Ako nájsť menovateľa príkladu geometrickej postupnosti. Geometrická progresia

08.06.2023

Geometrická postupnosť je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je nenulový a každý nasledujúci člen sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým nenulovým číslom.

Označuje sa geometrická progresia b1, b2, b3, …, bn, … .

Pomer ktoréhokoľvek člena geometrickej chyby k jeho predchádzajúcemu členu sa rovná rovnakému číslu, to znamená, že b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Vyplýva to priamo z definície aritmetickej progresie. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie. Obvykle sa menovateľ geometrickej progresie označuje písmenom q.

Monotónna a konštantná postupnosť

Jedným zo spôsobov, ako určiť geometrickú postupnosť, je určiť jej prvý člen b1 a menovateľ geometrickej chyby q. Napríklad b1=4, q=-2. Tieto dve podmienky definujú geometrickú postupnosť 4, -8, 16, -32, ….

Ak q>0 (q sa nerovná 1), potom je progresia monotónna postupnosť. Napríklad postupnosť 2, 4, 8, 16, 32, ... je monotónne rastúca postupnosť (b1=2, q=2).

Ak je menovateľ v geometrickej chybe q=1, potom sa všetky členy geometrickej postupnosti budú navzájom rovnať. V takýchto prípadoch hovoria, že progresia je konštantná postupnosť.

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti

Aby bola číselná postupnosť (bn) geometrickou postupnosťou, je potrebné, aby každý jej člen, počnúc druhým, bol geometrickým priemerom susedných členov. To znamená, že je potrebné splniť nasledujúcu rovnicu
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pre ľubovoľné n>0, kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je:

bn=b1*q^(n-1),

kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Vzorec pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti

Vzorec pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti má tvar:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kde q sa nerovná 1.

Pozrime sa na jednoduchý príklad:

V geometrickej postupnosti b1=6, q=3, n=8 nájdite Sn.

Na nájdenie S8 použijeme vzorec pre súčet prvých n členov geometrickej progresie.

S8= (6*(3^8-1))/(3-1) = 19 680.

Geometrická progresia je nový druhčíselná postupnosť, s ktorou sa práve zoznámime. Pre úspešné randenie nezaškodí aspoň poznať a pochopiť. Potom nebudú žiadne problémy s geometrickým postupom.)

Čo je geometrická progresia? Koncept geometrickej progresie.

Prehliadku začíname, ako inak, základmi. Píšem nedokončenú postupnosť čísel:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Dokážete rozpoznať vzor a povedať, ktoré čísla budú nasledovať? Paprika je jasná, potom budú nasledovať čísla 100 000, 1 000 000 a tak ďalej. Aj bez veľkého duševného úsilia je všetko jasné, však?)

OK. Ďalší príklad. Píšem túto postupnosť:

1, 2, 4, 8, 16, …

Môžete povedať, ktoré čísla budú nasledovať po čísle 16 a mene ôsmyčlen sekvencie? Ak ste prišli na to, že to bude číslo 128, tak veľmi dobre. Polovica úspechu je teda v porozumení význam A Kľúčové body geometrický postup už bol urobený. Môžete rásť ďalej.)

A teraz opäť prejdeme od vnemov k prísnej matematike.

Kľúčové body geometrickej progresie.

Kľúčový bod #1

Geometrická progresia je postupnosť čísel. Rovnako aj progresia. Nič vymyslené. Iba táto postupnosť je usporiadaná inak. Preto má, prirodzene, iný názov, áno...

Kľúčový bod č. 2

S druhým kľúčovým bodom bude otázka zložitejšia. Vráťme sa trochu späť a pripomeňme si kľúčovú vlastnosť aritmetickej progresie. Tu je: každý člen je iný ako predchádzajúci o rovnakú sumu.

Je možné sformulovať podobnú kľúčovú vlastnosť pre geometrickú progresiu? Zamyslite sa trochu... Pozrite sa bližšie na uvedené príklady. Uhádli ste to? Áno! V geometrickej postupnosti (akejkoľvek!) sa každý jej člen líši od predchádzajúceho rovnaký počet krát. Vždy!

V prvom príklade je toto číslo desať. Ktorýkoľvek člen sekvencie si vezmete, je väčší ako predchádzajúci desaťkrát.

V druhom príklade je to dvojka: každý člen je väčší ako predchádzajúci dvakrát.

Práve týmto kľúčovým bodom sa geometrická progresia líši od aritmetickej progresie. V aritmetickom postupe sa získa každý nasledujúci člen pridaním rovnakú hodnotu ako predchádzajúci termín. A tu - násobenie predchádzajúce obdobie o rovnakú sumu. To je celý rozdiel.)

Kľúčový bod č. 3

Tento kľúčový bod je úplne identický s bodom aritmetického postupu. menovite: Každý člen geometrickej postupnosti stojí na svojom mieste. Všetko je úplne rovnaké ako v aritmetickom postupe a komentáre sú podľa mňa zbytočné. Je tu prvý termín, je tam sto prvý atď. Prehoďme aspoň dva pojmy – vzor (a s ním aj geometrická postupnosť) zmizne. Zostane len postupnosť čísel bez akejkoľvek logiky.

To je všetko. To je celý zmysel geometrického postupu.

Termíny a označenia.

Ale teraz, keď sme pochopili význam a kľúčové body geometrickej progresie, môžeme prejsť k teórii. Inak, čo je teória bez pochopenia významu, však?

Ako označiť geometrickú progresiu?

Ako sa geometrická postupnosť píše vo všeobecnej forme? Žiaden problém! Každý termín postupu je tiež napísaný ako list. Iba na aritmetický postup sa zvyčajne používa písmeno "A", pre geometrické – písm "b". Číslo člena, ako obvykle, je uvedené index vpravo dole. Jednoducho uvádzame samotné členy progresie oddelené čiarkami alebo bodkočiarkami.

Páči sa ti to:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Stručne povedané, tento postup je napísaný takto: (b n) .

Alebo takto pre konečný postup:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

Alebo v skratke:

(b n), n=30 .

To je vlastne celé označenie. Všetko je rovnaké, len písmeno je iné, áno.) A teraz prejdeme priamo k definícii.

Definícia geometrickej progresie.

Geometrická postupnosť je postupnosť čísel, v ktorej je prvý člen nenulový a každý nasledujúci člen sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým nenulovým číslom.

To je celá definícia. Väčšina slov a fráz je vám jasná a známa. Ak, samozrejme, rozumiete významu geometrickej progresie „na prstoch“ a vo všeobecnosti. Existuje však aj niekoľko nových fráz, ktorým by som chcel venovať osobitnú pozornosť.

Najprv slová: „prvým členom ktorej nenulové".

Toto obmedzenie v prvom volebnom období nebolo zavedené náhodou. Čo si myslíte, že sa stane, ak prvý člen b 1 bude sa rovnať nule? Čomu sa bude rovnať druhý člen, ak je každý člen väčší ako predchádzajúci? rovnaký počet krát? Povedzme trikrát? Pozrime sa... Vynásobte prvý člen (t. j. 0) 3 a dostanete... nulu! A čo tretí člen? Tiež nula! A štvrtý termín je tiež nula! A tak ďalej…

Dostaneme len vrece rožkov, sekvenciu núl:

0, 0, 0, 0, …

Samozrejme, že takáto sekvencia má právo na život, ale nemá praktický význam. Všetko je čisté. Ktorýkoľvek jeho člen je nula. Súčet ľubovoľného počtu pojmov je tiež nula... Čo zaujímavé sa s tým dá robiť? nič…

Nasledujúce kľúčové slová: "vynásobené rovnakým nenulovým číslom."

Toto isté číslo má tiež svoje špeciálne meno - menovateľ geometrickej progresie. Začnime sa zoznamovať.)

Menovateľ geometrickej postupnosti.

Všetko je také jednoduché ako lúskanie hrušiek.

Menovateľom geometrickej progresie je nenulové číslo (alebo veličina) označujúce koľko krátkaždé obdobie postupu viac ako predchádzajúca.

Opäť, podobne ako pri aritmetickej progresii, kľúčové slovo, ktoré treba v tejto definícii hľadať, je slovo "viac". To znamená, že sa získa každý člen geometrickej progresie násobenie práve tomuto menovateľovi predchádzajúci člen.

Nechaj ma vysvetliť.

Na výpočet, povedzme druhý péro, treba zobrať najprvčlenom a množiť to na menovateľa. Pre výpočet desiaty péro, treba zobrať deviatyčlenom a množiť to na menovateľa.

Menovateľom samotnej geometrickej progresie môže byť čokoľvek. Úplne ktokoľvek! Celé, zlomkové, pozitívne, negatívne, iracionálne - všetko. Okrem nuly. To nám hovorí slovo „nenulové“ v definícii. Prečo je toto slovo potrebné tu - viac o tom neskôr.

Menovateľ geometrickej progresie najčastejšie označené písmenom q.

Ako to nájsť q? Žiaden problém! Musíme vziať akýkoľvek termín postupu a vydeliť predchádzajúcim termínom. Rozdelenie je zlomok. Odtiaľ pochádza názov - „menovateľ postupu“. Menovateľ, ten väčšinou sedí v zlomku, áno...) Aj keď, logicky, hodnota q treba zavolať súkromné geometrická progresia, podobne ako rozdiel pre aritmetický postup. Ale dohodli sme sa, že si zavoláme menovateľ. A nevynájdeme ani koleso.)

Definujme napríklad množstvo q pre túto geometrickú postupnosť:

2, 6, 18, 54, …

Všetko je elementárne. Vezmime si to akýkoľvek poradové číslo. Berieme si, čo chceme. Okrem toho úplne prvého. Napríklad 18. A deliť podľa predchádzajúce číslo. Teda o 6.

Dostaneme:

q = 18/6 = 3

To je všetko. Toto je správna odpoveď. Pre túto geometrickú postupnosť je menovateľ tri.

Poďme teraz nájsť menovateľa q pre ďalší geometrický postup. Napríklad tento:

1, -2, 4, -8, 16, …

Všetky rovnaké. Bez ohľadu na to, aké znaky majú samotní členovia, stále berieme akýkoľvekčíslo sekvencie (napríklad 16) a vydeliť predchádzajúce číslo(t.j. -8).

Dostaneme:

d = 16/(-8) = -2

A je to.) Tentokrát sa menovateľ progresie ukázal ako negatívny. Mínus dva. Stáva sa.)

Zoberme si teraz tento postup:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

A opäť, bez ohľadu na typ čísel v postupnosti (či celé čísla, párne zlomky, dokonca záporné, dokonca iracionálne), vezmeme ľubovoľné číslo (napríklad 1/9) a vydelíme predchádzajúcim číslom (1/3). Podľa pravidiel pre prácu so zlomkami, samozrejme.

Dostaneme:

To je všetko.) Tu sa ukázalo, že menovateľ je zlomkový: q = 1/3.

Čo si myslíte o tomto „pokroku“?

3, 3, 3, 3, 3, …

Očividne tu q = 1 . Formálne ide tiež o geometrický postup, len s identických členov.) Ale takéto pokroky sú na štúdium a praktické uplatnenie nezaujímavé. To isté ako progresie s plnými nulami. Preto ich nebudeme zvažovať.

Ako vidíte, menovateľom progresie môže byť čokoľvek – celé číslo, zlomok, kladné, záporné – čokoľvek! Nemôže to byť len nula. Neviete hádať prečo?

No, poďme použiť nejaký konkrétny príklad, aby sme videli, čo sa stane, ak vezmeme ako menovateľa q nula.) Nech máme napr b 1 = 2 , A q = 0 . Čomu sa potom bude rovnať druhý termín?

Počítame:

b 2 = b 1 · q= 20 = 0

A čo tretí člen?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Typy a správanie geometrických postupností.

Všetko bolo viac-menej jasné: ak je rozdiel v postupe d je pozitívny, potom sa progresia zvyšuje. Ak je rozdiel záporný, progresia klesá. Sú len dve možnosti. Tretia neexistuje.)

Ale so správaním geometrickej progresie bude všetko oveľa zaujímavejšie a pestrejšie!)

Bez ohľadu na to, ako sa tu pojmy správajú: pribúdajú a klesajú a donekonečna sa približujú k nule a dokonca menia znamienka, pričom sa striedavo vrhajú do „plus“ a potom do „mínusu“! A v celej tejto rozmanitosti musíte byť schopní dobre rozumieť, áno...

Poďme na to?) Začnime s najjednoduchším prípadom.

Menovateľ je kladný ( q >0)

S kladným menovateľom, po prvé, môžu vstúpiť podmienky geometrickej progresie plus nekonečno(t.j. zvýšenie bez obmedzenia) a môže ísť do mínus nekonečno(t.j. bez obmedzenia). Už sme si na toto správanie progresie zvykli.

Napríklad:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Všetko je tu jednoduché. Získa sa každý termín postupu viac ako predchádzajúce. Navyše sa ukáže každý termín násobenie predchádzajúci člen na pozitívnečíslo +2 (t.j. q = 2 ). Správanie takejto progresie je zrejmé: všetci členovia progresie rastú bez obmedzenia a idú do vesmíru. Navyše nekonečno...

A teraz je postup:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Aj tu sa získava každý člen postupu násobenie predchádzajúci člen na pozitívnečíslo +2. Ale správanie takejto progresie je presne opačné: získa sa každý člen progresie menej ako predchádzajúce a všetky jeho členy klesajú bez obmedzenia až do mínus nekonečna.

Teraz sa zamyslime: čo majú tieto dve progresie spoločné? Správne, menovateľ! Tu a tam q = +2 . Kladné číslo. Dva. A tu správanie Tieto dve progresie sú zásadne odlišné! Neviete hádať prečo? Áno! Je to všetko o prvý člen! Je to on, ako sa hovorí, kto volá melódiu.) Presvedčte sa sami.

V prvom prípade prvý termín progresie pozitívne(+1) a teda všetky nasledujúce výrazy získané vynásobením pozitívne menovateľ q = +2 , bude tiež pozitívne.

Ale v druhom prípade, prvý termín negatívne(-1). Preto všetky nasledujúce podmienky progresie, získané vynásobením pozitívne q = +2 , bude tiež získaný negatívne. Pretože „mínus“ až „plus“ vždy dáva „mínus“, áno.)

Ako vidíte, na rozdiel od aritmetickej progresie sa geometrická progresia môže správať úplne inak nielen v závislosti od menovateľaq, ale aj v závislosti od prvého člena, Áno.)

Pamätajte: správanie geometrickej progresie je jednoznačne určené jej prvým členom b 1 a menovateľq .

A teraz začneme analyzovať menej známe, ale oveľa zaujímavejšie prípady!

Zoberme si napríklad túto postupnosť:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Táto postupnosť je tiež geometrickým postupom! Každý termín tohto postupu sa tiež ukáže násobenie predchádzajúci člen rovnakým číslom. Je to len číslo - zlomkový: q = +1/2 . Alebo +0,5 . Navyše (dôležité!) číslo menej ako jeden:q = 1/2<1.

Prečo je tento geometrický postup zaujímavý? Kam smerujú jej členovia? Poďme sa pozrieť:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Čo zaujímavé si tu môžete všimnúť? Po prvé, pokles z hľadiska progresie je okamžite viditeľný: každý z jeho členov menej presne ten predchádzajúci 2 krát. Alebo podľa definície geometrickej progresie každý pojem viac predchádzajúce 1/2 krát, pretože menovateľ progresie q = 1/2 . A keď sa vynásobí kladným číslom menším ako jedna, výsledok zvyčajne klesá, áno...

Čo viac možno vidieť v správaní tejto progresie? Ubúdajú jej členovia? neobmedzené, ísť do mínus nekonečna? Nie! Miznú zvláštnym spôsobom. Najprv klesajú pomerne rýchlo a potom čoraz pomalšie. A zatiaľ čo zostáva po celý čas pozitívne. Aj keď veľmi, veľmi malé. A o čo sa oni sami usilujú? Neuhádli ste? Áno! Usilujú sa o nulu!) Navyše pozor, členovia našej progresie sú od nuly nikdy nedosiahnu! Iba približuje sa k nemu nekonečne blízko. Je to veľmi dôležité.)

Podobná situácia nastane v nasledujúcom postupe:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Tu b 1 = -1 , A q = 1/2 . Všetko je po starom, len teraz sa budú podmienky blížiť k nule z druhej strany, zdola. Zostať celý čas negatívne.)

Taký geometrický postup, ktorého podmienky priblížiť sa k nule bez obmedzenia(bez ohľadu na pozitívnu alebo negatívnu stránku), v matematike má špeciálny názov - nekonečne klesajúca geometrická progresia. Tento vývoj je taký zaujímavý a nezvyčajný, že sa o ňom bude dokonca diskutovať samostatná lekcia .)

Takže sme zvážili všetko možné pozitívne menovatele sú veľké aj menšie. Samotnú jednotku z vyššie uvedených dôvodov nepovažujeme za menovateľa (pamätajte na príklad s postupnosťou trojíc...)

Poďme si to zhrnúť:

pozitívneA viac než jeden (q>1), potom podmienky postupu:

a) zvýšenie bez obmedzenia (akb 1 >0);

b) bez obmedzenia (akb 1 <0).

Ak je menovateľom geometrickej progresie pozitívne A menej ako jeden (0< q<1), то члены прогрессии:

a) nekonečne blízko nule vyššie(Akb 1 >0);

b) nekonečne sa blíži k nule zdola(Akb 1 <0).

Teraz zostáva zvážiť prípad záporný menovateľ.

Menovateľ je záporný ( q <0)

Pre príklad nepôjdeme ďaleko. Prečo práve huňatá baba?!) Nech je napríklad prvý termín postupu b 1 = 1 , a zoberme si menovateľa q = -2.

Dostaneme nasledujúcu postupnosť:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

A tak ďalej.) Získa sa každý termín postupu násobenie predchádzajúci člen na záporné číslo-2. V tomto prípade budú všetci členovia stojaci na nepárnych miestach (prvý, tretí, piaty atď.). pozitívne a na párnych miestach (druhé, štvrté atď.) – negatívne. Znaky sa striktne striedajú. Plus-mínus-plus-mínus... Táto geometrická postupnosť sa nazýva - rastúce znamenie striedanie.

Kam smerujú jej členovia? Ale nikde.) Áno, v absolútnej hodnote (t.j. modulo)členovia našej progresie pribúdajú neobmedzene (odtiaľ názov „rastúce“). Ale zároveň vás každý člen progresie striedavo hádže do tepla, potom do chladu. Buď „plus“ alebo „mínus“. Naša progresia kolíše... Navyše rozsah výkyvov každým krokom rapídne rastie, áno.) Preto ašpirácie členov progresie niekam smerujú konkrétne Tu Nie Ani do plus nekonečna, ani do mínus nekonečna, ani do nuly – nikde.

Uvažujme teraz o nejakom zlomkovom menovateli medzi nulou a mínus jedna.

Napríklad, nechajme to tak b 1 = 1 , A q = -1/2.

Potom dostaneme priebeh:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

A opäť tu máme striedanie znamení! Ale na rozdiel od predchádzajúceho príkladu je tu už jasná tendencia, aby sa členy blížili k nule.) Len tentoraz sa naše členy nepribližujú k nule striktne zhora alebo zdola, ale opäť váhanie. Striedavo prijímanie kladných a záporných hodnôt. Ale zároveň oni modulov sú stále bližšie a bližšie k drahocennej nule.)

Táto geometrická postupnosť sa nazýva nekonečne klesajúci znak, striedavý.

Prečo sú tieto dva príklady zaujímavé? A skutočnosť, že v oboch prípadoch sa koná striedanie znakov! Tento trik je typický len pre postupnosti so záporným menovateľom, áno.) Ak teda v niektorej úlohe uvidíte geometrickú postupnosť so striedajúcimi sa členmi, budete už s istotou vedieť, že jej menovateľ je 100% záporný a neurobíte chybu. v znamení.)

Mimochodom, v prípade negatívneho menovateľa znamienko prvého termínu vôbec neovplyvňuje správanie samotnej progresie. Bez ohľadu na znamienko prvého členu postupu bude v každom prípade dodržané znamienko termínov. Jedinou otázkou je, na akých miestach(párne alebo nepárne) budú členovia so špecifickými znakmi.

Pamätajte:

Ak je menovateľom geometrickej progresie negatívne , potom sú znaky podmienok progresie vždy striedať.

Zároveň samotní členovia:

a) zvýšenie bez obmedzeniamodulo, Akq<-1;

b) nekonečne sa približovať k nule, ak -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

To je všetko. Všetky typické prípady boli analyzované.)

V procese analýzy rôznych príkladov geometrických postupností som pravidelne používal slová: "inklinuje k nule", "sklon k plus nekonečnu", "má tendenciu k mínus nekonečnu"... To je v poriadku.) Tieto slovné spojenia (a konkrétne príklady) sú len úvodným úvodom správanie rôzne číselné postupnosti. Na príklade geometrickej progresie.

Prečo vôbec potrebujeme poznať správanie progresie? Aký je rozdiel v tom, kam ide? Smerom k nule, k plus nekonečnu, k mínus nekonečnu... Čo to s nami robí?

Ide o to, že už na univerzite, na kurze vyššej matematiky, budete potrebovať schopnosť pracovať so širokou škálou číselných postupností (s akýmikoľvek, nielen postupnosťami!) a schopnosť presne si predstaviť, ako tá či oná postupnosť sa správa - či rastie, či neobmedzene klesá, či smeruje ku konkrétnemu číslu (a nie nevyhnutne k nule), alebo dokonca neinklinuje vôbec k ničomu... Tejto téme je venovaná celá jedna sekcia v kurze matematiky analýza - teória limitov. A trochu konkrétnejšie – koncept limit číselného radu. Veľmi zaujímavá téma! Má zmysel ísť na vysokú školu a prísť na to.)

Niektoré príklady z tejto časti (sekvencie s limitom) a najmä, nekonečne klesajúca geometrická progresia Začínajú si zvykať v škole. Zvykáme si.)

Navyše schopnosť dobre študovať správanie sekvencií vám v budúcnosti veľmi prospeje a bude veľmi užitočná funkčný výskum. Najrozmanitejšie. Ale schopnosť kompetentne pracovať s funkciami (vypočítať derivácie, študovať ich v plnom rozsahu, zostaviť ich grafy) už dramaticky zvyšuje vašu matematickú úroveň! Máte nejaké pochybnosti? Netreba. Pamätajte tiež na moje slová.)

Pozrime sa na geometrický postup v živote?

V živote okolo nás sa s geometrickým postupom stretávame veľmi, veľmi často. Aj bez toho, aby ste o tom vedeli.)

Napríklad rôzne mikroorganizmy, ktoré nás všade obklopujú v obrovských množstvách a ktoré bez mikroskopu ani nevidíme, sa množia presne geometrickým postupom.

Povedzme, že jedna baktéria sa rozmnožuje tak, že sa rozdelí na polovicu, čím sa potomstvo rozdelí na 2 baktérie. Na druhej strane sa každý z nich pri množení rozdelí na polovicu, čím sa získajú spoločné potomstvo 4 baktérií. Ďalšia generácia bude produkovať 8 baktérií, potom 16 baktérií, 32, 64 atď. S každou ďalšou generáciou sa počet baktérií zdvojnásobuje. Typický príklad geometrickej progresie.)

Tiež niektorý hmyz – vošky a muchy – sa množia exponenciálne. A niekedy aj králiky, mimochodom.)

Ďalším príkladom geometrickej progresie, bližšej každodennému životu, je tzv zložené úročenie. Tento zaujímavý jav sa často nachádza v bankových vkladoch a je tzv kapitalizácia úrokov.Čo to je?

Vy sám ste, samozrejme, ešte mladý. Študuješ v škole, nechodíš do bánk. Ale vaši rodičia sú už dospelí a nezávislí ľudia. Chodia do práce, zarábajú peniaze na svoj každodenný chlieb a časť peňazí vkladajú do banky, čím ušetria.)

Povedzme, že váš otec si chce našetriť určitú sumu peňazí na rodinnú dovolenku v Turecku a vloží 50 000 rubľov do banky pri 10 % ročne na obdobie troch rokov. s ročnou úrokovou kapitalizáciou. Navyše počas celého tohto obdobia sa s vkladom nedá nič robiť. Nemôžete ani doplniť vklad, ani vybrať peniaze z účtu. Aký zisk bude mať po týchto troch rokoch?

V prvom rade musíme zistiť, čo je 10 % ročne. Znamená to, že v roku K počiatočnej výške vkladu banka pripočíta 10 %. Z čoho? Samozrejme, od výška počiatočného vkladu.

Veľkosť účtu vypočítame po roku. Ak bola počiatočná výška vkladu 50 000 rubľov (t. j. 100%), potom po roku bude na účte úrok? Presne tak, 110%! Od 50 000 rubľov.

Takže vypočítame 110% z 50 000 rubľov:

50 000 · 1,1 = 55 000 rubľov.

Dúfam, že chápete, že nájdenie 110 % hodnoty znamená vynásobenie tejto hodnoty číslom 1,1? Ak nerozumiete, prečo je to tak, spomeňte si na piaty a šiesty ročník. Totiž – spojenie medzi percentami a zlomkami a časťami.)

Nárast za prvý rok teda bude 5 000 rubľov.

Koľko peňazí bude na účte o dva roky? 60 000 rubľov? Bohužiaľ (alebo skôr našťastie) nie je všetko také jednoduché. Celý trik kapitalizácie úrokov je v tom, že s každým novým prírastkom úrokov sa tieto rovnaké úroky už zohľadnia z novej sumy! Od toho, kto už je na účte Práve teraz. A úroky naakumulované za predchádzajúce obdobie sa pripočítavajú k pôvodnej výške vkladu a tým sa sám podieľa na výpočte nového úroku! To znamená, že sa stanú plnohodnotnou súčasťou celkového účtu. Alebo všeobecné kapitál. Odtiaľ názov - kapitalizácia úrokov.

Je to v ekonomike. A v matematike sa takéto percentá nazývajú zložené úročenie. Alebo percento úroku.) Ich trik je v tom, že pri postupnom výpočte sa percentá počítajú zakaždým z novej hodnoty. A nie z originálu...

Preto pre výpočet sumy cez dva roky, potrebujeme vypočítať 110% sumy, ktorá bude na účte v roku. To znamená, že už od 55 000 rubľov.

Počítame 110% z 55 000 rubľov:

55000·1,1 = 60500 rubľov.

To znamená, že percentuálny nárast za druhý rok bude 5 500 rubľov a na dva roky - 10 500 rubľov.

Teraz už môžete hádať, že po troch rokoch bude suma na účte 110% zo 60 500 rubľov. To je zase 110% z predchádzajúceho (minulého roku) sumy.

Tu si myslíme:

60500·1,1 = 66550 rubľov.

Teraz usporiadame naše peňažné sumy podľa rokov v poradí:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50 000 1,1) 1,1) 1,1

Ako to teda je? Prečo nie geometrický postup? Prvý člen b 1 = 50000 a menovateľ q = 1,1 . Každý výraz je striktne 1,1-krát väčší ako predchádzajúci. Všetko je v prísnom súlade s definíciou.)

A koľko dodatočných úrokových bonusov „nahromadí“ váš otec, zatiaľ čo jeho 50 000 rubľov leží na jeho bankovom účte už tri roky?

Počítame:

66550 – 50000 = 16550 rubľov

Nie veľa, samozrejme. To však platí, ak je počiatočná suma vkladu malá. Čo ak je toho viac? Povedzme, že nie 50, ale 200 tisíc rubľov? Potom nárast za tri roky bude 66 200 rubľov (ak to spočítate). Čo je už veľmi dobré.) Čo ak je príspevok ešte väčší? to je všetko...

Záver: čím je počiatočný vklad vyšší, tým je úroková kapitalizácia výnosnejšia. Preto vklady s úrokovou kapitalizáciou poskytujú banky na dlhé obdobia. Povedzme na päť rokov.

Tiež všetky druhy zlých chorôb ako chrípka, osýpky a ešte hroznejšie choroby (rovnaký SARS na začiatku 21. storočia alebo mor v stredoveku) sa radi šíria exponenciálne. Preto rozsah epidémií, áno...) A to všetko kvôli tomu, že geometrický postup s celý kladný menovateľ (q>1) – vec, ktorá rastie veľmi rýchlo! Pamätajte na rozmnožovanie baktérií: z jednej baktérie sa získajú dve, z dvoch - štyri, zo štyroch - osem atď... Rovnako je to s šírením akejkoľvek infekcie.)

Najjednoduchšie úlohy o geometrickom postupe.

Začnime ako vždy jednoduchým problémom. Čisto na pochopenie významu.

1. Je známe, že druhý člen geometrickej postupnosti sa rovná 6 a menovateľ sa rovná -0,5. Nájdite prvý, tretí a štvrtý výraz.

Takže sme dané nekonečné geometrický postup, ale známy druhý termín tento postup:

b2 = 6

Okrem toho tiež vieme menovateľ progresie:

q = -0,5

A musíte nájsť prvý, tretí A štvrtýčlenov tohto postupu.

Takže konáme. Postupnosť zapíšeme podľa podmienok úlohy. Priamo vo všeobecnej forme, kde druhý výraz je šesť:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Teraz začnime hľadať. Začíname ako vždy tým najjednoduchším. Môžete vypočítať napríklad tretí termín b 3? Môcť! Vy aj ja už vieme (priamo v zmysle geometrického postupu), že tretí termín (b 3) viac ako druhý (b 2 ) V "q" raz!

Takže píšeme:

b 3 =b 2 · q

Namiesto toho do tohto výrazu dosadíme šesť b 2 a -0,5 namiesto toho q a počítame. A nezanedbávame ani mínusy, samozrejme...

b3 = 6·(-0,5) = -3

Páči sa ti to. Tretí termín dopadol negatívne. Niet divu: náš menovateľ q– negatívny. A vynásobenie plus mínusom bude, samozrejme, mínus.)

Teraz počítame ďalšie, štvrté obdobie postupu:

b4 =b 3 · q

b4 = -3·(-0,5) = 1,5

Štvrtý termín je opäť s plusom. Piaty termín bude opäť mínus, šiesty plus atď. Znaky sa striedajú!

Takže sa našiel tretí a štvrtý výraz. Výsledkom je nasledujúca postupnosť:

b1; 6; -3; 1,5; ...

Teraz už zostáva len nájsť prvý termín b 1 podľa známeho druhého. Aby sme to urobili, vykročíme iným smerom, doľava. To znamená, že v tomto prípade nepotrebujeme násobiť druhý člen progresie menovateľom, ale rozdeliť.

Rozdelíme a dostaneme:

To je všetko.) Odpoveď na problém bude takáto:

-12; 6; -3; 1,5; …

Ako vidíte, princíp riešenia je rovnaký ako v . Vieme akýkoľvekčlenom a menovateľ geometrická postupnosť – môžeme nájsť akýkoľvek jej ďalší člen. Nájdeme tú, ktorú chceme.) Jediný rozdiel je v tom, že sčítanie/odčítanie je nahradené násobením/delením.

Zapamätajte si: ak poznáme aspoň jeden člen a menovateľ geometrickej postupnosti, vždy môžeme nájsť akýkoľvek iný člen tejto postupnosti.

Nasledujúci problém podľa tradície pochádza zo skutočnej verzie OGE:

...; 150; X; 6; 1,2; ...

Ako to teda je? Tentoraz neexistuje žiadny prvý termín, žiadny menovateľ q, je daná len postupnosť čísel... Niečo už známe, však? Áno! Podobný problém už bol vyriešený v aritmetickej postupnosti!

Takže sa nebojíme. Všetky rovnaké. Obráťme sa na hlavu a spomeňme si na elementárny význam geometrického postupu. Pozorne sa pozrieme na našu postupnosť a zistíme, ktoré parametre geometrickej postupnosti troch hlavných (prvý člen, menovateľ, číslo člena) sú v nej skryté.

Čísla členov? Nie sú tam žiadne členské čísla, áno... Ale sú štyri po sebe idúcichčísla. V tejto fáze nevidím zmysel vysvetľovať, čo toto slovo znamená.) Sú tam dva susedné známe čísla? Jedzte! Toto je 6 a 1,2. Takže môžeme nájsť menovateľ progresie. Takže vezmeme číslo 1,2 a rozdelíme na predchádzajúce číslo. Do šiestich.

Dostaneme:

X= 150,0,2 = 30

odpoveď: X = 30 .

Ako vidíte, všetko je celkom jednoduché. Hlavná ťažkosť je len vo výpočtoch. Obzvlášť ťažké je to v prípade záporných a zlomkových menovateľov. Takže tí, ktorí majú problémy, opakujte aritmetiku! Ako pracovať so zlomkami, ako pracovať so zápornými číslami a podobne... Inak tu nemilosrdne spomalíte.

Teraz poďme trochu upraviť problém. Teraz to bude zaujímavé! Odstránime z neho posledné číslo 1,2. Teraz poďme vyriešiť tento problém:

3. Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich členov geometrickej postupnosti:

...; 150; X; 6; ...

Nájdite člen progresie označený písmenom x.

Všetko je rovnaké, len dva susedia slávny Teraz nemáme žiadnych členov progresie. Toto je hlavný problém. Pretože veľkosť q cez dva susediace členy môžeme ľahko určiť nemôžeme. Máme šancu sa s úlohou vyrovnať? Určite!

Zapíšme si neznámy výraz " X„priamo v zmysle geometrickej progresie! Vo všeobecnosti.

Áno áno! Práve s neznámym menovateľom!

Na jednej strane pre X môžeme napísať nasledujúci pomer:

X= 150 ·q

Na druhej strane máme plné právo opísať to isté X Ďalšiečlen, cez šesť! Vydeľte šesť menovateľom.

Páči sa ti to:

X = 6/ q

Je zrejmé, že teraz môžeme oba tieto pomery vyrovnať. Keďže sa vyjadrujeme rovnaký magnitúda (x), ale dve rôzne cesty.

Dostaneme rovnicu:

Vynásobením všetkého q, zjednodušením a skrátením dostaneme rovnicu:

q2 = 1/25

Riešime a dostaneme:

q = ±1/5 = ±0,2

Ojoj! Menovateľ sa ukázal byť dvojnásobný! +0,2 a -0,2. A ktorý by ste si mali vybrať? Slepá ulica?

Pokojne! Áno, problém naozaj je dve riešenia! Nie je na tom nič zlé. Stáva sa.) Nečudujete sa, keď napríklad pri riešení bežného problému dostanete dva korene? Tu je ten istý príbeh.)

Pre q = +0,2 dostaneme:

X = 150 0,2 = 30

A pre q = -0,2 bude:

X = 150.(-0,2) = -30

Dostávame dvojitú odpoveď: X = 30; X = -30.

Čo znamená tento zaujímavý fakt? A čo existuje dve progresie, splnenie podmienok problému!

Ako tieto:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Obidve sú vhodné.) Prečo si myslíte, že sme sa rozdelili v odpovediach? Už len z dôvodu vyradenia konkrétneho člena postupu (1,2), prichádzajúceho po šiestej. A keďže poznáme iba predchádzajúci (n-1) a nasledujúci (n+1) člen geometrickej postupnosti, nemôžeme už jednoznačne povedať nič o tom, že medzi nimi stojí n-tý člen. Sú dve možnosti – s plusom a mínusom.

Ale žiadny problém. V úlohách geometrického postupu sú spravidla ďalšie informácie, ktoré dávajú jednoznačnú odpoveď. Povedzme slová: "striedavý postup" alebo "progresia s pozitívnym menovateľom" a tak ďalej... Práve tieto slová by mali slúžiť ako vodítko, aké znamienko plus alebo mínus zvoliť pri príprave konečnej odpovede. Ak takéto informácie neexistujú, potom áno, úloha bude mať dve riešenia.)

Teraz sa rozhodujeme sami.

4. Určte, či číslo 20 je členom geometrickej postupnosti:

4 ; 6; 9; …

5. Znamienko striedavého geometrického postupu je dané:

…; 5; X ; 45; …

Nájdite termín progresie označený písmenom X .

6. Nájdite štvrtý kladný člen geometrickej postupnosti:

625; -250; 100; …

7. Druhý člen geometrickej progresie sa rovná -360 a jeho piaty člen sa rovná 23,04. Nájdite prvý termín tohto postupu.

Odpovede (v neporiadku): -15; 900; nie; 2.56.

Gratulujeme, ak všetko klapne!

Niečo nesedí? Niekde bola dvojitá odpoveď? Pozorne si prečítajte podmienky zadania!

Posledný problém nevyrieši? Nie je tam nič zložité.) Pracujeme priamo podľa významu geometrickej postupnosti. No, môžeš si nakresliť obrázok. Pomáha to.)

Ako vidíte, všetko je elementárne. Ak je progresia krátka. Čo ak je to dlhé? Alebo je počet požadovaného člena veľmi veľký? Chcel by som, analogicky s aritmetickým postupom, nejakým spôsobom získať vhodný vzorec, ktorý uľahčí nájdenie akýkoľvek termín ľubovoľnej geometrickej progresie podľa jeho čísla. Bez násobenia mnohokrát q. A existuje taký vzorec!) Podrobnosti sú v ďalšej lekcii.

Tak si sadnime a začnime písať nejaké čísla. Napríklad:

Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich je). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré je prvé, ktoré druhé atď., až kým nie je posledné, čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:

Poradie čísel je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.

Napríklad pre našu postupnosť:

Priradené číslo je špecifické len pre jedno číslo v poradí. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako te číslo) je vždy rovnaké.

Číslo s číslom sa nazýva n-tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

V našom prípade:

Najbežnejšie typy progresie sú aritmetické a geometrické. V tejto téme budeme hovoriť o druhom type - geometrická progresia.

Prečo je potrebná geometrická progresia a jej história?

Už v staroveku sa taliansky matematický mních Leonardo z Pisy (známejší ako Fibonacci) zaoberal praktickými potrebami obchodu. Mních stál pred úlohou určiť, aký najmenší počet závaží je možné použiť na odváženie produktu? Fibonacci vo svojich prácach dokazuje, že takýto systém váh je optimálny: Toto je jedna z prvých situácií, v ktorej sa ľudia museli vysporiadať s geometrickou progresiou, o ktorej ste už určite počuli a máte o nej aspoň všeobecné pochopenie. Keď úplne pochopíte tému, zamyslite sa nad tým, prečo je takýto systém optimálny?

V súčasnosti sa v životnej praxi prejavuje geometrická progresia pri investovaní peňazí v banke, kedy sa výška úroku pripisuje k sume naakumulovanej na účte za predchádzajúce obdobie. Inými slovami, ak vložíte peniaze na termínovaný vklad do sporiteľne, tak po roku sa vklad navýši o pôvodnú sumu, t.j. nová suma sa bude rovnať príspevku vynásobenému o. V ďalšom roku sa táto suma zvýši o, t.j. suma získaná v tom čase sa opäť vynásobí atď. Podobná situácia je popísaná v úlohách výpočtu tzv zložené úročenie– percento sa vždy berie zo sumy, ktorá je na účte, pričom sa zohľadňuje predchádzajúci úrok. O týchto úlohách si povieme trochu neskôr.

Existuje oveľa viac jednoduchých prípadov, keď sa uplatňuje geometrická progresia. Napríklad šírenie chrípky: jeden človek nakazil druhého človeka, ten zasa nakazil ďalšieho človeka, a teda druhou vlnou nákazy je človek a ten zasa nakazil ďalšieho... a tak ďalej... .

Mimochodom, finančná pyramída, to isté MMM, je jednoduchý a suchý výpočet založený na vlastnostiach geometrickej progresie. zaujímavé? Poďme na to.

Geometrická progresia.

Povedzme, že máme číselnú postupnosť:

Hneď odpoviete, že je to jednoduché a názov takejto sekvencie je s rozdielom jej členov. A čo toto:

Ak odčítate predchádzajúce číslo od nasledujúceho čísla, uvidíte, že zakaždým dostanete nový rozdiel (a tak ďalej), ale postupnosť určite existuje a je ľahké si ju všimnúť - každé nasledujúce číslo je krát väčšie ako predchádzajúce!

Tento typ číselnej postupnosti sa nazýva geometrická progresia a je určený.

Geometrická postupnosť () je číselná postupnosť, ktorej prvý člen sa líši od nuly a každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.

Obmedzenia, že prvý člen ( ) nie je rovnaký a nie sú náhodné. Predpokladajme, že neexistujú žiadne a prvý člen je stále rovnaký a q sa rovná, hmm.. nech je to tak, potom to dopadne:

Súhlaste s tým, že toto už nie je progresia.

Ako ste pochopili, dostaneme rovnaké výsledky, ak existuje akékoľvek iné číslo ako nula, a. V týchto prípadoch jednoducho nedôjde k progresii, pretože celý číselný rad bude buď všetky nuly, alebo jedno číslo a všetky ostatné budú nuly.

Povedzme si teraz podrobnejšie o menovateľovi geometrickej postupnosti, teda o.

Zopakujme si: - toto je číslo koľkokrát sa každý nasledujúci výraz zmení? geometrický postup.

Čo si myslíte, že by to mohlo byť? To je správne, pozitívne a negatívne, ale nie nulové (o tomto sme hovorili trochu vyššie).

Predpokladajme, že ten náš je pozitívny. Nech v našom prípade a. Akú hodnotu má druhý termín a? Na to môžete ľahko odpovedať:

To je správne. Preto, ak, potom všetky nasledujúce podmienky progresie majú rovnaké znamienko - oni sú pozitívne.

Čo ak je to negatívne? Napríklad a. Akú hodnotu má druhý termín a?

Toto je úplne iný príbeh

Skúste spočítať podmienky tohto postupu. Koľko ste dostali? Mám. Ak teda, potom sa striedajú znaky členov geometrickej progresie. To znamená, že ak vidíte progresiu so striedajúcimi sa znakmi pre jej členov, potom je jej menovateľ záporný. Tieto znalosti vám môžu pomôcť otestovať sa pri riešení problémov na túto tému.

Teraz si poďme trochu precvičiť: skúste určiť, ktoré číselné postupnosti sú geometrickou postupnosťou a ktoré aritmetickou postupnosťou:

Mám to? Porovnajme naše odpovede:

Geometrická postupnosť – 3, 6.
Aritmetický postup – 2, 4.
Nie je to ani aritmetika, ani geometrická postupnosť – 1, 5, 7.

Vráťme sa k nášmu poslednému postupu a skúsme nájsť jeho člena, rovnako ako v aritmetickom. Ako ste možno uhádli, existujú dva spôsoby, ako ho nájsť.

Každý výraz postupne násobíme o.

Čiže tý člen opísanej geometrickej postupnosti sa rovná.

Ako ste už uhádli, teraz sami odvodíte vzorec, ktorý vám pomôže nájsť ľubovoľného člena geometrickej progresie. Alebo ste ho už vyvinuli pre seba a popísali, ako krok za krokom nájsť th člena? Ak áno, skontrolujte správnosť svojich úvah.

Ilustrujme to na príklade hľadania druhého člena tejto postupnosti:

Inými slovami:

Sami nájdite hodnotu člena danej geometrickej postupnosti.

Stalo? Porovnajme naše odpovede:

Upozorňujeme, že ste dostali presne rovnaké číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme postupne násobili každým predchádzajúcim členom geometrickej postupnosti.
Pokúsme sa „depersonalizovať“ tento vzorec - dajme to všeobecne a získajme:

Odvodený vzorec platí pre všetky hodnoty – kladné aj záporné. Overte si to sami výpočtom členov geometrickej postupnosti s nasledujúcimi podmienkami: , a.

Počítal si? Porovnajme výsledky:

Súhlaste s tým, že by bolo možné nájsť termín progresie rovnakým spôsobom ako termín, existuje však možnosť nesprávneho výpočtu. A ak sme už našli tý člen geometrickej postupnosti, čo môže byť jednoduchšie ako použiť „skrátenú“ časť vzorca.

Nekonečne klesajúca geometrická progresia.

Nedávno sme hovorili o tom, že môže byť väčšia alebo menšia ako nula, existujú však špeciálne hodnoty, pre ktoré sa geometrická progresia nazýva nekonečne klesajúci.

Prečo si myslíte, že je daný tento názov?
Najprv si napíšme nejaký geometrický postup pozostávajúci z pojmov.
Povedzme teda:

Vidíme, že každý nasledujúci člen je o faktor menší ako predchádzajúci, ale bude tam nejaké číslo? Okamžite odpoviete „nie“. Preto nekonečne klesá - klesá a klesá, ale nikdy sa nestane nulou.

Aby sme jasne pochopili, ako to vyzerá vizuálne, skúsme nakresliť graf nášho postupu. Takže v našom prípade má vzorec nasledujúcu formu:

Na grafoch, na ktoré sme zvyknutí vykresľovať závislosť, teda:

Podstata výrazu sa nezmenila: v prvom vstupe sme ukázali závislosť hodnoty člena geometrickej postupnosti od jeho poradového čísla a v druhom vstupe sme jednoducho zobrali hodnotu člena geometrickej postupnosti ako , a poradové číslo označil nie ako, ale ako. Zostáva už len zostaviť graf.
Pozrime sa, čo máš. Tu je graf, ktorý som vymyslel:

Vidíš? Funkcia klesá, má tendenciu k nule, ale nikdy ju neprekročí, takže nekonečne klesá. Vyznačme si na grafe naše body a zároveň, čo súradnica a znamená:

Skúste schematicky znázorniť graf geometrickej progresie, ak je jej prvý člen rovnaký. Analyzujte, aký je rozdiel od nášho predchádzajúceho grafu?

Zvládli ste to? Tu je graf, ktorý som vymyslel:

Teraz, keď ste úplne porozumeli základom témy geometrickej postupnosti: viete, čo to je, viete nájsť jej pojem a tiež viete, čo je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť, prejdime k jej hlavnej vlastnosti.

Vlastnosť geometrickej progresie.

Pamätáte si na vlastnosť členov aritmetického postupu? Áno, áno, ako nájsť hodnotu určitého počtu progresie, keď existujú predchádzajúce a nasledujúce hodnoty podmienok tejto progresie. Pamätáš si? toto:

Teraz stojíme pred presne tou istou otázkou pre podmienky geometrickej progresie. Aby sme odvodili takýto vzorec, začnime kresliť a uvažovať. Uvidíte, je to veľmi jednoduché a ak zabudnete, môžete to dostať von sami.

Zoberme si ďalšiu jednoduchú geometrickú postupnosť, v ktorej poznáme a. Ako nájsť? S aritmetickým postupom je to ľahké a jednoduché, ale čo tu? V skutočnosti nie je nič zložité ani v geometrii - stačí zapísať každú hodnotu, ktorá nám bola pridelená, podľa vzorca.

Môžete sa opýtať, čo by sme s tým teraz mali robiť? Áno, veľmi jednoduché. Najprv si tieto vzorce znázornime na obrázku a skúsme s nimi rôzne manipulovať, aby sme dospeli k hodnote.

Abstrahujme od čísel, ktoré sú nám dané, sústreďme sa len na ich vyjadrenie prostredníctvom vzorca. Musíme nájsť hodnotu zvýraznenú oranžovou farbou a poznať pojmy, ktoré s ňou susedia. Pokúsme sa s nimi vykonávať rôzne akcie, v dôsledku ktorých môžeme získať.

Doplnenie.
Skúsme pridať dva výrazy a dostaneme:

Z tohto výrazu, ako vidíte, ho nevieme nijako vyjadriť, preto skúsime inú možnosť - odčítanie.

Odčítanie.

Ako vidíte, ani to nevieme vyjadriť, preto skúsme tieto výrazy navzájom znásobiť.

Násobenie.

Teraz sa pozorne pozrite na to, čo máme, vynásobením podmienok geometrickej progresie v porovnaní s tým, čo je potrebné nájsť:

Hádajte, o čom hovorím? Správne, aby sme našli, musíme vziať druhú odmocninu čísel geometrickej postupnosti susediacich s požadovaným vynásobeným navzájom:

Nech sa páči. Sami ste odvodili vlastnosť geometrickej progresie. Skúste napísať tento vzorec vo všeobecnej forme. Stalo?

Zabudli ste na podmienku? Zamyslite sa nad tým, prečo je to dôležité, skúste si to napríklad vypočítať sami. Čo sa stane v tomto prípade? To je pravda, úplný nezmysel, pretože vzorec vyzerá takto:

Preto nezabudnite na toto obmedzenie.

Teraz vypočítajme, čo sa rovná

Správna odpoveď - ! Ak ste pri výpočte nezabudli na druhú možnú hodnotu, potom ste skvelí a môžete okamžite prejsť na tréning, a ak ste zabudli, prečítajte si, o čom je reč nižšie a venujte pozornosť tomu, prečo musia byť oba korene zapísané v odpoveď.

Nakreslíme si obe naše geometrické postupnosti – jednu s hodnotou a druhú s hodnotou a skontrolujeme, či obe majú právo na existenciu:

Aby sme skontrolovali, či takáto geometrická postupnosť existuje alebo nie, je potrebné zistiť, či sú všetky jej dané členy rovnaké? Vypočítajte q pre prvý a druhý prípad.

Vidíte, prečo musíme napísať dve odpovede? Pretože znamienko hľadaného výrazu závisí od toho, či je pozitívne alebo negatívne! A keďže nevieme, čo to je, musíme obidve odpovede napísať s plusom a mínusom.

Teraz, keď ste zvládli hlavné body a odvodili vzorec pre vlastnosť geometrickej postupnosti, nájdite, poznáte a

Porovnajte svoje odpovede so správnymi:

Čo si myslíte, čo keby sme dostali nie hodnoty členov geometrickej progresie susediace s požadovaným číslom, ale v rovnakej vzdialenosti od neho. Napríklad musíme nájsť, a dané a. Môžeme v tomto prípade použiť vzorec, ktorý sme odvodili? Pokúste sa potvrdiť alebo vyvrátiť túto možnosť rovnakým spôsobom, opíšte, z čoho pozostáva každá hodnota, ako ste to urobili, keď ste pôvodne odvodili vzorec, at.
Čo si dostal?

Teraz sa znova pozorne pozrite.
a zodpovedajúcim spôsobom:

Z toho môžeme usúdiť, že vzorec funguje nielen so susednými s požadovanými podmienkami geometrickej progresie, ale aj s v rovnakej vzdialenosti z toho, čo členovia hľadajú.

Náš počiatočný vzorec má teda tvar:

To znamená, že ak sme to v prvom prípade povedali, teraz povieme, že sa to môže rovnať akémukoľvek prirodzenému číslu, ktoré je menšie. Hlavná vec je, že je rovnaká pre obe uvedené čísla.

Cvičte na konkrétnych príkladoch, len buďte maximálne opatrní!

, . Nájsť.
, . Nájsť.
, . Nájsť.

Rozhodnuté? Dúfam, že ste boli mimoriadne pozorní a všimli ste si malý háčik.

Porovnajme výsledky.

V prvých dvoch prípadoch pokojne použijeme vyššie uvedený vzorec a získame nasledujúce hodnoty:

V treťom prípade, po dôkladnom preskúmaní sériových čísel čísel, ktoré nám boli pridelené, pochopíme, že nie sú v rovnakej vzdialenosti od čísla, ktoré hľadáme: je to predchádzajúce číslo, ale je odstránené na pozícii, takže je nie je možné použiť vzorec.

Ako to vyriešiť? V skutočnosti to nie je také ťažké, ako sa zdá! Zapíšme si, z čoho sa skladá každé číslo, ktoré nám bolo dané, a číslo, ktoré hľadáme.

Takže máme a. Pozrime sa, čo s nimi môžeme urobiť? Navrhujem deliť podľa. Dostaneme:

Naše údaje dosadíme do vzorca:

Ďalším krokom, ktorý môžeme nájsť, je - na to musíme vziať odmocninu z výsledného čísla.

Teraz sa znova pozrime na to, čo máme. Máme to, ale musíme to nájsť, a to sa zase rovná:

Zistili sme všetky potrebné údaje pre výpočet. Dosaďte do vzorca:

Naša odpoveď: .

Skúste sami vyriešiť iný podobný problém:
Vzhľadom na to: ,
Nájsť:

Koľko ste dostali? Mám - .

Ako vidíte, v podstate potrebujete zapamätaj si len jeden vzorec- . Všetko ostatné si môžete kedykoľvek bez problémov stiahnuť sami. Ak to chcete urobiť, jednoducho napíšte najjednoduchšiu geometrickú postupnosť na kus papiera a zapíšte si, čomu sa každé z jej čísel rovná, podľa vzorca opísaného vyššie.

Súčet členov geometrickej postupnosti.

Teraz sa pozrime na vzorce, ktoré nám umožňujú rýchlo vypočítať súčet členov geometrickej progresie v danom intervale:

Ak chcete odvodiť vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti, vynásobte všetky časti vyššie uvedenej rovnice číslom. Dostaneme:

Pozrite sa pozorne: čo majú posledné dva vzorce spoločné? Presne tak, napríklad spoloční členovia a podobne, okrem prvého a posledného člena. Skúsme odčítať 1. od 2. rovnice. Čo si dostal?

Teraz vyjadrite výraz geometrickej postupnosti cez vzorec a dosaďte výsledný výraz do nášho posledného vzorca:

Zoskupte výraz. Mali by ste dostať:

Zostáva len vyjadriť:

Podľa toho v tomto prípade.

Čo ak? Aký vzorec potom funguje? Predstavte si geometrickú postupnosť pri. Aká je? Séria identických čísel je správna, takže vzorec bude vyzerať takto:

Existuje veľa legiend o aritmetickom aj geometrickom postupe. Jednou z nich je legenda o Setovi, tvorcovi šachu.

Mnoho ľudí vie, že šachová hra bola vynájdená v Indii. Keď ju hinduistický kráľ stretol, bol potešený jej dôvtipom a rozmanitosťou pozícií, ktoré v nej boli možné. Keď sa kráľ dozvedel, že ho vynašiel jeden z jeho poddaných, rozhodol sa ho osobne odmeniť. Zavolal si vynálezcu k sebe a prikázal mu, aby si od neho vypýtal všetko, čo chce, pričom sľúbil, že splní aj tú najšikovnejšiu túžbu.

Seta požiadal o čas na rozmyslenie, a keď na druhý deň Seta predstúpil pred kráľa, prekvapil kráľa nevídanou skromnosťou svojej žiadosti. Požiadal, aby dal pšeničné zrno za prvé pole šachovnice, pšeničné zrno za druhé, pšeničné zrno za tretie, štvrté atď.

Kráľ sa nahneval a zahnal Setha so slovami, že žiadosť sluhu nie je hodná kráľovej štedrosti, ale sľúbil, že sluha dostane svoje obilie za všetky políčka dosky.

A teraz otázka: pomocou vzorca pre súčet členov geometrickej progresie vypočítajte, koľko zŕn by mal Seth dostať?

Začnime uvažovať. Keďže podľa podmienky Seth požiadal o pšeničné zrno na prvé pole šachovnice, na druhé, na tretie, na štvrté atď., potom vidíme, že problém je v geometrickom postupe. Čomu sa to v tomto prípade rovná?
Správny.

Celkový počet polí na šachovnici. Respektíve, . Všetky údaje máme, zostáva ich už len zapojiť do vzorca a vypočítať.

Aby sme si aspoň približne predstavili „mierku“ daného čísla, transformujeme pomocou vlastností stupňa:

Samozrejme, ak chcete, môžete si vziať kalkulačku a vypočítať, s akým číslom skončíte, a ak nie, musíte mi dať za slovo: konečná hodnota výrazu bude.
To je:

kvintilión kvadrilión bilión miliárd miliónov miliónov tisíc.

Fíha) Ak si chcete predstaviť obrovské množstvo tohto čísla, odhadnite, aká veľká stodola by bola potrebná na umiestnenie celého množstva obilia.
Ak je stodola m vysoká a m široká, jej dĺžka by musela siahať na km, t.j. dvakrát tak ďaleko ako od Zeme k Slnku.

Ak by bol kráľ silný v matematike, mohol pozvať samotného vedca, aby počítal zrnká, pretože na spočítanie milióna zrniek by potreboval aspoň deň neúnavného počítania a vzhľadom na to, že je potrebné počítať kvintilióny, zrniečka sa bude musieť počítať počas celého jeho života.

Teraz vyriešme jednoduchý problém zahŕňajúci súčet členov geometrickej progresie.
Študent triedy 5A Vasya ochorel na chrípku, ale naďalej chodí do školy. Každý deň Vasya infikuje dvoch ľudí, ktorí zase infikujú ďalších dvoch ľudí atď. V triede sú len ľudia. Za koľko dní bude celá trieda chorá na chrípku?

Prvým pojmom geometrickej progresie je teda Vasya, teda osoba. Termínom geometrickej progresie sú dvaja ľudia, ktorých nakazil v prvý deň svojho príchodu. Celkový súčet postupových termínov sa rovná počtu študentov 5A. V súlade s tým hovoríme o progresii, v ktorej:

Dosaďte naše údaje do vzorca pre súčet členov geometrickej progresie:

Do niekoľkých dní ochorie celá trieda. Neveríte vzorcom a číslam? Skúste sami vykresliť „infekciu“ študentov. Stalo? Pozrite sa, ako to vyzerá u mňa:

Spočítajte si sami, koľko dní by trvalo, kým by žiaci ochoreli na chrípku, ak by každý nakazil jedného človeka a v triede by bol iba jeden človek.

Akú hodnotu ste získali? Ukázalo sa, že všetci začali byť chorí po dni.

Ako vidíte, takáto úloha a jej kresba pripomínajú pyramídu, v ktorej každá ďalšia „prináša“ nových ľudí. Skôr či neskôr však príde moment, keď ten druhý nedokáže nikoho zaujať. V našom prípade, ak si predstavíme, že trieda je izolovaná, osoba z uzavrie reťazec (). Ak by teda bola osoba zapojená do finančnej pyramídy, v ktorej boli dané peniaze, ak by ste priviedli dvoch ďalších účastníkov, potom by táto osoba (alebo vo všeobecnosti) nikoho nepriviedla, a preto by stratila všetko, čo investovala do tohto finančného podvodu.

Všetko, čo bolo povedané vyššie, sa týka klesajúceho alebo rastúceho geometrického postupu, ale ako si pamätáte, máme špeciálny typ - nekonečne klesajúci geometrický postup. Ako vypočítať súčet jeho členov? A prečo má tento typ progresie určité vlastnosti? Poďme na to spolu.

Najprv sa teda pozrime znova na tento výkres nekonečne klesajúcej geometrickej progresie z nášho príkladu:

Teraz sa pozrime na vzorec pre súčet geometrickej progresie, odvodený o niečo skôr:
alebo

O čo sa usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenciu k nule. To znamená, že at, bude takmer rovnaký, respektíve, pri výpočte výrazu dostaneme takmer. V tejto súvislosti sa domnievame, že pri výpočte súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej progresie možno túto zátvorku zanedbať, pretože bude rovnaká.

- vzorec je súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.

DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti používame iba vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že potrebujeme nájsť súčet nekonečné počet členov.

Ak je zadané konkrétne číslo n, potom použijeme vzorec pre súčet n členov, aj keď alebo.

Teraz poďme cvičiť.

Nájdite súčet prvých členov geometrickej postupnosti s a.
Nájdite súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti s a.

Dúfam, že ste boli veľmi opatrní. Porovnajme naše odpovede:

Teraz viete všetko o geometrickom postupe a je čas prejsť od teórie k praxi. Najbežnejšími problémami geometrickej progresie, s ktorými sa pri skúške stretávame, sú problémy s výpočtom zloženého úroku. To sú tie, o ktorých budeme hovoriť.

Problémy s výpočtom zloženého úroku.

Určite ste už počuli o takzvanom vzorci zloženého úroku. Rozumiete, čo to znamená? Ak nie, poďme na to, pretože akonáhle pochopíte samotný proces, okamžite pochopíte, čo s tým má geometrická progresia spoločné.

Všetci chodíme do banky a vieme, že pre vklady existujú rôzne podmienky: zahŕňa to termín, doplnkové služby a úrok s dvoma rôznymi spôsobmi výpočtu - jednoduchý a zložitý.

S jednoduchý záujem všetko je viac-menej jasné: úrok sa pripisuje raz na konci doby vkladu. To znamená, že ak povieme, že vložíme 100 rubľov na rok, budú pripísané až na konci roka. Na konci vkladu teda dostaneme ruble.

Zložené úročenie- toto je možnosť, pri ktorej sa to stane kapitalizácia úrokov, t.j. ich pripočítanie k výške vkladu a následný výpočet príjmu nie z počiatočnej, ale z naakumulovanej sumy vkladu. Veľké písmená sa nevyskytujú neustále, ale s určitou frekvenciou. Spravidla sú takéto obdobia rovnaké a najčastejšie banky používajú mesiac, štvrťrok alebo rok.

Predpokladajme, že ukladáme rovnaké ruble ročne, ale s mesačnou kapitalizáciou vkladu. Čo robíme?

Rozumieš tu všetkému? Ak nie, poďme na to prísť krok za krokom.

Priniesli sme ruble do banky. Do konca mesiaca by sme mali mať na účte sumu pozostávajúcu z našich rubľov plus úrok z nich, teda:

Súhlasíte?

Môžeme to vyňať zo zátvoriek a potom dostaneme:

Súhlasíte, tento vzorec je už viac podobný tomu, čo sme napísali na začiatku. Zostáva len zistiť percentá

Vo vyhlásení o probléme sú uvedené ročné sadzby. Ako viete, nenásobíme - konvertujeme percentá na desatinné zlomky, to znamená:

Správny? Teraz sa môžete opýtať, odkiaľ pochádza číslo? Veľmi jednoduché!
Opakujem: problémové vyhlásenie hovorí o VÝROČNÝúrok, ktorý narastá MESAČNE. Ako viete, za rok mesiacov nám banka bude účtovať časť ročného úroku za mesiac:

Uvedomil si to? Teraz skúste napísať, ako by táto časť vzorca vyzerala, keby som povedal, že úroky sa počítajú denne.
Zvládli ste to? Porovnajme výsledky:

Výborne! Vráťme sa k našej úlohe: napíšte, koľko sa pripíše na náš účet v druhom mesiaci, berúc do úvahy, že z akumulovanej sumy vkladu sa hromadí úrok.
Tu je to, čo som dostal:

Alebo inak povedané:

Myslím, že ste si už všimli vzor a videli ste v tom všetkom geometrický pokrok. Napíšte, koľko sa bude jeho člen rovnať, alebo inak povedané, akú sumu peňazí dostaneme na konci mesiaca.
urobil? Skontrolujme to!

Ako vidíte, ak vložíte peniaze do banky na rok s jednoduchou úrokovou sadzbou, dostanete ruble, a ak so zloženou úrokovou sadzbou, dostanete ruble. Prínos je malý, ale stáva sa to iba počas tého roka, ale na dlhšie obdobie je kapitalizácia oveľa výnosnejšia:

Pozrime sa na iný typ problému týkajúceho sa zloženého úročenia. Po tom, čo ste prišli na to, to bude pre vás elementárne. Takže úloha:

Spoločnosť Zvezda začala do odvetvia investovať v roku 2000 s kapitálom v dolároch. Od roku 2001 každoročne dosahuje zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Aký zisk bude mať spoločnosť Zvezda na konci roka 2003, ak by zisky neboli stiahnuté z obehu?

Kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2000.
- kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2001.
- kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2002.
- kapitál spoločnosti Zvezda v roku 2003.

Alebo stručne napíšeme:

Pre náš prípad:

2000, 2001, 2002 a 2003.

Respektíve:
rubľov
Upozorňujeme, že v tomto probléme nemáme delenie ani podľa ani podľa, keďže percentá sa uvádzajú ROČNE a počítajú sa ROČNE. To znamená, že pri čítaní problému o zloženom úroku si dávajte pozor na to, aké percento je uvedené a v akom období sa počíta, a až potom prejdite na výpočty.
Teraz viete všetko o geometrickom postupe.

Školenie.

Nájdite člen geometrickej postupnosti, ak je známe, že a
Nájdite súčet prvých členov geometrickej postupnosti, ak je známe, že a
Spoločnosť MDM Capital začala investovať do tohto odvetvia v roku 2003 s kapitálom v dolároch. Od roku 2004 každoročne dosahuje zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Spoločnosť MSK Cash Flows začala investovať do odvetvia v roku 2005 vo výške 10 000 USD, pričom v roku 2006 začala dosahovať zisk vo výške . O koľko dolárov je kapitál jednej spoločnosti väčší ako druhej na konci roka 2007, ak by zisky neboli stiahnuté z obehu?

Odpovede:

Keďže problémový výrok nehovorí, že progresia je nekonečná a je potrebné nájsť súčet určitého počtu jej členov, výpočet sa vykoná podľa vzorca:
Spoločnosť MDM Capital:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- zvýši sa o 100 %, to znamená 2-krát.
Respektíve:
rubľov
Spoločnosť MSK Cash Flows:
2005, 2006, 2007.
- zvyšuje o, teda o časy.
Respektíve:
rubľov
rubľov

Poďme si to zhrnúť.

1) Geometrická postupnosť ( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, začínajúc od druhého, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.

2) Rovnica členov geometrickej postupnosti je .

3) môže nadobúdať akékoľvek hodnoty okrem a.

ak, potom všetky nasledujúce termíny progresie majú rovnaké znamienko - oni sú pozitívne;
ak, potom všetky nasledujúce podmienky postupu alternatívne znaky;
keď – progresia sa nazýva nekonečne klesajúca.

4) , at – vlastnosť geometrickej postupnosti (susedné členy)

alebo
, v (ekvidistantné výrazy)

Keď to nájdete, nezabudnite na to mali by byť dve odpovede.

Napríklad,

5) Súčet členov geometrickej progresie sa vypočíta podľa vzorca:
alebo

alebo

DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti použijeme iba vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že potrebujeme nájsť súčet nekonečného počtu členov.

6) Problémy so zloženým úrokom sa tiež vypočítajú pomocou vzorca tého členu geometrickej progresie za predpokladu, že finančné prostriedky neboli stiahnuté z obehu:

GEOMETRICKÁ PROGRESIA. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Geometrická progresia( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa volá menovateľ geometrickej postupnosti.

Menovateľ geometrickej progresie môže mať akúkoľvek hodnotu okrem a.

Ak potom všetky nasledujúce termíny progresie majú rovnaké znamienko - sú pozitívne;
ak, potom sa všetky nasledujúce členy progresie striedajú so znakmi;
keď – progresia sa nazýva nekonečne klesajúca.

Rovnica členov geometrickej postupnosti - .

Súčet členov geometrickej postupnosti vypočítané podľa vzorca:
alebo

Ak sa progresia nekonečne znižuje, potom:

OSTATNÉ 2/3 ČLÁNKOV SÚ K DISPOZÍCII LEN PRE MLADŠÍCH ŠTUDENTOV!

Staňte sa YouClever študentom,

Pripravte sa na Jednotnú štátnu skúšku alebo Jednotnú štátnu skúšku z matematiky za cenu „šálky kávy mesačne“

A tiež získate neobmedzený prístup k učebnici „YouClever“, prípravnému programu „100gia“ (knižka riešiteľov), neobmedzenej skúšobnej jednotnej štátnej skúške a jednotnej štátnej skúške, 6000 problémom s analýzou riešení a ďalším službám YouClever a 100gia.

22.09.2018 22:00

Geometrická postupnosť je spolu s aritmetickou postupnosťou dôležitým číselným radom, ktorý sa študuje v kurze školskej algebry v 9. ročníku. V tomto článku sa pozrieme na menovateľa geometrickej progresie a na to, ako jej hodnota ovplyvňuje jej vlastnosti.

Definícia geometrickej progresie

Najprv si dajme definíciu tohto číselného radu. Geometrická postupnosť je séria racionálnych čísel, ktorá vzniká postupným násobením jej prvého prvku konštantným číslom nazývaným menovateľ.

Napríklad čísla v rade 3, 6, 12, 24, ... sú geometrickým postupom, pretože ak vynásobíte 3 (prvý prvok) 2, dostanete 6. Ak vynásobíte 6 2, dostanete 12 a tak ďalej.

Členy uvažovanej postupnosti sa zvyčajne označujú symbolom ai, kde i je celé číslo označujúce číslo prvku v rade.

Vyššie uvedená definícia progresie môže byť napísaná v matematickom jazyku takto: an = bn-1 * a1, kde b je menovateľ. Je ľahké skontrolovať tento vzorec: ak n = 1, potom b1-1 = 1 a dostaneme a1 = a1. Ak n = 2, potom an = b * a1 a opäť sa dostávame k definícii príslušného číselného radu. Podobná úvaha môže pokračovať pre veľké hodnoty n.

Menovateľ geometrickej progresie

Číslo b úplne určuje, aký charakter bude mať celý číselný rad. Menovateľ b môže byť kladný, záporný alebo väčší alebo menší ako jedna. Všetky vyššie uvedené možnosti vedú k rôznym sekvenciám:

b > 1. Existuje rastúci rad racionálnych čísel. Napríklad 1, 2, 4, 8, ... Ak je prvok a1 záporný, potom sa celá postupnosť zvýši iba v absolútnej hodnote, ale zníži sa v závislosti od znamienka čísel.
b = 1. Tento prípad sa často nenazýva progresia, pretože existuje obyčajný rad rovnakých racionálnych čísel. Napríklad -4, -4, -4.

Vzorec pre množstvo

Predtým, ako prejdeme k úvahám o konkrétnych problémoch pomocou menovateľa typu uvažovanej progresie, mal by sa uviesť dôležitý vzorec pre súčet jej prvých n prvkov. Vzorec vyzerá takto: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Tento výraz môžete získať sami, ak vezmete do úvahy rekurzívnu postupnosť členov progresie. Všimnite si tiež, že vo vyššie uvedenom vzorci stačí poznať iba prvý prvok a menovateľ, aby ste našli súčet ľubovoľného počtu členov.

Nekonečne klesajúca sekvencia

Vyššie bolo uvedené vysvetlenie, čo to je. Teraz, keď poznáme vzorec pre Sn, aplikujme ho na tento číselný rad. Pretože každé číslo, ktorého modul nepresahuje 1, má sklon k nule, keď sa zvýši na veľké mocniny, to znamená, že b∞ => 0, ak -1

Keďže rozdiel (1 - b) bude vždy kladný, bez ohľadu na hodnotu menovateľa, znamienko súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti S∞ je jednoznačne určené znamienkom jej prvého prvku a1.

Teraz sa pozrime na niekoľko problémov, kde si ukážeme, ako aplikovať získané poznatky na konkrétnych číslach.

Úloha č. 1. Výpočet neznámych prvkov progresie a súčtu

Pri geometrickej postupnosti je menovateľ postupnosti 2 a jej prvý prvok je 3. Čomu sa bude rovnať jej 7. a 10. člen a aký je súčet jej siedmich počiatočných prvkov?

Podmienka problému je pomerne jednoduchá a zahŕňa priame použitie vyššie uvedených vzorcov. Na výpočet čísla prvku n teda použijeme výraz an = bn-1 * a1. Pre 7. prvok máme: a7 = b6 * a1, dosadením známych údajov dostaneme: a7 = 26 * 3 = 192. To isté urobíme pre 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Použime známy vzorec pre súčet a určme túto hodnotu pre prvých 7 prvkov radu. Máme: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Úloha č. 2. Určenie súčtu ľubovoľných prvkov progresie

Nech -2 sa rovná menovateľovi geometrickej postupnosti bn-1 * 4, kde n je celé číslo. Je potrebné určiť súčet od 5. do 10. prvku tohto radu vrátane.

Nastolený problém nemožno vyriešiť priamo pomocou známych vzorcov. Dá sa to vyriešiť 2 rôznymi spôsobmi. Pre úplnosť prezentácie témy uvádzame obe.

Metóda 1. Myšlienka je jednoduchá: musíte vypočítať dva zodpovedajúce súčty prvých výrazov a potom od jedného odpočítať druhý. Vypočítame menšie množstvo: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz vypočítame väčší súčet: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Všimnite si, že v poslednom výraze boli sčítané iba 4 výrazy, pretože 5. je už zahrnutý v sume, ktorú je potrebné vypočítať podľa podmienok problému. Nakoniec vezmeme rozdiel: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metóda 2. Pred dosadením čísel a počítaním môžete získať vzorec pre súčet medzi m a n členmi daného radu. Robíme presne to isté ako v metóde 1, len najprv pracujeme so symbolickým znázornením sumy. Máme: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Do výsledného výrazu môžete dosadiť známe čísla a vypočítať konečný výsledok: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Úloha č. 3. Aký je menovateľ?

Nech a1 = 2, nájdite menovateľa geometrickej postupnosti za predpokladu, že jej nekonečný súčet je 3 a je známe, že ide o klesajúci rad čísel.

Na základe podmienok problému nie je ťažké uhádnuť, ktorý vzorec by sa mal použiť na jeho vyriešenie. Samozrejme, pre súčet progresie nekonečne klesajúci. Máme: S∞ = a1 / (1 - b). Odkiaľ vyjadrujeme menovateľ: b = 1 - a1 / S∞. Zostáva nahradiť známe hodnoty a získať požadované číslo: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 alebo -0,333 (3). Tento výsledok môžeme kvalitatívne skontrolovať, ak si zapamätáme, že pre tento typ sekvencie by modul b nemal prekročiť 1. Ako je možné vidieť, |-1 / 3|

Úloha č. 4. Obnovenie série čísel

Nech sú dané 2 prvky číselného radu, napríklad 5. sa rovná 30 a 10. sa rovná 60. Z týchto údajov je potrebné rekonštruovať celý rad s vedomím, že spĺňa vlastnosti geometrickej postupnosti.

Ak chcete problém vyriešiť, musíte si najprv zapísať zodpovedajúci výraz pre každý známy výraz. Máme: a5 = b4 * a1 a a10 = b9 * a1. Teraz vydeľte druhý výraz prvým, dostaneme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odtiaľ určíme menovateľa tak, že vezmeme piaty odmocninec z pomeru pojmov známych z úlohy, b = 1,148698. Výsledné číslo dosadíme do jedného z výrazov pre známy prvok, dostaneme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Našli sme teda menovateľa progresie bn a geometrickú progresiu bn-1 * 17,2304966 = an, kde b = 1,148698.

Kde sa používajú geometrické postupnosti?

Ak by neexistovala praktická aplikácia tohto číselného radu, potom by sa jeho štúdium zredukovalo na čisto teoretický záujem. Ale taká aplikácia existuje.

Nižšie sú uvedené 3 najznámejšie príklady:

Zenónov paradox, v ktorom svižný Achilles nestíha pomalú korytnačku, je riešený konceptom nekonečne klesajúcej postupnosti čísel.
Ak umiestnite pšeničné zrná na každé políčko šachovnice tak, že na 1. políčko dáte 1 zrnko, na 2. - 2, na 3. - 3 atď., potom na vyplnenie všetkých políčok šachovnice budete potrebovať 18446744073709551615 zŕn!
V hre „Hanojská veža“ je na presun diskov z jednej tyče na druhú potrebné vykonať 2n - 1 operácií, to znamená, že ich počet rastie exponenciálne s počtom n použitých diskov.

Kievyan Street, 16 0016 Arménsko, Jerevan +374 11 233 255

Aritmetické a geometrické postupnosti

Teoretické informácie

Teoretické informácie

	Aritmetický postup	Geometrická progresia
Definícia	Aritmetický postup a n je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu členu pripočítanému k rovnakému číslu d (d- progresívny rozdiel)	Geometrická progresia b n je postupnosť nenulových čísel, z ktorých každý člen počnúc druhým sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým číslom q (q- menovateľ progresie)
Vzorec opakovania	Pre akékoľvek prírodné n a n + 1 = a n + d	Pre akékoľvek prírodné n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Vzorec n-tý termín	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Charakteristická vlastnosť
Súčet prvých n členov

Príklady úloh s komentármi

Cvičenie 1

V aritmetickom postupe ( a n) 1 = -6, a 2

Podľa vzorca n-tého členu:

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 d

Podľa podmienok:

1= -6 teda 22= -6 + 21 d.

Je potrebné nájsť rozdiel v postupnosti:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

odpoveď: 22 = -48.

Úloha 2

Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti: -3; 6;...

1. metóda (použitím n-členného vzorca)

Podľa vzorca pre n-tý člen geometrickej postupnosti:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Pretože b 1 = -3,

2. metóda (použitím opakujúceho sa vzorca)

Keďže menovateľ progresie je -2 (q = -2), potom:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

odpoveď: b 5 = -48.

Úloha 3

V aritmetickom postupe ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Nájdite sedemdesiaty piaty člen tohto postupu.

Pre aritmetickú progresiu má charakteristická vlastnosť tvar .

Preto:

Dosadíme údaje do vzorca:

odpoveď: 95.

Úloha 4

V aritmetickom postupe ( a n) a n= 3n - 4. Nájdite súčet prvých sedemnástich členov.

Na nájdenie súčtu prvých n členov aritmetickej progresie sa používajú dva vzorce:

Ktorý z nich je v tomto prípade vhodnejší?

Podľa podmienky je známy vzorec pre n-tý člen pôvodnej progresie ( a n) a n= 3n - 4. Môžete okamžite nájsť a 1, A 16 bez nájdenia d. Preto použijeme prvý vzorec.

Odpoveď: 368.

Úloha 5

V aritmetickom postupe ( a n) 1 = -6; a 2= -8. Nájdite dvadsiaty druhý termín postupu.

Podľa vzorca n-tého členu:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21 d.

Podľa podmienky, ak 1= -6 teda 22= -6 + 21 d. Je potrebné nájsť rozdiel v postupnosti:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

odpoveď: 22 = -48.

Úloha 6

Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich pojmov geometrickej postupnosti:

Nájdite člen postupnosti označený x.

Pri riešení použijeme vzorec pre n-tý člen b n = b 1 ∙ q n - 1 pre geometrické postupnosti. Prvý termín progresie. Ak chcete nájsť menovateľa progresie q, musíte vziať ktorýkoľvek z daných členov progresie a vydeliť ho predchádzajúcim. V našom príklade môžeme brať a deliť podľa. Dostaneme, že q = 3. Namiesto n dosadíme do vzorca 3, keďže je potrebné nájsť tretí člen danej geometrickej postupnosti.

Nahradením nájdených hodnôt do vzorca dostaneme: