Matematiksel mantık: "Ayrık matematiğin temelleri" dersi için yönergeler. Matematiksel mantık: "Ayrık matematiğin temelleri" dersi için yönergeler ve yüklem cebiri kullanılarak akıl yürütmenin analizi
Sorun 2. 1
Eğer P(x) M kümesinde tanımlı tekli bir yüklem ise, aşağıda listelenen sembolik ifadeleri kelimelerle ifade edin:
Sorun 2. 2
x*x eşitsizliği olarak tanımlanan A(x) yükleminin genişletilmesine ne olur?<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:
Sorun 2.3
R(x) - "x bir gerçel sayıdır" olsun,
Q(x) - "x rasyonel bir sayıdır." Bu sembolleri kullanarak formülü yazın:
1. Bütün rasyonel sayılar reeldir
2. hiçbir rasyonel sayı gerçek değildir
3. Bazı rasyonel sayılar gerçektir
4. Bazı rasyonel sayılar gerçek değildir
Sorun 2.4
Aşağıdaki yüklemler tanıtılmıştır:
J(x)- "x yargıçtır",
L(x)- "x bir avukattır",
S(x)- "x sahtekardır",
Q(x)- "x yaşlı bir adamdır",
V(x)- "x - neşeli",
P(x)- "x politikacıdır",
C(x)- "x milletvekilidir",
W(x)- "x bir kadındır",
U(x)- "x ev hanımıdır",
A(x, y) - "x, y'ye hayrandır",
j - Jones.
Sözlü açıklama ile formüller arasında bir yazışma bulun:
Bütün hakimler avukattır
Bazı avukatlar dolandırıcıdır
Hiçbir yargıç sahtekar değildir
Bazı yargıçlar yaşlı ama güçlü
Yargıç Jones ne yaşlı ne de dinç
Her avukat hakim değildir
Politikacı olan bazı avukatlar, milletvekilleri
Hiçbir milletvekili neşeli değil
Eski milletvekillerinin tamamı avukattır
Bazı kadınlar hem avukat hem de milletvekili
Hiçbir kadın hem siyasetçi hem de ev hanımı değildir
Bazı kadın avukatlar aynı zamanda ev hanımıdır
Bütün kadın avukatlar bazı hakimlere hayrandır
Bazı avukatlar sadece hakimlere hayrandır
Bazı avukatlar kadınlara hayran
Bazı dolandırıcılar hiçbir avukata hayran olmaz
Yargıç Jones Hiçbir Sahtekarı Takdir Etmez
Yargıç Jones'a hayran olan hem avukatlar hem de dolandırıcılar var
Yalnızca yargıçlar yargıçlara hayran olur
A. $x $y (L(x)/\S(y)/\A(x, j)/\A(y, j)/\J(j))
B. "x (J(x)® "y (A(x, y) ®J(y)))
C. "x (C(x)® ù "(x))
D. "x (C(x)/\Q(x) ®L(x))
e. $x (W(x)/\L(x)/\C(x))
F. $x (W(x)/\L(x)/\U(x))
G. "x (W(x) ® ù (P(x)/\U(x)))
H. "x (W(x)/\L(x) ®$y (J(y)/\A(x, y)))
J. "x (J(x) ®L(x))
k. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))
l. $x (L(x)/\S(x))
M. $x (S(x)/\ "y (L(y)/\ ù A(x, y)))
N. "x (J(x)® ù S(x))
Ö. "x (J(j)/\ ù A(j, x)/\S(x))
P. $x (J(x)/\Q(x)/\"(x))
Q. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))
R. J(i)/\ ù Q(j)/\ ù "(j)
S. ù "x (L(x) ®J(x))
T. $x (L(x)/\P(x)/\C(x))
Sorun 2.5
Aşağıdaki ifadeleri formül diline çevirin:
Her sayı her sayıya bölünüyorsa bu sayı çifttir
her x gerçek sayısı için bir y vardır, öyle ki her k için, eğer k ve 1'in toplamı y'den küçükse, o zaman x ve 2'nin toplamı 4'ten küçüktür.
herhangi bir sayıya bölünebilen bir çift sayı vardır ve bu sayı asaldır
a ve b sayılarının en büyük ortak böleni, ortak bölenlerinin her birine bölünebilir
Bir sayının asal olabilmesi için hiçbir tek sayıya bölünememesi gerekir
her reel sayıya karşılık daha büyük bir reel sayı vardır
X ve y'nin toplamı x ve k'nin çarpımından büyük olacak şekilde x, y, k gerçek sayıları vardır.
Sonlu sayıda faktörün çarpımı 0 ise faktörlerden en az biri 0'dır
Sorun 2.6
Aşağıdaki yüklemler tanıtılmıştır:
P(x) - "x bir asal sayıdır"
E(x) - "x bir çift sayıdır"
O(x) - "x tek bir sayıdır"
D(x, y) - "y x'e bölünür"
Formülleri Rusçaya çevirin:
3. "x (D(2, x) ®E(x))
4. $x (E(x)/\D(x, 6))
5. "x (ù E(x) ® ù D(2, x))
6. "x (E(x)/\"y (D(x, y) ®E(y)))
7. "x (P(x) ®$y (E(y)/\D(x, y)))
8. "x (O(x) ®*y (P(y) ® ù D(x, y)))
Sorun 2.7
Aşağıdaki denklikleri kanıtlayın:
1. = $x (A(x) ®B(x))¬®"x (A(x) ®$x B(x))
2. = $x (A(x) ¬®B(x)) ¬®"x (A(x)\/B(x)) ® $x (A(x)/\B(x))
Sorun 2.8
Aşağıdaki totolojileri kanıtlayın:
1. = "x A(x)® $x A(x)
2. = ù "x A(x)¬® $x ù A(x)
3. = $x A(x) ¬® ù "x ù A(x)
Sorun 2.9
Yüklem ifadelerini doğru normal biçimde alın:
1. "x(("y F(x, y)/\ "y G(x, y, z))\/ "y$z H(x, y, z))
2. $x(ù ($y P(x, y) ®$z Q(z) ®R(x)))
Sorun 2. 10
İfadeyi birleşik normal forma azaltın:
"x (P(x) ®("y (P(y) ®P(f(x, y)))) /\
/\ ù (""y (Q(x, y) ®P(y))))
Sorun 2. 11
Aşağıdaki formüller için doğruluk tabloları oluşturun (yüklemler iki öğeden oluşan bir kümede tanımlanır):
1. "x(P(x) ®Q)\/(Q/\P(y))
2. "x(S(x) ®L)¬® $x(S(x) ®L)
3. "x $y((B(x)/\D(y))\/(B(x) ®C))
4. "x P(x) ¨S)/\(P(y)\/S)
5. ($x D(x)/\A) ¨($x E(x)\/A)
6. ("x A(x) ®Q) \/ (Q®$x A(x))
7. (A(y)\/Q)¨($x A(x)/\Q)
Sorun 2. 12
Verilen: D=(a, b), P(a, a)=and, P(a, b)=l, P(b, a)=l, P(b, b)=and Doğruluk değerlerini belirleyin formüllerden:
1. "x $y P(x, y)
2. $x "y P(x, y)
3. "x "y (P(x, y) ®P(y, x))
4. "x "y P(x, y)
5. $y ù P(a, y)
7. "x $y (P(x, y)/\P(y, x))
8. $x "y (P(x, y) ®P(y, x))\/P(x, y)
Sorun 2. 13
Tutarlılık için aşağıdaki gerekçeyi kontrol edin:
Her öğrenci dürüsttür. John dürüst değil. Yani John bir öğrenci değil.
Aziz Francis, birini seven herkes tarafından sevilir. Herkes birisini sever. Bu nedenle herkes Aziz Francis'i sever.
Hiçbir hayvan ölümsüz değildir. Kediler hayvandır. Bu, bazı kedilerin ölümsüz olmadığı anlamına gelir.
Sadece kuşların tüyleri vardır. Hiçbir memeli kuş değildir. Bu, tüm memelilerin tüylerden yoksun olduğu anlamına gelir.
Bütün politikacılar aktördür. Bazı oyuncular ikiyüzlüdür. Bu, bazı politikacıların ikiyüzlü olduğu anlamına gelir.
Bir aptal bunu yapabilir. Ben bunu yapabilecek durumda değilim. Yani aptal değilim.
Eğer birisi bu problemi çözebilirse, herhangi bir matematikçi de çözebilir. Sasha bir matematikçi ama yapamıyor. Bu, sorunun çözülemeyeceği anlamına gelir.
Birisi çözebilirse, herhangi bir matematikçi bu problemi çözebilir. Sasha bir matematikçi ama çözemiyor. Bu, sorunun çözülemez olduğu anlamına gelir.
Bu problemi çözebilen herkes bir matematikçidir. Sasha bunu çözemez. Bu nedenle Sasha bir matematikçi değil.
Bu problemi çözebilen herkes bir matematikçidir. Bu problemi hiçbir matematikçi çözemez. Bu nedenle karar verilemez.
1 ile 101 arasında kalan herhangi bir sayı 101'i bölüyorsa, 11'den küçük hiçbir asal sayı 101'i bölmez. 11'den küçük hiçbir asal sayı 101'i bölmez. Dolayısıyla 1 ile 101 arasında hiçbir sayı 101'i bölmez.
Eğer bir bireyin atasının her atası aynı zamanda aynı bireyin atası ise ve hiçbir birey kendisinin atası değilse, o zaman atası olmayan birinin var olması gerekir.
Her insanın kendisinden daha yaşlı bir kişi vardır. Eğer x, y'nin soyundan geliyorsa, o zaman x, y'den büyük değildir. Bütün insanlar Adem'in torunlarıdır. Bu nedenle Adem bir insan değildir.
Herhangi bir x kümesi için, y'nin önemliliği x'in önemliliğinden büyük olacak şekilde bir y kümesi vardır. Eğer x, y'ye dahilse, o zaman x'in kuvveti y'nin kuvvetinden büyük değildir. Her küme V'ye dahildir. Bu nedenle V bir küme değildir.
Tüm sürüngenlerin 4 bacağı vardır veya hiç bacağı yoktur. Kurbağanın 4 bacağı vardır. Yani o bir sürüngen.
Sınavı zamanında geçen her öğrenciye burs verilmektedir. Petrov burs almıyor. Bu nedenle öğrenci değildir.
Bütün kuşlar yumurta bırakır. Hiçbir timsah kuş değildir. Bu nedenle timsahlar yumurta bırakmazlar.
Öğretmen, tüm öğrencilerinin ilk denemede sınavı geçmesinden memnun olur. Hiç kimse ilk denemede mantığı geçemez. Sonuç olarak mantık öğretmeni her zaman memnuniyetsizdir.
Her beşinci sınıf öğrencisi tüm sınavları geçerse diploma alır. Herkes diploma alamadı. Bu, birisinin tüm sınavları geçemediği anlamına gelir.
Hiç kimse böcekleri sevmez. Örümcekler böcek değildir. Bu, birinin onları sevdiği anlamına gelir.
Bütün resim öğretmenleri erkektir. Alt sınıflardaki derslerin tamamı kadınlar tarafından verilmektedir. Bu nedenle alt sınıflarda resim öğretilmiyor.
Okuldan mezun olan herkes İngilizce konuşabilmektedir. Mueller'in ailesinde hiç kimse İngilizce konuşmuyor. Ortaöğretimi olmayan kişiler enstitüye kabul edilmemektedir. Sonuç olarak Müller'lerden hiçbiri enstitüde eğitim görmüyor.
Tüm benzin istasyonları karlıdır. Tüm yemek toplama noktaları kârsızdır. Bir işletme hem kârlı hem de kârsız olamaz. Dolayısıyla hiçbir benzin istasyonu şişeleri kabul etmiyor.
Aklı başında olan herkes matematiği anlayabilir. Tom'un oğullarından hiçbiri matematiği anlayamıyor. Çılgın insanların oy kullanmasına izin verilmiyor. Sonuç olarak Tom'un oğullarından hiçbirinin oy kullanmasına izin verilmiyor.
N'deki her berber, tüm berberleri ve yalnızca kendilerini tıraş etmeyenleri tıraş eder. Sonuç olarak Kuzey’de tek bir kuaför yok.
Her sporcu güçlüdür. Güçlü ve akıllı olan herkes hayatta başarıya ulaşır. Peter bir atlettir. Peter akıllıdır. Bu nedenle hayatta başarılı olacaktır.
Sorun 2. 14
Aşağıdaki akıl yürütmenin mantıklı olması için eksik öncülleri veya sonucu düzeltin:
Yalnızca cesur olanlar sevgiye layıktır. Aşkta şanslıdır. O cesur değil.
Yetişkinlerin yalnızca çocuklarla birlikte içeri girmesine izin verildi. Beni içeri aldılar. Yani ya çocuğum ya da çocukla geldim.
Sorun 2. 15
Aşağıdaki ifadeler doğrudur:
zihinsel disiplini geliştirmek için veri yapısı bilgisi gereklidir;
yalnızca programlama deneyimi disiplinli bir zihin yaratabilir;
Bir derleyici yazabilmek için sorunları analiz edebilmeniz gerekir;
disiplinsiz bir zihin sorunları analiz edemez;
Yapılandırılmış programlar yazan herkes deneyimli bir programcı olarak kabul edilebilir.
Bu varsayımlardan aşağıdaki ifadelerin geçerliliğini belirlemek mümkün müdür:
6. Derleyici yazabilmek için yapılandırılmış program yazma deneyimi gereklidir;
7. Veri yapılarına ilişkin bilgi programlama deneyiminin bir parçasıdır;
8. Veri yapılarını göz ardı edenler için görev analizi mümkün değildir;
9. Yapılandırılmış programlar yazan, problemleri analiz edebilen ve disiplinli bir zihne sahip deneyimli bir programcı, derleyici yazabilen bir programcıdır.
Sorun 2. 16
Öncülleri formüller biçiminde yazın ve sonuçların doğruluğunu kanıtlamak için bilinen tüm yöntemleri uygulayın.
Önerme: 1. Ejderha eğer tüm çocukları uçabiliyorsa mutludur;
2. Yeşil ejderha uçabilir;
3. Ebeveynlerinden en az biri yeşilse bir ejderha yeşildir, aksi halde parlak pembedir.
Sonuçlar: 1. Yeşil ejderhalar mutludur.
2. Çocuksuz ejderhalar mutludur (burada bazı bariz kaçırılmış noktalara ihtiyacınız olabilir).
3. Parlak pembe bir ejderha mutlu olmak için ne yapmalıdır?
Sorun 2. 17
Yüklemler ve aritmetik işaretler için tanıtılan simgelerin kullanılması (örneğin, "+" ve "<"), перевести на язык формул:
1. Sonlu sayıda faktörün çarpımı sıfır ise faktörlerden en az biri sıfırdır (Px, “x sonlu sayıda faktörün çarpımıdır”, Fxy ise “x, çarpanlardan biridir” anlamına gelir) y”).
2. A ve b sayılarının en büyük ortak böleni, ortak bölenlerinin her birine bölünür (Fxy, “x, y sayısının bölenlerinden biridir” anlamına gelir ve Gxyz - “z, x sayılarının en büyük ortak bölenidir) ve y").
3. Her x gerçel sayısı için daha büyük bir y(Rx) gerçel sayısı vardır.
4. X ve y sayılarının toplamı, x ve z sayılarının çarpımından büyük olan x, y, z gerçek sayıları vardır.
5. Her x gerçek sayısı için bir y vardır; öyle ki, her z için, z ve 1'in toplamı y'den küçükse, x ve 2'nin toplamı 4'ten küçüktür.
Sorun 2. 18
A0, A1, ..., An, ... bir reel sayı dizisi olsun. Sınırlı niceleyiciler kullanarak sembolik forma çevirin:
1. a'nın bu dizinin limiti olduğu ifadesi; 2. Bu dizinin bir limitinin olduğu ifadesi; 3. Bu dizinin bir Cauchy dizisi olduğuna ilişkin ifade (yani e>0 verilirse, o zaman n, m>k'nin úAn - Amú'yu ima ettiği pozitif bir k sayısı vardır)< e).
Formüllerin her birinin olumsuzunu yazın.
Sorun 2. 19
Aşağıdaki mantığa karşılık gelen sonuçları çıkarın:
Hiçbir Cumhuriyetçi ya da Demokrat sosyalist değildir. Norman Thomas bir sosyalisttir. Bu nedenle Cumhuriyetçi değil.
Her rasyonel sayı bir reel sayıdır. Rasyonel bir sayı var. Dolayısıyla gerçek bir sayı var.
Hiçbir birinci sınıf öğrencisi ikinci sınıf öğrencilerini sevmez. Dascombe'da yaşayan herkes ikinci sınıf öğrencisidir. Sonuç olarak hiçbir birinci sınıf öğrencisi Duscombe'da yaşayan birini sevmez.
Bazı birinci sınıf öğrencileri tüm ikinci sınıf öğrencilerini sever. Tek bir birinci sınıf öğrencisi sondan bir önceki sınıf öğrencilerinden hiçbirini sevmiyor. Sonuç olarak, hiçbir ikinci sınıf öğrencisi sondan bir önceki sınıf öğrencisi değildir.
Bazı insanlar Elvis'i sever. Bazı insanlar Elvis'i seven hiç kimseyi sevmez. Bu nedenle bazı insanlar herkes tarafından sevilmez.
Hiçbir uyuşturucu satıcısı uyuşturucu bağımlısı değildir. Bazı uyuşturucu bağımlıları adalete teslim edildi. Sonuç olarak, yargılanan kişilerin bir kısmı uyuşturucu satıcısı değil.
Tüm birinci sınıf öğrencileri tüm ikinci sınıf öğrencileriyle tanışır. Tek bir birinci sınıf öğrencisi son sınıftan tek bir öğrenciyle çıkmıyor. İkinci sınıf öğrencileri var. Sonuç olarak, hiçbir ikinci sınıf öğrencisi sondan bir önceki sınıf öğrencisi değildir.
Tüm rasyonel sayılar gerçek sayılardır. Bazı rasyonel sayılar tamsayılardır. Bu nedenle bazı reel sayılar tam sayıdır.
10 - Matematiksel mantık i) xy → x ∨ x (y ∨ z) ; a) * xy ∨ xz ; j) (x | y) → (x | z) ; b) x ~ y; l) (x ∨ y)(x ∨ z) ∨ xy ; c) *xy ; m) (x ∨ y) x ∨ z ; d) xyz; e) x (y ∨ z) → (xy ∨ z) ; n) (x ↓ y) ~ (x ⊕ y) ; o) (x ~ y) ~ (x ~ z) ; g) (x ⊕ y → c) ↓ c ; n) (x ~ y) ⊕ (x ~ z) ; h) * x → (y → x) ; p) (x ∨ y)(x ∨ z) (x ∨ w). 17. SDNF'yi edinin ve ardından SCNF'ye gidin: b) * (x → y) → (y → x); 18.* Üç argümandan (temel ifadeler) x, y, z ve f (x, y, z)= x'ten bir f fonksiyonu (karmaşık ifade) verilsin. Bu işlev için bir SDNF oluşturun. 19. SCNF'yi alın ve ardından SDNF'ye gidin: d) * (x | y) xy ; 20. Aşağıdaki formüller için MDNF'yi elde edin: a) * ((x ⊕ y) ~ z) → x ; b) * ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y); c) * (x ⊕ y) → z ∨ y ; d) * ((A → B) ~ (C ~ D)) ∨ B → A ⋅ (C ~ D) ; e) * (A ∨ B ∨ C ∨ D)(A ∨ B ∨ C ∨ D); f) * x ∨ yz ∨ xz ; g) * (x → y) → z ∨ x ; h) * xy ∨ xy ∨ xz ; 22.* x, y, z kontaklarından, yalnızca x, y, z kontaklarından herhangi ikisinin kapalı olması durumunda kapanacak şekilde bir devre oluşturun. 24.* Şekil 1, a ve b'deki diyagramları basitleştirin. a) b) Şek. 1 - 11 - Matematiksel mantık 25.* Yüklemlerin dilinde yazın: a) tüm öğrenciler çalışır; b) bazı öğrenciler mükemmel öğrencilerdir; c) herhangi bir sayı için daha büyük bir sayı bulabilirsiniz; d) x + y = z; e) her nesnenin A özelliği vardır; f) bir şeyin A özelliği vardır; g) her nesne A özelliğine sahip değildir; h) bir şeyin A özelliği yoktur; i) her rasyonel sayı bir reel sayıdır; j) bazı reel sayılar rasyoneldir; k) hiçbir rasyonel sayı gerçek değildir; m) Bazı rasyonel sayılar gerçek değildir. 26.* Alıştırma 25a ve 25i'de neden imanın, 25b ve 25k alıştırmalarında ise bağlacın kullanıldığını açıklamaya çalışın. 27.* Yüklemlerin dilinde yazın: a) 16 yaşın altındaki çocukların (D(x)) ve robotların (R(x)) girmesi yasaktır (B(x)); b) 16 yaşın altındaki tüm çocuklar (D(x)) ve robotlar (R(x)) sertifika (C(x)) almak zorundadır. 28.* Yüklemler dilinde yazın: a) 12'ye bölünebilen herhangi bir N, 2, 4 ve 6'ya da bölünebilir; b) her öğrencinin en az bir laboratuvar çalışmasını tamamlamış olması; c) Tek bir doğru iki farklı noktadan geçiyor. 29. Yüklemlerin dilinde yazın: e)* film sanatçıları (K(y) arasında her öğrencinin (C(x)) - sporcunun (S(x)) bir idolü (y) (B(x,y)) vardır ) ); e)* eğer bazı büyük bilgisayarlar (B(x)) başka bir büyük bilgisayara (B(y)) bağlıysa (C(x,y)) bu, bu özelliğe sahip hiçbir mini bilgisayar (M(x)) olmadığı anlamına gelir. arayüz oluşturma araçları (S(x)); otuz. * Hangi koşullar altında: a) ∀x P(x) ≡ ∃x P(x) ; b) ∃x P(x) ≡ Ö, a ∀x P(x) ≡ 1; 33.* Bu, olumsuzlamayla ilgili ek zorlukları gösteren klasik bir örnektir: "Fransa'nın şu anki kralı keldir" cümlesinin doğru olmadığı bilinmektedir. Bu yüklem dilinde nasıl yazılır? ÇÖZÜMLER VE CEVAPLAR. - 12 - Matematiksel mantık 1a. Temel ifadeleri resmi bir şekilde seçelim: A – öğrenci mükemmel bir öğrencidir; B – öğrenci sosyal hizmetle meşguldür; C – öğrencinin engelleri var; D – öğrenci burs alır. O zaman karmaşık ifadenin sembolik biçimi A ⋅B⋅C → D olacaktır. 1b. Sembolik bir gösterim şu şekilde görünebilir: P⋅Z → S⋅P → P.() 3. Önermeler mantığında, "Petya'nın üniversiteye gittiği doğru değil" gibi ifadeler doğru kabul edilmelidir çünkü ifadeler bölünemez. 8. Bir ∨ B ≡ A → B ≡ (A → B) → B, A ve B ≡ A → B. 11.a ABC ∨ A BC ∨ ABC ∨ ABC veya aynı şey, ancak daha basit bir biçimde AB ∨ AC ∨ BC. 11b. A B ∨ BC ∨ AC. 13a. xy z. 13. yüzyıl Formül zaten DNF'de. Neden? 14a. (x ∨ z)(y ∨ z) . 14b. Formül zaten KNF'de. Neden? 15a. xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz . 15b. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz . 15d. xy ∨ x y ∨ xy ∨ x y (≡ 1) . 16a. () ()() xy ∨ xy ≡ xy ∨ x (xy ∨ z)≠ x ∨ x x ∨ y (x ∨ z)(y ∨ z) ≡ (x ∨ y ∨ zz)(x ∨ z ∨ y y)( y ∨ z ∨ x x) ≡ (x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) . 16'ncı yüzyıl (x ∨ y) (x ∨ z)(x ∨ y) . 16z. SKNF yok çünkü bu bir totolojidir. - 13 - Matematiksel mantık 17b. Bu bir totolojidir, dolayısıyla bunun için bir SKNF yoktur. 18. xyz ∨ xy z ∨ x yz ∨ x yz. 19 Bu bir çelişkidir ve bu nedenle bunun için bir SKNF yoktur. 20a. ((x ⊕ y) ~ z) → x ≡ (x ⊕ y)z ∨ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ () (x ⊕ y)z ⋅ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ (x ⊕ y) ∨ z) x ⊕ y ∨ z ∨ x ≡ (xy ∨ x y ∨ z)(xy ∨ x y ∨ z)∨ x ≡ xyz ∨ x yz ∨ xy z ∨ x y z ∨ x yz ∨ xy z - SDNF x ∨ y z ∨ yz -SKDNF ve MDNF. 20b. ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y) ≡ (xy ⊕ xz) ∨ yz ≡ xyxz ∨ xy xz ∨ yz ≡ () () xyz ∨ x ∨ y x ∨ z ∨ yz amet xyz ∨ x ∨ y zz ∨ yz ≡ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x yz - SDNF x ∨ y ∨ z - MDNF. 20. yüzyıl xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x yz - SDNF xy ∨ x y ∨ yz - MDNF. 20 Bir BCD ∨ Bir BCD ∨ ABCD ∨ Bir BCD ∨ ABCD ∨ Bir BCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ Bir BCD ∨ A BCD - SCNF A B ∨ CD ∨ CD - MDNF. 20g. A∨C∨ D. 20. x∨z . 20g. x∨z . 20z. xy ∨ x y ∨ xz veya xy ∨ x y ∨ yz. 21'inci yüzyıl xy ∨ xz. 21 1. 22. Bkz. Şek. 2. - 14 - Matematiksel mantık Şek. 2 23a. Bkz. 3. a) b) Şek. 3 23. Basitleştirilmiş diyagramlar Şekil 2'de gösterilenlere benzeyecektir. 4. a) b) Şek. 4 25a. ∀x (C(x)→Y(x)) burada C(x) “x öğrencidir” ve Y(x) “x öğrencidir”. 25b. ∃x (C(x) & O(x)) . 25. yüzyıl İki basamaklı yüklemi sıradan bir ilişki biçiminde yazalım: ∀х ∃y (x< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает следующие решения: а) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; б) ошибкой была бы запись ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28a. ∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)). 28б. ∀x ∃y B(x,y) . 28в. ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29д. ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29е. ∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) . 30а. Когда х определён на предметной области из одного элемента. 30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить). 31. Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор- мально, если для предиката ∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить равносильное преобразования: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Само исходное предложение на языке предикатов запишется как: ∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) . В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания, т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить, что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания: - 16 - Математическая логика ∃х К(х) & ∀x (K(x) → ¬ Л(х)) ; ¬ ∃х К(х) & ∀x (K(x) → Л(х)) . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973, с. 11 – 126. 2. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М. : Просве- щение, 1968, с. 71 – 93, 108 – 132. 3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М. : МГУ, 1982, с. 1 – 95. 4. Гильберг Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. – М. : Наука, т. 1, с. 23 – 45, 74 – 141. 5. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М. : Наука, 1973, с 36 – 65, 123 – 135. 6. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.
Bu makale "Rasyonel sayılar" konusunun incelenmesine ayrılmıştır. Aşağıda rasyonel sayıların tanımları, örnekleri verilmiş ve bir sayının rasyonel olup olmadığının nasıl belirleneceği anlatılmıştır.
Rasyonel sayılar. Tanımlar
Rasyonel sayıların tanımını vermeden önce başka sayı kümelerinin neler olduğunu ve bunların birbirleriyle nasıl ilişkili olduğunu hatırlayalım.
Doğal sayılar, karşıtları ve sıfır sayısıyla birlikte tam sayılar kümesini oluşturur. Buna karşılık, tamsayı kesirli sayılar kümesi rasyonel sayılar kümesini oluşturur.
Tanım 1. Rasyonel sayılar
Rasyonel sayılar, pozitif ortak kesir a b, negatif ortak kesir a b veya sıfır sayısı olarak temsil edilebilen sayılardır.
Böylece rasyonel sayıların bazı özelliklerini koruyabiliriz:
- Her doğal sayı rasyonel bir sayıdır. Açıkçası, her doğal sayı n, 1 n kesri olarak temsil edilebilir.
- 0 sayısı da dahil olmak üzere her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Aslında, herhangi bir pozitif tam sayı ve herhangi bir negatif tam sayı, sırasıyla pozitif veya negatif bir sıradan kesir olarak kolayca temsil edilebilir. Örneğin 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
- Herhangi bir pozitif veya negatif ortak kesir a b bir rasyonel sayıdır. Bu doğrudan yukarıda verilen tanımdan kaynaklanmaktadır.
- Herhangi bir karışık sayı rasyoneldir. Aslında karışık bir sayı, sıradan bir uygunsuz kesir olarak temsil edilebilir.
- Herhangi bir sonlu veya periyodik ondalık kesir, kesir olarak temsil edilebilir. Bu nedenle her periyodik veya sonlu ondalık kesir bir rasyonel sayıdır.
- Sonsuz ve periyodik olmayan ondalıklar rasyonel sayılar değildir. Sıradan kesirler şeklinde temsil edilemezler.
Rasyonel sayılara örnekler verelim. 5, 105, 358, 1100055 sayıları doğal, pozitif ve tam sayıdır. Açıkçası bunlar rasyonel sayılardır. -2, -358, -936 sayıları negatif tam sayılardır ve tanımına göre de rasyoneldirler. 3 5, 8 7, - 35 8 ortak kesirleri de rasyonel sayılara örnektir.
Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha kısaca formüle edilebilir. Bir kez daha rasyonel sayı nedir sorusunun cevabını vereceğiz.
Tanım 2. Rasyonel sayılar
Rasyonel sayılar, z'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu, ± z n kesri olarak temsil edilebilen sayılardır.
Bu tanımın rasyonel sayıların önceki tanımına eşdeğer olduğu gösterilebilir. Bunu yapmak için kesir çizgisinin bölme işaretine eşdeğer olduğunu unutmayın. Tam sayıları bölmenin kurallarını ve özelliklerini dikkate alarak aşağıdaki adil eşitsizlikleri yazabiliriz:
0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .
Böylece şunu yazabiliriz:
z n = z n , p r ve z > 0 0 , p r ve z = 0 - z n , p r ve z< 0
Aslında bu kayıt delildir. İkinci tanımdan yola çıkarak rasyonel sayılara örnekler verelim. - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 ve - 1 3 5 sayılarını düşünün. Tüm bu sayılar rasyoneldir, çünkü bir tamsayı pay ve doğal paydayla kesir olarak yazılabilirler: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.
Rasyonel sayıların tanımı için başka bir eşdeğer form verelim.
Tanım 3. Rasyonel sayılar
Rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen bir sayıdır.
Bu tanım doğrudan bu paragrafın ilk tanımından kaynaklanmaktadır.
Bu noktayı özetleyip formüle edelim:
- Pozitif ve negatif kesirler ve tamsayılar rasyonel sayılar kümesini oluşturur.
- Her rasyonel sayı, payı bir tam sayı ve paydası bir doğal sayı olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir.
- Her rasyonel sayı aynı zamanda ondalık kesir olarak da temsil edilebilir: sonlu veya sonsuz periyodik.
Hangi sayı rasyoneldir?
Daha önce de öğrendiğimiz gibi, herhangi bir doğal sayı, tam sayı, uygun ve yanlış sıradan kesir, periyodik ve sonlu ondalık kesir rasyonel sayılardır. Bu bilgiyle donanmış olarak belirli bir sayının rasyonel olup olmadığını kolaylıkla belirleyebilirsiniz.
Ancak pratikte çoğu zaman sayılarla değil, kökleri, kuvvetleri ve logaritmaları içeren sayısal ifadelerle uğraşmak gerekir. Bazı durumlarda "sayı rasyonel midir?" sorusunun cevabı açık olmaktan çok uzaktır. Bu soruyu cevaplamanın yöntemlerine bakalım.
Bir sayı yalnızca rasyonel sayıları ve aralarındaki aritmetik işlemleri içeren bir ifade olarak verilirse ifadenin sonucu rasyonel sayı olur.
Örneğin 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) ifadesinin değeri bir rasyonel sayıdır ve 18'e eşittir.
Böylece karmaşık bir sayısal ifadeyi basitleştirmek, onun tarafından verilen sayının rasyonel olup olmadığını belirlemenizi sağlar.
Şimdi kökün işaretine bakalım.
M sayısının n kuvvetinin kökü olarak verilen m n sayısının, yalnızca m'nin bir doğal sayının n'inci kuvveti olması durumunda rasyonel olduğu ortaya çıktı.
Bir örneğe bakalım. 2 sayısı rasyonel değildir. Oysa 9, 81 rasyonel sayılardır. 9 ve 81 sırasıyla 3 ve 9 sayılarının tam kareleridir. 199, 28, 15 1 sayıları rasyonel sayılar değildir, çünkü kök işaretinin altındaki sayılar herhangi bir doğal sayının tam kareleri değildir.
Şimdi daha karmaşık bir durumu ele alalım. 243 5 rasyonel bir sayı mıdır? 3'ün beşinci kuvvetini yükseltirseniz 243 elde edersiniz, dolayısıyla orijinal ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: 243 5 = 3 5 5 = 3. Bu nedenle bu sayı rasyoneldir. Şimdi 121 5 sayısını ele alalım. Bu sayı irrasyoneldir çünkü beşinci kuvvetine yükseltildiğinde 121 veren bir doğal sayı yoktur.
Bir a sayısının b tabanına göre logaritmasının rasyonel sayı olup olmadığını öğrenmek için çelişki yöntemini uygulamanız gerekir. Örneğin log 2 5 sayısının rasyonel olup olmadığını bulalım. Bu sayının rasyonel olduğunu varsayalım. Eğer öyleyse, o zaman sıradan bir kesir log 2 5 = m n şeklinde yazılabilir. Logaritmanın ve derecenin özelliklerine göre aşağıdaki eşitlikler doğrudur:
5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m
Açıkçası, sol ve sağ taraflar sırasıyla tek ve çift sayılar içerdiğinden son eşitlik imkansızdır. Dolayısıyla yapılan varsayım yanlıştır ve log 2 5 rasyonel bir sayı değildir.
Sayıların rasyonelliğini ve irrasyonelliğini belirlerken ani kararlar vermemeniz gerektiğini belirtmekte fayda var. Örneğin irrasyonel sayıların çarpımının sonucu her zaman irrasyonel sayı değildir. Açıklayıcı bir örnek: 2 · 2 = 2.
Ayrıca irrasyonel bir güce yükseltilmesi rasyonel bir sayı veren irrasyonel sayılar da vardır. 2 log 2 3 formundaki bir kuvvette taban ve üs irrasyonel sayılardır. Ancak sayının kendisi rasyoneldir: 2 log 2 3 = 3.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
16. Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir ifadedir:
a) demir kurşundan daha ağırdır;
b) yulaf lapası lezzetli bir yemektir;
c) matematik ilginç bir konudur;
d) Bugün hava kötü.
17. Aşağıdaki cümlelerden hangisi yanlış bir ifadedir:
a) demir kurşundan daha ağırdır;
b) oksijen – gaz;
c) bilgisayar bilimi ilginç bir konudur;
d) demir kurşundan daha hafiftir.
18. Aşağıdaki ifadelerden hangisi “Bütün asal sayılar tektir” ifadesinin olumsuzudur:
a) “Çift asal sayı vardır”;
b) “Tek asal sayı vardır”;
c) “Bütün asal sayılar çifttir”;
d) “Bütün tek sayılar asaldır”?
19. Aşağıdaki doğruluk tablosuna hangi mantıksal işlem karşılık gelir:
a) bağlaçlar;
b) ayrılıklar;
c) çıkarımlar;
d) denklik.
20. Aşağıdaki doğruluk tablosuna hangi mantıksal işlem karşılık gelir:
a) eşdeğerlik;
b) bağlaçlar;
c) çıkarımlar;
d) ayrılıklar.
21. “Bu üçgen ikizkenardır” ifadesini A ile gösterelim.
B – “Bu üçgen eşkenardır” ifadesi. Doğru ifadeyi belirtin:
22. Önermesel cebir formülü F(X 1, X 2, …, X n)'yi doğru bir ifadeye dönüştüren bir A 1, A 2, … A n ifadeleri kümesi varsa, bu formüle şöyle denir:
a) uygulanabilir;
b) totoloji;
c) çelişki;
d) çürütülebilir.
23. Bir totoloji, aşağıdaki önermeli cebir formülü F(X 1, X 2, …, Xn)'dir:
a) tüm değişken kümeleri için doğru bir ifadeye dönüşen;
b) formülü doğru bir ifadeye dönüştüren bir dizi ifadenin bulunduğu;
c) tüm değişken kümeleri için yanlış bir ifadeye dönüşen;
d) formülü yanlış bir ifadeye dönüştüren bir dizi ifadenin bulunduğu.
24. Formüllerden hangisi çürütülebilir:
25. Formüllerden hangisi uygulanabilir:
26. Hangi ifade şu ifadeye karşılık gelir: "Herhangi bir sayı için öyle bir sayı vardır":
27. Hangi ifade şu ifadeye karşılık gelir:
a) “Öyle rakamlar var ki;
b) “Eşitlik herkes için adildir;
c) “Bütün sayılar için öyle bir sayı vardır ki”;
d) “Herhangi bir sayı için öyle bir sayı vardır ki.”
28. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır:
29. Yüklemin doğruluk kümesini belirtin “ X 3"'ün katı, M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) kümesi üzerinden tanımlanır:
a) TP=(3, 6, 9);
c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
d) TP=(3, 6, 9, 12).
30. Yüklemin doğruluk kümesini belirtin “ X 3"'ün katı, M=(3, 6, 9, 12) kümesi üzerinden tanımlanır:
a) TP=(3, 6, 9, 12); b) TP=(3, 6, 9);
c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); d) TP=Æ.
31. Yüklemin doğruluk kümesini belirtin “ x 2 +x+6=0", gerçek sayılar kümesi üzerinden tanımlanır:
a) TP=Æ; b) TP=(1, 6); c) TP=(–2, 3); d) TP=(–3, 2).
32. Yüklemin doğruluk kümesini belirtin:
33. Yüklemin doğruluk kümesini belirtin:
38. Aşağıdaki tekli yüklemleri tanıtalım:
S(x): « X- rasyonel sayı";
R(x): « X- gerçek Numara."
O halde yüklem, aşağıdaki ifadenin yüklem cebiri diline çevirisi olarak düşünülebilir:
a) bazı rasyonel sayılar gerçektir;
b) bazı rasyonel sayılar gerçek değildir;
c) hiçbir rasyonel sayı gerçek değildir;
d) Bütün rasyonel sayılar reeldir.
Bölüm 3 için pratik görevler
Yüklem kavramı ve bunlarla ilgili işlemler.
3.1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yüklemdir:
A) " X 5"e bölünebilir ( X Î N);
b) "Nehir" X Baykal Gölü'ne akıyor" ( X her türden nehrin birçok isminden geçer);
V)" x2 + 2X+ 4"( XÎ R) ;
G) "( X + en)2 = x2 + 2Xsen + sen 2" ( X, senÎ R);
D) " X bir erkek kardeşim var en» ( x, y pek çok insan koşarak geçiyor);
e)" X Ve en» ( X, en belirli bir gruptaki tüm öğrencilerin bulunduğu kümeyi gözden geçirin);
Ve) " X Ve en karşıt taraflarda yatmak z» ( X, en tüm noktaların kümesinden geçin ve z - bir düzlemin tüm çizgileri);
h) “ctg 45° = 1”;
Ve) " X dik en» ( X, en bir düzlemin tüm düz çizgileri kümesi boyunca ilerleyin).
3.2. Aşağıdaki ifadelerin her biri için, konu değişkenlerini karşılık gelen alanlardaki uygun değerlerle değiştirirken belirli bir ifadeye dönüşen bir yüklem (tek veya çoğul) bulun:
a) “3 + 4 = 7”;
b) “İnanç ve Umut kardeştir”;
c) “Bugün Salı”;
d) “Saratov şehri Volga Nehri'nin kıyısında yer almaktadır;
e) “sin 30° = 1/2”;
f) “-büyük Rus şairi”;
g) “32 + 42= 52;
h) “İndigirka Nehri Baykal Gölü'ne akar”;
Böyle bir yüklem oluşturduktan sonra, ya onun doğruluk alanını doğru bir şekilde belirtmeye çalışın ya da bir şekilde onun ana hatlarını çizin.
Çözüm. i) Her biri uygun ikame ile belirli bir ifadeye dönüşen üç yüklem belirtilebilir. İlk yüklem tekli:
"https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" width="181" height="48">. Değiştirildiğinde bu ifadeye dönüşür. Ortaya çıkan ifade doğrudur. Belirtilen değer oluşturulan yüklemin küme doğruluğunu tüketmez.Kurulması kolay olduğu için bu küme aşağıdaki gibidir: 
. İkinci yüklem de teklidir: "" (senÎ
R). Değiştirildiğinde bu ifadeye dönüşür y = 1. Bu değerin bu yüklemin doğruluk kümesini tükettiği açıktır..png" width="240" height=48"> yerine koyulduğunda bu ifadeye dönüşür, en= 1. Doğruluk alanı, koleksiyonu teğetsoitler olarak adlandırılan sonsuz bir eğri ailesi olarak grafiksel olarak gösterilen bir sıralı çiftler kümesidir.
3.3. Aşağıdaki ifadeleri okuyun ve tüm değişkenlerin gerçek sayılar kümesinden geçtiğini varsayarak hangilerinin doğru, hangilerinin yanlış olduğunu belirleyin:
a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png" width = "135" height = "21 src = ">
c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png" width = "136" height = "21 src = ">
e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png" width = "232" height = "24 src = ">
g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png" width = "204" height = "24 src = ">
i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png" width = "201" height = "24 src = ">
l) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png" width="101 height=21" height="21">" değişkene göre X, R kümesi boyunca çalışır. Ortaya çıkan ifadede değişkenin olduğu söylenir. en bağlıdır ve değişken Xözgür. Bir değişken yerine en artık hiçbir şeyi değiştiremeyiz, bunun yerine X gerçek sayılar ikame edilebilir, bunun sonucunda tekli yüklem ifadelere dönüşür. Örneğin, ifade " 
" şu şekilde okunabilir: "Gerçek bir sayı var en, öyle ki X)($y)( X+ en= 7)" doğrudur. Şöyle okunabilir: “Her reel sayı için, birincisiyle toplamı 7 olan bir reel sayı vardır.” "(" ifadesinde X)($y)( X+ en= 7)” artık serbest değişken yok. Her iki değişken X Ve en niceleyicilerin işaretleri altında dururlar ve bu nedenle ilişkilidirler. İfadenin kendisi artık bir yüklem değil, saptadığımız gibi doğru bir ifadedir. Ancak eğer yüklem kavramını geliştirerek istersek, bir ifadenin 0 basamaklı bir yüklem, yani değişkensiz bir yüklem olduğunu varsayabiliriz. Ancak, tek yerli bir yüklemden 0-yerli yükleme niceliksel geçişin niteliksel bir sıçramaya yol açtığını, böylece 0-yerli yüklemin, onu koşullu olarak kapsamamıza rağmen, tek-yerli yüklemden niteliksel olarak farklı bir nesne olduğunu anlamamız gerekir. “Yüklem” kavramı altında.
b) “($у)(" ifadesi X)(X+ en= 7)" şu şekilde okunabilir: "Herhangi bir reel sayıya eklendiğinde toplamı 7 olan bir reel sayı vardır." Bu ifadenin yanlış olduğunu görmek zor değil. Aslında, tekli yüklemi düşünün "(" X)(X+ en= 7)" değişkene göre sen, Verilen ifadenin elde edildiği varoluşsal niceleyicinin uygulanmasıyla. Konu değişkenin yerine hangi gerçek sayı konulursa konsun, açıktır ki sen,Örneğin "(" X)(X+ 4 = 7)" ise yüklem yanlış bir ifadeye dönüşecektir. (İfade "(" X)(X+ 4 = 7)" yanlıştır, çünkü tekli yüklem "( X+ 4 = 7)", örneğin bir değişkenin yerine koyarken yanlış bir ifadeye dönüşür X sayı 5.) Dolayısıyla “($y)(" ifadesi X)(X+ en= 7)", "(" tekli yükleminden kaynaklanır X)(X+ en= 7)" varlığı niceleyicisini alma işlemini kullanarak sen, YANLIŞ.
i) Bu ifade şu şekilde okunabilir: “Her gerçek sayı ancak ve ancak 1'den büyük veya 2'den küçükse kendisine eşittir.” Bu ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu bulmak için böyle bir gerçek sayıyı aramaya çalışacağız. x0, bu da tekli yüklemi çevirir
yanlış bir ifadeye dönüştü. Eğer böyle bir sayı bulmayı başarırsak, o zaman bu yüklemden genel niceleyicinin “eklenmesi” (yani alma işleminin uygulanması) ile elde edilen verilen ifade yanlıştır. Eğer bir çelişkiye varırsak, öyle olduğunu varsayarsak x0 varsa verilen ifade doğrudur.
Yüklemin açık olduğu açıktır " x = x" yerine geçtiğinde gerçek bir ifadeye dönüşür X herhangi bir gerçek sayı, yani aynı şekilde doğrudur. Soru şu: yüklemi dönüştürecek gerçek bir sayıyı belirtmek mümkün mü? 
» yanlış bir ifadeye mi? Hayır, çünkü hangi reel sayıyı alırsak alalım, ya 1'den büyük ya da 2'den küçüktür (ya da hem 1'den büyük hem de 2'den küçüktür, ki bu bizim durumumuzda kesinlikle yasak değildir). Bu nedenle yüklem " "aynı şekilde doğrudur. O zaman yüklem aynı şekilde doğru olacaktır
Ve bu, bu ifade anlamına gelir
tanımı gereği genel bir niceleyici alma işlemi doğrudur.
3.4. P (x) ve Q (x), M kümesinde tanımlanan tekli yüklemler olsun, öyle ki https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png" width="63 height=23 ifadesi " yükseklik = "23">yanlış.
3.5. Gerçel sayılar kümesinde tanımlanan yüklemlerden birinin diğerinin sonucu olup olmadığını belirleyin:
a) "| x |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;
b) “x4 = 16”, “x2 = - 2”;
c) “x - 1 > 0”, “(x - 2) (x + 5) = 0”;
d) “sin x = 3”, “x2 + 5 = 0”;
e) “x2 + 5x - 6 > 0”, “x + 1 = 1 + x”;
e) “x2 £ 0”, “x = sin p”;
g) “x3 - 2x2 - 5h + 6 = 0”, “| x - 2| = 1".
Çözüm. g) İkinci yüklem ancak iki ikameyle doğru ifadeye dönüşür: x = 1 ve x = 3. Bu değiştirmelerin aynı zamanda birinci yüklemi de doğru ifadeye dönüştürdüğünü doğrulamak kolaydır (bunlar bu kübik denklemin kökleridir) . Dolayısıyla birinci yüklem ikincinin sonucudur.
3.6. Konu değişkeninin bir M değer kümesini tanımlayın, böylece bu kümede ikinci yüklem birincinin sonucu olacaktır:
A) " X 3'ün katı", " X eşit";
B) " X 2 = 1", " X-1 = 0";
V)" X garip", " X- bir doğal sayının karesi";
G) " X- eşkenar dörtgen", " X- paralelkenar";
D) " X- paralelkenar", " X- eşkenar dörtgen";
e)" X- Rus bilim adamı", " X- matematikçi";
Ve) " X- kare", " X-paralelkenar."
Çözüm. g) Her kare bir paralelkenar olduğundan, tüm dörtgenlerden oluşan küme, ikinci yüklemin birincinin sonucu olduğu küme olarak alınabilir.
3.7. Aynı şekilde doğru olan bir yüklemin aynı değişkenlere bağlı başka bir yüklemin birleşiminin ikincisine eşdeğer olduğunu kanıtlayın.
3.8. Aynı değişkenlere bağlı iki yüklemin aynı yanlış sonuca sahip olmasının, öncülünün olumsuzlanmasıyla eşdeğer olduğunu kanıtlayın.
YÜKSEK CEBİR DİLİNDE NOTLAR
ve Yüklem cebiri kullanılarak akıl yürütmenin analizi
örnek 1. "A ve b doğruları paralel değildir" ifadesi ne anlama geliyor?
Ø(a || b) formülünün anlamını ortaya çıkarmak için $a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b) formülünün olumsuzunu bulmamız gerekir. Ø(a || b) = Ø($a(a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú Ø (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b ¹ Æ & a ¹ b.
Ancak Rusça'da “Hem a hem de b doğrularını içeren bir düzlem yoktur” anlamına gelen Ø$a(a Ì a & b Ì a) formülü, kesişen doğruların ilişkisini ve a Ç b ¹ Æ & a ¹ formülünü aktarır. “A ve b doğrularının ortak noktaları var ama çakışmıyor” cümlesiyle Rusçaya çevrilen b, doğruların kesişim ilişkisini ifade ediyor.
Dolayısıyla paralel olmayan çizgiler onların kesişmesi veya kesişmesi anlamına gelir. Örnek 2. Muhakemede sıklıkla kullanılan sözde “Aristotelesçi kategorik yargıları” yüklem cebiri dilinde yazın: “Her şey Söz R", "Bazı Söz R", "Hiçbiri S asıl mesele bu değil R", "Bazı S asıl mesele bu değil R».
Giriş tabloda verilmiştir. 1.1. Bu tablonun ilk sütunu, formülasyonda "tümü", "bazıları" ve "bazıları" nicelik belirleyici sözcüklerle ifade edilen miktarı (genel ve özel yargılar) dikkate alan karmaşık bir kritere göre kategorik yargıları sınıflandırırken ortaya çıkan yargı türünü gösterir. “öz”, “öz değil”, “dır” bağlaçlarının aktardığı nitelik (olumlu ve olumsuz yargılar).
İkinci sütun, geleneksel mantıktaki yargıların standart sözel formülasyonunu, beşinci sütun ise bunların yüklem cebiri dilindeki kayıtlarını verir. S(x)“x'in özelliği var” şeklinde anlaşılmalıdır S", A P(x)- "x'in özelliği var" gibi R».
Dördüncü sütun, kavramların Vs ve VP hacimleri arasındaki ilişkiyi gösterir. S Ve R Yargılar en genel haliyle anlaşılırsa, yalnızca konuya ilişkin kapsamlı bilgi verdiğinde. Örneğin, “Her şey Söz R"Herkes hakkında konuştuğumuz açık S, yüklemin kapsamı tanımlanmadı: özelliğine sahip tüm nesnelerden mi bahsediyoruz? P veya yalnızca bazıları hakkında; Yalnızca Söz P veya diğer nesneler de R. Bazen yüklemin kapsamına ilişkin bu belirsizlik R bağlamı ortadan kaldırır, bazen bu eleme gerekli değildir. Hacim VP'nin hacim Vs'ye oranını vurgulamak için daha spesifik bir formülasyon kullanılır: "Hepsi S ve sadece Söz R"ya da hepsi S ve sadece onlar özdür R" İkinci formülasyon denir genelleme olumlu yargı. İlk yargıya, Şekil 2'de gösterilen Venn diyagramı ile cevap verilmektedir. 1, a, ikinci - Şekil 2'de. 1, b. Bununla birlikte, karar “Bazıları Söz R" genellikle "Bazıları" olarak anlaşılır S ve sadece onlar değil R", Şekil 2'deki diyagrama karşılık gelir. 2, a, ancak aynı zamanda “Bazıları” anlamına da gelebilir S ve sadece onlar özdür S"(Şekil 2, b). Karar “Her şey S asıl mesele bu değil R"genel biçimde anlaşıldığında, Şekil 2'deki diyagrama karşılık gelir. 3 A. Aynı yargıya vurgulu biçimde “Her şey S ve sadece onlar değil R"Şekil 2'deki diyagrama yanıt verir. 3, b. Bu formülasyon, arasındaki ilişkinin tanımına karşılık gelir. çelişkili kavramlar yani hacimleri kesişmeyen ve daha genel bir genel kavramın hacmini tüketmeyenler. Son olarak “Bazıları S yeme R» genel olarak Şekil 2'deki şemaya karşılık gelir. 4, a ve vurgulayıcı biçimde “Bazıları S ve sadece onlar değil R" - Şek. 4, b. Tablo 3.1
Karar türü | Sözlü formülasyonların geleneksel mantığında kayıt | Yüklem cebir dilinde gösterim | Hacimler Vs ve VP arasındaki ilişki |
Genel olumlu | Tüm Söz P |
|
|
Özel olumlu | Bazı Söz R |
|
|
Genel olumsuz | Hiçbiri S asıl mesele bu değil R |
|
|
Kısmi negatif | Bazı S asıl mesele bu değil R |
|
|
Şekil 1
Pirinç. 2
Şekil 4Örnek 3. “Bütün insanlar ölümlüdür; Sokrates bir insandır; bu nedenle Sokrates ölümlüdür." Argümanın ilk öncülü genel olarak olumlu bir önermedir (bkz. örnek 2). Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: H(x): x - kişi; C(x): x - ölümlü; c - Sokrates.
Argümanın yapısı:
"x(H(x)ÞC(x)), H(s) ├ C(s). (3.1)
(3.1)’i tutmayalım. O halde bazı Do etki alanlarında (c, H(x), C(x)) için bir (a, li(x), lj(x)) kümesi mevcut olmalıdır ve bu küme altında aşağıdaki koşullar karşılanacaktır:
"x(li(x) Þ lj (x)) = И; li(a) = И; lj(a) = Л.
Ancak o zaman li(a) Þ lj (a) anlamı A değerine sahiptir, bu da genel niceleyicinin tanımına göre “x(li(x) Þ lj (x)) = A anlamına gelir, bu da ilk koşulla çelişir. Bu nedenle Sonuç 2.8 doğrudur ve orijinal akıl yürütme doğrudur.
Örnek 4. Gerekçeyi analiz edin: “CSKA'yı yenebilen her hokey takımı birinci lig takımıdır. Hiçbir büyük lig takımı CSKA'yı yenemez. Bu CSKA'nın yenilmez olduğu anlamına geliyor."
O notasyonu: P(x): x takımı CSKA'yı yenebilir; B (x): birinci ligden x takımı.
Argümanın yapısı:
"x(P(x) Þ B(x)), "x(B(x) Þ ØP(x)) ├ Ø$xP(x).
Ortaya çıkan sonucun doğru olup olmadığını eşdeğer dönüşümler yöntemini kullanarak belirleriz. Önerme 1.10'un genellemesinin doğal sonucu b)'yi kullanarak, “x(P(x) Þ B(x))&”x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) formülünü dönüştürürüz.
Elimizde: "x(P(x) Þ B(x)) & "x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) = "x((P(x) Þ B(x) ) ) & (B(x) Þ ØP(x))) Þ Ø$xP(x) = Ø("x((ØP(x) Ú B(x)) & (ØB(x) Ú ØP(x) )) ) & $хП(х)) =
= Ø("x(ØP(x) Ú (B(x) & ØB(x)))) & $xP(x) = ØL = I.
Bu eşdeğer oluşumlarda A & ØA = А bağlacı özelliği iki kez, A Ú A = A ayrıklığı özelliği ise bir kez kullanılmıştır.
Dolayısıyla orijinal formül genel olarak geçerlidir, yani muhakeme doğrudur.
Örnek 5. Gerekçeyi analiz edin: “Eğer herhangi bir takım CSKA'yı yenebiliyorsa, o zaman bazı büyük lig takımları da yenebilir. Dinamo (Minsk) büyük bir lig takımı ama CSKA'yı yenemez. Bu CSKA'nın yenilmez olduğu anlamına geliyor."
Gösterim: P(x): x takımı CSKA'yı yenebilir; B(x): birinci ligden x takımı; d - “Dinamo” (Minsk).
Argümanın yapısı:
"X P( X) Þ $ X(İÇİNDE( X)& P( X)), V(d) & ØP(d) ├ Ø$ X P( X). (3.2)
Yorum. Akıl yürütmeyi resmileştirirken, aynı kelime veya cümlelerin sık sık tekrarlanmasını önlemek için doğal dilde eşanlamlı ifadelerin yaygın olarak kullanıldığı dikkate alınmalıdır. Çeviri sırasında bunların aynı formülle aktarılması gerektiği açıktır. Örneğimizde bu tür eşanlamlılar “komut” yüklemleridir. X CSKA'yı ve "takımını yenebilir" X CSKA'yı yenebilir" ve her ikisi de P() formülüyle ifade edilir. X).
(3.2)'nin çıkarımı yanlıştır. Bunu kanıtlamak için, öncülleri ve sonucu ifade eden formüllerin, öncüllerin I değerini ve sonucun - L değerini alacağı en az bir yorumunu belirtmek yeterlidir. Böyle bir yorum, örneğin aşağıdaki gibidir: D = (1, 2, 3, 4) . Bu yorumda, hesaplamalardan sonra,
I Þ I, I &ØL ├ ØI veya I, I ├ L.
Yani bu yorumda her iki öncül de I değerine, sonuç ise L değerine sahiptir. Bu, aşağıdaki (3.2)'nin yanlış olduğu ve akıl yürütmenin yanlış olduğu anlamına gelir.
3.9. Karşılık gelen alanlara uygun tekli yüklemleri tanıttıktan sonra, aşağıdaki ifadeleri yüklem cebiri diline çevirin:
a) Bütün rasyonel sayılar reeldir.
b) Hiçbir rasyonel sayı gerçek değildir.
c) Bazı rasyonel sayılar reeldir.
d) Bazı rasyonel sayılar gerçek değildir.
Çözüm. Aşağıdaki tekli yüklemleri tanıtalım
S(x): « X- rasyonel sayı";
R(x): « X- gerçek Numara."
O zaman yukarıdaki ifadelerin yüklem cebiri diline çevirisi şu şekilde olacaktır:
a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png" width = "144" height = "21 src = ">
c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png" width = "137" height = "21 src = ">
3.10. Karşılık gelen alanlara tekli yüklemleri tanıtın ve bunları yüklem cebiri formülleri biçiminde aşağıdaki ifadeleri yazmak için kullanın:
a) 12'ye bölünebilen her doğal sayı 2, 4 ve 6'ya da bölünür.
b) İsviçre'de ikamet edenler Fransızca, İtalyanca veya Almanca konuşmalıdır.
c) Aralıkta sürekli olan bir fonksiyon işaretini korur veya sıfır değerini alır.
d) Bazı yılanlar zehirlidir.
e) Bütün köpeklerin iyi bir koku alma duyusu vardır.
3.11. Aşağıdaki örneklerde, kendinizi tekli yüklemlerle sınırlamadan, önceki problemdekinin aynısını yapın:
a) Eğer a, gerçel katsayılı tek değişkenli bir polinomun kökü ise bu polinomun da köküdür.
b) Bir doğru üzerindeki herhangi iki farklı nokta arasında, onlarla çakışmayan en az bir nokta bulunur.
c) İki farklı noktadan geçen tek bir doğru vardır.
d) Her öğrenci en az bir laboratuvar çalışmasını tamamlamıştır.
e) Doğal sayıların çarpımı bir asal sayıya bölünüyorsa çarpanlardan en az biri ona bölünebilir.
f) Tek bir düzlem aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan geçer.
g) Sayıların en büyük ortak böleni A Ve B her ortak bölene bölünür.
h) Her reel sayı için X böyle bir şey var en bu herkes için z eğer miktar z ve 1 daha az en, o zaman toplam X ve 2, 4'ten küçüktür.
Ve) X- Asal sayı.
j) Dörtten büyük her çift sayı iki asal sayının toplamıdır (Goldbach varsayımı).
3.12. Aşağıdaki ifadeleri yüklem cebir dilinde yazın:
a) Tam olarak bir tane var X, öyle ki P(x).
b) En az iki farklı X, öyle ki P(x).
c) İkiden fazla olamaz X, öyle ki P(x).
d) Tam olarak iki farklı X, öyle ki P(x).
3.13. Herhangi bir yüklem için M kümesi hakkında ne söylenebilir? B(x) M kümesiyle ilgili ifade doğru mu?
3.14. İzin vermek P(x) araç " X- Asal sayı", Eski) araç " X- çift sayı", Ah) - « X- tek sayı", D ( X,sen) - « X böler en" veya " en bölü X" Aşağıdaki sembolik gösterimleri yüklem cebiri dilinde, değişkenlerin geçerli olduğunu dikkate alarak Rusçaya çevirin. X Ve en doğal sayılar kümesini inceleyin:
A) P( 7) ;
B) E ( 2) & P( 2) ;
c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png" width = "136" height = "21 src = ">;
e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png" width = "237" height = "23 src = ">;
g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png" width = "248" height = "23 src = ">;
i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png" genişlik = "109" yükseklik = "21 src = ">.png" genişlik = "127" yükseklik = "23">. png" genişlik = "108" yükseklik = "23"> ├ ?
Eğer öncüller ve sonuçlar tek değişkene bağlı tek yüklemler ise, aşağıdakilerin doğruluğu Venn diyagramları kullanılarak da kontrol edilebilir. Örneğimizdeki öncül ve sonuç olan kategorik yargılar için kavram hacimleri arasındaki ilişkiler S Ve Rörnek 2'de anlatılmıştır. Bu açıklamayı kullanacağız.
Tek öncül durumu için Venn şeması yöntemi aşağıdaki gibidir. Kavram hacimleri arasındaki tüm olası ilişki durumlarını diyagramlarla gösteriyoruz S Ve R, parsele karşılık gelir.
Sonuç, ortaya çıkan diyagramların her birinde doğru çıkarsa, o zaman aşağıdaki doğrudur. Diyagramlardan en az birinde sonuç yanlışsa, aşağıdakiler de yanlıştır.
(a) Öncül olumsuz bir önerme olduğundan, Şekil 1'de gösterilen diyagramlar onun için mümkündür. 5.
Bu diyagramların hiçbirinde https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png" width="108" height="23"> kararı belirli bir olumlu yargı değildir, dolayısıyla bunun için olası diyagramlar şunlardır: Şekil 6'da gösterilmiştir.
