İkinci dereceden eğriler. Elips: Formüller ve Problemler

1. Öklid düzleminde ikinci dereceden çizgiler.

2. İkinci dereceden doğruların denklemlerinin değişmezleri.

3. Denklemin değişmezlerinden ikinci dereceden doğruların türünün belirlenmesi.

4. Afin düzlemde ikinci dereceden çizgiler. Teklik teoremi.

5. İkinci dereceden çizgilerin merkezleri.

6. İkinci dereceden doğruların asimptotları ve çapları.

7. İkinci dereceden doğruların denklemlerinin en basitine indirgenmesi.

8. İkinci dereceden çizgilerin ana yönleri ve çapları.

KAYNAKÇA

1. Öklid düzleminde ikinci dereceden çizgiler.

Tanım:

Öklid düzlemi 2 boyutlu bir uzaydır,

(iki boyutlu gerçek uzay).

İkinci dereceden çizgiler, dairesel bir koninin tepesinden geçmeyen düzlemlerle kesiştiği çizgilerdir.

Bu satırlar genellikle doğa bilimlerinin çeşitli sorularında bulunur. Örneğin, bir malzeme noktasının merkezi yerçekimi alanının etkisi altındaki hareketi bu çizgilerden biri boyunca gerçekleşir.

Kesme düzlemi, koninin bir boşluğunun tüm doğrusal anatrikslerini keserse, o zaman bölümde bir çizgi elde edilir. elips(Şekil 1.1, a). Kesme düzlemi, koninin her iki boşluğunun jeneratörlerini keserse, o zaman bölümde bir çizgi elde edilir. abartı(Şekil 1.1.6). Ve son olarak, eğer sekant düzlemi koninin jeneratörlerinden birine paralel ise (1.1 ile, V- bu jeneratör AB), sonra bölümde denilen bir satır alırsınız parabol. Pirinç. 1.1, incelenmekte olan çizgilerin şeklinin görsel bir temsilini verir.

Şekil 1.1

İkinci dereceden doğrunun genel denklemi aşağıdaki forma sahiptir:

(1)

(1*)

Elips mesafelerin toplamının iki olduğu düzlemdeki noktalar kümesidir.sabit noktalarF 1 VeF 2 odak adı verilen bu düzlem sabit bir değerdir.

Bu, elipsin odaklarının çakışmasını dışlamaz. Açıkça odaklar aynıysa, elips bir dairedir.

Elipsin kanonik denklemini türetmek için, parçanın ortasındaki Kartezyen koordinat sisteminin O orijinini seçiyoruz. F 1 F 2 , baltalar Ah Ve kuruluş birimişekilde gösterildiği gibi doğrudan 1.2 (eğer hileler F 1 Ve F 2 çakışırsa, O ile çakışır F 1 Ve F 2 ve eksen için Ah içinden geçen herhangi bir eksen alınabilir HAKKINDA).

Segmentin uzunluğuna izin ver F 1 F 2 F 1 Ve F 2 sırasıyla (-c, 0) ve (c, 0) koordinatlarına sahiptir. ile göster 2a bir elipsin tanımında atıfta bulunulan sabit. Açıkçası, 2a > 2c, yani bir > ç ( Eğer M- elipsin noktası (bkz. Şekil 1.2), ardından | MF ] |+ | MF 2 | = 2 A, ve iki kenarın toplamı olduğundan MF 1 Ve MF 2 üçgen MF 1 F 2 bir üçüncü şahıstan daha fazlası F 1 F 2 = 2c, sonra 2a > 2c. 2a = 2c durumunu hariç tutmak doğaldır, çünkü o zaman nokta M Segmentte bulunan F 1 F 2 ve elips bir parçaya dejenere olur. ).

İzin vermek M (x, y)(Şekil 1.2). Noktadan olan mesafeleri r 1 ve r 2 ile belirtin M noktalara F 1 Ve F 2 sırasıyla. Bir elipsin tanımına göre eşitlik

R 1 + R 2 = 2a(1.1)

verilen elips üzerindeki M(x, y) noktasının konumu için gerekli ve yeterli koşuldur.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

(1.2)

(1.1) ve (1.2)'den şu sonuç çıkar: oran

(1.3)

verilen bir elips üzerinde x ve y koordinatlarına sahip bir M noktasının konumu için gerekli ve yeterli koşulu temsil eder. Bu nedenle, ilişki (1.3) şu şekilde kabul edilebilir: elips denklemi. Standart "radikallerin yok edilmesi" yöntemi kullanılarak, bu denklem şu şekle indirgenir:

(1.4) (1.5)

Denklem (1.4) olduğundan cebirsel sonuç elips denklemi (1.3), sonra koordinatlar x ve y Herhangi bir nokta M elips aynı zamanda (1.4) denklemini de sağlayacaktır. Radikallerden kurtulmayla ilişkili cebirsel dönüşümler sırasında "ekstra kökler" ortaya çıkabileceğinden, herhangi bir noktanın olduğundan emin olmalıyız. M, koordinatları denklemi (1.4) karşılayan, verilen elips üzerinde bulunur. Bunun için r niceliklerinin kanıtlanması açıkça yeterlidir. 1 ve r 2 her nokta için (1.1) ilişkisini sağlar. Öyleyse koordinatlara izin ver X Ve de puan M denklemi (1.4) karşılar. İkame değer 2'de(1.4)'ten r 1 için ifadenin (1.2) sağ tarafına basit dönüşümlerden sonra bunu buluruz (1.6)'yı bulduğumuz gibi tamamen aynı şekilde

yani R 1 + R 2 = 2a, ve bu nedenle M noktası bir elips üzerinde yer almaktadır. Denklem (1.4) denir elipsin kanonik denklemi. Miktarları A Ve B sırasıyla denir bir elipsin büyük ve küçük yarı eksenleri("Büyük" ve "küçük" adı şu gerçeğiyle açıklanmaktadır: bir > b).

Yorum. Eğer elipsin yarı eksenleri A Ve B eşittir, o zaman elips yarıçapı eşit olan bir dairedir R = A = B, ve merkez orijine denk gelir.

abartma iki sabit noktaya olan mesafelerdeki farkın mutlak değerinin olduğu düzlemdeki noktalar kümesidir,F 1 VeF 2 odak adı verilen bu düzlem sabit bir değerdir ( odaklar F 1 Ve F 2 hiperbolleri farklı düşünmek doğaldır, çünkü hiperbol tanımında belirtilen sabit sıfıra eşit değilse, o zaman düzlemin tek bir noktası yoktur. F 1 Ve F 2 , bu da bir hiperbol tanımının gereksinimlerini karşılar. Bu sabit sıfır ise ve F 1 ile çakışıyor F 2 , o zaman düzlemin herhangi bir noktası bir hiperbol tanımının gerekliliklerini karşılar. ).

Hiperbolün kanonik denklemini türetmek için, segmentin ortasındaki koordinatların orijinini seçiyoruz. F 1 F 2 , baltalar Ah Ve kuruluş birimişekilde gösterildiği gibi doğrudan 1.2. Segmentin uzunluğuna izin ver F 1 F 2 2s'ye eşittir. Daha sonra seçilen koordinat sisteminde noktalar F 1 Ve F 2 sırasıyla (-с, 0) ve (с, 0) koordinatlarına sahiptir. A bir hiperbol tanımında atıfta bulunulan sabit. Açıkçası 2a< 2с, т. е. A< с.

İzin vermek M- koordinatlı uçağın noktası (x, y)(Şekil 1.2). Mesafeleri r 1 ve r 2 ile belirtin MF 1 Ve MF 2 . Bir hiperbolün tanımına göre eşitlik

(1.7)

M noktasının verilen hiperbol üzerindeki konumu için gerek ve yeter koşuldur.

r 1 ve r 2 için ifadeleri (1.2) ve (1.7) ilişkisini kullanarak aşağıdakini elde ederiz belirli bir hiperbol üzerinde x ve y koordinatlarına sahip bir M noktasının konumu için gerekli ve yeterli koşul:

. (1.8)

"Radikallerin yok edilmesi" standart yöntemini kullanarak, denklemi (1.8) forma indirgeriz

(1.9) (1.10)

Denklemin (1.8) cebirsel dönüşümleri ile elde edilen denklemin (1.9) yeni kökler almadığından emin olmalıyız. Bunu yapmak için, her nokta için bunu kanıtlamak yeterlidir. M, koordinatlar X Ve de(1.9) denklemini karşılayan r 1 ve r 2 nicelikleri (1.7) bağıntısını sağlar. Formüller (1.6) türetilirken yapılanlara benzer argümanlar yürüterek, bizi ilgilendiren r 1 ve r 2 miktarları için aşağıdaki ifadeleri buluruz:

(1.11)

Böylece, ele alınan nokta için M sahibiz

, ve bu nedenle bir hiperbol üzerinde yer almaktadır.

Denklem (1.9) denir bir hiperbolün kanonik denklemi. Miktarları A Ve B sırasıyla gerçek ve hayali olarak adlandırılır. hiperbolün yarı eksenleri.

parabol bazı sabit noktalara olan mesafenin olduğu düzlemdeki noktalar kümesidir.Fbu düzlem, yine dikkate alınan düzlemde bulunan bazı sabit hatlara olan mesafeye eşittir.

Kartezyen koordinatlarda, birinci derecenin denklemi bazı düz çizgileri tanımlar.

Birinci dereceden bir denklemle Kartezyen koordinatlarda tanımlanan doğrulara birinci dereceden doğrular denir. Bu nedenle, her satır birinci dereceden bir satırdır.

Düz bir çizginin genel denklemi(birinci dereceden genel bir denklem olarak) aşağıdaki formdaki bir denklemle belirlenir:

Ah + Wu + İLE = 0.

Düz çizginin tamamlanmamış denklemlerini düşünün.

1. İLE= 0. Düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: Ah + Vu = 0; çizgi orijinden geçer.

2. İÇİNDE = 0 (A¹ 0). Denklem şuna benziyor Ah + İLE= 0 veya X =A, Nerede A= Doğru noktadan geçer A(A; 0), eksene paraleldir kuruluş birimi. Sayı A Ah(Şek. 1).

Pirinç. 1

Eğer A= 0, o zaman çizgi eksenle çakışıyor kuruluş birimi. y ekseni denklemi şu şekildedir:: X = 0.

3. A = 0 (İÇİNDE¹ 0). Denklem şuna benzer: Wu + İLE= 0 veya de = B, Nerede B= . Doğru noktadan geçer İÇİNDE(0; B), eksene paraleldir Ah. Sayı B eksendeki düz çizgiyi kesen parçanın değeridir kuruluş birimi(İncir. 2).

Pirinç. 2

Eğer b = 0 ise, düz çizgi Ox apsis ekseni ile çakışır. X ekseni denklemi Ox şu şekildedir: y \u003d 0.

Eksenlerdeki segmentlerde düz bir çizginin denklemi denklem ile belirlenir:

sayılar nerede A Ve B koordinat eksenlerinde düz bir çizgi ile kesilen segmentlerin değerleridir (Şekil 3).

(X 0 ;de 0)normal vektöre dik = {A; B), aşağıdaki formülle belirlenir:

A(X – X 0) + İÇİNDE(de – de 0) = 0.

Belirli bir M noktasından geçen doğrunun denklemi(X 0 ; de 0) yön vektörüne paralel = {ben; M), şu şekildedir:

Verilen iki M noktasından geçen doğrunun denklemi 1 (X 1 ; de 1) ve M 2 (X 2 ; de 2) denklem ile belirlenir:

Düz çizginin eğimi k doğrunun eksene olan açısının tanjantı denir Ah, eksenin pozitif yönünden düz çizgiye saat yönünün tersine ölçülür, k= tana.

Eğimi k olan düz bir çizginin denklemişuna benziyor:

y = kx + B,

Nerede k= tana, B- eksen üzerinde düz bir çizgi ile kesilen parçanın değeri kuruluş birimi(Şek. 4).

Belirli bir M noktasından geçen doğrunun denklemi(X 0 ;de 0)bu yönde(eğim k bilinen), aşağıdaki formülle belirlenir:

y - y 0 = k(X –X 0).

Belirli bir M noktasından geçen bir çizgi kaleminin denklemi(X 0 ;de 0) (eğim k bilinmiyor), aşağıdaki formülle belirlenir:

y - y 0 = k(X –X 0).

Çizgilerin kesişme noktasından geçen bir çizgi kaleminin denklemi

A 1 X + İÇİNDE 1 de + İLE 1 = 0 ve A 2 X + İÇİNDE 2 de + İLE 2 = 0, aşağıdaki formülle belirlenir:

α( A 1 X + İÇİNDE 1 de + İLE 1) + β( A 2 X + İÇİNDE 2 de + İLE 2) = 0.

Köşe j, düz bir çizgiden saat yönünün tersine sayılır y = k 1 X + B 1 ila düz y = k 2 X + B 2, formülle belirlenir (Şekil 5):

Genel denklemlerle verilen doğrular için A 1 X + İÇİNDE 1 de + İLE 1 = 0 ve A 2 X + İÇİNDE 2 de + İLE 2 = 0, iki düz çizgi arasındaki açı aşağıdaki formülle belirlenir:

İki doğru için paralellik koşulu şu şekildedir:: k 1 = k 2 veya .

İki çizginin diklik koşulu şu şekildedir:: veya A 1 A 2 + İÇİNDE 1 İÇİNDE 2 = 0.

Düz bir çizginin normal denklemi şu şekildedir::

Xçünkü + y sina- P = 0,

Nerede P- orijinden düz çizgiye düşen dikeyin uzunluğu, α dikeyin eksenin pozitif yönüne eğim açısıdır Ah(Şek. 6).

Doğrunun genel denklemini vermek Ah + Wu + İLE= 0'dan normal forma, tüm üyelerini şu şekilde çarpmanız gerekir: normalleştirme faktörü μ= , serbest terimin zıt işareti ile alınır İLE.

M noktasından uzaklık(X 0 ;de 0)dümdüz ah + Wu + İLE= 0, aşağıdaki formülle belirlenir:

A düz çizgileri arasındaki açıortay denklemleri 1 X + İÇİNDE 1 de + İLE 1 = 0 ve A 2 X + İÇİNDE 2 de + İLE 2 = 0 şu şekildedir:

Örnek 4. Bir üçgenin köşeleri verildiğinde ABC: A (–5; –7), İÇİNDE (7; 2), İLE(–6; 8). Aranan: 1) kenar uzunluğu AB; 2) yan denklemler AB Ve AC ve eğimleri; 3) iç köşe İÇİNDE; 4) medyan denklem AE; 5) denklem ve yükseklik uzunluğu CD; 6) açıortay denklemi AK; 7) bir noktadan geçen doğrunun denklemi E tarafa paralel AB; 8) nokta koordinatları M noktaya simetrik olarak yerleştirilmiş A nispeten düz CD.

1. Mesafe D iki nokta arasında A(X 1 ; de 1) ve İÇİNDE(X 2 ; de 2) aşağıdaki formülle belirlenir:

Kenar uzunluğunu bulun AB iki nokta arasındaki mesafe olarak A(-7; -8) ve İÇİNDE(8; –3):

2. Noktalardan geçen doğrunun denklemi A(X 1 ; de 1) ve İÇİNDE(X 2 ;y 2) şu şekle sahiptir:

Nokta koordinatlarını değiştirme A Ve İÇİNDE, yan denklemi elde ederiz AB:

3(X+ 5) = 4(de+ 7); 3X– 4de– 13 = 0 (AB).

Eğimi bulmak için AB dümdüz ( AB) elde edilen denklemi şuna göre çözeriz: de:

4y= 3X– 13;

düz bir çizginin denklemidir ( AB) açısal katsayılı,

Benzer şekilde, noktaların koordinatlarını değiştirerek İÇİNDE Ve İLE, düz çizginin denklemini elde ederiz ( Güneş):

6X– 42 = –13de+ 26; 6x + 13y– 68 = 0 (M.Ö).

Düz bir çizginin denklemini çözelim ( Güneş)nispeten de: .

3. Eğimleri eşit olan iki doğru arasındaki j açısının tanjantı k 1 ve k 2, aşağıdaki formülle belirlenir:

iç köşe İÇİNDE Düz çizgilerden oluşan ( AB) Ve ( Güneş) ve bu, düz çizginin döndürülmesi gereken dar açıdır. Güneş düz bir çizgiyle çakışana kadar pozitif yönde (saat yönünün tersine) ( AB). Bu nedenle, formülde yerine koyarız k 1 = , k 2 = :

Ð İÇİNDE= arktan = arktan 1,575 » 57,59°.

4. Ortanca denklemi bulmak için ( AE), önce noktanın koordinatlarını belirliyoruz E, yanın orta noktası hangisidir Güneş. Bunu yapmak için, bir parçayı iki eşit parçaya bölme formüllerini uyguluyoruz:

bu yüzden nokta E koordinatları vardır: E(0,5; 5).

İki noktadan geçen bir doğrunun denkleminde noktaların koordinatlarının yerine yazılması A Ve E, ortanca denklemi buluruz ( AE):

24X – 11de + 43 = 0 (AE).

5. Çünkü yükseklik CD tarafa dik AB, ardından düz çizgi ( AB) çizgisine dik ( CD). Yüksekliğin eğimini bulmak için CD, iki doğrunun dik olma koşulunu kullanırız:

Verilen bir noktadan geçen doğrunun denklemi M(X 0 ; de 0) belirli bir yönde (eğim k bilinen), şuna benzer:

y 0 = k (xx 0).

Noktanın koordinatlarını son denklemde yerine koymak İLE(–6; 8) ve , yükseklik denklemini elde ederiz CD:

de – 8 = (X -(–6)), 3de – 24 = – 4X– 24, 4X + 3de = 0 (CD).

Noktadan uzaklık M(X 0 ; de 0) düz Balta + By + C = 0, aşağıdaki formülle belirlenir:

Yükseklik uzunluğu CD noktadan uzaklığı bulun İLE(–6; 8) düz bir çizgiye ( AB): 3X – 4de– 13. Gerekli değerleri formülde yerine koyarak uzunluğu buluyoruz CD:

6. Düz çizgiler arasındaki açıortay denklemleri Balta + Tarafından + Ç= 0 ve
A 1 x+B 1 y + C 1 = 0, aşağıdaki formülle belirlenir:

Açıortay denklemi AKçizgiler arasındaki açıların açıortaylarının denklemlerinden biri olarak buluyoruz ( AB)Ve ( AC).

Düz çizginin denklemini yazalım ( AC) iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemi olarak A(-5; -7) ve İLE (–6; 8):

Son denklemi dönüştürelim:

15(X+ 5) = – (de+ 7); 15x + y + 82 = 0 (GİBİ).

Katsayıların genel çizgi denklemlerinden ikame edilmesi ( AB)Ve ( AC), açıortayların denklemlerini elde ederiz:

Son denklemi dönüştürelim:

; (3X – 4de– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 X - 4 de– 13 = ± (75 X +5de + 410).

İki durumu ele alalım:

1) 3 X - 4 de – 13 = 75X +5de+ 410.y AB.

Üçgen ABC, yükseklik CD, medyan AE, açıortay AK, dümdüz ben ve nokta M koordinat sisteminde yerleşik Ohu(Şek. 7).

11.1. Temel konseptler

Mevcut koordinatlara göre ikinci dereceden denklemlerle tanımlanan çizgileri göz önünde bulundurun

Denklemin katsayıları gerçek sayılardır, ancak A, B veya C sayılarından en az biri sıfır değildir. Bu tür çizgilere ikinci dereceden çizgiler (eğriler) denir. Denklemin (11.1) düzlemde bir daire, elips, hiperbol veya parabol tanımladığı aşağıda kurulacaktır. Bu iddiaya geçmeden önce, sıralanan eğrilerin özelliklerini inceleyelim.

11.2. Daire

İkinci dereceden en basit eğri bir dairedir. Bir noktada merkezli R yarıçaplı bir dairenin, düzlemin koşulu sağlayan tüm Μ noktalarının kümesi olduğunu hatırlayın. Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir noktanın x 0, y 0 a koordinatlarına sahip olmasına izin verin - dairenin keyfi bir noktası (bkz. Şekil 48).

Sonra koşuldan denklemi elde ederiz

(11.2)

Denklem (11.2), verilen çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları ile sağlanır ve çember üzerinde olmayan herhangi bir noktanın koordinatları ile sağlanmaz.

Denklem (11.2) denir çemberin kanonik denklemi

Özellikle, ve varsayarak, orijinde merkezli bir çemberin denklemini elde ederiz. .

Basit dönüşümlerden sonra daire denklemi (11.2) şeklini alacaktır. Bu denklemi ikinci dereceden bir eğrinin genel denklemi (11.1) ile karşılaştırırken, bir çemberin denklemi için iki koşulun sağlandığını görmek kolaydır:

1) x2 ve y2'deki katsayılar birbirine eşittir;

2) mevcut koordinatların xy çarpımını içeren üye yok.

Ters problemi ele alalım. Denklem (11.1) değerlerine koyarak ve elde ederiz

Bu denklemi dönüştürelim:

(11.4)

Denklemin (11.3) koşul altında bir çemberi tanımladığını takip eder. . Merkezi noktadadır ve yarıçap

.

Eğer , o zaman denklem (11.3) şu şekildedir:

.

Tek bir noktanın koordinatları tarafından karşılanır. . Bu durumda, “daire bir noktaya dejenere oldu” (sıfır yarıçapa sahip) derler.

Eğer , o zaman denklem (11.4) ve dolayısıyla eşdeğer denklem (11.3) herhangi bir doğru belirlemeyecektir, çünkü denklemin (11.4) sağ tarafı negatiftir ve sol tarafı negatif değildir (örneğin: “hayali daire”).

11.3. Elips

Bir elipsin kanonik denklemi

Elips düzlemin tüm noktalarının kümesi, her birinden bu düzlemin verilen iki noktasına olan mesafelerin toplamı, denir hileler , odaklar arasındaki mesafeden daha büyük sabit bir değerdir.

odakları şununla göster: F1 Ve F2, aralarındaki mesafe 2 C ve elipsin keyfi bir noktasından odaklara olan mesafelerin toplamı - 2'den A(bkz. şekil 49). tanım gereği 2 A > 2C, yani A > C.

Bir elipsin denklemini türetmek için bir koordinat sistemi seçiyoruz, böylece odaklar F1 Ve F2 eksen üzerinde uzanır ve orijin, parçanın orta noktasıyla çakışır F 1 F 2. Ardından odaklar aşağıdaki koordinatlara sahip olacaktır: ve .

Izin vermek elipsin keyfi bir noktası olsun. Daha sonra, bir elipsin tanımına göre, yani.

Bu aslında bir elipsin denklemidir.

Denklemi (11.5) aşağıdaki gibi daha basit bir forma dönüştürüyoruz:

Çünkü A>İle, O . koyalım

(11.6)

Sonra son denklem formu alır veya

(11.7)

Denklemin (11.7) orijinal denkleme eşdeğer olduğu kanıtlanabilir. denir elipsin kanonik denklemi .

Elips, ikinci dereceden bir eğridir.

Bir elipsin şeklinin denklemine göre incelenmesi

Kanonik denklemini kullanarak elipsin şeklini belirleyelim.

1. Denklem (11.7), x ve y'yi yalnızca çift güçlerde içerir, dolayısıyla bir nokta bir elipse aitse, o zaman , noktaları da ona aittir. Bundan, elipsin eksenlere göre simetrik olduğu ve ayrıca elipsin merkezi olarak adlandırılan noktaya göre simetrik olduğu sonucu çıkar.

2. Elips ile koordinat eksenlerinin kesişme noktalarını bulun. Koyarak, eksenin elipsle kesiştiği iki nokta ve , buluruz (bkz. Şekil 50). Denklemi (11.7) koyarak, elipsin eksenle kesişme noktalarını buluruz: ve . puan A 1 , A2 , B1, B2 isminde elipsin köşeleri. Segmentler A 1 A2 Ve B1 B2 uzunluklarının yanı sıra 2 A ve 2 B sırasıyla denir büyük ve küçük eksenler elips. Sayılar A Ve B sırasıyla büyük ve küçük olarak adlandırılır. aks milleri elips.

3. Denklem (11.7)'den sol taraftaki her terimin birden fazla olmadığı sonucu çıkar, yani eşitsizlikler vardır ve veya ve . Bu nedenle, elipsin tüm noktaları düz çizgilerin oluşturduğu dikdörtgenin içinde yer alır.

4. (11.7) denkleminde, ve negatif olmayan terimlerin toplamı bire eşittir. Sonuç olarak, bir terim arttıkça diğeri azalacaktır, yani artarsa ​​azalacaktır ve tersi de geçerlidir.

Söylenenlerden, elipsin Şekil 1'de gösterilen şekle sahip olduğu sonucu çıkar. 50 (oval kapalı eğri).

Elips hakkında daha fazla bilgi

Elips şekli orana bağlıdır. Elips çembere dönüştüğünde elips denklemi (11.7) şeklini alır. Elips şeklinin bir özelliği olarak, oran daha sık kullanılır. Odaklar arasındaki mesafenin yarısının elipsin yarı ana eksenine oranına elipsin eksantrikliği denir ve o6o, ε ("epsilon") harfiyle gösterilir:

0 ile<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Bu, elipsin eksantrikliği ne kadar küçükse, elipsin o kadar az basık olacağını gösterir; ε = 0 koyarsak, elips daireye dönüşür.

M(x; y), odak noktaları F 1 ve F 2 olan elipsin gelişigüzel bir noktası olsun (bkz. Şekil 51). F 1 M=r 1 ve F 2 M = r 2 segmentlerinin uzunluklarına M noktasının odak yarıçapları denir. Açıkça,

formüller var

Düz çizgiler denir

Teorem 11.1. Eğer elipsin herhangi bir noktasından bir odağa olan mesafe, d aynı noktadan bu odağa karşılık gelen doğrultmana olan mesafe ise, oran elipsin dışmerkezliğine eşit sabit bir değerdir:

Eşitlikten (11.6) şu çıkar: . Eğer , o zaman denklem (11.7), ana ekseni Oy ekseni üzerinde bulunan ve küçük ekseni Ox ekseni üzerinde bulunan bir elipsi tanımlar (bkz. Şekil 52). Böyle bir elipsin odakları noktalardadır ve nerede .

11.4. Hiperbol

Bir hiperbolün kanonik denklemi

abartma düzlemin tüm noktalarının kümesi denir, her birinden bu düzlemin verilen iki noktasına olan mesafelerdeki farkın modülü denir hileler , odaklar arasındaki mesafeden daha küçük olan sabit bir değerdir.

odakları şununla göster: F1 Ve F2 aralarındaki mesafe 2 saniye ve hiperbolün her noktasından odaklara olan mesafelerdeki farkın modülü 2a. bir manastır 2a < 2 saniye, yani A < C.

Hiperbol denklemini türetmek için bir koordinat sistemi seçiyoruz, böylece odaklar F1 Ve F2 eksen üzerinde uzanır ve orijin, segmentin orta noktasıyla çakışır F 1 F 2(bkz. şekil 53). O zaman odakların koordinatları olacak ve

Izin vermek hiperbolün keyfi bir noktası olsun. Sonra bir hiperbolün tanımına göre veya , yani Elips denklemini türetirken yapıldığı gibi basitleştirmelerden sonra, şunu elde ederiz: bir hiperbolün kanonik denklemi

(11.9)

(11.10)

Bir hiperbol, ikinci dereceden bir çizgidir.

Bir hiperbolün formunun denklemine göre incelenmesi

Kakonik denklemini kullanarak hiperbolün şeklini belirleyelim.

1. Denklem (11.9), x ve y'yi yalnızca çift üslerde içerir. Bu nedenle, hiperbol eksenlere göre simetriktir ve , aynı zamanda noktaya göre simetriktir. hiperbolün merkezi.

2. Hiperbolün koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun. Denklemi (11.9) koyarak, hiperbolün eksenle kesiştiği iki nokta buluyoruz : ve . (11.9)'u koyarak, olamayacak olanı elde ederiz. Bu nedenle, hiperbol y eksenini kesmez.

noktalar ve denir zirveler hiperboller ve segment

gerçek eksen , çizgi segmenti - gerçek yarı eksen abartı

Noktaları birleştiren doğru parçasına denir. hayali eksen , sayı b - hayali eksen . kenarlı dikdörtgen 2a Ve 2b isminde bir hiperbolün ana dikdörtgeni .

3. Denklem (11.9)'dan eksiltmenin birden az olmadığı, yani veya olduğu sonucu çıkar. Bu, hiperbolün noktalarının çizginin sağında (hiperbolün sağ kolu) ve çizginin solunda (hiperbolün sol kolu) bulunduğu anlamına gelir.

4. Hiperbolün (11.9) denkleminden, arttığında arttığı görülebilir. Bu, farkın sabit bir değeri bire eşit tutmasından kaynaklanır.

Söylenenlerden, hiperbolün Şekil 54'te gösterilen şekle (iki sınırsız daldan oluşan bir eğri) sahip olduğu sonucu çıkar.

Bir hiperbolün asimptotları

L doğrusuna asimptot denir Sınırsız bir K eğrisinin, eğer K eğrisinin M noktasından bu çizgiye olan d mesafesi, M noktası orijinden itibaren K eğrisi boyunca süresiz olarak hareket ederken sıfıra yöneliyorsa. Şekil 55, bir asimptot kavramını göstermektedir: L çizgisi, K eğrisi için bir asimptottur.

Hiperbolün iki asimptotu olduğunu gösterelim:

(11.11)

Doğrular (11.11) ve hiperbol (11.9) koordinat eksenlerine göre simetrik olduğundan, belirtilen çizgilerin yalnızca birinci kadranda bulunan noktalarını dikkate almak yeterlidir.

Bir hiperbol üzerindeki bir nokta ile aynı x apsisine sahip bir N noktasını düz bir çizgi üzerinde alın (bkz. Şekil 56) ve düz çizginin ordinatları ile hiperbolün dalı arasındaki ΜN farkını bulun:

Gördüğünüz gibi x arttıkça kesrin paydası artıyor; pay sabit bir değerdir. Bu nedenle segmentin uzunluğu ΜN sıfıra eğilimlidir. ΜN, Μ noktasından çizgiye olan d mesafesinden daha büyük olduğu için, d daha da fazla sıfıra eğilimlidir. Böylece, çizgiler (11.9) hiperbolünün asimptotlarıdır.

Bir hiperbol (11.9) oluştururken, önce hiperbolün ana dikdörtgenini oluşturmanız (bkz. Şekil 57), bu dikdörtgenin zıt köşelerinden geçen çizgiler çizmeniz - hiperbolün asimptotları ve köşeleri ve , hiperbolü işaretlemeniz önerilir. .

Bir eşkenar hiperbolün denklemi.

asimptotları koordinat eksenleri olan

Hiperbol (11.9), yarı eksenleri eşitse () eşkenar olarak adlandırılır. kanonik denklemi

(11.12)

Eşkenar bir hiperbolün asimptotları denklemlere sahiptir ve bu nedenle koordinat açılarının açıortaylarıdır.

Koordinat eksenlerini bir açıyla döndürerek eskisinden elde edilen yeni bir koordinat sisteminde (bkz. Şekil 58) bu hiperbolün denklemini düşünün. Koordinat eksenlerinin dönüşü için formülleri kullanıyoruz:

Denklemde (11.12) x ve y değerlerini değiştiriyoruz:

Ox ve Oy eksenlerinin asimptot olduğu bir eşkenar hiperbolün denklemi şu şekilde olacaktır.

Abartma hakkında daha fazla bilgi

eksantriklik hiperbol (11.9), odaklar arasındaki mesafenin hiperbolün gerçek ekseninin değerine oranıdır ve ε ile gösterilir:

Bir hiperbol için olduğundan, hiperbolün eksantrikliği birden büyüktür: . Eksantriklik, bir hiperbolün şeklini karakterize eder. Aslında, eşitlikten (11.10) şu çıkar ki, yani; Ve .

Bu, hiperbolün eksantrikliği ne kadar küçükse, yarı eksenlerinin oranının o kadar küçük olduğunu gösterir, bu da ana dikdörtgeninin o kadar genişlediği anlamına gelir.

Bir eşkenar hiperbolün dışmerkezliği . Gerçekten mi,

odak yarıçapı Ve hiperbolün sağ dalının noktaları için ve şeklindedir ve sol için - Ve .

Düz çizgilere bir hiperbolün doğrultmanları denir. ε > 1 hiperbol için, o zaman . Bu, sağ directrix'in hiperbolün merkezi ile sağ tepe noktası arasında, sol directrix'in merkez ile sol tepe noktası arasında yer aldığı anlamına gelir.

Bir hiperbolün doğrultmanları, bir elipsin doğrultmanlarıyla aynı özelliğe sahiptir.

Denklemin tanımladığı eğri aynı zamanda bir hiperboldür, gerçek ekseni 2b Oy ekseni üzerinde yer alır ve hayali ekseni 2'dir. A- Öküz ekseninde. Şekil 59'da noktalı çizgi olarak gösterilmiştir.

Açıkçası, hiperboller ve ortak asimptotlar var. Bu tür hiperbollere eşlenik denir.

11.5. Parabol

Kanonik parabol denklemi

Bir parabol, bir düzlemdeki, her biri odak adı verilen belirli bir noktadan ve doğrultman adı verilen belirli bir çizgiden eşit uzaklıkta olan tüm noktaların kümesidir. F odağından directrix'e olan mesafeye parabolün parametresi denir ve p (p > 0) ile gösterilir.

Parabol denklemini türetmek için, Oxy koordinat sistemini seçiyoruz, böylece Oksi ekseni, directrix'ten F yönünde directrix'e dik F odağından geçiyor ve O orijini, odak ile directrix arasında ortada yer alıyor (bkz. Şekil 60). Seçilen sistemde, F odağının koordinatları vardır ve directrix denklemi , veya şeklindedir.

1. (11.13) denkleminde, y değişkeni çift derecede dahil edilmiştir, bu da parabolün Ox ekseni etrafında simetrik olduğu anlamına gelir; x ekseni, parabolün simetri eksenidir.

2. ρ > 0 olduğundan, (11.13)'ten şu sonuç çıkar: . Bu nedenle, parabol y ekseninin sağında bulunur.

3. y \u003d 0'a sahip olduğumuzda. Bu nedenle, parabol orijinden geçer.

4. x'in sınırsız artışı ile y modülü de süresiz olarak artar. Parabol, Şekil 61'de gösterilen forma (şekle) sahiptir. O (0; 0) noktasına parabolün tepe noktası, FM \u003d r segmentine M noktasının odak yarıçapı denir.

Denklemler , , ( p>0) ayrıca parabolleri tanımlar, Şekil 62'de gösterilmiştir.

, B ve C'nin herhangi bir gerçek sayı olduğu bir kare üç terimlinin grafiğinin yukarıdaki tanım anlamında bir parabol olduğunu göstermek kolaydır.

11.6. İkinci dereceden doğruların genel denklemi

Koordinat eksenlerine paralel simetri eksenleriyle ikinci dereceden eğrilerin denklemleri

Önce simetri eksenleri Ox ve Oy koordinat eksenlerine paralel ve yarı eksenleri sırasıyla şuna eşit olan bir noktada merkezli bir elipsin denklemini bulalım: A Ve B. Eksenleri ve yarı eksenleri olan yeni koordinat sisteminin orijinini O 1 elipsinin merkezine yerleştirelim. A Ve B(bkz. şekil 64):

Ve son olarak, Şekil 65'te gösterilen parabollerin karşılık gelen denklemleri vardır.

Denklem

Bir elipsin, hiperbolün, parabolün denklemleri ve dönüşümlerden sonra bir dairenin denklemi (parantezleri açın, denklemin tüm terimlerini bir yönde hareket ettirin, benzer terimler getirin, katsayılar için yeni gösterimler getirin) tek bir denklem kullanılarak yazılabilir. biçim

burada A ve C katsayıları aynı anda sıfıra eşit değildir.

Soru ortaya çıkıyor: (11.14) şeklindeki herhangi bir denklem, ikinci dereceden eğrilerden (daire, elips, hiperbol, parabol) birini belirliyor mu? Cevap aşağıdaki teorem tarafından verilir.

Teorem 11.2. Denklem (11.14) her zaman şunları tanımlar: ya bir daire (A = C için) ya da bir elips (AC > 0 için) veya bir hiperbol (AC için)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

İkinci dereceden genel denklem

Şimdi iki bilinmeyenli ikinci derecenin genel denklemini ele alalım:

Koordinatların çarpımı (B¹ 0) ile bir terimin varlığıyla denklemden (11.14) farklıdır. Koordinat eksenlerini a açısı kadar döndürerek bu denklemi, koordinatların çarpımı olan terim içinde olmayacak şekilde dönüştürmek mümkündür.

Eksenleri döndürmek için formülleri kullanma

Eski koordinatları yenileri cinsinden ifade edelim:

x "y"deki katsayı sıfırlanacak şekilde a açısını seçiyoruz, yani eşitlik

Böylece eksenler (11.17) koşulunu sağlayan bir a açısı boyunca döndürüldüğünde, denklem (11.15) denklem (11.14)'e indirgenir.

Çözüm: ikinci mertebeden genel denklem (11.15), düzlemde (dejenerasyon ve bozunma durumları hariç) aşağıdaki eğrileri tanımlar: daire, elips, hiperbol, parabol.

Not: A = C ise denklem (11.17) anlamını kaybeder. Bu durumda cos2α = 0 (bakınız (11.16)), sonra 2α = 90°, yani α = 45°. Bu nedenle, A = C'de koordinat sistemi 45 ° döndürülmelidir.

Depositfiles'ten indirin

9 numaralı ders. Konu 3: İkinci dereceden çizgiler

İkinci dereceden bir denklemle tanımlanan bir çizginin bazı DSC'lerde verilmesine izin verin

nerede katsayılar
aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu hat denir eğri veya ikinci dereceden satır.

Puan kalmamış olabilir
denklemi (1) sağlayan gerçek koordinatlarla. Bu durumda, denklem (1)'in ikinci dereceden hayali bir çizgiyi tanımladığı kabul edilir. Örneğin,
 Bu hayali çemberin denklemidir.

Denklemin (1) üç önemli özel durumunu ele alalım.

3.1. Elips

Elips denklem ile tanımlanır

(2)

Oranlar A Ve B sırasıyla ana ve küçük yarı eksenler olarak adlandırılır ve denklem (2) şu şekildedir: kanonik elips denklemi.

koyalım
ve eksen üzerinde işaretleyin HAKKINDA Xpuan

isminde hileler elips. O zaman elips şu şekilde tanımlanabilir:

noktaların yeri, odaklara olan mesafelerin toplamı şuna eşit sabit bir değerdir: 2A.

de

B

M K

— AF 1 Ç F 2 A X

— B

Hadi gösterelim. nokta olsun
 elipsin geçerli noktası. Bu durumda eşitliği elde ederiz.

İfade (3) şu şekilde temsil edilebilir:

ve ifadenin her iki tarafının karesini alın

buradan anlıyoruz

Bu ifadenin karesini tekrar alalım ve bağıntıyı kullanalım.
, Daha sonra

(4)

İfadenin (4) her iki kısmını da şuna bölmek
, nihayet elipsin kanonik denklemini elde ediyoruz

Denklemi (2) inceleyelim. Denklemde yer değiştirirsek, denklem (2) değişmeyecektir. Bu, elipsin koordinat eksenleri etrafında simetrik olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, elipsin ilk çeyrekte bulunan kısmını ayrıntılı olarak ele alalım. Denklem tarafından belirlenir
Elipslerin noktalardan geçtiği açıktır.
. İlk çeyrekte şematik bir kurgu yaptıktan sonra grafiğini tüm çeyreklerde simetrik olarak göstereceğiz. Böylece, elips sürekli bir kapalı eğridir. noktalar denir elipsin köşeleri.

Davranış
ismindeeksantriklikelips. Elips için
.

doğrudan
isminde elips doğrultmanları.

Aşağıdaki directrix özelliği tutar:

Odaktan uzaklıkların ve elipsin noktaları için doğrultmana oranı, eksantrikliğe eşit sabit bir değerdir, yani

Eşitlik (3) ile aynı şekilde ispatlanır.

1. açıklama Daire
bir elipsin özel bir halidir. Onun için

3.2. Hiperbol

Bir hiperbolün kanonik denklemi şu şekildedir:

onlar. denklemde (1) koymalıyız

Oranlar A Ve B sırasıyla gerçek ve hayali yarı eksenler olarak adlandırılır.

koyarak
, eksen üzerinde işaretleyin HAKKINDA Xpuan
isminde hileler abartı O zaman hiperbol şu şekilde tanımlanabilir:

noktaların yeri, mutlak değerde odakların uzaklık farkı 2'ye eşittirA, yani

de

İLE M

F 1 —A HAKKINDA AF 2 X

Kanıt, elipsinkine benzer. Hiperbolün denklem biçiminden, grafiğinin koordinat sisteminin eksenleri etrafında simetrik olduğu sonucuna da varıyoruz. Hiperbolün birinci çeyrekte kalan kısmı şu denkleme sahiptir:
Bu denklemden görülebileceği gibi, yeterince büyükXdüz bir çizgiye yakın hiperbol
. İlk çeyrekte şematik bir kurgudan sonra grafiği tüm çeyreklerde simetrik olarak gösteriyoruz.

puan
isminde zirveler abartı doğrudan
isminde asimptotlar hiperbolün dallarının kesişmeden yöneldiği doğrulardır.

ilişki denireksantriklikabartı abartı için
.

Düz çizgiler denir yönetmenler abartı Bir hiperbolün doğrultmanları için özellik, bir elipsin doğrultmanlarınınkine benzer.

Örnek. Köşeleri odak noktalarında ve odak noktaları bir hiperbolün köşe noktalarında olan bir elipsin denklemini bulun
.

koşula göre
A

Sonunda alırız

10.3. Parabol

Parabol kanonik denklem ile tanımlanır
onlar. denklemde (1) koymalıyız

İLE katsayıR isminde İLEde

odak ayarı. M

O ekseni hakkında not Xnokta

odak denir

- elips;

- parabol;

- abartma.

deşifre metni

1 UÇAKTA İKİNCİ DÜZENİN 1. BÖLÜM HATLARI.1. Elips, hiperbol, parabol Tanımı. Bir elips, verilen iki F 1 ve F noktasına olan mesafelerin toplamının F 1 ile arasındaki mesafeyi aşan sabit bir a değeri olduğu, düzlemdeki tüm noktaların kümesidir. M(, x) F 1 Ö F x F 1 ve F noktalarına elipsin odakları denir ve aralarındaki FF 1 mesafesi, c ile gösterilen odak uzaklığıdır. M noktası elipse ait olsun. F1 M ve F M segmentlerine M noktasının odak yarıçapları denir. F1F = c olsun. Tanım olarak, a > c. F 1 ve F odaklarının orijine göre x ekseni üzerinde simetrik olarak yerleştirildiği dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi Ox'u ele alalım. Bu koordinat sisteminde, elips kanonik denklemle tanımlanır: x + = 1, a b 1

2. burada b= a c Parametreler a ve b sırasıyla elipsin ana ve küçük yarı eksenleri olarak adlandırılır. Bir elipsin eksantrikliği, c odak mesafesinin yarısının yarı ana eksene oranına eşit olan ε sayısıdır, yani e =. a elipsinin eksantrikliği eşitsizlikleri karşılar 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Bir hiperbolün kanonik denklemi x a = b 1, biçimindedir. burada b= c a a ve b sayılarına sırasıyla hiperbolün gerçek ve hayali yarı eksenleri denir. Eşitsizliğin tanımladığı bölge içinde hiperbol noktası yoktur. x a b Tanım. Bir hiperbolün asimptotları, = x, = x denklemleri tarafından verilen b b düz çizgileridir. a a Hiperbolün M(x,) noktasının odak yarıçapları, r 1 = ε x a, r = ε x+ a formülleriyle bulunabilir. Bir elips için olduğu gibi bir hiperbolün eksantrikliği, ε = formülü ile belirlenir. ε a >1 eşitsizliğinin hiperbolün eksantrikliği için doğru olduğunu kontrol etmek kolaydır. Tanım. Bir parabol, belirli bir F noktasına olan mesafenin F noktasından geçmeyen belirli bir d doğrusuna olan mesafeye eşit olduğu düzlemdeki tüm noktaların kümesidir. F noktasına parabolün odak noktası denir, ve d doğrusuna directrix denir. Odaktan directrix'e olan mesafeye parabolün parametresi denir ve p ile gösterilir. d M (x,) F x 4 3

4 Kartezyen koordinat sisteminin O orijinini, F noktasından d doğrusuna düşen bir dikme olan FD doğru parçasının ortasında seçelim. Bu koordinat sisteminde, F odağının koordinatları F p p;0'dır ve d doğrultmanı x + = 0 denklemiyle verilir. Bir parabolün kanonik denklemi: = px'dir. Parabol, parabol ekseni olarak adlandırılan OF ekseni etrafında simetriktir. Bu eksenin parabol ile kesiştiği O noktasına parabolün tepe noktası denir. M noktasının odak yarıçapı (x,) yani. Odağa olan p mesafesi, r = x+ formülüyle bulunur. 10B.. İkinci dereceden bir doğrunun genel denklemi İkinci dereceden bir doğru, düzlemde koordinatları x olan ve a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​​​11 1 denklemini sağlayan noktalar kümesidir. burada a11, a1, a, a10, a0, a00 bazı gerçek sayılar ve a, a, a aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu denkleme genel ikinci dereceden eğri denklemi denir ve rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0 vektör biçiminde de yazılabilir, burada 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10 ; a0) , x = (x;). T A = A olduğundan, A ikinci dereceden bir matristir r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Elips, hiperbol ve parabol düzlemdeki ikinci dereceden eğrilere örnektir. Adlandırılmış eğrilere ek olarak, x ile düz çizgilerle bağlanan ikinci dereceden başka eğri türleri de vardır. Örneğin, denklem = 0, burada a 0, b 0, a b 4

5 düzlemde kesişen bir çift çizgi tanımlar. Eğrinin denkleminin en basit halini aldığı koordinat sistemlerine kanonik denir. Dönüşümlerin bileşimini kullanarak: eksenlerin α açısı kadar dönüşü, orijinin noktaya (x0; 0) paralel transferi ve apsis ekseni etrafındaki yansıma, ikinci dereceden eğri denklemi kanonik denklemlerden birine indirgenir, bunların başlıcaları yukarıda listelenmiştir. 11BÖrnekler 1. Eksantrikliği ε = ve N(3;) noktasının 3. elips üzerinde olduğu biliniyorsa, merkezi orijinde olan ve apsis ekseni üzerinde bulunan odakları olan bir elipsin kanonik denklemini oluşturun. x a b Elips denklemi: + = 1. Elimizde = var. a b a 3 9 Dolayısıyla a = b olduğunu hesaplıyoruz. N(3;) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarak, + = 1 ve sonra b = 9 ve a b 81 a = = 16, elde ederiz. Bu nedenle, elipsin kanonik denklemi 5 x + = 1'dir. 16, 9. M 1 (5; 3) noktası ise, merkezi orijinde ve odakları apsis ekseninde bulunan bir hiperbolün kanonik denklemini oluşturun. hiperbol ve eksantriklik ε = verilmiştir. x Hiperbolün kanonik denklemi = 1. a b a + b = eşitliğinden b = a 5 9 elde ederiz. Dolayısıyla = 1 ve a =16. Bu nedenle, elipsin kanonik denklemi = a a a x 16 5

6 3. Odak yarıçapı 1,5 olan parabol = 10x üzerindeki noktaları bulunuz. Parabolün sağ yarım düzlemde yer aldığına dikkat edin. Eğer M(x; bir parabol üzerindeyse, o zaman x 0. Parametre p = 5. (;)) M x istenilen nokta olsun, F odak noktası, () parabolün doğrultmanı olsun. Daha sonra F,5; 0, d: x=,5. FM = ρ(M, d) olduğuna göre x +,5 = 1.5, 10 Cevap: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Yani iki puan elde ettik. M10; 10 M, () 4. x = 1 denklemiyle verilen hiperbolün sağ kolunda, sağ odaktan uzaklığı sol odaktan uzaklığının iki katı 16 9 olan bir nokta bulun. Hiperbolün sağ dalı için odak yarıçapları r 1 = ε x a ve r = ε x + a formülleriyle tanımlanır. Bu nedenle, ε x + a = (ε x a) denklemini elde ederiz. Belirli bir hiperbol için a = 4, 5 c = 5 ve ε =. Bu nedenle, x = 9.6. Buradan = ± x 16 = ± d Cevap: iki nokta M 1 (9.6; 0.6 119), (9.6; 0.6 119) M. 5. Mesafe oranı olan herhangi bir nokta için çizginin denklemini bulun F(3;0) noktasının 1 x 8= 0 düz çizgisine uzaklığı ε ='a eşittir. Satırın adını ve parametrelerini belirtin. mx; İstenen çizgi için eşitlik doğrudur: Rastgele bir nokta için () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 Dolayısıyla elimizde [(x 3) + ] = (x 8) var. Parantezleri açıp terimleri yeniden düzenleyerek (x+) + = 50 elde ederiz, yani (x+) + = Cevap: İstenen çizgi bir noktada ortalanmış bir elips ve yarı eksenler a = 5 ve b = Hiperbolün denklemini bulun Eski koordinatlar koordinatlar O () x ; 0; ;, ;. Yeni sistemdeki C(;0) = 8 (x;) ve yeni olanlar (zt;) 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t matris eşitliği ile ilişkilidir. Dolayısıyla x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4 denklemi. Cevap: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 kanonik forma. yeni koordinatlarda forma sahiptir İkinci dereceden formu düşünün () q x, = 4x 4x+. 4 form matrisi q, 5 ve 0 özdeğerlerine ve karşılık gelen ortonormal vektörlere sahiptir ve

8z 1 1x. t = 5 1 Eski koordinatları (x;) yenileri (zt) ile ifade edelim; : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t demek x = z+ t, = z+ t ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3 Dolayısıyla, yeni koordinatlarda, γ eğrisi 1 3 γ denklemiyle verilir: z z =. Ayar = z, x = t, γ: =, 1 elde ederiz, buradan γ: = 0 eğrisinin kanonik denklemini kanonik koordinatlarda = 5 x 1 1 x buluruz. γ eğrisinin bir çift paralel çizgi olduğuna dikkat edin. 1BEkonomik ve mali sorunların ekleri 8. Meyve almak için Anya, Boris ve Dmitry'nin her birinin 150 ruble olmasına izin verin. 1 kg armutun 15 para birimi, 1 kg elmanın 10 para birimi olduğu bilinmektedir. Aynı zamanda, her üç

9, satın alımını en üst düzeye çıkarmak istediği bir fayda işlevine sahiptir. x 1 kg armut ve x kg elma alınsın. Bu fayda fonksiyonları şu şekildedir: Anya için u = x + x, Boris için 1 A 1 x u B = +x ve Dmitry için ud = x1 x. Anya, Boris ve Dmitry için maksimum fayda fonksiyonlarını sağladıkları bir satın alma planı (x1, x) bulmak gerekiyor. x Şek. 5 Ele alınan problem geometrik olarak çözülebilir. Bu sorunu çözmek için seviye çizgisi kavramı tanıtılmalıdır. x x 1 Şek. 6 Bir z = f(x,) fonksiyonunun seviye çizgisi, fonksiyonun h'ye eşit bir sabit değeri tuttuğu düzlemdeki tüm noktaların kümesidir. x9

10 Bu durumda, çözüm aynı zamanda doğrusal eşitsizliklerle verilen düzlemdeki geometrik alanlar hakkındaki ilk fikirleri de kullanacaktır (bkz. alt bölüm 1.4). x x 1 Şek. 7 ua, uB ve uD fonksiyonlarının seviye çizgileri sırasıyla Anya, Boris ve Dmitry için düz çizgiler, elipsler ve hiperbollerdir. Problemin anlamı olarak x1 0, x 0 olduğunu varsayıyoruz. Öte yandan bütçe kısıtı 15x1+ 10x 150 eşitsizliği olarak yazılır. Son eşitsizliği 10'a bölerek 3x1+ x 30 veya + 1 elde ederiz. Görüldüğü gibi x1 bu eşitsizliğin çözüm alanıdır, negatif olmama koşulları ile birlikte x1 = 0, x = 0 ve 3x1+ x = doğruları ile sınırlanmış bir üçgendir.

11 X * X * Şek. 8 Şek. 9 Geometrik şekillere dayanarak, uamax = ua(0.15) = 15, ubmax = ub(0.15) = 5 ve udmax = ud(Q) olduğunu belirlemek artık çok kolay. Bütçe üçgeni kenarının düzey hiperbolünün teğetinin Q noktasının koordinatları zaten analitik olarak hesaplanmış olmalıdır. Bunu yapmak için, Q noktasının üç denklemi sağladığına dikkat edin: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Şekil

12 Denklemlerden h'yi çıkararak, Q= (x, x) = (5;7.5) noktasının koordinatlarını elde ederiz. 1 Yanıt: Q= (x1, x) = (5;7.5). 9. Şirketin doğrusal olmayan maliyet ve kar modeli. Firma A ve B olmak üzere iki tip çok amaçlı ekipmanı sırasıyla x ve üretim birimi miktarında üretsin. Aynı zamanda şirketin yıl içindeki geliri, Rx (,) = 4x+ gelir fonksiyonu ile, üretim maliyetleri ise şirketin aldığı 1 1 Cx (,) = 7.5+ x + 4 maliyet fonksiyonu ile ifade edilir. maksimum kar Üretim planını (x, ) 3'te belirleyin

13 Kâr fonksiyonu, gelir fonksiyonu ile maliyet fonksiyonu arasındaki fark olarak derlenir: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 Dönüşümleri yaptıktan sonra son ifadeyi 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1) formuna getiriyoruz. 4 Kar fonksiyonu için düzey çizgileri (x 8) (1) = h gibi görünür. 4 Her seviye çizgisi 0 h 9, orijinde merkezli bir elipstir. Ortaya çıkan ifadeden, kar fonksiyonunun maksimumunun 9 olduğunu ve x= 8, = 1'de elde edildiğini görmek kolaydır. Cevap: x = 8, = 1. 13BAlıştırmalar ve test soruları.1. Bir daire için normal denklemi yazın. Merkezin koordinatlarını ve çemberin yarıçapını bulun: a) x + + 8x 6=0; b) x x = 0... M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0)..3 noktalarından geçen çemberin denklemini yazınız. Bir elips tanımlayın ve kanonik denklemini yazın. Bir elipsin kanonik denklemini yazın, eğer 1 ise, dışmerkezliği ε = ve yarı ana ekseni şuna eşittir: Odakları orijine göre simetrik olarak ordinat ekseninde bulunan bir elipsin denklemini oluşturun, ayrıca şunu da bilin: c = 4 odakları ile dışmerkezlik ε = arasındaki mesafe Bir elipsin dışmerkezliğini belirleyin. Ana ekseni küçük ekseninin dört katı olan bir elipsin dışmerkezliğini bulun. 33

14.6. Bir hiperbol tanımlayın ve kanonik denklemini yazın. M (0; 0.5) noktasından ve x = 1 denklemiyle verilen hiperbolün sağ tepe noktasından geçen düz bir çizgi çizilir. Doğrunun ve hiperbolün ikinci kesişme noktasının koordinatlarını bulun. Hiperbolün eksantrikliğini tanımlayın. a = 1, b = 5 ise kanonik denklemini yazınız. Bu hiperbolün dışmerkezliği nedir?.8. Kanonik denklemi tarafından verilen hiperbolün asimptotları için denklemleri yazın. Asimptotları =± x denklemleri tarafından veriliyorsa ve 5 hiperbol M(10; 3 3)..9 noktasından geçiyorsa 3 hiperbolünün denklemini yazınız. Bir parabol tanımlayın ve kanonik denklemini yazın. Bir parabolün kanonik denklemini, x ekseni simetri ekseni ise, tepe noktası orijinde ise ve parabolün Öküz eksenine dik kirişinin uzunluğu 8 ise ve bu kirişin tepe noktasına olan mesafesi parabol = 1x üzerinde odak yarıçapı Cümle olan noktayı bulun ve bazı mallara olan talep p = 4q 1, p = + fonksiyonları tarafından verilir. Piyasa denge noktasını bulun. 1 q Grafikler oluşturun..1. Andrei, Katya ve Nikolai portakal ve muz alacaklar. x1 kg portakal ve x kg muz alın. Üçünün her birinin kendi satın alma işlevini ne kadar yararlı bulduğunu gösteren kendi yardımcı işlevi vardır. Bu yardımcı fonksiyonlar şu şekildedir: Andrey için u = x + x, Katya için 1 4 A 4 1 uK = x + x ve Nikolai için un = x1 x. a) h=1, 3 seviye değerleri için fayda fonksiyonunun seviye çizgilerini çizin. b) Her biri için, r = (4.1), s = (3.8), t = (1.1) almak için tercih sırasına göre düzenleyin. ). 34

Analitik Geometri Modülü. Düzlemde ve uzayda analitik geometri Anlatım 7 Özet Düzlemde ikinci dereceden doğrular: elips, hiperbol, parabol. Tanım, genel özellikler.

DERS N15. İkinci dereceden eğriler. 1. Çember... 1. Elips... 1 3. Hiperbol.... 4. Parabol.... 4 1. Çember

8 İkinci mertebeden eğriler 81 Daire Bir düzlemin merkez denilen bir noktadan eşit uzaklıkta, yarıçap denilen bir mesafedeki noktaların kümesine çember denir.Çemberin merkezi şu olsun:

Anlatım 13 Konu: İkinci dereceden eğriler Düzlemde ikinci dereceden eğriler: elips, hiperbol, parabol. Geometrik özelliklerine göre ikinci dereceden eğri denklemlerinin türetilmesi. Bir elipsin şeklinin incelenmesi,

DERS İkinci dereceden hiperbolün doğruları Örnek olarak, bir çemberi, bir parabolü, bir elipsi ve bir çemberi tanımlayan denklemler buluyoruz.

İkinci dereceden eğriler Daire Elips Hiperbol Parabol Düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi verilsin. İkinci dereceden bir eğri, koordinatları tatmin edici olan bir noktalar kümesidir.

Uzayda doğru ve düzlem Lineer cebir (11. ders) 24.11.2012 2 / 37 Uzayda doğru ve düzlem M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2) noktaları arasındaki mesafe , z2)

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Yaroslavl Devlet Üniversitesi P. G. Demidova Cebir Bölümü ve ikinci dereceden Matematiksel Mantık Eğrileri Bölüm I Yönergeleri

3. Hiperbol ve özellikleri Tanım 3.. Bir hiperbol, bazı dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemlerinde 0 denklemiyle tanımlanan bir eğridir. (3.) ve Eşitlik (3.) kanonik denklem olarak adlandırılır.

Uygulamalı ders 1 Konu: Hiperbol Planı 1 Hiperbolün tanımı ve kanonik denklemi Hiperbolün geometrik özellikleri Hiperbolün ve merkezinden geçen doğrunun karşılıklı konumu Asimptotlar

Ders özeti 13 ELİPS, HİPERBOLA VE PARABOLA 0. Ders planı Ders Elips, Hiperbol ve Parabol. 1. Elips. 1.1. Elips tanımı; 1.2. Kanonik koordinat sisteminin tanımı; 1.3. Denklem Türetme

ELIPSE MODULUS HİPERBOLLER PARABOLALAR Uygulamalı ders Konu: Elips Planı Bir elipsin tanımı ve kanonik denklemi Bir elipsin geometrik özellikleri Dışmerkezlik Elips şeklinin dışmerkezliğe bağımlılığı

İKİNCİ GÖREV 1. Uçakta düz bir çizgi. 1. İki doğru (, rn) = D ve r= r + a, burada (an,) 0 vektör denklemleriyle verilir. Çizgilerin kesişme noktasının yarıçap vektörünü bulun. 0 ton Bir yarıçap vektörü ile bir M 0 noktası verildiğinde

İkinci dereceden eğriler. Tanım: İkinci dereceden eğrinin çizgisi), düzlemin noktalarının kümesidir (M), Kartezyen koordinatları X, Y) ikinci derecenin cebirsel denklemini sağlar:,

UÇAK ÜZERİNDEKİ CEBİRSEL DOĞRULAR.

Elips ve özellikleri Tanım.. Bir elips, bazı dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemlerinde b, b 0 denklemiyle tanımlanan ikinci dereceden bir eğridir. (.) Eşitliğe (.) kanonik denir

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Anlatım 9 ELİPS, HİPERBOL VE PARABOL 1. Bir elipsin kanonik denklemi Tanım

ANALİTİK GEOMETRİNİN ELEMANLARI DÜZLEMİN ÜÇ BOYUTLU UZAYDAKİ İŞGALİ Düzlemin vektör denklemini yazınız ve bu denklemde yer alan niceliklerin anlamını açıklayınız.

Ders 12 Elips, hiperbol ve parabol. Kanonik denklemler. Bir elips, iki sabit F 1 ve F 2 noktasına olan uzaklıklarının toplamı olarak adlandırılan, düzlemdeki M noktalarının geometrik yeridir.

LINEER CEBİR Anlatım İkinci dereceden eğrilerin denklemleri Daire Tanımı Daire, r mesafesinde, çemberin merkezi denen bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir.

Ural Federal Üniversitesi, Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Enstitüsü, Cebir Bölümü ve ayrık Matematik Giriş notları Bu derste, bir parabolün ikinci mertebesinden üçüncü eğriyi inceleyeceğiz.

Anlatım 9.30 Bölüm Düzlemde analitik geometri Düzlemde koordinat sistemleri Dikdörtgen ve kutupsal koordinat sistemleri Düzlemde bir koordinat sistemi, belirlemenizi sağlayan bir yöntemdir

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Yaroslavl Devlet Üniversitesi P. G. Demidova Cebir ve Matematiksel Mantık Bölümü S. I. Yablokova İkinci Dereceden Eğriler Bölüm Uygulaması

Konu DÜZLEMDE VE UZAYDA ANALİTİK GEOMETRİNİN ELEMANLARI Anlatım.. Düzlem Planında Doğrular. Düzlemde koordinat yöntemi.. Kartezyen koordinatlarda düz çizgi.. Paralellik ve diklik durumu

Doğrusal Cebir ve Analitik Geometri Konu: İkinci dereceden eğriler Öğretim Görevlisi Rozhkova S.V. 01 15. İkinci dereceden Eğriler İkinci dereceden Eğriler, 1) dejenere ve) dejenere olmayan Dejenere olmak üzere ikiye ayrılır

Anlatım 11 1. KONİK BÖLÜMLER 1.1. Tanım. Bir dik dairesel koninin, bu koninin generatrisine dik bir düzlemle kesitini ele alalım. Eksenel tepe noktasındaki α açısının farklı değerleri için

Anlatım 9 1. KONİK BÖLÜMLER 1.1. Tanım. Bir dik dairesel koninin, bu koninin generatrisine dik bir düzlemle kesitini ele alalım. Eksenel tepe noktasındaki α açısının farklı değerleri için

Ural Federal Üniversitesi, Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Enstitüsü, Cebir ve Ayrık Matematik Bölümü Giriş Açıklamaları Bu derste, başka bir ikinci dereceden eğri olan hiperbolü inceleyeceğiz.

Alıştırma 14 Konu: Parabol Taslak 1. Parabolün tanımı ve kanonik denklemi Parabolün geometrik özellikleri. Bir parabolün ve merkezinden geçen düz bir çizginin göreli konumu. Ana

A N A L I T I C E S K I A G E O M E T R I I ikinci dereceden eğriler SHIMANCHUK Dmitry Viktorovich [e-posta korumalı] St.Petersburg Devlet Üniversitesi İşlemlerin Uygulamalı Matematiği Fakültesi

Matrisler 1 Verilen matrisleri bulun ve bulun: a) A + B; b) 2B; c) BT; d) AB T; e) B T A Çözüm a) Matrislerin toplamının tanımına göre b) Bir matrisin çarpımının bir sayıya göre tanımına göre c) Devrik bir matrisin tanımına göre

SEÇENEK 1 1 M 1 (18) ve M (1) noktalarından geçen düz çizginin k eğimini bulun; düz bir çizginin denklemini parametrik biçimde yazın Köşeleri A olan bir üçgenin kenarlarının ve ortancalarının denklemlerini oluşturun ()

Ölçek. Verilen matrisler A, B ve D. Eğer: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3 ise AB 9D'yi bulun. 3 7 7 3 7 A 3 ve B 3 matrislerini çarpın. elemanlardan oluşan 3 3 boyutunda C olacak

Bölüm 9 Düzlemdeki eğriler. İkinci dereceden eğriler 9. Temel kavramlar Oxy dikdörtgen koordinat sistemindeki Γ eğrisinin F (,) \u003d 0 denklemine sahip olduğu söylenir, eğer M (x, y) noktası bu eğriye aitse

Lineer Cebir ve Analitik Geometri Konu: İkinci Dereceden Eğriler Öğretim Görevlisi Pakhomova E.G. 01 15. İkinci dereceden Eğriler İkinci dereceden Eğriler, 1) dejenere ve) dejenere olmayan Dejenere olmak üzere ikiye ayrılır

Ural Federal Üniversitesi, Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Enstitüsü, Cebir ve Ayrık Matematik Bölümü

Bölüm 1 İkinci Mertebeden Eğriler ve Yüzeyler 1.9 hariç tüm bölümlerde koordinat sistemi dikdörtgendir. 1.1. İkinci dereceden eğrilerin ve diğer eğrilerin denklemlerinin hazırlanması 1. p) Kümenin

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü А.N. kanatnikov,

BÖLÜM 5. ANALİTİK GEOMETRİ 5.. Bir düzlemde doğru denklemi F(x, y) 0 şeklindeki bir denklem, eğer bu denklem belirli bir düzlem üzerinde uzanan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanıyorsa, bu denkleme çizgi denklemi denir.

Balakovo Mühendislik ve Teknoloji Enstitüsü - federal devlet özerk eğitim kurumunun şubesi Yüksek öğretim"Ulusal Araştırma Nükleer Üniversitesi" MEPhI "

İkinci dereceden doğrular Yu L. Kalinovsky Yüksek Matematik Üniversitesi "Dubna" Planı 2 3 4 5 6 7 İkinci dereceden doğrular: Kartezyen koordinatları denklemi karşılayan noktaların yeri

44. Abartma Tanımı. Bir hiperbol, uygun bir koordinat sistemindeki koordinatları b > 0 olmak üzere 2 2 y2 = 1, (1) b2 denklemini karşılayan bir düzlem üzerindeki tüm noktaların kümesidir. Bu denklem şu şekildedir:

Lineer Cebir ve Analitik Geometri Konu: İkinci Dereceden Eğriler (devamı) Öğretim Görevlisi Pakhomova E.G. 01 4. Elips, hiperbol ve parabolün genel tanımı TANIM. Direct a m, direct- olarak adlandırılır

1 Ders 1.4. İkinci dereceden eğriler ve yüzeyler Özet: kanonik denklemler eğriler: elips, hiperbol ve parabol. Bir elipsin ve bir hiperbolün parametrik denklemleri verildi.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Eğitim Kurumu mesleki Eğitim"Sibirya Devlet Sanayi Üniversitesi"

Pratik çalışma İkinci dereceden doğru ve eğri denklemlerini çizme Çalışmanın amacı: ikinci dereceden doğru ve eğri denklemlerini çizme becerisini pekiştirmek Çalışmanın içeriği. Temel konseptler. B C 0 vektörü

Kaçırılan derslerin tamamlanması için görevler İçindekiler Konu: Matrisler, bunlarla ilgili eylemler. Determinantların hesaplanması... 2 Konu: Ters matris. Ters matris kullanarak denklem sistemlerini çözme. formüller

Analitik geometri 5.. Düzlemde çizgi Düzlemde çizgi belirlemenin farklı yolları. Bir düzlemde düz bir çizginin genel denklemi. Hattın koordinat sistemine göre konumu. geometrik anlamda

SEÇENEK 11 1 M() noktası, N(1-1) noktasından l doğrusuna bırakılan dikmenin tabanıdır l doğrusunun denklemini yazın; N noktasından l doğrusuna olan mesafeyi bulun Geçen doğruların denklemlerini oluşturun

49. Silindirik ve konik yüzeyler 1. Silindirik yüzeyler Tanım. Uzayda bir l doğrusu ve sıfır olmayan bir a vektörü verilsin. Çeşitli yollardan geçen düz çizgilerin oluşturduğu yüzey

Analitik geometri Düzlem üzerinde analitik geometri. Koordinat yönteminin kullanıldığı cebir yardımıyla geometrik problemlerin analitik geometri çözümü. Uçakta koordinat sistemi altında

Seçenek 1 Görev 1. Bir elipsin geometrik tanımını verin. Problem 2. Dandelin toplarını kullanarak elipsin konik bir kesit olarak ortaya çıktığını kanıtlayın. Problem 3. P noktaları kümesinin

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. UÇAKTA ANALİTİK GEOMETRİ Kazan 008 0 Kazan Devlet Üniversitesi Genel Matematik Bölümü Sekaeva LR, Tyuleneva ON. DÜZLEMDE ANALİTİK GEOMETRİ

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Kazan Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi Yüksek Matematik Bölümü Vektör ve lineer cebirin unsurları. Analitik Geometri.

Düzlemde Analitik Geometri Bir çizginin denklemi, analitik geometrinin en önemli kavramıdır. y М(x, y) 0 x Tanım. Oksi düzlemindeki bir çizginin (eğrinin) denklemi,

Temel LA Problemlerine Örnekler Gauss Yöntemi Tanımlı Doğrusal Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemini Gauss Yöntemi Kullanarak Çöz x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Lineer Denklem Sistemini Gauss Yöntemi Kullanarak Çöz 6

SEÇENEK 16 1 M 1 (3 4) ve M (6) noktalarından geçen bir doğru çizilir. Bu çizginin koordinat eksenleriyle kesiştiği noktaları bulun A (1) noktalarının karşılık geldiği üçgenin kenarlarının denklemlerini oluşturun ) B (3 1) C (0 4)

Test 3 SEÇENEK 1 Doğruların kesişme noktasından geçen dik bir doğrunun denklemini yazın ve .. Noktalardan geçen düz bir çizginin denklemini yazın ve noktadan olan mesafeyi bulun

DÜZLEMDE ANALİTİK GEOMETRİNİN ELEMANLARI. Düz çizgi 1. Köşeleri A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5) noktaları olan bir üçgenin çevresini hesaplayın. 2. A(7;

Analitik geometri Modül 1 Matris cebiri Vektör cebiri Metin 5 (kendi kendine çalışma) Soyut Düzlemde ve uzayda Kartezyen koordinat sistemi Mesafe formülleri

Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı Rostov Devlet Üniversitesi Mekanik ve Matematik Fakültesi Geometri Bölümü Kazak V.V. Birinci sınıf öğrencileri için analitik geometri çalıştayı

BİR DÜZLEMİN ANALİTİK GEOETRİ GENEL DENKLEMLERİ. OPD Düzlem, bir düz çizginin iki noktası bu düzleme aitse, o zaman düz çizginin tüm noktalarının verilen bire ait olma özelliğine sahip bir yüzeydir.

DERS 5 ANALİTİK GEOMETRİNİN ELEMANLARI. 1 1. Uzayda yüzey denklemi ve çizgi denklemleri. Denklemlerin geometrik anlamı Analitik geometride herhangi bir yüzey bir koleksiyon olarak kabul edilir.

Bölüm 1 DOĞRULAR VE DÜZLEMLER n R. 1.1. Nokta uzayları Önceden, dizilerin aritmetik uzayı dikkate alınıyordu.Matematikte, sonlu sıralı bir koordinatlar kümesi sadece yorumlanamaz.

Analitik geometride test görevi. Dönem 2. Seçenek 1 1. (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, 5x 12y + 1 = 0 doğrusuna paralel çembere teğet denklemlerini bulun. 2. Teğetin denklemini yazın

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Özerk Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu Kazan (Volga Bölgesi) Federal Üniversitesi

Yüksek dereceli diferansiyeller. Sınav bileti. Matrisler, temel kavramlar ve tanımlar.. A (;) ve B (-; 6) noktaları çaplardan birinin uçları ise çemberin denklemini yazınız.. Köşeleri verilmiştir.

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü А.N. kanatnikov,

İkinci dereceden yüzeyler. Üç boyutlu uzayda bir yüzey, F(x; y; z) = 0 veya z = f(x; y) şeklindeki bir denklemle tanımlanır. İki yüzeyin kesişimi, uzayda bir çizgiyi tanımlar, yani. uzayda çizgi