Pravidlá pre násobenie právomocí s rôznymi základmi. Násobenie a delenie čísel s mocninami Odčítanie mocnín s rovnakým exponentom

08.06.2023

Ak ignorujeme ôsmu mocnosť, čo tu vidíme? Pripomeňme si program pre 7. ročník. Tak čo, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, a to rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozrime sa pozorne na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Poradie výrazov je nesprávne. Ak by boli obrátené, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Zázračne si pojmy zmenili miesto. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v rovnomernej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľahko zmeniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Celý nazývame prirodzené čísla, ich protiklady (t. j. brané so znamienkom " ") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy, položme si otázku: prečo je to tak?

Uvažujme nejaký stupeň so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme to isté, čo bolo - . Akým číslom vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane sa musí rovnať akýmkoľvek stupňom – akokoľvek vynásobíte nulu samým sebou, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo s nulovou mocninou, musí sa rovnať. Koľko z toho je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz nemôžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporná mocnina, urobme ako naposledy: vynásobte nejaké normálne číslo rovnakým číslom na zápornú mocninu:

Odtiaľto je ľahké vyjadriť, čo hľadáte:

Teraz rozšírme výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo so zápornou mocninou je prevrátená hodnota rovnakého čísla s kladnou mocninou. Ale v rovnakom čase Základ nemôže byť nulový:(pretože nemôžete deliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je prevrátená hodnota rovnakého čísla ku kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady nezávislých riešení:

Analýza problémov pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú desivé, ale na Jednotnej štátnej skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo analyzujte ich riešenia, ak ste ich nedokázali vyriešiť, a na skúške sa s nimi ľahko naučíte!

Pokračujme v rozširovaní rozsahu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz uvažujme racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla a.

Aby ste pochopili, čo to je "zlomkový stupeň", zvážte zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si spomeňme na pravidlo o "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tej mocniny je inverzná operácia zvýšenia na mocninu: .

Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento špeciálny prípad možno rozšíriť: .

Teraz pridáme čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla výkonu na výkon:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajme na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať párne korene zo záporných čísel!

To znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo výraz?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované vo forme iných, redukovateľných zlomkov, napr.

A ukáže sa, že existuje, ale neexistuje, ale sú to len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ak si ale ukazovateľ zapíšeme inak, opäť sa dostaneme do problémov: (teda dostali sme úplne iný výsledok!).

Aby sme sa vyhli takýmto paradoxom, uvažujeme iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

- prirodzené číslo;
- celé číslo;

Príklady:

Racionálne exponenty sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:

5 príkladov na precvičenie

Rozbor 5 príkladov na tréning

1. Nezabudnite na obvyklé vlastnosti stupňov:

2. Tu si pamätáme, že sme sa zabudli naučiť tabuľku stupňov:

predsa - toto je resp. Riešenie sa nájde automaticky: .

No a teraz prichádza tá najťažšia časť. Teraz na to prídeme stupňa s iracionálnym exponentom.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou

Koniec koncov, iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzenými, celočíselnými a racionálnymi exponentmi sme zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad stupeň s prirodzeným exponentom je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...číslo na nulovú mocninu- toto je akoby číslo, ktoré sa raz vynásobilo samo sebou, to znamená, že ho ešte nezačali násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určité „prázdne číslo“ , menovite číslo;

...záporné celé číslo- je to ako keby nastal nejaký „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo sebou, ale rozdelené.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, na inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naučíš riešiť takéto príklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s obvyklým pravidlom pre zvýšenie moci na moc:

Teraz sa pozrite na indikátor. Nepripomína ti nič? Pripomeňme si vzorec pre skrátené násobenie rozdielu štvorcov:

V tomto prípade,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch zredukujeme na rovnaký tvar: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, používame obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Určenie stupňa

Titul je vyjadrením tvaru: , kde:

— základ stupňa;
- exponent.

Stupeň s prirodzeným ukazovateľom (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Stupeň s celočíselným exponentom (0, ±1, ±2,...)

Ak je exponent kladné celé čísločíslo:

Stavebníctvo na nulový stupeň:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.

Ak je exponent záporné celé čísločíslo:

(pretože nemôžete deliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

Príklady:

Mocnina s racionálnym exponentom

- prirodzené číslo;
- celé číslo;

Príklady:

Vlastnosti stupňov

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

A-priorita:

Takže na pravej strane tohto výrazu dostaneme nasledujúci produkt:

Ale podľa definície je to mocnina čísla s exponentom, to znamená:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musia byť rovnaké dôvody. Preto kombinujeme sily so základňou, ale zostáva to samostatný faktor:

Ďalší dôležitá poznámka: toto pravidlo je - len pre súčin síl!

To v žiadnom prípade nemôžete napísať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, vráťme sa k definícii stupňa:

Zostavme túto prácu takto:

Ukazuje sa, že výraz sa násobí sám o sebe krát, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V podstate to možno nazvať „vytiahnutím indikátora zo zátvoriek“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne: !

Spomeňme si na skrátené vzorce na násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to predsa nie je pravda.

Moc s negatívnou bázou.

Doteraz sme len diskutovali o tom, ako by to malo byť index stupňa. Čo by však malo byť základom? V právomociach prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek čísla, či už sú kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, ktoré znamienka ("" alebo "") budú mať mocniny kladných a záporných čísel?

Napríklad, je číslo kladné alebo záporné? A? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Pamätáme si jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme - .

A tak ďalej do nekonečna: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Je možné sformulovať nasledujúce jednoduché pravidlá:

dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: napokon nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáme, je jasné, že základ je menší ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme definíciu stupňov a rozdelíme ich navzájom, rozdelíme ich do dvojíc a dostaneme:

Predtým, ako sa pozrieme na posledné pravidlo, vyriešme niekoľko príkladov.

Vypočítajte výrazy:

Riešenia :

Ak ignorujeme ôsmu mocnosť, čo tu vidíme? Pripomeňme si program pre 7. ročník. Tak čo, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, a to rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozrime sa pozorne na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Poradie výrazov je nesprávne. Ak by boli obrátené, mohlo by platiť pravidlo 3. Ale ako? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Ale teraz to dopadá takto:

Zázračne si pojmy zmenili miesto. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v rovnomernej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľahko zmeniť. Ale je dôležité mať na pamäti: Všetky znaky sa menia súčasne! Nemôžete to nahradiť zmenou iba jednej nevýhody, ktorá sa nám nepáči!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to dokážeme? Samozrejme, ako obvykle: rozvinieme pojem titul a zjednodušíme ho:

No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen je celkovo? krát podľa násobiteľov - čo vám to pripomína? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: Boli tam len násobilky. To znamená, že toto je podľa definície mocnina čísla s exponentom:

Príklad:

Stupeň s iracionálnym exponentom

Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym exponentom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon, podľa definície, iracionálne čísla sú čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzenými, celočíselnými a racionálnymi exponentmi sme zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad stupeň s prirodzeným exponentom je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo s nulovou mocninou je ako keby číslo, ktoré sa raz vynásobilo samo sebou, to znamená, že ho ešte nezačali násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda len určitý „prázdne číslo“, konkrétne číslo; stupeň s celočíselným záporným exponentom - je to, ako keby nastal nejaký „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Je to skôr čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, na inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa ho zo všetkých síl zbaviť! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Odpovede:

Spomeňme si na rozdiel vo vzorci štvorcov. Odpoveď: .
Zlomky zredukujeme na rovnaký tvar: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad: .
Nič zvláštne, používame obvyklé vlastnosti stupňov:

ZHRNUTIE SEKCIE A ZÁKLADNÉ VZORCE

stupňa nazývaný výraz vo forme: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentom

stupeň, ktorého exponent je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

Mocnina s racionálnym exponentom

stupňa, ktorého exponentom sú záporné a zlomkové čísla.

Stupeň s iracionálnym exponentom

stupeň, ktorého exponentom je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Vlastnosti stupňov

Vlastnosti stupňov.

Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
Nula sa rovná akejkoľvek moci.
Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná.

TERAZ MÁTE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Napíšte dole do komentárov, či sa vám to páčilo alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s používaním vlastností stupňov.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia na skúškach!

Pojem titul z matematiky sa zavádza v 7. ročníku na hodine algebry. A následne počas celého štúdia matematiky sa tento pojem aktívne využíva v rôznych podobách. Stupne sú pomerne náročnou témou, ktorá si vyžaduje zapamätanie si hodnôt a schopnosť správne a rýchlo počítať. Aby matematici pracovali s titulmi rýchlejšie a lepšie, prišli s vlastnosťami stupňov. Pomáhajú redukovať veľké výpočty, do určitej miery premieňajú obrovský príklad na jediné číslo. Nie je toľko vlastností a všetky sa dajú ľahko zapamätať a aplikovať v praxi. Preto článok pojednáva o základných vlastnostiach stupňa, ako aj o tom, kde sa uplatňujú.

Vlastnosti stupňa

Pozrieme sa na 12 vlastností stupňov vrátane vlastností stupňov s rovnakými základmi a ku každej vlastnosti uvedieme príklad. Každá z týchto vlastností vám pomôže rýchlejšie vyriešiť problémy so stupňami a tiež vás ušetrí od mnohých výpočtových chýb.

1. nehnuteľnosť.

Mnoho ľudí veľmi často zabúda na túto vlastnosť a robí chyby, pričom číslo s nulovou mocninou predstavuje nula.

2. nehnuteľnosť.

3. nehnuteľnosť.

Treba mať na pamäti, že túto vlastnosť možno použiť len pri násobení čísel, nefunguje so súčtom! A nesmieme zabúdať, že táto a nasledujúce vlastnosti platia len pre mocniny s rovnakými základmi.

4. nehnuteľnosť.

Ak je číslo v menovateli umocnené na zápornú mocninu, potom pri odčítaní sa stupeň menovateľa berie do zátvoriek, aby sa znamienko pri ďalších výpočtoch správne zmenilo.

Vlastnosť funguje len pri delení, neplatí pri odčítaní!

5. nehnuteľnosť.

6. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť môže byť použitá aj v opačnom smere. Jednotka delená číslom je do určitej miery toto číslo na mínus mocninu.

7. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť nemožno použiť na súčet a rozdiel! Zvýšenie súčtu alebo rozdielu na mocninu používa skôr skrátené vzorce násobenia ako mocninné vlastnosti.

8. nehnuteľnosť.

9. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť funguje pre akúkoľvek zlomkovú mocninu s čitateľom rovným jednej, vzorec bude rovnaký, len mocnina odmocniny sa bude meniť v závislosti od menovateľa mocniny.

Táto vlastnosť sa často používa aj naopak. Odmocninu ktorejkoľvek mocniny čísla možno znázorniť ako toto číslo k mocnine jednotky delené mocninou odmocniny. Táto vlastnosť je veľmi užitočná v prípadoch, keď nie je možné extrahovať koreň čísla.

10. nehnuteľnosť.

Táto vlastnosť funguje nielen s odmocninami a druhými mocninami. Ak sa stupeň koreňa a stupeň, do ktorého je tento koreň vyvýšený, zhodujú, potom bude odpoveďou radikálny výraz.

11. nehnuteľnosť.

Túto vlastnosť musíte pri riešení vidieť včas, aby ste sa ušetrili od obrovských výpočtov.

12. nehnuteľnosť.

Každá z týchto vlastností sa na vás v úlohách stretne viackrát, môže byť daná v čistej forme alebo môže vyžadovať určité transformácie a použitie iných vzorcov. Na správne rozhodnutie preto nestačí poznať len vlastnosti, treba si precvičiť a zakomponovať ďalšie matematické poznatky.

Aplikácia stupňov a ich vlastnosti

Aktívne sa používajú v algebre a geometrii. Samostatné, dôležité miesto majú tituly z matematiky. S ich pomocou sa riešia exponenciálne rovnice a nerovnice a rovnice a príklady súvisiace s inými odvetviami matematiky sú často komplikované mocninami. Mocniny pomáhajú vyhnúť sa veľkým a zdĺhavým výpočtom, mocniny sa dajú ľahšie skrátiť a vypočítať. Ale na prácu s veľkými mocninami alebo s mocninami veľkých čísel potrebujete poznať nielen vlastnosti mocniny, ale aj kompetentne pracovať so základňami, vedieť ich rozširovať, aby ste si uľahčili úlohu. Pre pohodlie by ste tiež mali poznať význam čísel umocnených na mocninu. To vám skráti čas pri riešení a eliminuje potrebu zdĺhavých výpočtov.

Osobitnú úlohu v logaritmoch zohráva pojem stupňa. Pretože logaritmus je v podstate mocninou čísla.

Skrátené vzorce násobenia sú ďalším príkladom použitia mocniny. Nemožno v nich použiť vlastnosti stupňov, sú rozšírené podľa špeciálnych pravidiel, ale v každom vzorci skráteného násobenia sú vždy stupne.

Tituly sa aktívne využívajú aj vo fyzike a informatike. Všetky prevody do sústavy SI sa robia pomocou mocnín a v budúcnosti sa pri riešení úloh využívajú vlastnosti mocniny. V informatike sa mocniny dvoch aktívne používajú na uľahčenie počítania a zjednodušenie vnímania čísel. Ďalšie výpočty na prevod merných jednotiek alebo výpočty problémov, podobne ako vo fyzike, sa vyskytujú pomocou vlastností stupňov.

Stupne sú veľmi užitočné aj v astronómii, kde málokedy uvidíte využitie vlastností stupňa, no samotné stupne sa aktívne využívajú na skrátenie zápisu rôznych veličín a vzdialeností.

Stupne sa používajú aj v každodennom živote pri výpočte plôch, objemov a vzdialeností.

Stupne sa používajú na zaznamenávanie veľmi veľkých a veľmi malých veličín v akejkoľvek oblasti vedy.

Exponenciálne rovnice a nerovnice

Vlastnosti stupňov zaujímajú špeciálne miesto práve v exponenciálnych rovniciach a nerovniciach. Tieto úlohy sú veľmi bežné, ako v školských kurzoch, tak aj na skúškach. Všetky sú riešené aplikáciou vlastností stupňa. Neznáma sa vždy nachádza v samotnom stupni, takže poznať všetky vlastnosti, vyriešiť takúto rovnicu alebo nerovnosť nie je ťažké.

Pripomíname, že v tejto lekcii budeme rozumieť vlastnosti stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. Mocniny s racionálnymi exponentmi a ich vlastnosti budú rozoberané na hodinách pre 8. ročník.

Mocnina s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré nám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch s mocninami.

Nehnuteľnosť č.1
Súčin síl

Pamätajte!

Pri násobení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a mocniny sa sčítavajú.

a m · a n = a m + n, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Táto vlastnosť mocnín platí aj pre súčin troch a viacerých mocnín.

Zjednodušte výraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
Prezentujte to ako diplom.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
Prezentujte to ako diplom.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Dôležité!

Upozorňujeme, že v označenej vlastnosti sme hovorili iba o násobení síl s z rovnakých dôvodov . Nevzťahuje sa na ich sčítanie.

Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5. To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nehnuteľnosť č.2
Čiastočné stupne

Pamätajte!

Pri delení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Príklad. Vyriešte rovnicu. Využívame vlastnosť kvocientových mocnín.
38: t = 34

T = 3 8 − 4

Odpoveď: t = 3 4 = 81

Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou vlastností exponentov.
= = = 2 9 + 2
2 5
= 2 11
2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 64
Dôležité!
Upozorňujeme, že v Property 2 sme hovorili iba o delení právomocí s rovnakými základmi.

Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1. Je to pochopiteľné, ak počítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 41 = 4

Buď opatrný!

Nehnuteľnosť č.3
Zvýšenie stupňa na moc

Pamätajte!
Pri zvýšení stupňa na mocninu zostáva základ stupňa nezmenený a exponenty sa násobia.
(a n) m = a n · m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Vlastnosti 4
Výkon produktu

Pamätajte!
Pri zvyšovaní výkonu produktu sa zvyšuje každý z faktorov. Získané výsledky sa potom vynásobia.
(a b) n = a n b n, kde „a“, „b“ sú akékoľvek racionálne čísla; "n" je ľubovoľné prirodzené číslo.
- Príklad 1
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
- Príklad 2
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
Dôležité!
Upozorňujeme, že vlastnosť č. 4, podobne ako ostatné vlastnosti stupňov, sa aplikuje aj v opačnom poradí.
(a n · b n) = (a · b) n
To znamená, že ak chcete násobiť mocniny s rovnakými exponentmi, môžete vynásobiť základy, ale exponent ponechajte nezmenený.
- Príklad. Vypočítajte.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
- Príklad. Vypočítajte.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
V zložitejších príkladoch môžu nastať prípady, keď násobenie a delenie treba vykonať nad mocninami s rôznymi základňami a rôznymi exponentmi. V tomto prípade vám odporúčame urobiť nasledovné.

Napríklad, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Príklad zvýšenia desatinnej čiarky na mocninu.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Vlastnosti 5
Mocnina kvocientu (zlomok)

Pamätajte!
Ak chcete zvýšiť podiel na mocninu, môžete zvýšiť dividendu a deliteľa oddelene na túto mocninu a vydeliť prvý výsledok druhým.
(a: b) n = a n: b n, kde „a“, „b“ sú ľubovoľné racionálne čísla, b ≠ 0, n je ľubovoľné prirodzené číslo.
- Príklad. Prezentujte výraz ako podiel mocnin.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme povýšenia zlomku na mocnosť budeme venovať podrobnejšie na ďalšej strane.

V minulej video lekcii sme sa naučili, že stupeň určitého základu je výraz, ktorý predstavuje súčin samotného základu, braný v množstve rovnajúcom sa exponentu. Pozrime sa teraz na niektoré z najdôležitejších vlastností a operácií mocí.

Vynásobme napríklad dve rôzne mocniny s rovnakým základom:

Predstavme si túto prácu celú:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Po vypočítaní hodnoty tohto výrazu dostaneme číslo 32. Na druhej strane, ako je zrejmé z toho istého príkladu, 32 môže byť reprezentované ako súčin toho istého základu (dvoch), braného 5-krát. A naozaj, ak to spočítate, potom:

Môžeme teda s istotou konštatovať, že:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Toto pravidlo funguje úspešne pre všetky indikátory a dôvody. Táto vlastnosť násobenia mocniny vyplýva z pravidla, že význam výrazov sa pri transformáciách v súčine zachováva. Pre ľubovoľnú bázu a sa súčin dvoch výrazov (a)x a (a)y rovná a(x + y). Inými slovami, keď sa vytvoria akékoľvek výrazy s rovnakým základom, výsledný jednočlen má celkový stupeň vytvorený sčítaním stupňov prvého a druhého výrazu.

Prezentované pravidlo funguje skvele aj pri násobení viacerých výrazov. Hlavnou podmienkou je, aby mali všetci rovnaké základy. Napríklad:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nie je možné pridávať stupne a skutočne vykonávať akékoľvek spoločné akcie založené na moci s dvoma prvkami výrazu, ak sú ich základy odlišné.
Ako ukazuje naše video, vďaka podobnosti procesov násobenia a delenia sa pravidlá sčítania mocnín v produkte dokonale prenášajú do postupu delenia. Zvážte tento príklad:

Transformujme výraz výraz po výraze do jeho plnej podoby a zredukujme rovnaké prvky v dividende a deliteľovi:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Konečný výsledok tohto príkladu nie je až taký zaujímavý, pretože už v procese jeho riešenia je jasné, že hodnota výrazu sa rovná druhej mocnine dvoch. A práve dvojku získame odčítaním stupňa druhého výrazu od stupňa prvého.

Na určenie stupňa kvocientu je potrebné od stupňa dividendy odpočítať stupeň deliteľa. Pravidlo funguje na rovnakom základe pre všetky svoje hodnoty a pre všetky prírodné sily. Vo forme abstrakcie máme:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Z pravidla delenia rovnakých základov stupňami vyplýva definícia pre nultý stupeň. Je zrejmé, že nasledujúci výraz vyzerá takto:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Na druhej strane, ak delenie urobíme viac vizuálnym spôsobom, dostaneme:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Pri zmenšení všetkých viditeľných prvkov zlomku sa vždy získa výraz 1/1, teda jedna. Preto sa všeobecne uznáva, že každá základňa zvýšená na nulovú mocninu sa rovná jednej:

Bez ohľadu na hodnotu a.

Bolo by však absurdné, ak by sa 0 (ktorá stále dáva 0 pre akékoľvek násobenie) nejakým spôsobom rovná jednej, takže vyjadrenie tvaru (0) 0 (nula na nulu) jednoducho nedáva zmysel a vzorec ( a) 0 = 1 pridajte podmienku: „ak sa a nerovná 0“.

Poďme vyriešiť cvičenie. Poďme zistiť význam výrazu:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Keďže základ je všade rovnaký a rovná sa 34, konečná hodnota bude mať rovnaký základ so stupňom (podľa vyššie uvedených pravidiel):

Inými slovami:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Odpoveď: výraz sa rovná jednej.

Ako znásobiť sily? Ktoré mocniny možno násobiť a ktoré nie? Ako vynásobiť číslo mocninou?

V algebre môžete nájsť súčin mocnín v dvoch prípadoch:

1) ak majú stupne rovnaké základy;

2) ak majú stupne rovnaké ukazovatele.

Pri násobení mocnín s rovnakými základmi musí byť základ ponechaný rovnaký a musia sa pripočítať exponenty:

Pri násobení mocnín s rovnakými exponentmi všeobecný ukazovateľ možno vyňať zo zátvoriek:

Pozrime sa na to, ako znásobiť mocniny na konkrétnych príkladoch.

Jednotka sa v exponente nezapisuje, ale pri násobení mocnín sa berú do úvahy:

Pri násobení môže existovať ľubovoľný počet mocnín. Malo by sa pamätať na to, že pred písmenom nemusíte písať znak násobenia:

Vo výrazoch sa najprv robí umocňovanie.

Ak potrebujete vynásobiť číslo mocninou, mali by ste najskôr vykonať umocnenie a až potom násobenie:

www.algebraclass.ru

Sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie mocnín

Sčítanie a odčítanie mocnín

Je zrejmé, že čísla s mocninami možno sčítať ako iné veličiny , a to tak, že ich pridáte jeden po druhom s ich znakmi.

Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2.
Súčet a 3 - b n a h5 - d4 je a 3 - b n + h5 - d4.

Odds rovnaké mocniny rovnakých premenných možno pridať alebo odčítať.

Takže súčet 2a2 a 3a2 sa rovná 5a2.

Je tiež zrejmé, že ak vezmete dve políčka a, alebo tri políčka a, alebo päť políčok a.

Ale stupne rôzne premenné A rôzne stupne identické premenné, musia byť zložené tak, že sa k nim pridajú ich znamienka.

Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3.

Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a sa nerovná dvojnásobku druhej mocniny a, ale dvojnásobku kocky a.

Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Odčítanie právomoci sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znamienka subtrahendov sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.

alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobenie právomocí

Čísla s mocninami je možné násobiť, podobne ako iné veličiny, ich písaním za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.

Výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je teda a 3 b 2 alebo aaabb.

alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.

Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3.

Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa akékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa čiastka stupne pojmov.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tu je 5 mocninou výsledku násobenia, ktorá sa rovná 2 + 3, súčtu mocnín členov.

Takže a n .a m = a m+n .

Pre a n sa a berie ako súčiniteľ toľkokrát, ako je mocnina n;

A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;

Preto, mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním mocninných mocnín.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú negatívne.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn

Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.

Ak vynásobíte súčet a rozdiel dvoch čísel umocnených na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.

Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a2 - y2)⋅(a2 + y2) = a4 - y4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Delenie stupňov

Čísla s mocninou je možné deliť ako ostatné čísla odpočítaním od dividendy alebo ich umiestnením do zlomkovej formy.

Takže a 3 b 2 delené b 2 sa rovná a 3.

Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac $. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.

Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.

alebo:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňov.
Výsledkom delenia -5 a -3 je -2.
Tiež $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

1. Znížte exponenty o $\frac $ Odpoveď: $\frac $.

2. Znížte exponenty o $\frac$. Odpoveď: $\frac$ alebo 2x.

3. Znížte exponenty a 2 /a 3 a a -3 /a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je a -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 /5a 7 a 5a 5 /5a 7 alebo 2a 3 /5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.

Vlastnosti stupňa

Mocnina s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré nám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch s mocninami.

Nehnuteľnosť č.1
Súčin síl

Pri násobení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a mocniny sa sčítavajú.

a m · a n = a m + n, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Táto vlastnosť mocnín platí aj pre súčin troch a viacerých mocnín.

Zjednodušte výraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Prezentujte to ako diplom.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Prezentujte to ako diplom.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Upozorňujeme, že v zadanej vlastnosti sme hovorili iba o násobení mocnín s rovnakými základmi. Nevzťahuje sa na ich sčítanie.

Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5. To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nehnuteľnosť č.2
Čiastočné stupne

Pri delení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.

Napíšte podiel ako mocninu
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Vypočítajte.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Príklad. Vyriešte rovnicu. Využívame vlastnosť kvocientových mocnín.
38: t = 34

Odpoveď: t = 3 4 = 81

Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou vlastností exponentov.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upozorňujeme, že v Property 2 sme hovorili iba o delení právomocí s rovnakými základmi.

Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1. Je to pochopiteľné, ak vypočítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 4 1 = 4

Nehnuteľnosť č.3
Zvýšenie stupňa na moc

Pri zvýšení stupňa na mocninu zostáva základ stupňa nezmenený a exponenty sa násobia.

(a n) m = a n · m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Upozorňujeme, že vlastnosť č. 4, podobne ako ostatné vlastnosti stupňov, sa aplikuje aj v opačnom poradí.

(a n · b n) = (a · b) n

To znamená, že ak chcete násobiť mocniny s rovnakými exponentmi, môžete vynásobiť základy, ale exponent ponechajte nezmenený.

Príklad. Vypočítajte.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Príklad. Vypočítajte.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

V zložitejších príkladoch môžu nastať prípady, keď násobenie a delenie treba vykonať nad mocninami s rôznymi základňami a rôznymi exponentmi. V tomto prípade vám odporúčame urobiť nasledovné.

Napríklad 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Príklad zvýšenia desatinnej čiarky na mocninu.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Vlastnosti 5
Mocnina kvocientu (zlomok)

Ak chcete zvýšiť podiel na mocninu, môžete zvýšiť dividendu a deliteľa oddelene na túto mocninu a vydeliť prvý výsledok druhým.

(a: b) n = a n: b n, kde „a“, „b“ sú ľubovoľné racionálne čísla, b ≠ 0, n - ľubovoľné prirodzené číslo.

Príklad. Prezentujte výraz ako podiel mocnin.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme povýšenia zlomku na mocnosť budeme venovať podrobnejšie na ďalšej strane.

Sily a korene

Operácie s mocnosťami a koreňmi. Stupeň s negatívom ,

nulové a zlomkové indikátor. O výrazoch, ktoré nemajú žiadny význam.

Operácie so stupňami.

1. Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty sčítajú:

a m · a n = a m + n.

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom ich exponenty sú odpočítané .

3. Stupeň súčinu dvoch alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov.

4. Stupeň pomeru (zlomok) sa rovná pomeru stupňov dividendy (čitateľ) a deliteľa (menovateľ):

(a/b) n = a n / b n.

5. Pri zvýšení mocniny na mocninu sa ich exponenty násobia:

Všetky vyššie uvedené vzorce sa čítajú a vykonávajú v oboch smeroch zľava doprava a naopak.

PRÍKLAD (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operácie s koreňmi. Vo všetkých nižšie uvedených vzorcoch symbol znamená aritmetický koreň(radikálny výraz je pozitívny).

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná pomeru koreňov dividendy a deliteľa:

3. Pri povýšení koreňa na moc stačí povýšiť na túto moc radikálne číslo:

4. Ak zväčšíte stupeň odmocniny o m-krát a súčasne zvýšite radikálne číslo na m-tú mocninu, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň odmocniny m-krát a súčasne vytiahnete m-tú odmocninu radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Rozšírenie pojmu titul. Doteraz sme uvažovali o stupňoch len s prirodzenými exponentmi; ale operácie s mocnosťami a koreňmi môžu viesť aj k negatívne, nula A zlomkové ukazovatele. Všetky tieto exponenty vyžadujú dodatočnú definíciu.

Titul so záporným exponentom. Mocnina určitého čísla so záporným (celočíselným) exponentom je definovaná ako mocnina rovnakého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote záporného exponentu:

Teraz vzorec a m : a n = a m - n možno použiť nielen na m, viac ako n, ale aj s m, menej ako n .

PRÍKLAD a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ak chceme vzorec a m : a n = a m — n bolo spravodlivé, keď m = n, potrebujeme definíciu nultého stupňa.

Titul s nulovým indexom. Mocnina akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom je 1.

PRÍKLADY. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Aby ste zvýšili skutočné číslo a na mocninu m / n, musíte extrahovať n-tu odmocninu m-tej mocniny tohto čísla a:

O výrazoch, ktoré nemajú žiadny význam. Existuje niekoľko takýchto výrazov.

Kde a ≠ 0 , neexistuje.

V skutočnosti, ak to predpokladáme X je určité číslo, potom v súlade s definíciou operácie delenia máme: a = 0· X, t.j. a= 0, čo je v rozpore s podmienkou: a ≠ 0

— ľubovoľné číslo.

V skutočnosti, ak predpokladáme, že tento výraz sa rovná nejakému číslu X, potom podľa definície operácie delenia máme: 0 = 0 · X. Ale táto rovnosť nastáva vtedy, keď ľubovoľné číslo x, čo bolo potrebné dokázať.

0 0 — ľubovoľné číslo.

Riešenie. Pozrime sa na tri hlavné prípady:

1) X = 0 – táto hodnota nespĺňa túto rovnicu

2) kedy X> 0 dostaneme: x/x= 1, t.j. 1 = 1, čo znamená

Čo X- ľubovoľné číslo; ale berúc do úvahy, že v

v našom prípade X> 0, odpoveď je X > 0 ;

Pravidlá pre násobenie právomocí s rôznymi základmi

STUPEŇ S RACIONÁLNYM UKAZOVATEĽOM,

FUNKCIA NAPÁJANIA IV

§ 69. Násobenie a rozdelenie právomocí s rovnakými základmi

Veta 1. Na vynásobenie mocnín s rovnakými základmi stačí spočítať exponenty a základ nechať rovnaký, tzn.

Dôkaz. Podľa definície stupňa

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Pozreli sme sa na súčin dvoch mocností. V skutočnosti dokázaná vlastnosť platí pre ľubovoľný počet mocnín s rovnakými základmi.

Veta 2. Na rozdelenie mocnín s rovnakými základňami, keď je index dividendy väčší ako index deliteľa, stačí odpočítať index deliteľa od indexu dividendy a základ nechať rovnaký, tj. pri t > p

(a =/= 0)

Dôkaz. Pripomeňme, že podiel delenia jedného čísla druhým je číslo, ktoré po vynásobení deliteľom dáva dividendu. Preto dokážte vzorec kde a =/= 0, je to rovnaké ako dokazovanie vzorca

Ak t > p , potom číslo t - p bude prirodzené; preto podľa vety 1

Veta 2 je dokázaná.

Treba poznamenať, že vzorec

dokázali sme to len za predpokladu, že t > p . Preto z dokázaného zatiaľ nie je možné vyvodiť napríklad tieto závery: