec. V následnom riešení sa použije plocha bočného povrchu. Ďalšie parametre sú známe. Základná plocha je Q, axiálna prierezová plocha je M. Je potrebné nájsť S. Inými slovami, celková plocha valca.

Daný valec. Oblasť bočného povrchu sa musí nájsť v jednom z krokov riešenia problému. Je známe, že výška = 4 cm, polomer = 2 cm. Je potrebné nájsť celkovú plochu stereometrického obrazca.

Názov vedy „geometria“ sa prekladá ako „meranie zeme“. Vznikol vďaka úsiliu úplne prvých starovekých správcov pôdy. A stalo sa to takto: počas záplav posvätného Nílu prúdy vody niekedy zmyli hranice pozemkov farmárov a nové hranice sa nemuseli zhodovať so starými. Dane platili roľníci do pokladnice faraóna v pomere k veľkosti pridelenej pôdy. Špeciálni ľudia boli zapojení do merania plôch ornej pôdy v rámci nových hraníc po úniku. V dôsledku ich aktivít vznikla nová veda, ktorá sa rozvíjala v starovekom Grécku. Tam dostal svoje meno a prakticky získal moderný vzhľad. Následne sa tento termín stal medzinárodným názvom pre vedu o plochých a trojrozmerných postavách.

Planimetria je odvetvie geometrie zaoberajúce sa štúdiom ploché postavy. Ďalším vedným odborom je stereometria, ktorá skúma vlastnosti priestorových (objemových) útvarov. Medzi takéto figúrky patrí ten, ktorý je opísaný v tomto článku - valec.

Existuje veľa príkladov prítomnosti valcových predmetov v každodennom živote. Takmer všetky rotujúce časti - hriadele, puzdrá, čapy, nápravy atď. - majú valcový (oveľa menej často - kužeľový) tvar. Valec je tiež široko používaný v stavebníctve: veže, nosné stĺpy, ozdobné stĺpy. A tiež riad, niektoré druhy obalov, rúry rôznych priemerov. A nakoniec - slávne klobúky, ktoré sa už dávno stali symbolom mužskej elegancie. Zoznam pokračuje ďalej a ďalej.

Definícia valca ako geometrického útvaru

Valec (kruhový valec) sa zvyčajne nazýva postava pozostávajúca z dvoch kruhov, ktoré sa v prípade potreby kombinujú pomocou paralelného prekladu. Tieto kruhy sú základňami valca. Ale čiary (priame segmenty) spájajúce zodpovedajúce body sa nazývajú „generátory“.

Je dôležité, aby základne valca boli vždy rovnaké (ak nie je splnená táto podmienka, potom máme zrezaný kužeľ, niečo iné, ale nie valec) a boli v rovnobežných rovinách. Segmenty spájajúce zodpovedajúce body na kruhoch sú rovnobežné a rovnaké.

Súbor nekonečného počtu tvarovacích prvkov nie je nič iné ako bočný povrch valca - jeden z prvkov daného geometrického útvaru. Jeho ďalšou dôležitou súčasťou sú vyššie diskutované kruhy. Nazývajú sa základne.

Typy valcov

Najjednoduchší a najbežnejší typ valca je kruhový. Tvoria ho dva pravidelné kruhy slúžiace ako základne. Ale namiesto nich môžu byť iné postavy.

Základy valcov môžu tvoriť (okrem kruhov) elipsy a iné uzavreté obrazce. Valec však nemusí mať nevyhnutne uzavretý tvar. Základom valca môže byť napríklad parabola, hyperbola alebo iná otvorená funkcia. Takýto valec bude otvorený alebo nasadený.

Podľa uhla sklonu valcov tvoriacich základňu môžu byť rovné alebo šikmé. Pre rovný valec sú tvoriace čiary striktne kolmé na rovinu základne. Ak je tento uhol odlišný od 90°, valec je naklonený.

Čo je povrch revolúcie

Priamy kruhový valec je bezpochyby najbežnejšou rotačnou plochou používanou v strojárstve. Niekedy sa z technických dôvodov používajú kužeľové, guľové a niektoré iné typy povrchov, ale 99% všetkých rotačných hriadeľov, osí atď. sú vyrobené vo forme valcov. Aby sme lepšie pochopili, čo je rotačná plocha, môžeme zvážiť, ako je vytvorený samotný valec.

Povedzme, že existuje určitá priamka a, umiestnený vertikálne. ABCD je obdĺžnik, ktorého jedna strana (segment AB) leží na priamke a. Ak otočíme obdĺžnik okolo priamky, ako je znázornené na obrázku, objem, ktorý pri otáčaní zaberie, bude naše rotačné teleso - pravý kruhový valec s výškou H = AB = DC a polomerom R = AD = BC.

V tomto prípade sa v dôsledku otáčania obrázku - obdĺžnika - získa valec. Otáčaním trojuholníka môžete získať kužeľ, otáčaním polkruhu - guľu atď.

Povrch valca

Na výpočet plochy obyčajného pravého kruhového valca je potrebné vypočítať plochy základne a bočných plôch.

Najprv sa pozrime na to, ako sa vypočíta plocha bočného povrchu. Je to súčin obvodu valca a výšky valca. Obvod sa zasa rovná dvojnásobku súčinu univerzálneho čísla P podľa polomeru kruhu.

Je známe, že plocha kruhu sa rovná produktu P na štvorcový polomer. Takže pridaním vzorcov pre oblasť určenia bočného povrchu s dvojitým výrazom pre oblasť základne (sú dve) a vykonaním jednoduchých algebraických transformácií získame konečný výraz na určenie povrchu plocha valca.

Určenie objemu postavy

Objem valca sa určuje podľa štandardnej schémy: plocha základne sa vynásobí výškou.

Výsledný vzorec teda vyzerá takto: požadovaná hodnota je definovaná ako súčin výšky tela univerzálnym číslom P a druhou mocninou polomeru základne.

Výsledný vzorec, treba povedať, je použiteľný na riešenie najneočakávanejších problémov. Rovnakým spôsobom ako objem valca sa určuje napríklad objem elektrického vedenia. To môže byť potrebné na výpočet hmotnosti drôtov.

Jediný rozdiel vo vzorci je v tom, že namiesto polomeru jedného valca je priemer prameňa vodiča rozdelený na polovicu a počet prameňov vodiča sa objavuje vo výraze N. Tiež namiesto výšky sa používa dĺžka drôtu. Týmto spôsobom sa objem „valca“ vypočíta nielen jedným, ale aj počtom drôtov v opletení.

Takéto výpočty sa v praxi často vyžadujú. Koniec koncov, významná časť nádob na vodu je vyrobená vo forme potrubia. A často je potrebné vypočítať objem valca aj v domácnosti.

Ako však už bolo spomenuté, tvar valca môže byť odlišný. A v niektorých prípadoch je potrebné vypočítať, aký je objem nakloneného valca.

Rozdiel je v tom, že povrchová plocha základne sa nenásobí dĺžkou tvoriacej čiary, ako v prípade priameho valca, ale vzdialenosťou medzi rovinami - kolmým segmentom vytvoreným medzi nimi.

Ako je zrejmé z obrázku, takýto segment sa rovná súčinu dĺžky tvoriacej priamky a sínusu uhla sklonu tvoriacej priamky k rovine.

Ako postaviť vývoj valca

V niektorých prípadoch je potrebné vyrezať valec. Na obrázku nižšie sú uvedené pravidlá, podľa ktorých je polotovar skonštruovaný na výrobu valca s danou výškou a priemerom.

Upozorňujeme, že kresba je zobrazená bez švov.

Rozdiely medzi skoseným valcom

Predstavme si istý rovný valec, ohraničený na jednej strane rovinou kolmou na generátory. Ale rovina ohraničujúca valec na druhej strane nie je kolmá na generátory a nie je rovnobežná s prvou rovinou.

Na obrázku je znázornený skosený valec. Lietadlo A v určitom uhle, odlišnom od 90° ku generátorom, pretína obrazec.

Tento geometrický tvar sa v praxi častejšie vyskytuje vo forme potrubných spojov (kolená). Existujú však aj budovy postavené vo forme skoseného valca.

Geometrické charakteristiky skoseného valca

Naklonenie jednej z rovín skoseného valca mierne mení postup výpočtu plochy povrchu takejto postavy a jej objemu.