Konštrukcia do kocky Skrátené vzorce násobenia Kocka rozdiel

15.09.2023

Skrátené vzorce alebo pravidlá násobenia sa používajú v aritmetike, presnejšie v algebre, na urýchlenie procesu vyhodnocovania veľkých algebraických výrazov. Samotné vzorce sú odvodené z pravidiel existujúcich v algebre pre násobenie niekoľkých polynómov.

Použitie týchto vzorcov poskytuje pomerne rýchle riešenie rôznych matematických problémov a tiež pomáha zjednodušiť výrazy. Pravidlá algebraických transformácií vám umožňujú vykonávať niektoré manipulácie s výrazmi, po ktorých môžete získať na ľavej strane rovnosti výraz na pravej strane alebo transformovať pravú stranu rovnosti (na získanie výrazu na ľavej strane za znakom rovnosti).

Vzorce používané na skrátené násobenie je vhodné poznať z pamäte, pretože sa často používajú pri riešení úloh a rovníc. Nižšie sú uvedené hlavné vzorce zahrnuté v tomto zozname a ich názvy.

Štvorec súčtu

Ak chcete vypočítať druhú mocninu súčtu, musíte nájsť súčet pozostávajúci z druhej mocniny prvého člena, dvojnásobku súčinu prvého a druhého a druhej mocniny druhého. Vo forme výrazu je toto pravidlo napísané takto: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Štvorcový rozdiel

Ak chcete vypočítať druhú mocninu rozdielu, musíte vypočítať súčet pozostávajúci z druhej mocniny prvého čísla, dvojnásobku súčinu prvého čísla a druhého (s opačným znamienkom) a druhej mocniny druhého čísla. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Rozdiel štvorcov

Vzorec pre rozdiel dvoch čísel na druhú sa rovná súčinu súčtu týchto čísel a ich rozdielu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Kocka súčtu

Ak chcete vypočítať kocku súčtu dvoch členov, musíte vypočítať súčet pozostávajúci z kocky prvého členu, trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého členu a druhého, trojnásobok súčinu prvého členu a druhého členu. na druhú a kocku druhého členu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Súčet kociek

Podľa vzorca sa rovná súčinu súčtu týchto členov a ich neúplného štvorcového rozdielu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Príklad. Je potrebné vypočítať objem obrazca vytvoreného pridaním dvoch kociek. Známe sú len veľkosti ich strán.

Ak sú bočné hodnoty malé, výpočty sú jednoduché.

Ak sú dĺžky strán vyjadrené ťažkopádnymi číslami, potom je v tomto prípade jednoduchšie použiť vzorec „Súčet kociek“, čo výrazne zjednoduší výpočty.

Rozdielová kocka

Výraz pre kubický rozdiel znie takto: ako súčet tretej mocniny prvého člena strojnásobte záporný súčin druhej mocniny prvého člena druhým, strojnásobte súčin prvého mocniny druhou mocninou druhého a záporná kocka druhého termínu. Vo forme matematického výrazu vyzerá kocka rozdielu takto: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Rozdiel kociek

Vzorec rozdielu kociek sa od súčtu kociek líši iba jedným znamienkom. Rozdiel kociek je teda vzorec rovný súčinu rozdielu týchto čísel a ich neúplnej druhej mocniny súčtu. Vo forme vyzerá rozdiel kociek takto: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Príklad. Je potrebné vypočítať objem obrazca, ktorý zostane po odčítaní žltého objemového obrazca, ktorý je tiež kockou, od objemu modrej kocky. Známa je len veľkosť strany malej a veľkej kocky.

Ak sú bočné hodnoty malé, výpočty sú pomerne jednoduché. A ak sú dĺžky strán vyjadrené vo významných číslach, potom sa oplatí použiť vzorec s názvom „Rozdiel kociek“ (alebo „Kocka rozdielu“), čo výrazne zjednoduší výpočty.

Skrátené vzorce násobenia.

Štúdium skrátených vzorcov na násobenie: druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov; rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov; kocka súčtu a kocka rozdielu dvoch výrazov; súčty a rozdiely kociek dvoch výrazov.

Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie pri riešení príkladov.

Na zjednodušenie výrazov, faktorizácia polynómov a redukcia polynómov na štandardný tvar sa používajú skrátené vzorce násobenia. Skrátené vzorce násobenia je potrebné poznať naspamäť.

Nech a, b R. Potom:

1. Druhá mocnina súčtu dvoch výrazov sa rovná druhá mocnina prvého výrazu plus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhého plus druhej mocniny druhého výrazu.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov sa rovná druhá mocnina prvého výrazu mínus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhý plus druhá mocnina druhého výrazu.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Rozdiel štvorcov dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu týchto výrazov a ich súčtu.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Kocka súčtu dva výrazy sa rovná kocke prvého výrazu plus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhého plus trojnásobku súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého plus kocky druhého výrazu.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Rozdielová kocka dva výrazy sa rovná kocke prvého výrazu mínus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhý plus trojnásobok súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého mínus súčin druhej mocniny druhého výrazu.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Súčet kociek dva výrazy sa rovná súčinu súčtu prvého a druhého výrazu a neúplnej druhej mocniny rozdielu týchto výrazov.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Rozdiel kociek dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou súčtu týchto výrazov.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie pri riešení príkladov.

Príklad 1

Vypočítajte

a) Pomocou vzorca pre druhú mocninu súčtu dvoch výrazov máme

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Pomocou vzorca pre druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov získame

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 – 2 100 2 + 2 2 = 10 000 – 400 + 4 = 9604

Príklad 2

Vypočítajte

Pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov dostaneme

Príklad 3

Zjednodušte výraz

(x - y) 2 + (x + y) 2

Použime vzorce pre druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Skrátené vzorce násobenia v jednej tabuľke:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Tri faktory, z ktorých každý je rovnaký X. (\displaystyle x.) Táto aritmetická operácia sa nazýva "kocka" a jej výsledok je označený x 3 (\displaystyle x^(3)):

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x)

V prípade kocky je inverzná operácia prevzatie odmocniny kocky. Geometrický názov tretieho stupňa " kocka"Je to spôsobené tým, že starovekí matematici považovali hodnoty kociek za kubické čísla, špeciálny druh zložených čísel (pozri nižšie), od kocky čísla x (\displaystyle x) rovná objemu kocky s dĺžkou hrany rovnajúcou sa x (\displaystyle x).

Postupnosť kociek

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Súčet prvých kociek n (\displaystyle n) kladné prirodzené čísla sa vypočítavajú podľa vzorca:

∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\vpravo) ^(2))

Odvodenie vzorca

Vzorec pre súčet kociek možno odvodiť pomocou tabuľky násobenia a vzorca pre súčet aritmetickej progresie. Ak vezmeme do úvahy dve násobiace tabuľky 5×5 ako ilustráciu metódy, vykonáme úvahy pre tabuľky veľkosti n×n.

Tabuľka násobenia a číselné kocky

×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Násobiace tabuľky a aritmetický postup

×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Súčet čísel v k-tej (k=1,2,...) vybranej oblasti prvej tabuľky:

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))

A súčet čísel v k-tej (k=1,2,...) vybranej oblasti druhej tabuľky, predstavujúci aritmetickú postupnosť:

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))

Sčítaním za všetky vybrané oblasti prvej tabuľky dostaneme rovnaké číslo ako sčítaním za všetky vybrané oblasti druhej tabuľky:

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k =1)^(n)k^(3)=\súčet _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1) ))(2))\súčet _(k=1)^(n)k=\vľavo((\frac (n(n+1))(2))\vpravo)^(2))

Niektoré vlastnosti

V desiatkovom zápise môže kocka končiť ľubovoľnou číslicou (na rozdiel od štvorca)
V desiatkovom zápise môžu byť posledné dve číslice kocky 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 66, 69 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Závislosť predposlednej číslice kocky na posledný môže byť uvedený v nasledujúcej tabuľke:

Kocky ako figúrkové čísla

"kubické číslo" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3)) historicky vnímané ako typ priestorových číselných tvarov. Môže byť reprezentovaný ako rozdiel druhých mocnín po sebe idúcich trojuholníkových čísel T n (\displaystyle T_(n)):

Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2, n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\bodky +Q_(n)=(T_(n) )^(2))

Rozdiel medzi dvoma susednými kubickými číslami je centrované šesťuholníkové číslo.

Vyjadrenie kubického čísla pomocou štvorstenu Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^(3))).

Matematické výrazy (vzorce) skrátené násobenie(štvorec súčtu a rozdielu, kocka súčtu a rozdielu, rozdiel druhých mocnín, súčet a rozdiel kociek) sú v mnohých oblastiach exaktných vied mimoriadne nenahraditeľné. Týchto 7 symbolických zápisov je neoceniteľných na zjednodušenie výrazov, riešenie rovníc, násobenie polynómov, redukciu zlomkov, riešenie integrálov a mnoho ďalšieho. To znamená, že bude veľmi užitočné pochopiť, ako sa získavajú, prečo sú potrebné, a čo je najdôležitejšie, ako si ich zapamätať a potom aplikovať. Potom aplikujte skrátené vzorce násobenia v praxi bude najťažšie zistiť, čo je X a čo máš. Je zrejmé, že neexistujú žiadne obmedzenia a A b nie, čo znamená, že to môže byť akýkoľvek číselný alebo abecedný výraz.

A tak tu sú:

najprv x 2 - o 2 = (x - y) (x+y).Kalkulovať rozdiel štvorcov dva výrazy, musíte vynásobiť rozdiely týchto výrazov ich súčtom.

Po druhé (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Nájsť štvorec súčtu dva výrazy, musíte k druhej mocnine prvého výrazu pridať dvojitý súčin prvého výrazu a druhého plus druhú mocninu druhého výrazu.

Po tretie (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Kalkulovať štvorcový rozdiel dva výrazy, musíte od druhej mocniny prvého výrazu odpočítať dvojnásobok súčinu prvého výrazu druhým plus druhou mocninou druhého výrazu.

Po štvrté (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 roky + 3x 2 + o 3. Kalkulovať kocka súčtu dva výrazy, musíte do kocky prvého výrazu pridať trojitý súčin druhej mocniny prvého výrazu druhým plus trojitý súčin prvého výrazu druhou mocninou druhého plus kocku druhého výrazu.

Po piate (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 roky + 3x 2 - o 3. Kalkulovať rozdielová kocka dva výrazy, je potrebné odpočítať od kocky prvého výrazu trojitý súčin druhej mocniny prvého výrazu druhým plus trojitý súčin prvého výrazu druhou mocninou druhého mínus kocka druhého výrazu.

Šiesty x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Kalkulovať súčet kociek dva výrazy, musíte vynásobiť súčty prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou rozdielu týchto výrazov.

Siedmy x 3 - o 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Ak chcete vykonať výpočet rozdiely kociek dva výrazy, musíte vynásobiť rozdiel prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou súčtu týchto výrazov.

Nie je ťažké si zapamätať, že všetky vzorce sa používajú na vykonávanie výpočtov v opačnom smere (sprava doľava).

Existencia týchto vzorov bola známa asi pred 4 tisíc rokmi. Vo veľkej miere ich využívali obyvatelia starovekého Babylonu a Egypta. Ale v tých časoch boli vyjadrené verbálne alebo geometricky a vo výpočtoch nepoužívali písmená.

Poďme to vyriešiť dôkaz štvorcového súčtu(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

Najprv toto matematický vzor Dokázal to staroveký grécky vedec Euclid, ktorý pracoval v Alexandrii v 3. storočí pred Kristom, na dokázanie vzorca použil geometrickú metódu, pretože vedci starovekej Hellas nepoužívali písmená na označenie čísel. Všade nepoužívali „a 2“, ale „štvorec na segmente a“, nie „ab“, ale „obdĺžnik uzavretý medzi segmentmi a a b“.

Skrátené vzorce násobenia. Školenie.

Skúste takto vyhodnotiť nasledujúce výrazy:

Odpovede:

Alebo, ak poznáte druhé mocniny základných dvojciferných čísel, spomeňte si, koľko to je? Pamätáš si? . Skvelé! Keďže robíme druhú mocninu, musíme násobiť. Ukazuje sa, že.

Pamätajte, že vzorce na druhú súčet a druhú mocninu rozdielu platia nielen pre číselné výrazy:

Sami si vypočítajte nasledujúce výrazy:

Odpovede:

Skrátené vzorce násobenia. Spodná čiara.

Poďme si to trochu zhrnúť a napísať vzorce pre druhú mocninu súčtu a rozdielu do jedného riadku:

Teraz si precvičme „zostavenie“ vzorca z rozloženého pohľadu na zobrazenie. Túto zručnosť budeme potrebovať neskôr pri prevode veľkých výrazov.

Povedzme, že máme nasledujúci výraz:

Vieme, že druhá mocnina súčtu (alebo rozdielu) je štvorec jedného čísla štvorec iného čísla A dvojnásobok súčinu týchto čísel.

V tomto probléme je ľahké vidieť druhú mocninu jedného čísla - toto. V súlade s tým je jedno z čísel v zátvorke druhá odmocnina z, tj

Keďže druhý člen obsahuje, znamená to, že ide o dvojitý súčin jedného a druhého čísla:

Kde je druhé číslo zahrnuté v našej zátvorke?

Druhé číslo v zátvorke sa rovná.

Skontrolujme to. by mali byť rovnaké. V skutočnosti je to tak, čo znamená, že sme našli obe čísla v zátvorkách: a. Zostáva určiť znamenie, ktoré stojí medzi nimi. Čo si myslíte, aké znamenie tam bude?

Správny! Keďže my pridať Ak je súčin zdvojnásobený, medzi číslami bude znak sčítania. Teraz zapíšte transformovaný výraz. Zvládli ste to? Mali by ste získať nasledovné:

Poznámka: Zmena miesta výrazov neovplyvní výsledok (nezáleží na tom, či je medzi a umiestnené sčítanie alebo odčítanie).

Absolútne nie je potrebné, aby výrazy v konvertovanom výraze boli také, ako sú napísané vo vzorci. Pozrite sa na tento výraz: . Skúste to previesť sami. Stalo?

Cvičte - transformujte nasledujúce výrazy:

Odpovede: Zvládli ste to? Opravme tému. Vyberte si z nižšie uvedených výrazov tie, ktoré môžu byť vyjadrené ako druhá mocnina súčtu alebo rozdielu.

- dokázať, že je rovnocenný.

- nemôže byť znázornený ako štvorec; dalo by sa predstaviť, keby namiesto toho existoval.

Rozdiel štvorcov

Ďalším skráteným vzorcom na násobenie je rozdiel štvorcov.

Rozdiel štvorcov nie je druhou mocninou rozdielu!

Rozdiel medzi druhými mocničkami dvoch čísel sa rovná súčinu súčtu týchto čísel a ich rozdielu:

Pozrime sa, či je tento vzorec správny. Aby sme to urobili, vynásobme, ako sme to urobili pri odvodzovaní vzorcov pre druhú mocninu súčtu a rozdielu:

Takže sme práve overili, že vzorec je skutočne správny. Tento vzorec tiež zjednodušuje zložité výpočtové operácie. Tu je príklad:

Je potrebné vypočítať: . Samozrejme, môžeme odmocniť, potom odmocniť a odpočítať jeden od druhého, ale vzorec nám to uľahčuje:

Stalo? Porovnajme výsledky:

Rovnako ako druhá mocnina súčtu (rozdiel), aj vzorec rozdielu štvorcov sa dá použiť nielen s číslami:

Vedieť vypočítať rozdiel druhých mocnín nám pomôže transformovať zložité matematické výrazy.

Dávaj pozor:

Keďže pri rozklade rozdielu správneho výrazu druhou mocninou dostaneme

Buďte opatrní a zistite, ktorý konkrétny výraz sa umocňuje na druhú! Ak chcete tému upevniť, transformujte nasledujúce výrazy:

Napísal si to? Porovnajme výsledné výrazy:

Teraz, keď ste zvládli druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu, ako aj rozdiel druhých mocnín, skúsme vyriešiť príklady na kombináciu týchto troch vzorcov.

Konverzia elementárnych výrazov (druhý súčet, druhý mocninový rozdiel, rozdiel druhých mocnín)

Povedzme, že sme dostali príklad

Tento výraz je potrebné zjednodušiť. Pozrite sa pozorne, čo vidíte v čitateli? Správne, čitateľ je dokonalý štvorec:

Pri zjednodušovaní výrazu nezabúdajte, že kľúčom, ktorým smerom sa pri zjednodušení vydať, je menovateľ (alebo čitateľ). V našom prípade, keď je menovateľ rozšírený a už sa nedá nič urobiť, môžeme pochopiť, že čitateľ bude buď druhá mocnina súčtu alebo druhá mocnina rozdielu. Keďže sčítavame, je jasné, že čitateľ je druhá mocnina súčtu.

Skúste sami previesť nasledujúce výrazy:

Stalo? Porovnajte odpovede a pokračujte!

Kocka súčtu a kocka rozdielu

Vzorce súčtovej a rozdielovej kocky sú odvodené rovnakým spôsobom ako štvorec súčtu A štvorcový rozdiel: otváranie zátvoriek pri vzájomnom násobení pojmov.

Ak je druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu veľmi ľahko zapamätateľná, potom vyvstáva otázka: „ako si zapamätať kocky?

Pozorne si pozrite dva opísané vzorce v porovnaní s kvadratúrou podobných výrazov:

Aký vzor vidíš?

1. Pri postavení v námestie máme námestie prvý deň a námestie druhý; keď sa zdvihne na kocku - áno kocka rovnaké číslo a kocka iné číslo.

2. Pri postavení v námestie, máme zdvojnásobil súčin čísel (čísla umocnené na 1. mocninu, čo je o jednu mocninu menej ako tá, na ktorú výraz umocníme); počas výstavby v kocka - strojnásobil súčin, v ktorom je jedno z čísel odmocnené (čo je tiež o 1 mocninu menej ako mocnina, na ktorú výraz umocníme).

3. Pri kvadratúre sa znamienko v zátvorke v otvorenom výraze prejaví pri sčítaní (alebo odčítaní) dvojitého súčinu - ak je v zátvorke sčítanie, tak sčítame, ak je odčítanie, odčítame; pri zdvíhaní kocky platí toto pravidlo: ak máme súčtovú kocku, potom sú všetky znamienka „+“ a ak máme kocku rozdielu, znamienka sa striedajú: „ “ - „ “ - „ “ - „ “ .

Všetko uvedené, okrem závislosti mocnín pri násobení členov, je znázornené na obrázku.

Zacvičíme si? Otvorte zátvorky v nasledujúcich výrazoch:

Porovnajte výsledné výrazy:

Rozdiel a súčet kociek

Pozrime sa na poslednú dvojicu vzorcov: rozdiel a súčet kociek.

Ako si pamätáme, v rozdiele štvorcov násobíme rozdiel a súčet týchto čísel navzájom. V rozdiele kociek a súčtu kociek sú tiež dve zátvorky:

1 zátvorka - rozdiel (alebo súčet) čísel k prvej mocnine (podľa toho, či odhalíme rozdiel alebo súčet kociek);

2. zátvorka je neúplný štvorec (pozrime sa pozorne: ak by sme odčítali (alebo pripočítali) dvojitý súčin čísel, vznikol by štvorec), znamienko pri násobení čísel je opačné ako znamienko pôvodného výrazu.

Na posilnenie témy vyriešme niekoľko príkladov:

Porovnajte výsledné výrazy:

Školenie

Odpovede:

Poďme si to zhrnúť:

Existuje 7 skrátených vzorcov na násobenie:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Skrátené vzorce na násobenie sú vzorce, o ktorých viete, že sa môžete vyhnúť vykonávaniu niektorých štandardných akcií pri zjednodušovaní výrazov alebo faktorizácii polynómov. Skrátené vzorce násobenia treba vedieť naspamäť!

Štvorec súčtu dva výrazy sa rovná druhej mocnine prvého výrazu plus dvojnásobku súčinu prvého výrazu a druhého plus druhej mocniny druhého výrazu:
Štvorcový rozdiel dva výrazy sa rovná druhej mocnine prvého výrazu mínus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhého plus druhej mocniny druhého výrazu:
Rozdiel štvorcov dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu týchto výrazov a ich súčtu:
Kocka súčtu dva výrazy sa rovná kocke prvého výrazu plus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhého plus trojnásobku súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého plus kocky druhého výrazu:
Rozdielová kocka dva výrazy sa rovná kocke prvého výrazu mínus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhý plus trojnásobok súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého mínus kocka druhého výrazu:
Súčet kociek dva výrazy sa rovná súčinu súčtu prvého a druhého výrazu a neúplnej druhej mocniny rozdielu týchto výrazov:
Rozdiel kociek dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou súčtu týchto výrazov: