Зведення у куб. Формули скороченого множення Зведення різниці у куб

15.09.2023

Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для швидкого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення кількох многочленов.

Використання даних формул забезпечує досить оперативне розв'язання різних математичних завдань, а також допомагає здійснювати спрощення виразів. Правила алгебраїчних перетворень дозволяють виконувати деякі маніпуляції з виразами, дотримуючись яких можна отримати в лівій частині рівності вираз, що стоїть у правій частині, або перетворити праву частину рівності (щоб отримати вираз, що стоїть у лівій частині після знаку рівності).

Зручно знати формули, які застосовуються для скороченого множення, на згадку, оскільки вони нерідко використовуються під час вирішення завдань та рівнянь. Нижче перераховані основні формули, що входять до цього списку, та їх найменування.

Квадрат суми

Щоб обчислити квадрат суми, необхідно знайти суму, що складається з квадрата першого доданку, подвоєного добутку першого доданку на друге та квадрата другого. У вигляді виразу це правило записується так: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат різниці

Щоб обчислити квадрат різниці, необхідно обчислити суму, що складається з квадрата першого числа, подвоєного добутку першого числа на друге (взяте з протилежним знаком) та квадрат другого числа. У вигляді виразу дане правило виглядає так: (а - с) ² = а ² - 2ас + с ².

Різниця квадратів

Формула різниці двох чисел, зведених у квадрат, дорівнює добутку суми цих чисел на їх різницю. У вигляді виразу це правило виглядає наступним чином: a² - с² = (a + с) · (a - с).

Куб суми

Щоб обчислити куб суми двох доданків, необхідно обчислити суму, що складається з куба першого доданку, потрійного твору квадрата першого доданку та другого, потрійного добутку першого доданку та другого у квадраті, а також куба другого доданку. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: (а + с) ³ = ? + 3а?с + 3ас? + с?.

Сума кубів

Відповідно до формули, дорівнює добутку суми даних доданків з їхньої неповний квадрат різниці. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: а + с = (а + с) · (а - ас + с?).

приклад.Необхідно обчислити обсяг фігури, яка утворена додаванням двох кубів. Відомі лише величини їхніх сторін.

Якщо значення сторін невеликі, виконати обчислення просто.

Якщо ж довжини сторін виражаються у громіздких числах, то цьому випадку простіше застосувати формулу "Сума кубів", яка значно спростить обчислення.

Куб різниці

Вираз для кубічної різниці звучить так: як сума третього ступеня першого члена, потрійного негативного добутку квадрата першого члена на другий, потрійного добутку першого члена на квадрат другого та від'ємного куба другого члена. У вигляді математичного вираження куб різниці виглядає наступним чином: (а - с) ³ = а - 3а + + 3ас - с.

Різниця кубів

Формула різниці кубів відрізняється від суми кубів лише одним знаком. Таким чином, різниця кубів - формула, що дорівнює добутку різниці даних чисел на їх неповний квадрат суми. У вигляді різниця кубів виглядає так: а 3 - з 3 = (а - с) (а 2 + ас + с 2).

приклад.Необхідно обчислити об'єм фігури, яка залишиться після вирахування з об'єму синього куба об'ємної фігури жовтого кольору, яка також є кубом. Відома лише величина сторони маленького та великого куба.

Якщо значення сторін невеликі, обчислення досить прості. А якщо довжини сторін виражаються у значних числах, то варто застосувати формулу, під назвою "Різниця кубів" (або "Куб різниці"), яка значно спростить обчислення.

Формули скороченого множення.

Вивчення формул скороченого множення: квадрата суми та квадрата різниці двох виразів; різниці квадратів двох виразів; куба суми та куба різниці двох виразів; суми та різниці кубів двох виразів.

Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів.

Для спрощення виразів, розкладання багаточленів на множники, приведення багаточленів до стандартного виду використовуються формули скороченого множення. Формули скороченого множення потрібно знати напам'ять.

Нехай а, b R. Тоді:

1. Квадрат суми двох виразів дорівнюєквадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат різниці двох виразів дорівнюєквадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Різниця квадратівдвох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми.

a 2 - b 2 = (a-b) (a+b)

4. Куб сумидвох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб різницідвох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сума кубівдвох виразів дорівнює добутку суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Різниця кубівдвох виразів дорівнює добутку різниці першого та другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів.

приклад 1.

Обчислити

а) Використовуючи формулу квадрата суми двох виразів, маємо

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Використовуючи формулу квадрата різниці двох виразів, отримаємо

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

приклад 2.

Обчислити

Використовуючи формулу різниці квадратів двох виразів, отримаємо

приклад 3.

Спростити вираз

(х - у) 2 + (х + у) 2

Скористаємося формулами квадрата суми та квадрата різниці двох виразів

(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формули скороченого множення в одній таблиці:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Трьох множників, кожен з яких дорівнює x. (\displaystyle x.)Ця арифметична операція називається «зведенням у куб», її результат позначається x 3 (\displaystyle x^(3)):

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x)

Для зведення в куб зворотною операцією є вилучення кубічного кореня. Геометрична назва третього ступеня « кубпов'язано з тим, що античні математики розглядали значення кубів як кубічні числа, особливий вид фігурних чисел (див. нижче), оскільки куб числа x (\displaystyle x)дорівнює об'єму куба з довжиною ребра, що дорівнює x (\displaystyle x).

Послідовність кубів

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Сума кубів перших n (\displaystyle n)позитивних натуральних чисел обчислюється за такою формулою:

∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\right) ^(2))

Висновок формули

Формулу суми кубів можна вивести, використовуючи таблицю множення та формулу суми арифметичної прогресії. Розглядаючи як ілюстрацію методу дві таблиці множення 5×5, проведемо міркування таблиць розміром n×n.

Таблиця множення та куби чисел

×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Таблиця множення та арифметична прогресія

×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Сума чисел у k-ій (k=1,2,…) виділеної області першої таблиці:

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))

А сума чисел у k-ій (k=1,2,…) виділеної області другої таблиці, що є арифметичну прогресію:

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l = 1)

Підсумовуючи по всіх виділених областях першої таблиці, отримуємо таке ж число, як і підсумовуючи по всіх виділених областях другої таблиці:

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k =1)^(n)k^(3)=\sum _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1))(2))\sum _(k=1)^(n)k=\left((\frac (n(n+1))(2))\right)^(2))

Деякі властивості

У десятковому записі куб може закінчуватися будь-яку цифру (на відміну квадрата)
У десятковому записі дві останні цифри куба можуть бути 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Залежність передостанньої цифри куба від останньої можна представити у вигляді наступної таблиці:

Куби як фігурні числа

«Кубічне число» Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3))історично розглядалося як різновид просторових фігурних чисел. Його можна уявити як різницю квадратів послідовних трикутних чисел T n (\displaystyle T_(n)):

Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ), n \ geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\dots +Q_(n)=(T_(n) )^(2))

Різниця між двома сусідніми кубічними числами є центрованим шестикутним числом.

Вираз кубічного числа через тетраедральні Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).

Математичні вирази (формули) скороченого множення(квадрат суми та різниці, куб суми та різниці, різниця квадратів, сума та різниця кубів) вкрай не замінні у багатьох областях точних наук. Ці 7 символьних записів не замінні при спрощенні виразів, рішенні рівнянь, при множенні багаточленів, скороченні дробів, рішенні інтегралів та багато іншого. А значить буде дуже корисно розібратися, як вони виходять, для чого вони потрібні, і найголовніше, як їх запам'ятати і потім застосовувати. Потім застосовуючи формули скороченого множенняна практиці найскладнішим буде побачити, що є хі що є у. Очевидно, що жодних обмежень для aі bні, а значить це можуть бути будь-які числові або буквені вирази.

І так ось вони:

Перша х 2 - у 2 = (х - у) (х + у). Щоб розрахувати різницю квадратівдвох виразів треба перемножити різниці цих виразів з їхньої суми.

Друга (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2. Щоб знайти квадрат сумидвох виразів потрібно до квадрата першого виразу додати подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

Третя (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2. Щоб обчислити квадрат різницідвох виразів потрібно від квадрата першого виразу відібрати подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

Четверта (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3.Щоб обчислити куб сумидвох виразів потрібно до куба першого виразу додати потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.

П'ята (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3. Щоб розрахувати куб різницідвох виразів необхідно від куба першого виразу відібрати потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.

Шоста х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2)Щоб вирахувати суму кубівдвох виразів потрібно помножити суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.

Сьома х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2)Щоб зробити обчислення різниці кубівдвох виразів треба помножити різницю першого та другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.

Не складно запам'ятати, що це формули застосовуються до проведення розрахунків й у протилежному напрямі (праворуч ліворуч).

Про існування цих закономірностей знали ще близько 4 тисяч років тому. Їх широко застосовували жителі стародавнього Вавилону та Єгипту. Але у ті епохи вони висловлювалися словесно чи геометрично і за розрахунках не використовували букви.

Розберемо доказ квадрата суми(а + b) 2 = a 2 +2ab + b2.

Першим цю математичну закономірністьдовів давньогрецький вчений Евклід, який працював в Олександрії в III столітті до н. Ними повсюдно вживалися не "а 2", а "квадрат на відрізку а", не "ab", а "прямокутник, укладений між відрізками a і b".

Формули скороченого множення. Тренування.

Спробуй у такий спосіб обчислити такі вирази:

Відповіді:

Або, якщо ти знаєш квадрати основних двоцифрових чисел, згадай, скільки буде? Згадав? . Чудово! Так як ми зводимо в квадрат, ми повинні помножити на. Виходить що.

Пам'ятай, що формули квадрат суми і квадрат різниці справедливі не тільки для числових виразів:

Порахуй самостійно такі вирази:

Відповіді:

Формули скороченого множення. Підсумок.

Підіб'ємо невеликий підсумок і запишемо формули квадрата суми та різниці в один рядок:

Тепер потренуємося «збирати» формулу з розкладеного виду на вигляд. Ця навичка знадобиться нам у подальшому при перетворенні виразів.

Припустимо, у нас є такий вислів:

Ми знаємо, що квадрат суми (або різниці) – це квадрат одного числа квадрат іншого числаі подвоєний добуток цих чисел.

У цій задачі легко побачити квадрат одного числа - це. Відповідно, одне з чисел, що входять у дужку, - це квадратний корінь, тобто

Так як у другому доданку є, значить, це подвоєний твір одного та іншого числа, відповідно:

Де - друге число, що входить до нашої дужки.

Друге число, що входить у дужку, дорівнює.

Перевіримо. має бути рівним. Справді так і є, отже, ми знайшли обидва числа, присутні у дужках: і. Залишилося визначити знак, що стоїть між ними. Як ти гадаєш, що за знак там буде?

Правильно! Так як ми додаємоподвоєний твір, то між числами стоятиме знак додавання. Тепер запиши перетворений вираз. Впорався? У тебе має вийти таке:

Зауваж: зміна місць доданків не позначається на результаті (неважливо, додавання або віднімання стоїть між і).

Цілком необов'язково, щоб доданки в перетворюваному виразі стояли так, як написано у формулі. Подивися це вираз: . Спробуй перетворити її самостійно. Вийшло?

Потренуйся - перетвори наступні вирази:

Відповіді:Впорався? Закріпимо тему. Виберіть із наведених нижче виразів ті, які можна подати у вигляді квадрата суми або різниці.

- Доведи, що це рівносильно.

- не можна уявити як квадрат; можна було б уявити, якби замість було.

Різниця квадратів

Ще одна формула скороченого множення – різниця квадратів.

Різниця квадратів це квадрат різниці!

Різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку суми цих чисел на їх різницю:

Перевіримо, чи правильна ця формула. Для цього перемножимо, як робили при виведенні формул квадрата суми та різниці:

Таким чином, ми щойно переконалися, що формула справді вірна. Ця формула також спрощує складні обчислювальні дії. Наведемо приклад:

Необхідно обчислити: . Звичайно, ми можемо звести в квадрат, потім звести в квадрат і відняти одне з іншого, але формула спрощує завдання:

Вийшло? Звіримо результати:

Так само як і квадрат суми (різниці), формула різниці квадратів може застосовуватися не тільки з числами:

Вміння розкладати різницю квадратів допоможе нам перетворювати складні математичні вирази.

Зверни увагу:

Оскільки при розкладанні на квадрат різниці правого вираження ми отримаємо

Будь уважним і дивися, який конкретний доданок зводиться в квадрат! Для закріплення теми перетвори наступні вирази:

Записав? Порівняємо отримані вирази:

Тепер, коли ти засвоїв квадрат суми та квадрат різниці, а також різницю квадратів, спробуємо вирішувати приклади на комбінацію цих трьох формул.

Перетворення елементарних виразів (квадрат суми, квадрат різниці, різниця квадратів)

Допустимо, нам дано приклад

Необхідно спростити цей вираз. Подивися уважно, що ти бачиш у чисельнику? Правильно, чисельник - це повний квадрат:

Спрощуючи вираз, пам'ятай, що підказка, в який бік рухатися у спрощенні, знаходиться у знаменнику (або в чисельнику). У нашому випадку, коли знаменник розкладений, і більше нічого не можна зробити, можна зрозуміти, що чисельником буде або квадрат суми, або квадрат різниці. Оскільки ми додаємо, стає ясно, що чисельник - квадрат суми.

Спробуй самостійно перетворити такі вирази:

Вийшло? Порівнюємо відповіді та рухаємось далі!

Куб суми та куб різниці

Формули куб суми та куб різниці виводяться аналогічним чином, як квадрат сумиі квадрат різниці: розкриття дужок при перемноженні членів один на одного.

Якщо квадрат суми і квадрат різниці запам'ятати дуже легко, виникає питання «як запам'ятати куби?»

Подивися уважно на дві описувані формули порівняно зі зведенням аналогічних членів у квадрат:

Яку ти бачиш закономірність?

1. При зведенні в квадрату нас є квадратпершого числа та квадратдругого; при зведенні в куб – є кубодного числа та кубіншого числа.

2. При зведенні в квадрат, у нас є подвоєнедобуток чисел (числа в 1 ступені, що на один ступінь менше ніж та, в яку зводимо вираз); при зведенні в куб - потрійнетвір, у якому одне з чисел зводиться у квадрат (що як і 1 ступінь менше, ніж ступінь, у якому зводимо вираз).

3. При зведенні у квадрат знак у дужках у розкритому виразі відображається при додаванні (або відніманні) подвоєного твору – якщо у дужках додавання, то додаємо, якщо віднімання – віднімаємо; при зведенні в куб правило таке: якщо у нас куб суми, то всі знаки "+", а якщо куб різниці, то знаки чергуються: "" - "" - "" - "".

Все перераховане, крім залежності ступенів при множенні членів, зображено малюнку.

Потренуємося? Розкрий дужки у наступних виразах:

Порівняй отримані вирази:

Різниця та сума кубів

Розглянемо останню пару формул різницю та суму кубів.

Як ми пам'ятаємо, у різниці квадратів у нас йде перемноження різниці та суми даних чисел одне на інше. У різниці кубів та у сумі кубів також є дві дужки:

1 дужка - різницю (або сума) чисел у першому ступені (залежно від того, різницю або суму кубів ми розкриваємо);

2 дужка - неповний квадрат (придивись: якби ми вичитали (або додавали) подвоєний добуток чисел, був би квадрат), знак при перемноженні чисел протилежний знаку початкового виразу.

Для закріплення теми розв'яжемо кілька прикладів:

Порівняй отримані вирази:

Тренування

Відповіді:

Підведемо підсумки:

Існує 7 формул скороченого множення:

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

Формули скороченого множення - це формули, знаючи які можна уникнути виконання деяких стандартних дій при спрощенні виразів або розкладання багаточленів на множники. Формули скороченого множення треба знати напам'ять!

Квадрат сумидвох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу:
Квадрат різницідвох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу:
Різниця квадратівдвох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми:
Куб сумидвох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу:
Куб різницідвох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу:
Сума кубівдвох виразів дорівнює добутку суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів:
Різниця кубівдвох виразів дорівнює добутку різниці першого та другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів: