Ako nájsť základňu pravidelnej štvorhrannej pyramídy. Ako vypočítať plochu pyramídy: základňu, stranu a celkovú
Inštrukcie
V prvom rade je potrebné pochopiť, že bočný povrch pyramídy predstavuje niekoľko trojuholníkov, ktorých oblasti možno nájsť pomocou rôznych vzorcov v závislosti od známych údajov:
S = (a*h)/2, kde h je výška znížená na stranu a;
S = a*b*sinβ, kde a, b sú strany trojuholníka a β je uhol medzi týmito stranami;
S = (r*(a + b + c))/2, kde a, b, c sú strany trojuholníka a r je polomer kružnice vpísanej do tohto trojuholníka;
S = (a*b*c)/4*R, kde R je polomer trojuholníka opísaného kružnici;
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (ak je trojuholník pravouhlý);
S = S = (a²*√3)/4 (ak je trojuholník rovnostranný).
V skutočnosti sú to len najzákladnejšie známe vzorce na nájdenie oblasti trojuholníka.
Po vypočítaní plôch všetkých trojuholníkov, ktoré sú stranami pyramídy pomocou vyššie uvedených vzorcov, môžete začať počítať plochu tejto pyramídy. To sa robí veľmi jednoducho: musíte spočítať plochy všetkých trojuholníkov, ktoré tvoria bočný povrch pyramídy. Dá sa to vyjadriť vzorcom:
Sp = ΣSi, kde Sp je plocha bočnej plochy, Si je plocha i-tého trojuholníka, ktorý je súčasťou jeho bočnej plochy.
Pre väčšiu prehľadnosť môžeme zvážiť malý príklad: daná pravidelná pyramída, ktorej bočné strany sú tvorené rovnostrannými trojuholníkmi a na jej základni leží štvorec. Dĺžka okraja tejto pyramídy je 17 cm. Je potrebné nájsť plochu bočného povrchu tejto pyramídy.
Riešenie: dĺžka okraja tejto pyramídy je známa, je známe, že jej steny sú rovnostranné trojuholníky. Môžeme teda povedať, že všetky strany všetkých trojuholníkov na bočnom povrchu sa rovnajú 17 cm. Preto, aby ste mohli vypočítať plochu ktoréhokoľvek z týchto trojuholníkov, budete musieť použiť vzorec:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Je známe, že na základni pyramídy leží štvorec. Je teda jasné, že sú dané štyri rovnostranné trojuholníky. Potom sa plocha bočného povrchu pyramídy vypočíta takto:
125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Odpoveď: Bočný povrch pyramídy je 500,548 cm²
Najprv vypočítajme plochu bočného povrchu pyramídy. Bočná plocha je súčtom plôch všetkých bočných plôch. Ak máte čo do činenia s pravidelnou pyramídou (teda takou, ktorá má na svojej základni pravidelný mnohouholník a vrchol sa premieta do stredu tohto mnohouholníka), potom na výpočet celej bočnej plochy stačí vynásobiť obvod základňu (čiže súčet dĺžok všetkých strán mnohouholníka ležiaceho pri základnom ihlane) výškou bočnej plochy (inak nazývanej apotém) a výslednú hodnotu vydelíme 2: Sb = 1/2P* h, kde Sb je plocha bočného povrchu, P je obvod základne, h je výška bočnej plochy (apotém).
Ak máte pred sebou ľubovoľnú pyramídu, budete musieť samostatne vypočítať plochy všetkých tvárí a potom ich sčítať. Pretože bočné strany pyramídy sú trojuholníky, použite vzorec pre oblasť trojuholníka: S=1/2b*h, kde b je základňa trojuholníka a h je výška. Keď sú vypočítané plochy všetkých plôch, zostáva ich len sčítať, aby sme získali plochu bočného povrchu pyramídy.
Potom musíte vypočítať plochu základne pyramídy. Výber vzorca na výpočet závisí od toho, ktorý polygón leží na základni pyramídy: pravidelný (to znamená jeden so všetkými stranami rovnakej dĺžky) alebo nepravidelný. Plochu pravidelného mnohouholníka možno vypočítať vynásobením obvodu polomerom kružnice vpísanej do mnohouholníka a vydelením výslednej hodnoty 2: Sn = 1/2P*r, kde Sn je plocha mnohouholník, P je obvod a r je polomer kružnice vpísanej do mnohouholníka .
Zrezaný ihlan je mnohosten, ktorý je tvorený ihlanom a jeho prierez je rovnobežný so základňou. Nájsť bočnú plochu pyramídy nie je vôbec ťažké. Je to veľmi jednoduché: plocha sa rovná súčinu polovice súčtu základov podľa . Zoberme si príklad výpočtu plochy bočného povrchu. Predpokladajme, že máme pravidelnú pyramídu. Dĺžky základne sú b = 5 cm, c = 3 cm. Apotém a = 4 cm. Aby ste našli plochu bočného povrchu pyramídy, musíte najskôr nájsť obvod základne. Vo veľkej základni sa bude rovnať p1=4b=4*5=20 cm. V menšej základni bude vzorec takýto: p2=4c=4*3=12 cm. Preto sa plocha bude rovnať : s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 cm.
Trojuholníková pyramída je mnohosten, ktorého základňou je pravidelný trojuholník.
V takejto pyramíde sú okraje základne a okraje strán navzájom rovnaké. V súlade s tým sa plocha bočných plôch zistí zo súčtu plôch troch identických trojuholníkov. Bočný povrch pravidelnej pyramídy nájdete pomocou vzorca. A výpočet môžete vykonať niekoľkokrát rýchlejšie. Aby ste to dosiahli, musíte použiť vzorec pre oblasť bočného povrchu trojuholníkovej pyramídy:
kde p je obvod základne, ktorej všetky strany sa rovnajú b, a je apotém znížený zhora na túto základňu. Uvažujme o príklade výpočtu plochy trojuholníkovej pyramídy.
Problém: Nech je daná pravidelná pyramída. Strana trojuholníka pri základni je b = 4 cm. Apotém pyramídy je a = 7 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Keďže podľa podmienok úlohy poznáme dĺžky všetkých potrebných prvkov, nájdeme obvod. Pamätáme si, že v pravidelnom trojuholníku sú všetky strany rovnaké, a preto sa obvod vypočíta podľa vzorca:
Nahradíme dáta a nájdeme hodnotu:
Teraz, keď poznáme obvod, môžeme vypočítať plochu bočného povrchu: 
Ak chcete použiť vzorec pre oblasť trojuholníkovej pyramídy na výpočet plnej hodnoty, musíte nájsť oblasť základne mnohostenu. Ak to chcete urobiť, použite vzorec: 
Vzorec pre oblasť základne trojuholníkovej pyramídy môže byť odlišný. Pre daný údaj je možné použiť ľubovoľný výpočet parametrov, ale najčastejšie sa to nevyžaduje. Uvažujme o príklade výpočtu plochy základne trojuholníkovej pyramídy.
Problém: V pravidelnej pyramíde je strana trojuholníka na základni a = 6 cm. Vypočítajte plochu základne.
Na výpočet potrebujeme iba dĺžku strany pravidelného trojuholníka umiestneného na základni pyramídy. Dosadíme údaje do vzorca: 
Pomerne často musíte nájsť celkovú plochu mnohostenu. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať plochu bočného povrchu a základne. 
Uvažujme o príklade výpočtu plochy trojuholníkovej pyramídy.
Problém: Nech je daná pravidelná trojuholníková pyramída. Základná strana je b = 4 cm, apotém je a = 6 cm. Nájdite celkovú plochu pyramídy.
Najprv nájdime plochu bočného povrchu pomocou už známeho vzorca. Vypočítajme obvod:
Doplňte údaje do vzorca: 
Teraz nájdime oblasť základne: 
Keď poznáme plochu základne a bočného povrchu, nájdeme celkovú plochu pyramídy: 
Pri výpočte plochy pravidelnej pyramídy by ste nemali zabúdať, že základňa je pravidelný trojuholník a mnohé prvky tohto mnohostenu sú si navzájom rovné.
Povrchová plocha pyramídy. V tomto článku sa pozrieme na problémy s pravidelnými pyramídami. Pripomínam, že pravidelná pyramída je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník, vrchol pyramídy sa premieta do stredu tohto mnohouholníka.
Bočná strana takejto pyramídy je rovnoramenný trojuholník.Nadmorská výška tohto trojuholníka nakresleného od vrcholu pravidelnej pyramídy sa nazýva apotém, SF - apotém:
V nižšie uvedenom type problému musíte nájsť plochu celej pyramídy alebo plochu jej bočného povrchu. Na blogu sa už rozoberalo niekoľko problémov s pravidelnými pyramídami, kde bola otázka o hľadaní prvkov (výška, hrana základne, bočná hrana).
Úlohy jednotnej štátnej skúšky zvyčajne skúmajú pravidelné trojuholníkové, štvoruholníkové a šesťuholníkové pyramídy. Nevidel som žiadne problémy s pravidelnými päťuholníkovými a sedemuholníkovými pyramídami.
Vzorec pre plochu celého povrchu je jednoduchý - musíte nájsť súčet plochy základne pyramídy a plochy jej bočného povrchu:
Zoberme si úlohy:
Strany základne pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy sú 72, bočné hrany sú 164. Nájdite povrchovú plochu tejto pyramídy.
Plocha pyramídy sa rovná súčtu plôch bočnej plochy a základne:
*Bočná plocha pozostáva zo štyroch trojuholníkov rovnakej plochy. Základňa pyramídy je štvorec.
Plochu strany pyramídy môžeme vypočítať pomocou:
Povrch pyramídy je teda:
Odpoveď: 28224
Strany základne pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy sa rovnajú 22, bočné hrany sa rovnajú 61. Nájdite bočnú plochu tejto pyramídy.
Základom pravidelného šesťhranného ihlana je pravidelný šesťuholník.
Bočný povrch tejto pyramídy pozostáva zo šiestich oblastí rovnakých trojuholníkov so stranami 61, 61 a 22:
Nájdite oblasť trojuholníka pomocou Heronovho vzorca:
Bočný povrch je teda:
Odpoveď: 3240
*V problémoch uvedených vyššie je možné nájsť oblasť bočnej plochy pomocou iného trojuholníkového vzorca, ale na to musíte vypočítať apotém.
27155. Nájdite povrch pravidelnej štvorhrannej pyramídy, ktorej strany základne sú 6 a výška je 4.
Aby sme našli plochu pyramídy, potrebujeme poznať plochu základne a plochu bočnej plochy:
Plocha základne je 36, pretože je to štvorec so stranou 6.
Bočná plocha pozostáva zo štyroch plôch, ktoré sú rovnakými trojuholníkmi. Aby ste našli oblasť takéhoto trojuholníka, musíte poznať jeho základňu a výšku (apotém):
* Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu základne a výšky k tejto základni.
Základ je známy, rovná sa šiestim. Nájdeme výšku. Zvážte pravouhlý trojuholník (zvýraznený žltou farbou):
Jedna noha sa rovná 4, pretože toto je výška pyramídy, druhá sa rovná 3, pretože sa rovná polovici okraja základne. Preponu môžeme nájsť pomocou Pytagorovej vety:
To znamená, že plocha bočného povrchu pyramídy je:
Plocha celej pyramídy je teda:
odpoveď: 96
27069. Strany základne pravidelnej štvorhrannej pyramídy sa rovnajú 10, bočné hrany sa rovnajú 13. Nájdite plochu tejto pyramídy.
27070. Strany základne pravidelnej šesťhrannej pyramídy sa rovnajú 10, bočné hrany sa rovnajú 13. Nájdite bočnú plochu tejto pyramídy.
Existujú aj vzorce pre bočný povrch pravidelnej pyramídy. V pravidelnej pyramíde je základňa ortogonálnym priemetom bočného povrchu, preto:
P- obvod základne, l- apotéma pyramídy
*Tento vzorec je založený na vzorci pre oblasť trojuholníka.
Ak sa chcete dozvedieť viac o tom, ako sú tieto vzorce odvodené, nenechajte si to ujsť, sledujte publikovanie článkov.To je všetko. Veľa šťastia!
S pozdravom Alexander Krutitskikh.
P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Definícia. Bočný okraj- je to trojuholník, v ktorom jeden uhol leží na vrchole pyramídy a opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).
Definícia. Bočné rebrá- to sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán, koľko uhlov má mnohouholník.
Definícia. Výška pyramídy- toto je kolmica spustená zhora k základni pyramídy.
Definícia. Apothem- je to kolmica na bočnú plochu pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.
Definícia. Diagonálny rez- je to rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou podstavy.
Definícia. Správna pyramída je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník a výška klesá do stredu základne.
Objem a povrch pyramídy
Vzorec. Objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:
Vlastnosti pyramídy
Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom je možné okolo základne pyramídy nakresliť kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruhu).
Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom sú naklonené k rovine základne v rovnakých uhloch.
Bočné hrany sú rovnaké, keď zvierajú rovnaké uhly s rovinou základne alebo ak je možné okolo základne pyramídy opísať kruh.
Ak sú bočné steny naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, potom je možné do základne pyramídy vpísať kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.
Ak sú bočné plochy naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.
Vlastnosti pravidelnej pyramídy
1. Vrch pyramídy je rovnako vzdialený od všetkých rohov základne.
2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.
3. Všetky bočné rebrá sú naklonené v rovnakých uhloch k základni.
4. Apotémy všetkých bočných stien sú rovnaké.
5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.
6. Všetky plochy majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.
7. Okolo pyramídy možno opísať guľu. Stred opísanej gule bude priesečníkom kolmic, ktoré prechádzajú stredom hrán.
8. Do pyramídy môžete vložiť guľu. Stred vpísanej gule bude priesečníkom priesečníkov vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.
9. Ak sa stred vpísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom sa súčet rovinných uhlov vo vrchole rovná π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π/n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.
Spojenie medzi pyramídou a guľou
Okolo pyramídy možno opísať guľu, keď na základni pyramídy je mnohosten, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo cez stredy bočných hrán pyramídy.
Vždy je možné opísať guľu okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.
Guľa môže byť vpísaná do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v jednom bode (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Tento bod bude stredom gule.
Spojenie pyramídy s kužeľom
Kužeľ sa hovorí, že je vpísaný do pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.
Kužeľ môže byť vpísaný do pyramídy, ak sú apotémy pyramídy navzájom rovnaké.
Kužeľ je opísaný okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je opísaná okolo základne pyramídy.
Kužeľ môže byť opísaný okolo pyramídy, ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké.
Vzťah medzi pyramídou a valcom
Pyramída sa nazýva vpísaná do valca, ak vrchol pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.
Valec môže byť opísaný okolo pyramídy, ak je možné opísať kruh okolo základne pyramídy.
Štvorsten má štyri steny a štyri vrcholy a šesť hrán, pričom žiadne dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.
Každý vrchol pozostáva z troch plôch a hrán, ktoré tvoria trojuholníkový uhol.
Segment spájajúci vrchol štvorstena so stredom protiľahlej plochy sa nazýva medián štvorstenu(GM).
Bimedián nazývaný segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré sa nedotýkajú (KL).
Všetky bimediány a mediány štvorstenu sa pretínajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediány rozdelené na polovicu a mediány sú rozdelené v pomere 3: 1, začínajúc zhora.
Definícia. Akútna uhlová pyramída- pyramída, v ktorej má apotéma viac ako polovicu dĺžky strany podstavy.
Definícia. Tupá pyramída- pyramída, v ktorej má apotém menej ako polovicu dĺžky strany podstavy.
Definícia. Pravidelný štvorsten- štvorsten, v ktorom sú všetky štyri steny rovnostranné trojuholníky. Je to jeden z piatich pravidelných mnohouholníkov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi plochami) a trojstenné uhly (vo vrchole) rovnaké.
Definícia. Obdĺžnikový štvorsten sa nazýva štvorsten, v ktorom medzi tromi hranami na vrchole je pravý uhol (hrany sú kolmé). Vytvárajú sa tri tváre pravouhlý trojuholníkový uhol a plochy sú pravouhlé trojuholníky a základňa je ľubovoľný trojuholník. Apotém akejkoľvek tváre sa rovná polovici strany základne, na ktorú padá apotém.
Definícia. Izoedrický štvorsten sa nazýva štvorsten, ktorého bočné strany sú si navzájom rovné a základňa je pravidelný trojuholník. Takýto štvorsten má steny, ktoré sú rovnoramennými trojuholníkmi.
Definícia. Ortocentrický štvorsten sa nazýva štvorsten, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú znížené zhora na opačnú stranu, pretínajú v jednom bode.
Definícia. Hviezdna pyramída nazývaný mnohosten, ktorého základňou je hviezda.
je postava, ktorej základňa je ľubovoľný mnohouholník a bočné strany sú znázornené trojuholníkmi. Ich vrcholy ležia v rovnakom bode a zodpovedajú vrcholu pyramídy.
Pyramída môže byť rôznorodá - trojuholníková, štvoruholníková, šesťuholníková atď. Jeho názov možno určiť v závislosti od počtu rohov susediacich so základňou.
Správna pyramída nazývaná pyramída, v ktorej sú strany základne, uhly a hrany rovnaké. Aj v takejto pyramíde bude plocha bočných plôch rovnaká.
Vzorec pre plochu bočného povrchu pyramídy je súčtom plôch všetkých jej plôch:
To znamená, že na výpočet plochy bočného povrchu ľubovoľnej pyramídy musíte nájsť plochu každého jednotlivého trojuholníka a spočítať ich. Ak je pyramída skrátená, potom sú jej strany reprezentované lichobežníkmi. Existuje ďalší vzorec pre pravidelnú pyramídu. V ňom sa plocha bočného povrchu vypočíta cez polobvod základne a dĺžku apotému:
Uvažujme o príklade výpočtu plochy bočného povrchu pyramídy.
Nech je daná pravidelná štvoruholníková pyramída. Základná strana b= 6 cm, apotém a= 8 cm. Nájdite plochu bočného povrchu.
Na základni pravidelnej štvorbokej pyramídy je štvorec. Najprv nájdime jeho obvod:
Teraz môžeme vypočítať plochu bočného povrchu našej pyramídy: 
Aby ste našli celkovú plochu mnohostenu, musíte nájsť plochu jeho základne. Vzorec pre oblasť základne pyramídy sa môže líšiť v závislosti od toho, ktorý polygón leží na základni. Na tento účel použite vzorec pre oblasť trojuholníka, oblasť rovnobežníka atď.
Zvážte príklad výpočtu plochy základne pyramídy danej našimi podmienkami. Keďže pyramída je pravidelná, na jej základni je štvorec.
Štvorcová plocha vypočítané podľa vzorca: ,
kde a je strana štvorca. Pre nás je to 6 cm. To znamená, že plocha základne pyramídy je: 
Teraz zostáva len nájsť celkovú plochu mnohostenu. Vzorec pre oblasť pyramídy pozostáva zo súčtu plochy jej základne a bočného povrchu.
