Düzenli dörtgen piramidin tabanı nasıl bulunur? Bir piramidin alanı nasıl hesaplanır: taban, yan ve toplam
Talimatlar
Her şeyden önce, piramidin yan yüzeyinin, bilinen verilere bağlı olarak alanları çeşitli formüller kullanılarak bulunabilen birkaç üçgenle temsil edildiğini anlamakta fayda var:
S = (a*h)/2, burada h, a kenarına indirilen yüksekliktir;
S = a*b*sinβ, burada a, b üçgenin kenarlarıdır ve β bu kenarlar arasındaki açıdır;
S = (r*(a + b + c))/2, burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır ve r, bu üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapıdır;
S = (a*b*c)/4*R, burada R, çemberin çevrelediği üçgenin yarıçapıdır;
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (eğer üçgen dik açılıysa);
S = S = (a²*√3)/4 (eğer üçgen eşkenar ise).
Aslında bunlar sadece bir üçgenin alanını bulmak için bilinen en temel formüllerdir.
Yukarıdaki formülleri kullanarak piramidin yüzleri olan tüm üçgenlerin alanlarını hesapladıktan sonra bu piramidin alanını hesaplamaya başlayabilirsiniz. Bu son derece basit bir şekilde yapılır: Piramidin yan yüzeyini oluşturan tüm üçgenlerin alanlarını toplamanız gerekir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilebilir:
Sp = ΣSi, burada Sp yan yüzeyin alanıdır, Si, yan yüzeyinin bir parçası olan i-inci üçgenin alanıdır.
Daha fazla netlik sağlamak için küçük bir örnek düşünebiliriz: Yan yüzleri eşkenar üçgenlerden oluşan ve tabanında bir kare bulunan düzenli bir piramit verilmiştir. Bu piramidin kenar uzunluğu 17 cm olup, bu piramidin yan yüzeyinin alanını bulmak gerekmektedir.
Çözüm: Bu piramidin kenar uzunluğu biliniyor, yüzlerinin eşkenar üçgen olduğu biliniyor. Böylece yan yüzeydeki tüm üçgenlerin tüm kenarlarının 17 cm'ye eşit olduğunu söyleyebiliriz. Dolayısıyla bu üçgenlerden herhangi birinin alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü uygulamanız gerekecektir:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Piramidin tabanında bir karenin bulunduğu bilinmektedir. Dolayısıyla verilen dört eşkenar üçgenin olduğu açıktır. Daha sonra piramidin yan yüzeyinin alanı şu şekilde hesaplanır:
125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Cevap: Piramidin yan yüzey alanı 500.548 cm²'dir.
Öncelikle piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplayalım. Yan yüzey tüm yan yüzlerin alanlarının toplamıdır. Düzenli bir piramitle ilgileniyorsanız (yani tabanında düzenli bir çokgen bulunan ve tepe noktası bu çokgenin merkezine yansıtılan), o zaman tüm yan yüzeyin hesaplanması için çevresini çarpmak yeterlidir. tabanı (yani taban piramidinde yer alan çokgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı) yan yüzün yüksekliğine (aksi takdirde özdeyiş olarak adlandırılır) bölün ve elde edilen değeri 2'ye bölün: Sb = 1/2P* h, burada Sb yan yüzeyin alanıdır, P tabanın çevresidir, h yan yüzün yüksekliğidir (apothem).
Önünüzde rastgele bir piramit varsa, tüm yüzlerin alanlarını ayrı ayrı hesaplamanız ve ardından bunları toplamanız gerekecektir. Piramidin yan yüzleri üçgen olduğundan üçgenin alanı için şu formülü kullanın: S=1/2b*h, burada b üçgenin tabanı ve h ise yüksekliktir. Tüm yüzlerin alanları hesaplandığında geriye kalan tek şey, piramidin yan yüzeyinin alanını elde etmek için bunları toplamaktır.
O zaman piramidin tabanının alanını hesaplamanız gerekir. Hesaplama için formül seçimi, piramidin tabanında hangi çokgenin bulunduğuna bağlıdır: düzenli (yani tüm kenarları aynı uzunlukta olan) veya düzensiz. Düzenli bir çokgenin alanı, çevresinin çokgenin içindeki yazılı dairenin yarıçapıyla çarpılması ve elde edilen değerin 2'ye bölünmesiyle hesaplanabilir: Sn = 1/2P*r, burada Sn, dairenin alanıdır. çokgen, P çevre ve r çokgenin içindeki yazılı dairenin yarıçapıdır.
Kesik bir piramit, bir piramit ve onun enine kesiti tabana paralel olarak oluşturulan bir çokyüzlüdür. Piramidin yan yüzey alanını bulmak hiç de zor değil. Çok basit: alan, tabanların toplamının yarısının çarpımına eşittir. Yan yüzey alanının hesaplanmasına ilişkin bir örneği ele alalım. Diyelim ki bize düzenli bir piramit verildi. Tabanın uzunlukları b = 5 cm, c = 3 cm Apothem a = 4 cm Piramidin yan yüzeyinin alanını bulmak için önce tabanların çevresini bulmalısınız. Büyük tabanda p1=4b=4*5=20 cm, daha küçük tabanda formül şu şekilde olacaktır: p2=4c=4*3=12 cm Yani alan şuna eşit olacaktır: : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.
Üçgen piramit tabanı olan çokyüzlü denir düzgün üçgen.
Böyle bir piramitte tabanın kenarları ile yanların kenarları birbirine eşittir. Buna göre yan yüzlerin alanı üç özdeş üçgenin alanlarının toplamından bulunur. Formülü kullanarak düzenli bir piramidin yan yüzey alanını bulabilirsiniz. Ve hesaplamayı birkaç kat daha hızlı yapabilirsiniz. Bunu yapmak için üçgen piramidin yan yüzeyinin alanı için formülü uygulamanız gerekir:
burada p, tüm kenarları b'ye eşit olan tabanın çevresidir, a ise üstten bu tabana indirilen özdir. Üçgen piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.
Problem: Düzenli bir piramit verilsin. Tabandaki üçgenin kenarı b = 4 cm'dir Piramidin özdeyişi a = 7 cm'dir Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Çünkü problemin koşullarına göre tüm uzunlukları biliyoruz. gerekli unsurlar, hadi çevreyi bulalım. Normal bir üçgende tüm kenarların eşit olduğunu ve bu nedenle çevrenin aşağıdaki formülle hesaplandığını hatırlıyoruz:
Verileri yerine koyalım ve değeri bulalım:
Artık çevreyi bildiğimize göre yan yüzey alanını hesaplayabiliriz: 
Hesaplamak için üçgen piramidin alanına ilişkin formülü uygulamak tam anlam, çokyüzlünün tabanının alanını bulmanız gerekiyor. Bunu yapmak için şu formülü kullanın: 
Üçgen piramidin tabanının alanı formülü farklı olabilir. Belirli bir rakam için herhangi bir parametre hesaplamasını kullanmak mümkündür, ancak çoğu zaman bu gerekli değildir. Üçgen bir piramidin tabanının alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.
Problem: Düzgün bir piramitte üçgenin tabandaki kenarı a = 6 cm'dir Tabanın alanını hesaplayınız.
Hesaplamak için yalnızca piramidin tabanında bulunan normal üçgenin kenar uzunluğuna ihtiyacımız var. Verileri formülde yerine koyalım: 
Çoğu zaman bir polihedronun toplam alanını bulmanız gerekir. Bunu yapmak için yan yüzeyin ve tabanın alanını toplamanız gerekecektir. 
Üçgen piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.
Problem: Düzenli bir üçgen piramit verilsin. Taban tarafı b = 4 cm, özdeyiş a = 6 cm'dir Piramidin toplam alanını bulun.
Öncelikle bilinen formülü kullanarak yan yüzeyin alanını bulalım. Çevreyi hesaplayalım:
Verileri formülde değiştirin: 
Şimdi tabanın alanını bulalım: 
Tabanın ve yan yüzeyin alanını bilerek piramidin toplam alanını buluyoruz: 
Düzenli bir piramidin alanını hesaplarken tabanının düzgün bir üçgen olduğunu ve bu çokyüzlünün birçok elemanının birbirine eşit olduğunu unutmamalısınız.
Piramidin yüzey alanı. Bu yazıda düzenli piramitlerle ilgili sorunlara bakacağız. Düzenli bir piramidin, tabanı düzgün bir çokgen olan bir piramit olduğunu, piramidin tepesinin bu çokgenin merkezine yansıtıldığını hatırlatmama izin verin.
Böyle bir piramidin yan yüzü ikizkenar üçgendir.Düzenli bir piramidin tepesinden çizilen bu üçgenin yüksekliğine apothem, SF - apothem denir:
Aşağıda sunulan problem türünde piramidin tamamının yüzey alanını veya yan yüzeyinin alanını bulmanız gerekir. Blogda normal piramitlerle ilgili çeşitli problemler tartışılmıştı; buradaki soru, elemanların (yükseklik, taban kenarı, yan kenar) bulunmasıyla ilgiliydi.
Birleşik Devlet Sınavı görevleri genellikle düzenli üçgen, dörtgen ve altıgen piramitleri inceler. Düzenli beşgen ve yedigen piramitlerde herhangi bir sorun görmedim.
Tüm yüzeyin alanı için formül basittir - piramidin tabanının alanı ile yan yüzeyinin alanının toplamını bulmanız gerekir:
Görevleri ele alalım:
Düzenli bir dörtgen piramidin tabanının kenarları 72, yan kenarları 164'tür. Bu piramidin yüzey alanını bulun.
Piramidin yüzey alanı, yan yüzey ve taban alanlarının toplamına eşittir:
* Yan yüzey eşit alanlı dört üçgenden oluşur. Piramidin tabanı karedir.
Piramidin yan tarafının alanını aşağıdakileri kullanarak hesaplayabiliriz:
Böylece piramidin yüzey alanı:
Cevap: 28224
Düzenli altıgen bir piramidin tabanının kenarları 22'ye, yan kenarları 61'e eşittir. Bu piramidin yan yüzey alanını bulun.
Düzenli bir altıgen piramidin tabanı düzenli bir altıgendir.
Bu piramidin yan yüzey alanı, kenarları 61,61 ve 22 olan altı eşit üçgen alandan oluşur:
Heron formülünü kullanarak üçgenin alanını bulalım:
Böylece yan yüzey alanı:
Cevap: 3240
*Yukarıda sunulan problemlerde yan yüzün alanı başka bir üçgen formülü kullanılarak bulunabilir, ancak bunun için apotemi hesaplamanız gerekir.
27155. Taban kenarları 6 ve yüksekliği 4 olan düzgün dörtgen piramidin yüzey alanını bulun.
Piramidin yüzey alanını bulmak için tabanın alanını ve yan yüzeyin alanını bilmemiz gerekir:
Kenarı 6 olan kare olduğundan taban alanı 36 dır.
Yan yüzey eşit üçgen olan dört yüzden oluşur. Böyle bir üçgenin alanını bulmak için tabanını ve yüksekliğini (apothem) bilmeniz gerekir:
*Bir üçgenin alanı taban ile bu tabana çizilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
Tabanı biliniyor, altıya eşit. Yüksekliğini bulalım. Bir dik üçgen düşünün (sarı renkle vurgulanmıştır):
Bir bacak piramidin yüksekliği olduğundan 4'e, diğeri ise tabanın kenarının yarısına eşit olduğundan 3'e eşittir. Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü bulabiliriz:
Bu, piramidin yan yüzeyinin alanının şu şekilde olduğu anlamına gelir:
Böylece tüm piramidin yüzey alanı:
Cevap: 96
27069. Düzenli dörtgen piramidin tabanının kenarları 10'a, yan kenarları 13'e eşittir. Bu piramidin yüzey alanını bulun.
27070. Düzenli altıgen bir piramidin tabanının kenarları 10'a, yan kenarları 13'e eşittir. Bu piramidin yan yüzey alanını bulun.
Düzenli bir piramidin yan yüzey alanı için de formüller vardır. Düzenli bir piramitte taban, yan yüzeyin dik bir çıkıntısıdır, bu nedenle:
P- taban çevresi, ben- piramidin özeti
*Bu formül üçgenin alan formülüne dayanmaktadır.
Bu formüllerin nasıl elde edildiği hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız kaçırmayın, makalelerin yayınlarını takip edin.Bu kadar. Sana iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.
Tanım. Yan kenar- bu, bir açının piramidin tepesinde yer aldığı ve karşı tarafın tabanın (çokgen) tarafıyla çakıştığı bir üçgendir.
Tanım. Yan kaburgalar- bunlar yan yüzlerin ortak kenarlarıdır. Bir piramidin çokgenin açı sayısı kadar kenarı vardır.
Tanım. Piramit yüksekliği- bu, piramidin tepesinden tabanına indirilen dikey bir çizgidir.
Tanım. Özlem- bu, piramidin tepesinden tabanın yan tarafına indirilen piramidin yan yüzüne diktir.
Tanım. Çapraz bölüm- bu, piramidin tepesinden ve tabanın köşegeninden geçen bir düzlemin piramidin bir bölümüdür.
Tanım. Doğru piramit tabanı düzgün bir çokgen olan ve yüksekliği tabanın merkezine doğru inen bir piramittir.
Piramidin hacmi ve yüzey alanı
Formül. Piramidin hacmi taban alanı ve yükseklik boyunca:
Piramidin özellikleri
Tüm yan kenarlar eşitse, piramidin tabanının etrafına bir daire çizilebilir ve tabanın merkezi dairenin merkezine denk gelir. Ayrıca üstten düşen dikey bir çizgi tabanın (daire) ortasından geçer.
Tüm yan kenarlar eşitse, taban düzlemine aynı açılarda eğimlidirler.
Yan kenarlar, taban düzlemi ile eşit açı oluşturduğunda veya piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabildiğinde eşittir.
Yan yüzler taban düzlemine aynı açıda eğimliyse, piramidin tabanına bir daire yazılabilir ve piramidin tepesi merkeze yansıtılır.
Yan yüzler taban düzlemine aynı açıyla eğimliyse, yan yüzlerin özleri eşittir.
Düzenli bir piramidin özellikleri
1. Piramidin tepesi tabanın tüm köşelerine eşit mesafededir.
2. Tüm yan kenarlar eşittir.
3. Tüm yan kaburgalar tabana eşit açılarda eğimlidir.
4. Tüm yan yüzlerin özleri eşittir.
5. Tüm yan yüzlerin alanları eşittir.
6. Tüm yüzler aynı dihedral (düz) açılara sahiptir.
7. Piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Çevreleyen kürenin merkezi, kenarların ortasından geçen diklerin kesişme noktası olacaktır.
8. Bir piramidin içine bir küre sığdırabilirsiniz. Yazılı kürenin merkezi, kenar ile taban arasındaki açıdan çıkan açıortayların kesişme noktası olacaktır.
9. Eğer yazılı kürenin merkezi çevrelenen kürenin merkezi ile çakışıyorsa, o zaman tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı π'ye eşit olur veya bunun tersi de geçerlidir, bir açı π/n'ye eşittir, burada n sayıdır Piramidin tabanındaki açılar.
Piramit ve küre arasındaki bağlantı
Piramidin tabanında, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokyüzlü olduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul), bir piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Kürenin merkezi, piramidin yan kenarlarının orta noktalarından dik olarak geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır.
Herhangi bir üçgen veya düzgün piramidin etrafında bir küre tanımlamak her zaman mümkündür.
Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri bir noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli bir koşul), bir piramite küre yazılabilir. Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.
Bir piramidin koni ile bağlantısı
Bir koninin, köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanına yazılmışsa, piramite yazılı olduğu söylenir.
Piramidin özleri birbirine eşitse, bir piramite bir koni yazılabilir.
Eğer köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanı etrafında çevreleniyorsa, bir koninin bir piramidin etrafında çevrelendiği söylenir.
Piramidin tüm yan kenarları birbirine eşitse, bir piramidin etrafında bir koni tanımlanabilir.
Piramit ile silindir arasındaki ilişki
Piramidin tepesi silindirin bir tabanında yer alıyorsa ve piramidin tabanı silindirin başka bir tabanında yazılıysa, silindire yazılı piramit denir.
Piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa, bir piramidin etrafında bir silindir de tanımlanabilir.
Bir tetrahedronun dört yüzü, dört köşesi ve altı kenarı vardır; burada herhangi iki kenar ortak köşelere sahip değildir ancak birbirine değmez.
Her köşe, üç yüz ve kenardan oluşur. üçgen açı.
Bir tetrahedronun tepe noktası ile karşı yüzün merkezini birleştiren parçaya ne ad verilir? tetrahedronun ortancası(GM).
Bimedyen Birbirine değmeyen karşıt kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına (KL) denir.
Bir tetrahedronun tüm bimedyenleri ve medyanları bir noktada (S) kesişir. Bu durumda bimedyanlar ikiye bölünür ve ortancalar üstten başlayarak 3:1 oranında bölünür.
Tanım. Akut açılı piramit- Apothem'in tabanın yan uzunluğunun yarısından fazla olduğu bir piramit.
Tanım. Geniş piramit- Apothem'in tabanın yan uzunluğunun yarısından daha az olduğu bir piramit.
Tanım. Düzenli tetrahedron- dört yüzün de eşkenar üçgen olduğu bir tetrahedron. Beş normal çokgenden biridir. Düzenli bir dörtyüzlüde, tüm dihedral açılar (yüzler arasında) ve üçyüzlü açılar (tepe noktasında) eşittir.
Tanım. Dikdörtgen tetrahedron tepedeki üç kenar arasında dik bir açı bulunan (kenarlar dik) tetrahedron olarak adlandırılır. Üç yüz formu dikdörtgen üçgen açı ve yüzler dik üçgenlerdir ve taban keyfi bir üçgendir. Herhangi bir yüzün özdeyişi, özünün düştüğü tabanın kenarının yarısına eşittir.
Tanım. İzohedral tetrahedron Tabanı düzgün üçgen olan, yan yüzleri birbirine eşit olana tetrahedron denir. Böyle bir tetrahedronun ikizkenar üçgen olan yüzleri vardır.
Tanım. Ortosentrik tetrahedron Yukarıdan karşı yüze indirilen tüm yüksekliklerin (diklerin) bir noktada kesiştiği tetrahedron denir.
Tanım. Yıldız piramidi tabanı yıldız olan çokyüzlüye denir.
tabanı rastgele bir çokgen olan ve yan yüzleri üçgenlerle temsil edilen bir şekildir. Köşeleri aynı noktadadır ve piramidin tepesine karşılık gelir.
Piramit çeşitli olabilir - üçgen, dörtgen, altıgen vb. Tabana bitişik açıların sayısına bağlı olarak adı belirlenebilir.
Doğru piramit tabanın kenarlarının, açılarının ve kenarlarının eşit olduğu piramit denir. Ayrıca böyle bir piramitte yan yüzlerin alanı eşit olacaktır.
Bir piramidin yan yüzeyinin alanı için formül, tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır:
Yani, rastgele bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplamak için, her bir üçgenin alanını bulmanız ve bunları birbirine eklemeniz gerekir. Piramit kesilirse, yüzleri yamuklarla temsil edilir. Düzenli bir piramit için başka bir formül daha var. İçinde, yan yüzey alanı, tabanın yarı çevresi ve apothemin uzunluğu aracılığıyla hesaplanır:
Bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.
Düzenli bir dörtgen piramit verilsin. Taban tarafı B= 6 cm, öz A= 8 cm Yan yüzeyin alanını bulun.
Düzenli bir dörtgen piramidin tabanında bir kare bulunur. İlk önce çevresini bulalım:
Artık piramidimizin yan yüzey alanını hesaplayabiliriz: 
Bir çokyüzlünün toplam alanını bulmak için tabanının alanını bulmanız gerekecektir. Bir piramidin tabanının alanı formülü, tabanda hangi poligonun bulunduğuna bağlı olarak farklılık gösterebilir. Bunu yapmak için üçgenin alanı formülünü kullanın, paralelkenarın alanı vesaire.
Koşullarımıza göre verilen bir piramidin tabanının alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün. Piramit düzenli olduğundan tabanında bir kare bulunur.
Kare alan aşağıdaki formülle hesaplanır: ,
burada a karenin kenarıdır. Bizim için 6 cm'dir Bu, piramidin tabanının alanının şu anlama gelir: 
Şimdi geriye kalan tek şey çokyüzlünün toplam alanını bulmak. Bir piramidin alanı formülü, tabanının alanı ile yan yüzeyinin toplamından oluşur.
