Depositfiles'ten indirin

9 numaralı ders. Konu 3: İkinci dereceden çizgiler

İkinci dereceden bir denklemle tanımlanan bir çizginin bazı DSC'lerde verilmesine izin verin

nerede katsayılar
aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu hat denir eğri veya ikinci dereceden satır.

Puan kalmamış olabilir
denklemi (1) sağlayan gerçek koordinatlarla. Bu durumda, denklem (1)'in ikinci dereceden hayali bir çizgiyi tanımladığı kabul edilir. Örneğin,
 Bu hayali çemberin denklemidir.

Denklemin (1) üç önemli özel durumunu ele alalım.

3.1. Elips

Elips denklem ile tanımlanır

(2)

Oranlar A Ve B sırasıyla ana ve küçük yarı eksenler olarak adlandırılır ve denklem (2) şu şekildedir: kanonik elips denklemi.

koyalım
ve eksen üzerinde işaretleyin HAKKINDA Xpuan

isminde hileler elips. O zaman elips şu şekilde tanımlanabilir:

noktaların yeri, odaklara olan mesafelerin toplamı şuna eşit sabit bir değerdir: 2A.

de

B

M K

— AF 1 Ç F 2 A X

— B

Hadi gösterelim. nokta olsun
 elipsin geçerli noktası. Bu durumda eşitliği elde ederiz.

İfade (3) şu şekilde temsil edilebilir:

ve ifadenin her iki tarafının karesini alın

buradan anlıyoruz

Bu ifadenin karesini tekrar alalım ve bağıntıyı kullanalım.
, Daha sonra

(4)

İfadenin (4) her iki kısmını da şuna bölmek
, nihayet elipsin kanonik denklemini elde ediyoruz

Denklemi (2) inceleyelim. Denklemde yer değiştirirsek, denklem (2) değişmeyecektir. Bu, elipsin koordinat eksenleri etrafında simetrik olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, elipsin ilk çeyrekte bulunan kısmını ayrıntılı olarak ele alalım. Denklem tarafından belirlenir
Elipslerin noktalardan geçtiği açıktır.
. İlk çeyrekte şematik bir kurgu yaptıktan sonra grafiğini tüm çeyreklerde simetrik olarak göstereceğiz. Böylece, elips sürekli bir kapalı eğridir. noktalar denir elipsin köşeleri.

Davranış
ismindeeksantriklikelips. Elips için
.

doğrudan
isminde elips doğrultmanları.

Aşağıdaki directrix özelliği tutar:

Odaktan uzaklıkların ve elipsin noktaları için doğrultmana oranı, eksantrikliğe eşit sabit bir değerdir, yani

Eşitlik (3) ile aynı şekilde ispatlanır.

1. açıklama Daire
bir elipsin özel bir halidir. Onun için

3.2. Hiperbol

Bir hiperbolün kanonik denklemi şu şekildedir:

onlar. denklemde (1) koymalıyız

Oranlar A Ve B sırasıyla gerçek ve hayali yarı eksenler olarak adlandırılır.

koyarak
, eksen üzerinde işaretleyin HAKKINDA Xpuan
isminde hileler abartı O zaman hiperbol şu şekilde tanımlanabilir:

noktaların yeri, mutlak değerde odakların uzaklık farkı 2'ye eşittirA, yani

de

İLE M

F 1 —A HAKKINDA AF 2 X

Kanıt, elipsinkine benzer. Hiperbolün denklem biçiminden, grafiğinin koordinat sisteminin eksenleri etrafında simetrik olduğu sonucuna da varıyoruz. Hiperbolün birinci çeyrekte kalan kısmı şu denkleme sahiptir:
Bu denklemden görülebileceği gibi, yeterince büyükXdüz bir çizgiye yakın hiperbol
. İlk çeyrekte şematik bir kurgudan sonra grafiği tüm çeyreklerde simetrik olarak gösteriyoruz.

puan
isminde zirveler abartı doğrudan
isminde asimptotlar hiperbolün dallarının kesişmeden yöneldiği doğrulardır.

ilişki denireksantriklikabartı abartı için
.

Düz çizgiler denir yönetmenler abartı Bir hiperbolün doğrultmanları için özellik, bir elipsin doğrultmanlarınınkine benzer.

Örnek. Köşeleri odak noktalarında ve odak noktaları bir hiperbolün köşe noktalarında olan bir elipsin denklemini bulun
.

koşula göre
A

Sonunda alırız

10.3. Parabol

Parabol kanonik denklem ile tanımlanır
onlar. denklemde (1) koymalıyız

İLE katsayıR isminde İLEde

odak ayarı. M

O ekseni hakkında not Xnokta

odak denir

- elips;

- parabol;

- abartma.

İkinci dereceden çizgiler.
Elips ve kanonik denklemi. Daire

Kapsamlı bir çalışmanın ardından uçakta düz çizgiler iki boyutlu dünyanın geometrisini incelemeye devam ediyoruz. Bahisler ikiye katlandı ve sizi tipik temsilcileri olan elipslerin, hiperbollerin, parabollerin pitoresk galerisini ziyaret etmeye davet ediyorum. ikinci dereceden çizgiler. Tur çoktan başladı ve önce müzenin farklı katlarındaki serginin tamamı hakkında kısa bir bilgi:

Cebirsel çizgi kavramı ve sırası

Uçakta bir çizgi denir cebirsel, içinde ise afin koordinat sistemi denklemi şu şekildedir , burada formun terimlerinden oluşan bir polinomdur ( gerçek bir sayıdır, negatif olmayan tam sayılardır).

Gördüğünüz gibi, bir cebirsel doğrunun denklemi sinüs, kosinüs, logaritma ve diğer fonksiyonel beau monde'ları içermez. Yalnızca "x" ve "y" negatif olmayan tamsayı derece.

Satır sırası içerdiği terimlerin maksimum değerine eşittir.

İlgili teoreme göre, cebirsel çizgi kavramı ve sırası seçime bağlı değildir. afin koordinat sistemi, bu nedenle, varlığın kolaylığı için, sonraki tüm hesaplamaların Kartezyen koordinatları.

Genel Denklem ikinci dereceden satır şu şekle sahiptir, burada keyfi gerçek sayılardır (çarpan ile yazmak gelenekseldir - "iki") ve katsayılar aynı anda sıfıra eşit değildir.

Eğer , o zaman denklem şu şekilde basitleşir: ve katsayılar aynı anda sıfıra eşit değilse, bu tam olarak "düz" bir düz çizginin genel denklemi temsil eden birinci sipariş satırı.

Birçoğu yeni terimlerin anlamını anladı, ancak yine de malzemeyi% 100 özümsemek için parmaklarımızı yuvaya sokuyoruz. Satır sırasını belirlemek için üzerinde yineleme yapın tüm terimler denklemleri ve her biri için kuvvetlerin toplamı gelen değişkenler

Örneğin:

terim 1. dereceye kadar "x" içerir;
terim 1. dereceye kadar "Y" içerir;
terimde değişken yoktur, bu nedenle güçlerinin toplamı sıfırdır.

Şimdi denklemin neden doğruyu belirlediğini bulalım. ikinci emir:

terim 2. derecede "x" içerir;
terim, değişkenlerin derecelerinin toplamına sahiptir: 1 + 1 = 2;
terim 2. derecede "y" içerir;
diğer tüm terimler - daha az derece.

Maksimum değer: 2

Denklemimize ek olarak diyelim ki eklersek, o zaman zaten belirleyecektir üçüncü dereceden satır. 3. dereceden doğru denkleminin genel formunun, üçe eşit olan değişkenlerin derecelerinin toplamı olan "tam bir terimler kümesi" içerdiği açıktır:
, burada katsayılar aynı anda sıfıra eşit değildir.

içeren bir veya daha fazla uygun terim eklenmesi durumunda , sonra hakkında konuşacağız 4. sipariş hatları, vesaire.

3., 4. ve daha yüksek mertebeden cebirsel doğrularla, özellikle tanışırken birden çok kez uğraşmamız gerekecek. kutupsal koordinat sistemi.

Ancak, genel denkleme geri dönelim ve en basit okul varyasyonlarını hatırlayalım. Örnekler, denklemi kolayca genel bir forma indirgenebilen parabol ve eşdeğer denklemli hiperboldür. Ancak, her şey o kadar pürüzsüz değil ....

Genel denklemin önemli bir dezavantajı, hangi çizgiyi tanımladığının neredeyse her zaman net olmamasıdır. En basit durumda bile, bunun abartı olduğunu hemen fark etmeyeceksiniz. Bu tür düzenler yalnızca bir maskeli baloda iyidir, bu nedenle analitik geometri sırasında tipik bir problem olarak kabul edilir. 2. dereceden doğru denkleminin kanonik forma indirgenmesi.

Bir denklemin kanonik formu nedir?

Bu, denklemin genel olarak kabul edilen standart şeklidir, saniyeler içinde hangisinin hangisi olduğu netleşir. geometrik nesne tanımlar. Ek olarak, standart form, birçok pratik görevi çözmek için çok uygundur. Yani, örneğin, kanonik denkleme göre "düz" düz, birincisi, bunun düz bir çizgi olduğu hemen anlaşılır ve ikincisi, ona ait nokta ve yön vektörü basitçe görünür.

Açıkçası, herhangi 1. sipariş satırı düz bir çizgiyi temsil eder. İkinci katta artık bizi bekleyen bir kapıcı değil, dokuz heykelden oluşan çok daha çeşitli bir grup var:

İkinci dereceden hatların sınıflandırılması

Özel bir eylemler dizisinin yardımıyla, herhangi bir ikinci dereceden doğru denklemi aşağıdaki türlerden birine indirgenir:

( ve pozitif gerçek sayılardır)

1) elipsin kanonik denklemidir;

2) hiperbolün kanonik denklemidir;

3) parabolün kanonik denklemidir;

4) – hayali elips;

5) - bir çift kesişen çizgi;

6) - çift hayali kesişen çizgiler (başlangıçta tek gerçek kesişme noktası ile);

7) - bir çift paralel çizgi;

8) - çift hayali paralel çizgiler;

9) bir çift çakışan çizgidir.

Bazı okuyucular, listenin eksik olduğu izlenimine kapılabilir. Örneğin, 7 numaralı paragrafta, denklem çifti ayarlar. doğrudan, eksene paralel ve şu soru ortaya çıkıyor: y eksenine paralel doğruları belirleyen denklem nerede? Cevapla kanon sayılmaz. Düz çizgiler, 90 derece döndürülmüş aynı standart durumu temsil eder ve temelde yeni bir şey taşımadığından sınıflandırmadaki ek giriş gereksizdir.

Yani dokuz ve sadece dokuz var Çeşitli türler 2. dereceden çizgiler, ancak pratikte en yaygın olanı elips, hiperbol ve parabol.

Önce elipse bakalım. Her zaman olduğu gibi, problemleri çözmek için büyük önem taşıyan noktalara odaklanıyorum ve formüllerin ayrıntılı bir şekilde türetilmesine, teoremlerin ispatlarına ihtiyacınız varsa, lütfen örneğin Bazylev / Atanasyan veya Aleksandrov'un ders kitabına bakın.

Elips ve kanonik denklemi

Yazım ... lütfen "elips nasıl yapılır", "elips ile oval arasındaki fark" ve "elebs eksantrikliği" ile ilgilenen bazı Yandex kullanıcılarının hatalarını tekrarlamayın.

Bir elipsin kanonik denklemi, pozitif gerçek sayılar olan ve şeklindedir. Elips tanımını daha sonra formüle edeceğim, ancak şimdilik konuşmaya ara vermenin ve ortak bir sorunu çözmenin zamanı geldi:

Bir elips nasıl inşa edilir?

Evet, al ve sadece çiz. Ödev yaygındır ve öğrencilerin önemli bir kısmı çizimle pek yetkin bir şekilde baş edemez:

örnek 1

Denklem tarafından verilen bir elips oluşturun

Çözüm: önce denklemi kanonik forma getiriyoruz:

Neden getir? Kanonik denklemin avantajlarından biri, anında belirlemenize izin vermesidir. elips köşeleri, noktalarda olan . Bu noktaların her birinin koordinatlarının denklemi sağladığını görmek kolaydır.

Bu durumda :


Çizgi segmenti isminde ana eksen elips;
çizgi segmenti – küçük eksen;
sayı isminde yarı büyük eksen elips;
sayı – yarı küçük eksen.
bizim örneğimizde: .

Bunun veya bu elipsin neye benzediğini hızlı bir şekilde hayal etmek için, kanonik denkleminin "a" ve "be" değerlerine bakmanız yeterlidir.

Her şey yolunda, düzenli ve güzel ama bir uyarı var: Programı kullanarak çizimi tamamladım. Ve herhangi bir uygulama ile çizim yapabilirsiniz. Ancak, acımasız gerçeklikte, masanın üzerinde kareli bir kağıt parçası yatıyor ve fareler ellerimizin etrafında dans ediyor. Sanatsal yeteneğe sahip insanlar elbette tartışabilir, ancak fareleriniz de var (daha küçük olsalar da). İnsanlığın bir cetvel, pusula, iletki ve çizim için diğer basit cihazları icat etmesi boşuna değildir.

Bu nedenle, sadece köşeleri bilerek doğru bir şekilde bir elips çizebilmemiz pek olası değildir. Yine de tamam, eğer elips küçükse, örneğin yarı eksenlerle. Alternatif olarak, ölçeği ve buna bağlı olarak çizimin boyutlarını azaltabilirsiniz. Ancak genel durumda, ek noktaların bulunması oldukça arzu edilir.

Bir elips oluşturmak için iki yaklaşım vardır - geometrik ve cebirsel. Algoritmanın kısa olması ve çizimin önemli ölçüde dağınık olması nedeniyle pusula ve cetvelle inşa etmeyi sevmiyorum. Acil bir durumda lütfen ders kitabına bakın, ancak gerçekte cebir araçlarını kullanmak çok daha rasyoneldir. Taslaktaki elips denkleminden hızlıca şunu ifade ederiz:

Denklem daha sonra iki fonksiyona ayrılır:
– elipsin üst yayını tanımlar;
– elipsin alt yayını tanımlar.

Kanonik denklem tarafından verilen elips, orijine göre olduğu kadar koordinat eksenlerine göre de simetriktir. Ve bu harika - simetri neredeyse her zaman bir beleşin habercisidir. Açıkçası, 1. koordinat çeyreği ile uğraşmak yeterli, bu yüzden bir fonksiyona ihtiyacımız var. . Apsisli ek noktalar bulmayı önerir. . Hesap makinesinde üç SMS'e çarptık:

Hesaplamalarda ciddi bir hata yapılırsa inşaat sırasında bunun hemen netleşmesi de elbette sevindirici.

Çizimdeki noktaları (kırmızı renk), diğer yaylardaki simetrik noktaları (mavi renk) işaretleyin ve tüm şirketi dikkatlice bir çizgi ile bağlayın:


İlk taslağı ince ve ince çizmek ve ancak o zaman kaleme baskı uygulamak daha iyidir. Sonuç oldukça iyi bir elips olmalıdır. Bu arada, bu eğrinin ne olduğunu bilmek ister misiniz?

Bir elipsin tanımı. Elips odakları ve elips eksantrikliği

Elips, ovalin özel bir halidir. "Oval" kelimesi dar kafalı anlamda anlaşılmamalıdır ("çocuk bir oval çizdi" vb.). Bu, ayrıntılı bir formülasyonu olan matematiksel bir terimdir. Bu dersin amacı, standart analitik geometri dersinde pratik olarak dikkat edilmeyen ovaller teorisini ve çeşitli tiplerini dikkate almak değildir. Ve daha güncel ihtiyaçlara uygun olarak, hemen bir elipsin kesin tanımına geçiyoruz:

Elips- bu, düzlemin tüm noktalarının kümesidir, her birine verilen iki noktadan olan mesafelerin toplamı olarak adlandırılır. hileler elips, sayısal olarak bu elipsin ana ekseninin uzunluğuna eşit olan sabit bir değerdir: .
Bu durumda odaklar arasındaki uzaklık şu değerden küçüktür: .

Şimdi daha netleşecek:

Mavi noktanın bir elips üzerinde "sürdüğünü" hayal edin. Yani, elipsin hangi noktasından alırsak alalım, doğru parçalarının uzunluklarının toplamı her zaman aynı olacaktır:

Örneğimizde toplamın değerinin gerçekten sekize eşit olduğundan emin olalım. Zihinsel olarak "em" noktasını elipsin sağ köşesine yerleştirin, ardından kontrol edilmesi gereken: .

Bir elips çizmenin başka bir yolu, bir elipsin tanımına dayanır. Bazen yüksek matematik, gerilim ve stresin nedenidir, bu yüzden başka bir boşaltma seansı yapmanın zamanı geldi. Lütfen bir parça kağıt veya büyük bir karton alın ve masaya iki çiviyle tutturun. Bunlar hile olacak. Çıkıntılı tırnak başlarına yeşil bir iplik bağlayın ve bir kalemle sonuna kadar çekin. Kalemin boynu, elipse ait bir noktada olacaktır. Şimdi yeşil ipliği çok gergin tutarak kalemi kağıdın üzerinde gezdirmeye başlayın. Başlangıç ​​noktasına dönene kadar işleme devam edin ... mükemmel ... çizim doktor tarafından doğrulama için öğretmene gönderilebilir =)

Bir elipsin odağı nasıl bulunur?

Yukarıdaki örnekte "hazır" odak noktalarını tasvir ettim ve şimdi onları geometrinin derinliklerinden nasıl çıkaracağımızı öğreneceğiz.

Elips kanonik denklem tarafından veriliyorsa, odaklarının koordinatları vardır. , nerede odakların her birinden elipsin simetri merkezine olan mesafe.

Hesaplamalar buğulanmış şalgamlardan daha kolaydır:

! "Ce" anlamı ile, hilelerin belirli koordinatlarını belirlemek imkansızdır! Tekrar ediyorum, bu Her odaktan merkeze MESAFE(genel durumda tam olarak orijinde bulunması gerekmez).
Ve bu nedenle, odaklar arasındaki mesafe de elipsin kanonik konumuna bağlanamaz. Başka bir deyişle, elips başka bir yere taşınabilir ve değer değişmeden kalırken, odaklar doğal olarak koordinatlarını değiştirir. Lütfen konuyu daha fazla araştırırken bunu aklınızda bulundurun.

Bir elipsin eksantrikliği ve geometrik anlamı

Bir elipsin eksantrikliği, içinde değerler alabilen bir orandır.

Bizim durumumuzda:

Bir elipsin şeklinin dışmerkezliğine nasıl bağlı olduğunu bulalım. Bunun için sol ve sağ köşeleri düzeltin söz konusu elipsin, yani yarı ana eksenin değeri sabit kalacaktır. O zaman eksantriklik formülü şu şekli alacaktır: .

Dışmerkezliğin değerini bire yaklaştırmaya başlayalım. Bu ancak eğer mümkünse. Bu ne anlama geliyor? ...hileleri hatırlamak . Bu, elipsin odaklarının apsis ekseni boyunca yan köşelere "dağılacağı" anlamına gelir. Ve "yeşil parçalar kauçuk olmadığından", elips kaçınılmaz olarak düzleşmeye başlayacak ve bir eksen üzerinde dizilmiş daha ince ve daha ince bir sosis haline gelecektir.

Böylece, elipsin eksantrikliği bire ne kadar yakınsa, elips o kadar uzundur.

Şimdi ters işlemi simüle edelim: elipsin odakları merkeze yaklaşarak birbirlerine doğru gittiler. Bu, "ce" değerinin küçüldüğü ve buna bağlı olarak eksantrikliğin sıfıra doğru yöneldiği anlamına gelir: .
Bu durumda “yeşil kesimler” ise tam tersine “kalabalıklaşacak” ve elipsin çizgisini yukarı ve aşağı “itmeye” başlayacaklardır.

Böylece, eksantriklik değeri sıfıra ne kadar yakınsa, elips o kadar çok görünür... odaklar orijinde başarılı bir şekilde yeniden birleştiğinde, sınırlayıcı duruma bakın:

Daire, elipsin özel bir halidir.

Aslında, yarı eksenlerin eşitliği durumunda, elipsin kanonik denklemi, merkez "a" yarıçapının orijininde olan ekolden iyi bilinen daire denklemine refleks olarak dönüşen formu alır.

Uygulamada, "konuşan" "er" harfli gösterim daha sık kullanılır:. Yarıçap, parçanın uzunluğu olarak adlandırılırken, dairenin her noktası merkezden yarıçapın mesafesi kadar çıkarılır.

Bir elipsin tanımının tamamen doğru olduğuna dikkat edin: eşleşen odaklar ve daire üzerindeki her nokta için eşleşen segmentlerin uzunluklarının toplamı sabit bir değerdir. Odaklar arası uzaklık olduğu için herhangi bir dairenin dışmerkezliği sıfırdır.

Bir daire kolayca ve hızlı bir şekilde inşa edilir, kendinizi bir pusula ile silahlandırmanız yeterlidir. Bununla birlikte, bazen bazı noktalarının koordinatlarını bulmak gerekir, bu durumda tanıdık yoldan gidiyoruz - denklemi neşeli bir Matan formuna getiriyoruz:

üst yarım dairenin işlevidir;
alt yarım dairenin işlevidir.

Ardından istenen değerleri buluyoruz, türevlenebilir, birleştirmek ve başka iyi şeyler yapın.

Makale elbette sadece referans amaçlıdır, ancak dünyada aşk olmadan nasıl yaşanır? Bağımsız çözüm için yaratıcı görev

Örnek 2

Odaklarından biri ve yarı küçük ekseni biliniyorsa (merkez orijindedir) bir elipsin kanonik denklemini oluşturun. Köşeleri, ek noktaları bulun ve çizime bir çizgi çizin. Eksantrikliği hesaplayın.

Ders sonunda çözüm ve çizim

Bir işlem ekleyelim:

Bir elipsi döndürme ve öteleme

Elipsin kanonik denklemine, yani bu eğriden ilk bahsedildiğinden beri bilmecesi meraklı zihinlere eziyet eden duruma dönelim. Burada bir elips düşündük , ancak pratikte denklem olamaz ? Sonuçta, burada da bir elips gibi görünüyor!

Böyle bir denklem nadirdir, ancak karşımıza çıkar. Ve bir elips tanımlar. Gizemi ortadan kaldıralım:

Yapım sonucunda 90 derece döndürülmüş doğal elipsimiz elde edilir. Yani, - Bu kuralsız giriş elips . Kayıt!- denklem eksen üzerinde bir elipsin tanımını karşılayacak hiçbir nokta (odak) bulunmadığından, başka bir elips belirtmez.

çevresi verilen bir noktadan eşit uzaklıktaki düzlemin tüm noktalarının toplamıdır. çemberin merkezi.Çemberin merkezinden çember üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklığa denir. . daire yarıçapı.

- dairenin kanonik denklemi (16) - dairenin merkezi.

Çemberin merkezi orijinde ise çember denklemi (16 .)

Elips düzlemin tüm noktalarının kümesi olarak adlandırılır, bu düzlemin verilen iki noktasına olan mesafelerin toplamı (denir) hileler bu elips) sabit bir değerdir.

(0;b)M(x,y)'de

r 1 r 2 r 1 +r 2 =2a

(-а; 0) F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) (а; 0) X

Kısalık için a 2 -b 2 \u003d c 2 (*), ardından elips denklemini gösterelim: (17)

y=0 koyarsak , x=0 koyarsak ; dolayısıyla, ve elipsin yarı eksenlerinin uzunluklarıdır - büyük() Ve küçük(). Ayrıca sol taraftaki terimlerin her biri birden büyük olamaz, dolayısıyla , ve bu nedenle elipsin tamamı dikdörtgenin içinde yer alır. A,B,C,D Noktaları elipsin simetri eksenlerini kestiği yere denir elipsin köşeleri.

Davranış elipsin dış merkezliliği denir.

abartma düzlemin tüm noktalarının toplanması, bu düzlemin verilen iki noktasından olan mesafelerin farkının modülüdür (denir) hileler bu hiperbol) sabit bir niceliktir. Odaklar arasındaki mesafenin ortasına denir hiperbolün merkezi.

r 2 r 1 –r 2 = 2a

F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) x

2 -c 2 \u003d-b 2 (**), hiperbol denklemini belirtin: (18)

Bu denklemden hiperbolün ayrıca iki simetri eksenine (ana eksenler) ve ayrıca bir simetri merkezine (hiperbolün merkezi) sahip olduğu görülebilir.

Davranış hiperbolün eksantrikliği denir.

y=0 koyarsak, elde ederiz ve x=0 koyarsak, elde ederiz.

Yani Öküz ekseni hiperbolü iki noktada kesiyor (hiperbolün köşeleri), bu - gerçek eksen; Oy ekseni hiperbol ile kesişmez - bu " hayali eksen. » Bir hiperbolün iki noktasını birleştiren doğru parçası, merkezden geçiyorsa buna denir. hiperbolün çapı.

Eğri bir çizginin keyfi olarak yaklaştığı, ancak onu asla kesmediği düz bir çizgiye denir. eğri asimptotu. Bir hiperbolün iki asimptotu vardır. Denklemleri: (19)

parabol düzlemin tüm noktalarının kümesi olarak adlandırılır, her birinin belirli bir noktaya olan mesafesi (denir) odak) verilen çizgiye olan mesafeye eşittir (adlandırılır) müdire).

- parabol parametresi.

Parabolün bir simetri ekseni vardır. Parabolün simetri ekseni ile kesişme noktasına denir. parabolün tepesi.

Simetri ekseni Öküz ekseni olan ve dalları sağa yönlendirilmiş olan, orijinde bir tepe noktasına sahip bir parabolün kanonik denklemi şu şekildedir: (20)

Yönlendirme denklemi:

Simetri ekseni Öküz ekseni olan ve dalları sola yönlendirilmiş olan, orijinde bir tepe noktasına sahip bir parabolün kanonik denklemi şu şekildedir: (20 ,)

Yönlendirme denklemi:

Tepe noktası orijinde olan, simetri ekseni Oy ekseni olan ve dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir parabolün kanonik denklemi şu şekildedir: (20 ,)

Yönlendirme denklemi:

Simetri ekseni Oy ekseni olan ve dalları aşağı doğru yönlendirilmiş, orijinde bir tepe noktasına sahip bir parabolün kanonik denklemi şu şekildedir: (20 ,)

Yönlendirme denklemi:

y y

F 0 p/2 x -p/2 0 x

E y

s/2

-p/2
Konu 2.1. Ders 7. Ders 10

Konu: Bir bağımsız değişkenin fonksiyonları, grafikleri.

Fonksiyon konsepti

Temel matematiksel kavramlardan biri de fonksiyon kavramıdır. Bir fonksiyon kavramı, iki kümenin elemanları arasında bağımlılık (bağlantı) kurulması ile ilişkilidir.

Boş olmayan iki X ve Y kümesi verilsin Bir ve yalnızca bir yÎ Y öğesini her bir xÎ X öğesiyle ilişkilendiren ƒ karşılığına fonksiyon denir ve y=ƒ(x), xÎ X veya ƒ olarak yazılır. : X → Y. Ayrıca ƒ fonksiyonunun X kümesini Y kümesine eşlediği de söylenir.

Örneğin, Şekil 98 a ve b'de gösterilen ƒ ve g karşılıkları fonksiyondur, Şekil 98 c ve d'dekiler ise değildir. - durumunda her xÎX elemanı yÎY elemanına karşılık gelmez. r durumunda, benzersizlik koşulu karşılanmamıştır.

X kümesine ƒ fonksiyonunun alanı denir ve D(f) ile gösterilir. Tüm унY'lerin kümesine ƒ fonksiyonunun değer kümesi denir ve E(ƒ) ile gösterilir.

Sayısal işlevler. fonksiyon grafiği. İşlevleri ayarlama yolları

Bir ƒ : X→Y fonksiyonu verilsin.

X ve Y kümelerinin elemanları gerçel sayılarsa (yani, XÌ R ve YÌ R), o zaman ƒ fonksiyonuna sayı fonksiyonu denir. Gelecekte, (kural olarak) sayısal fonksiyonları inceleyeceğiz, kısa olması için onlara basitçe fonksiyonlar diyeceğiz ve y=ƒ(x) yazacağız.

x değişkenine bağımsız değişken veya bağımsız değişken denir ve y'ye (x'in) bir işlevi veya bağımlı değişkeni denir. Kendileri x ve y değerleri ile ilgili olarak, işlevsel bir ilişki içinde olduklarını söylüyorlar. Bazen y'nin x'e işlevsel bağımlılığı, bağımlılığı belirtmek için yeni bir harf (ƒ) girmeden y=y(x) olarak yazılır.

özel değer x=a'daki ƒ(x) fonksiyonları aşağıdaki gibi yazılır: ƒ(a). Örneğin, ƒ(x)=2x 2 -3 ise, ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5 olur.

Fonksiyon Grafiği y \u003d (x), her biri için x'in bağımsız değişkenin değeri olduğu ve y'nin işlevin karşılık gelen değeri olduğu Oxy düzleminin tüm noktalarının kümesidir.

Örneğin, y \u003d √ (1-x 2) fonksiyonunun grafiği, merkezi O ​​(0; 0) olan R \u003d 1 yarıçapının üst yarım dairesidir (bkz. Şekil 99).

y=ƒ(x) fonksiyonunu ayarlamak için, x'i bilerek y'nin karşılık gelen değerini bulmaya izin veren bir kural belirtmek gerekir.

Bir işlevi tanımlamanın en yaygın üç yolu vardır: analitik, tablo, grafik.

Analitik metod: İşlev, bir veya daha fazla formül veya denklem olarak belirtilir.

y = ƒ(x) işlevinin etki alanı belirtilmemişse, karşılık gelen formülün mantıklı olduğu argümanın tüm değerleri kümesiyle çakıştığı varsayılır. Yani, y \u003d √ (1-x2) fonksiyonunun alanı [-1; 1].

y=ƒ(x) işlevini tam olarak keşfetmenizi sağlayan matematiksel analiz yöntemleri eşlik ettiğinden, işlevi ayarlamanın analitik yöntemi en mükemmel yöntemdir.

grafik yol: Fonksiyonun grafiğini ayarlar.

Genellikle grafikler kayıt cihazları tarafından otomatik olarak çizilir veya bir ekranda görüntülenir. x argümanının belirli değerlerine karşılık gelen y fonksiyonunun değerleri doğrudan bu grafikten bulunur.

Bir grafik görevinin avantajı görünürlüğü, dezavantajı ise yanlışlığıdır.

Tablo yolu: Bir işlev, bir dizi bağımsız değişken değeri tablosu ve karşılık gelen işlev değerleri tarafından belirtilir. Örneğin, trigonometrik fonksiyonların iyi bilinen değer tabloları, logaritmik tablolar.

Uygulamada, genellikle ampirik olarak veya gözlemler sonucunda elde edilen fonksiyon değerleri tablolarını kullanmak gerekir.

Mevcut koordinatlara göre ikinci derecenin denklemi ile tanımlanan çizgileri göz önünde bulundurun

Denklemin katsayıları gerçek sayılardır, ancak en az biri A, B sayıları veya C, 0'dan farklıdır. Bu tür çizgilere ikinci dereceden çizgiler (eğriler) denir. Aşağıda denklem (1)'in düzlemde bir Elips çemberi, bir hiperbol veya bir parabol tanımladığını göstereceğiz.

Daire

İkinci dereceden en basit eğri bir dairedir. Bir M 0 noktasında merkezlenmiş R yarıçaplı bir çemberin, MM 0 =R koşulunu sağlayan düzlemin bir M noktaları kümesi olduğunu hatırlayın. Oksi sisteminde M 0 noktasının koordinatları x 0 ,y 0 olsun ve M(x, y) dairenin gelişigüzel bir noktası olsun. O zaman ya

-bir çemberin kanonik denklemi . x 0 \u003d y 0 \u003d 0 varsayarsak, x 2 + y 2 \u003d R 2 elde ederiz

çemberin denkleminin ikinci dereceden (1) genel bir denklem olarak yazılabileceğini gösterelim. Bunu yapmak için daire denkleminin sağ tarafının karesini alırız ve şunu elde ederiz:

Bu denklemin (1)'e karşılık gelmesi için aşağıdakiler gereklidir:

1) katsayı B=0,

2). Sonra şunu elde ederiz: (2)

Son denklem denir çemberin genel denklemi . Denklemin her iki tarafını da A ≠ 0'a bölüp x ve y'yi içeren terimleri tam kareye ekleyerek şunu elde ederiz:

(2)

Bu denklemi bir çemberin kanonik denklemi ile karşılaştırdığımızda, aşağıdaki durumlarda denklemin (2) gerçekten bir çember denklemi olduğunu buluruz:

1)A=C, 2)B=0, 3)D 2 +E 2 -4AF>0.

Bu koşullar sağlandığında çemberin merkezi O noktasındadır ve yarıçapı .

Elips

y

X

F 2 (c, o)

F1 (-c,o)

Tanım olarak, 2 > 2c, yani > c. Elips denklemini türetmek için, F 1 ve F 2 odaklarının Öküz ekseni üzerinde olduğunu ve t olduğunu varsayıyoruz. O, F 1 F 2 segmentinin orta noktasıyla çakışıyor , ardından F 1 (-c, 0), F 2 (c,0).

M(x,y) elipsin rastgele bir noktası olsun, o zaman elipsin tanımına göre MF 1 + MF 2 =2, yani

Bu elipsin denklemidir. Bunun gibi daha basit bir forma değiştirebilirsiniz:

Karesini alalım:

kare yapmak

O zamandan beri 2 -c 2 > 0 2 -c 2 \u003d b 2 koyarız

O zaman son denklem şu şekli alacaktır:

kanonik formunda bir elipsin denklemidir.

Elips şekli orana bağlıdır: b='de elips daireye dönüşür. Denklem şeklini alacaktır. Oran genellikle bir elipsin bir özelliği olarak kullanılır. Bu değere elipsin eksantrikliği denir, üstelik 0< <1 так как 0

Bir elipsin şeklinin incelenmesi.

1) elipsin denklemi x ve y'yi yalnızca eşit bir dereceye kadar içerir, bu nedenle elips, Ox ve Oy eksenleri ve ayrıca elipsin merkezi olarak adlandırılan yaklaşık t.O (0,0) etrafında simetriktir.

2) elipsin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun. y=0 ayarlayarak, elipsin Ox ile kesiştiği A 1 ( ,0) ve A 2 (- ,0)'yi buluruz. x=0 koyarak B 1 (0,b) ve B 2 (0,-b)'yi buluruz. A 1, A 2, B 1, B 2 noktalarına elipsin köşeleri denir. A 1 A 2 ve B 1 B 2 parçaları ve uzunlukları 2 ve 2b sırasıyla elipsin ana ve küçük eksenleri olarak adlandırılır. Sayılar ve b sırasıyla ana ve küçük yarı eksenlerdir.

bir 1 ( ,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,b)

Bu nedenle, elipsin tüm noktaları x=± ,y=±b doğrularının oluşturduğu dikdörtgenin içinde yer alır. (İncir. 2.)

4) Bir elipsin denkleminde negatif olmayan terimlerin toplamı bire eşittir. Dolayısıyla bir terim artarken diğeri azalacaktır, yani |x| artar, ardından |y| - azalır ve tersi. Tüm söylenenlerden, elipsin Şekil 2'de gösterilen şekle sahip olduğu sonucu çıkar. (oval kapalı eğri).

1. Öklid düzleminde ikinci dereceden çizgiler.

2. İkinci dereceden doğruların denklemlerinin değişmezleri.

3. Denklemin değişmezlerinden ikinci dereceden doğruların türünün belirlenmesi.

4. Afin düzlemde ikinci dereceden çizgiler. Teklik teoremi.

5. İkinci dereceden çizgilerin merkezleri.

6. İkinci dereceden doğruların asimptotları ve çapları.

7. İkinci dereceden doğruların denklemlerinin en basitine indirgenmesi.

8. İkinci dereceden çizgilerin ana yönleri ve çapları.

KAYNAKÇA

1. Öklid düzleminde ikinci dereceden çizgiler.

Tanım:

Öklid düzlemi 2 boyutlu bir uzaydır,

(iki boyutlu gerçek uzay).

İkinci dereceden çizgiler, dairesel bir koninin tepesinden geçmeyen düzlemlerle kesiştiği çizgilerdir.

Bu satırlar genellikle doğa bilimlerinin çeşitli sorularında bulunur. Örneğin, bir malzeme noktasının merkezi yerçekimi alanının etkisi altındaki hareketi bu çizgilerden biri boyunca gerçekleşir.

Kesme düzlemi, koninin bir boşluğunun tüm doğrusal anatrikslerini keserse, o zaman bölümde bir çizgi elde edilir. elips(Şekil 1.1, a). Kesme düzlemi, koninin her iki boşluğunun jeneratörlerini keserse, o zaman bölümde bir çizgi elde edilir. abartı(Şekil 1.1.6). Ve son olarak, eğer sekant düzlemi koninin jeneratörlerinden birine paralel ise (1.1 ile, V- bu jeneratör AB), sonra bölümde denilen bir satır alırsınız parabol. Pirinç. 1.1, incelenmekte olan çizgilerin şeklinin görsel bir temsilini verir.

Şekil 1.1

İkinci dereceden doğrunun genel denklemi aşağıdaki forma sahiptir:

(1)

(1*)

Elips mesafelerin toplamının iki olduğu düzlemdeki noktalar kümesidir.sabit noktalarF 1 VeF 2 odak adı verilen bu düzlem sabit bir değerdir.

Bu, elipsin odaklarının çakışmasını dışlamaz. Açıkça odaklar aynıysa, elips bir dairedir.

Elipsin kanonik denklemini türetmek için, parçanın ortasındaki Kartezyen koordinat sisteminin O orijinini seçiyoruz. F 1 F 2 , baltalar Ah Ve kuruluş birimişekilde gösterildiği gibi doğrudan 1.2 (eğer hileler F 1 Ve F 2 çakışırsa, O ile çakışır F 1 Ve F 2 ve eksen için Ah içinden geçen herhangi bir eksen alınabilir HAKKINDA).

Segmentin uzunluğuna izin ver F 1 F 2 F 1 Ve F 2 sırasıyla (-c, 0) ve (c, 0) koordinatlarına sahiptir. ile göster 2a bir elipsin tanımında atıfta bulunulan sabit. Açıkçası, 2a > 2c, yani bir > ç ( Eğer M- elipsin noktası (bkz. Şekil 1.2), ardından | MF ] |+ | MF 2 | = 2 A, ve iki kenarın toplamı olduğundan MF 1 Ve MF 2 üçgen MF 1 F 2 bir üçüncü şahıstan daha fazlası F 1 F 2 = 2c, sonra 2a > 2c. 2a = 2c durumunu hariç tutmak doğaldır, çünkü o zaman nokta M Segmentte bulunan F 1 F 2 ve elips bir parçaya dejenere olur. ).

İzin vermek M (x, y)(Şekil 1.2). Noktadan olan mesafeleri r 1 ve r 2 ile belirtin M noktalara F 1 Ve F 2 sırasıyla. Bir elipsin tanımına göre eşitlik

R 1 + R 2 = 2a(1.1)

verilen elips üzerindeki M(x, y) noktasının konumu için gerekli ve yeterli koşuldur.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

(1.2)

(1.1) ve (1.2)'den şu sonuç çıkar: oran

(1.3)

verilen bir elips üzerinde x ve y koordinatlarına sahip bir M noktasının konumu için gerekli ve yeterli koşulu temsil eder. Bu nedenle, ilişki (1.3) şu şekilde kabul edilebilir: elips denklemi. Standart "radikallerin yok edilmesi" yöntemi kullanılarak, bu denklem şu şekle indirgenir:

(1.4) (1.5)

Denklem (1.4) olduğundan cebirsel sonuç elips denklemi (1.3), sonra koordinatlar x ve y Herhangi bir nokta M elips aynı zamanda (1.4) denklemini de sağlayacaktır. Radikallerden kurtulmayla ilişkili cebirsel dönüşümler sırasında "ekstra kökler" ortaya çıkabileceğinden, herhangi bir noktanın olduğundan emin olmalıyız. M, koordinatları denklemi (1.4) karşılayan, verilen elips üzerinde bulunur. Bunun için r niceliklerinin kanıtlanması açıkça yeterlidir. 1 ve r 2 her nokta için (1.1) ilişkisini sağlar. Öyleyse koordinatlara izin ver X Ve de puan M denklemi (1.4) karşılar. İkame değer 2'de(1.4)'ten r 1 için ifadenin (1.2) sağ tarafına basit dönüşümlerden sonra bunu buluruz (1.6)'yı bulduğumuz gibi tamamen aynı şekilde

yani R 1 + R 2 = 2a, ve bu nedenle M noktası bir elips üzerinde yer almaktadır. Denklem (1.4) denir elipsin kanonik denklemi. Miktarları A Ve B sırasıyla denir bir elipsin büyük ve küçük yarı eksenleri("Büyük" ve "küçük" adı şu gerçeğiyle açıklanmaktadır: bir > b).

Yorum. Eğer elipsin yarı eksenleri A Ve B eşittir, o zaman elips yarıçapı eşit olan bir dairedir R = A = B, ve merkez orijine denk gelir.

abartma iki sabit noktaya olan mesafelerdeki farkın mutlak değerinin olduğu düzlemdeki noktalar kümesidir,F 1 VeF 2 odak adı verilen bu düzlem sabit bir değerdir ( odaklar F 1 Ve F 2 hiperbolleri farklı düşünmek doğaldır, çünkü hiperbol tanımında belirtilen sabit sıfıra eşit değilse, o zaman düzlemin tek bir noktası yoktur. F 1 Ve F 2 , bu da bir hiperbol tanımının gereksinimlerini karşılar. Bu sabit sıfır ise ve F 1 ile çakışıyor F 2 , o zaman düzlemin herhangi bir noktası bir hiperbol tanımının gerekliliklerini karşılar. ).

Hiperbolün kanonik denklemini türetmek için, segmentin ortasındaki koordinatların orijinini seçiyoruz. F 1 F 2 , baltalar Ah Ve kuruluş birimişekilde gösterildiği gibi doğrudan 1.2. Segmentin uzunluğuna izin ver F 1 F 2 2s'ye eşittir. Daha sonra seçilen koordinat sisteminde noktalar F 1 Ve F 2 sırasıyla (-с, 0) ve (с, 0) koordinatlarına sahiptir. A bir hiperbol tanımında atıfta bulunulan sabit. Açıkçası 2a< 2с, т. е. A< с.

İzin vermek M- koordinatlı uçağın noktası (x, y)(Şekil 1.2). Mesafeleri r 1 ve r 2 ile belirtin MF 1 Ve MF 2 . Bir hiperbolün tanımına göre eşitlik

(1.7)

M noktasının verilen hiperbol üzerindeki konumu için gerek ve yeter koşuldur.

r 1 ve r 2 için ifadeleri (1.2) ve (1.7) ilişkisini kullanarak aşağıdakini elde ederiz belirli bir hiperbol üzerinde x ve y koordinatlarına sahip bir M noktasının konumu için gerekli ve yeterli koşul:

. (1.8)

"Radikallerin yok edilmesi" standart yöntemini kullanarak, denklemi (1.8) forma indirgeriz

(1.9) (1.10)

Denklemin (1.8) cebirsel dönüşümleri ile elde edilen denklemin (1.9) yeni kökler almadığından emin olmalıyız. Bunu yapmak için, her nokta için bunu kanıtlamak yeterlidir. M, koordinatlar X Ve de(1.9) denklemini karşılayan r 1 ve r 2 nicelikleri (1.7) bağıntısını sağlar. Formüller (1.6) türetilirken yapılanlara benzer argümanlar yürüterek, bizi ilgilendiren r 1 ve r 2 miktarları için aşağıdaki ifadeleri buluruz:

(1.11)

Böylece, ele alınan nokta için M sahibiz

, ve bu nedenle bir hiperbol üzerinde yer almaktadır.

Denklem (1.9) denir bir hiperbolün kanonik denklemi. Miktarları A Ve B sırasıyla gerçek ve hayali olarak adlandırılır. hiperbolün yarı eksenleri.

parabol bazı sabit noktalara olan mesafenin olduğu düzlemdeki noktalar kümesidir.Fbu düzlem, yine dikkate alınan düzlemde bulunan bazı sabit hatlara olan mesafeye eşittir.