Klesajúca geometrická progresia b1. Menovateľ geometrickej postupnosti: vzorce a vlastnosti

08.06.2023

Pre pohodlie čitateľa je tento odsek zostavený presne podľa toho istého plánu, ktorý sme dodržali v predchádzajúcom odseku.

1. Základné pojmy.

Definícia.Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú odlišné od 0 a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom, sa nazýva geometrická postupnosť. V tomto prípade sa číslo 5 nazýva menovateľ geometrickej progresie.

Geometrický postup je teda číselná postupnosť (b n) definovaná vzťahmi opakovane

Je možné pozrieť sa na číselnú postupnosť a určiť, či ide o geometrickú postupnosť? Môcť. Ak ste presvedčení, že pomer ktoréhokoľvek člena postupnosti k predchádzajúcemu členu je konštantný, potom máte geometrickú progresiu.
Príklad 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b1 = 1, q = 3.

Príklad 2

Toto je geometrická progresia, ktorá má
Príklad 3

Toto je geometrická progresia, ktorá má
Príklad 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 - 8, q = 1.

Upozorňujeme, že táto postupnosť je tiež aritmetickým postupom (pozri príklad 3 z § 15).

Príklad 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 2, q = -1.

Je zrejmé, že geometrická postupnosť je rastúca postupnosť, ak b 1 > 0, q > 1 (pozri príklad 1), a klesajúca postupnosť, ak b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Na označenie, že postupnosť (b n) je geometrická progresia, je niekedy vhodný nasledujúci zápis:

Ikona nahrádza frázu „geometrická progresia“.
Všimnime si jednu kurióznu a zároveň celkom zjavnú vlastnosť geometrickej progresie:
Ak postupnosť je geometrická postupnosť, potom postupnosť štvorcov, t.j. je geometrická progresia.
V druhej geometrickej postupnosti je prvý člen rovný a rovný q 2.
Ak v geometrickej postupnosti zahodíme všetky členy nasledujúce po b n , dostaneme konečnú geometrickú postupnosť
V ďalších odsekoch tejto časti sa budeme zaoberať najdôležitejšími vlastnosťami geometrickej progresie.

2. Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti.

Zvážte geometrický postup menovateľ q. Máme:

Nie je ťažké uhádnuť, že pre akékoľvek číslo n platí rovnosť

Toto je vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti.

Komentujte.

Ak ste si prečítali dôležitú poznámku z predchádzajúceho odseku a pochopili ste ju, skúste pomocou metódy matematickej indukcie dokázať vzorec (1), rovnako ako to bolo v prípade vzorca pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.

Prepíšme vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti

a zavedieme zápis: Dostaneme y = mq 2, alebo podrobnejšie,
Argument x je obsiahnutý v exponente, preto sa táto funkcia nazýva exponenciálna funkcia. To znamená, že geometrickú progresiu možno považovať za exponenciálnu funkciu definovanú na množine N prirodzených čísel. Na obr. 96a znázorňuje graf funkcie Obr. 966 - funkčný graf V oboch prípadoch máme izolované body (s x = 1, x = 2, x = 3, atď.) ležiace na určitej krivke (oba obrázky znázorňujú rovnakú krivku, len inak umiestnenú a znázornenú v rôznych mierkach). Táto krivka sa nazýva exponenciálna krivka. Viac podrobností o exponenciálnej funkcii a jej grafe si rozoberieme na kurze algebry pre 11. ročník.

Vráťme sa k príkladom 1-5 z predchádzajúceho odseku.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Toto je geometrická postupnosť, pre ktorú b 1 = 1, q = 3. Vytvorme vzorec pre n-tý člen
2) Toto je geometrická postupnosť, pre ktorú vytvorte vzorec pre n-tý člen

Toto je geometrická progresia, ktorá má Vytvorme vzorec pre n-tý člen
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Toto je geometrická postupnosť, pre ktorú b 1 = 8, q = 1. Vytvorme vzorec pre n-tý člen
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 2, q = -1. Vytvorme vzorec pre n-tý člen

Príklad 6.

Vzhľadom na geometrický priebeh

Vo všetkých prípadoch je riešenie založené na vzorci n-tého člena geometrickej postupnosti

a) Ak do vzorca pre n-tý člen geometrickej postupnosti vložíme n = 6, dostaneme

b) Máme

Pretože 512 = 2 9, dostaneme n - 1 = 9, n = 10.

d) Máme

Príklad 7.

Rozdiel medzi siedmym a piatym členom geometrickej postupnosti je 48, súčet piateho a šiesteho člena postupnosti je tiež 48. Nájdite dvanásty člen tejto postupnosti.

Prvé štádium. Zostavenie matematického modelu.

Podmienky problému možno stručne napísať takto:

Pomocou vzorca pre n-tý člen geometrickej postupnosti dostaneme:
Potom druhú podmienku úlohy (b 7 - b 5 = 48) možno zapísať ako

Tretiu podmienku úlohy (b 5 + b 6 = 48) možno zapísať ako

Výsledkom je systém dvoch rovníc s dvoma premennými b 1 a q:

čo v kombinácii s podmienkou 1) napísanou vyššie je matematický modelúlohy.

Druhá fáza.

Práca so zostaveným modelom. Vyrovnaním ľavých strán oboch rovníc systému dostaneme:

(obe strany rovnice sme vydelili nenulovým výrazom b 1 q 4).

Z rovnice q 2 - q - 2 = 0 zistíme q 1 = 2, q 2 = -1. Dosadením hodnoty q = 2 do druhej rovnice sústavy dostaneme
Dosadením hodnoty q = -1 do druhej rovnice sústavy dostaneme b 1 1 0 = 48; táto rovnica nemá riešenia.

Takže, b 1 = 1, q = 2 - táto dvojica je riešením zostaveného systému rovníc.

Teraz môžeme zapísať geometrickú postupnosť diskutovanú v úlohe: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Tretia etapa.

Odpoveď na problémovú otázku. Musíte vypočítať b 12. Máme

Odpoveď: b 12 = 2048.

3. Vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti.

Nech je daná konečná geometrická postupnosť

Označme S n súčet jeho členov, t.j.

Odvoďme vzorec na zistenie tejto sumy.

Začnime s najjednoduchším prípadom, keď q = 1. Potom geometrická postupnosť b 1, b 2, b 3,..., bn pozostáva z n čísel rovných b 1, t.j. progresia vyzerá ako b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Súčet týchto čísel je nb 1.

Nech teraz q = 1 Na nájdenie S n použijeme umelú techniku: vykonáme niekoľko transformácií výrazu S n q. Máme:

Pri vykonávaní transformácií sme najprv použili definíciu geometrickej progresie, podľa ktorej (pozri tretí spôsob uvažovania); po druhé, pridali a odčítali, a preto sa význam výrazu, samozrejme, nezmenil (pozri štvrtý riadok úvahy); po tretie, použili sme vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti:

Zo vzorca (1) zistíme:

Toto je vzorec pre súčet n členov geometrickej postupnosti (pre prípad, keď q = 1).

Príklad 8.

Daná konečná geometrická progresia

a) súčet podmienok postupu; b) súčet druhých mocnín jeho členov.

b) Vyššie (pozri str. 132) sme si už všimli, že ak sú všetky členy geometrickej postupnosti odmocnené, dostaneme geometrickú postupnosť s prvým členom b 2 a menovateľom q 2. Potom sa vypočíta súčet šiestich členov nového postupu

Príklad 9.

Nájdite 8. člen geometrickej postupnosti, pre ktorú

V skutočnosti sme dokázali nasledujúcu vetu.

Číselná postupnosť je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvej vety (a poslednej, v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúcich a nasledujúcich členov (a charakteristická vlastnosť geometrickej progresie).

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je veľmi jednoduchý. Aj významom, aj celkovým vzhľadom. Ale na vzorci n-tého členu sú všetky druhy problémov - od veľmi primitívnych až po dosť vážne. A v procese nášho zoznámenia určite zvážime oboje. Tak sa zoznámime?)

Takže na začiatok vlastne vzorecn

Tu je:

b n = b 1 · qn -1

Vzorec je len vzorec, nič nadprirodzené. Vyzerá ešte jednoduchšie a kompaktnejšie ako podobný vzorec. Význam vzorca je tiež jednoduchý ako plstené čižmy.

Tento vzorec vám umožňuje nájsť AKÝKOĽVEK člen geometrickej progresie PODĽA JEHO ČÍSLA " n".

Ako vidíte, význam je úplná analógia s aritmetickým postupom. Poznáme číslo n – pod toto číslo môžeme spočítať aj člen. Ktorý chceme. Bez opakovaného násobenia "q" mnohokrát, mnohokrát. To je celá pointa.)

Chápem, že na tejto úrovni práce s postupmi by vám už mali byť jasné všetky množstvá zahrnuté vo vzorci, no aj tak považujem za svoju povinnosť každé rozlúštiť. Keby niečo.

Takže poďme na to:

b 1 – najprv termín geometrickej progresie;

q – ;

n– členské číslo;

b n – n-tý (nth) termín geometrickej progresie.

Tento vzorec spája štyri hlavné parametre akejkoľvek geometrickej progresie - bn, b 1 , q A n. A všetky problémy s progresiou sa točia okolo týchto štyroch kľúčových postáv.

"Ako sa to odstraňuje?"– Počujem zvedavú otázku... Základná! Pozri!

Čo sa rovná druhýčlen progresu? Žiaden problém! Píšeme priamo:

b2 = b1 ·q

A čo tretí člen? Tiež nie je problém! Vynásobíme druhý člen ešte raz naq.

Páči sa ti to:

B3 = b2 q

Pripomeňme si teraz, že druhý člen sa rovná b 1 ·q a dosaďte tento výraz do našej rovnosti:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dostaneme:

B 3 = b1 ·q 2

Teraz si prečítajte náš záznam v ruštine: tretíčlen sa rovná prvému členu vynásobenému q in druhý stupňa. Máš to? Ešte nie? Dobre, ešte jeden krok.

Aký je štvrtý termín? Všetky rovnaké! Vynásobte predchádzajúce(t. j. tretí termín) dňa q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Celkom:

B 4 = b1 ·q 3

A opäť prekladáme do ruštiny: štvrtýčlen sa rovná prvému členu vynásobenému q in tretí stupňa.

A tak ďalej. Ako to teda je? Zachytili ste vzor? Áno! Pre každý člen s ľubovoľným číslom bude počet rovnakých faktorov q (t. j. stupeň menovateľa) vždy o jeden menej ako je počet požadovaného členan.

Preto bude náš vzorec bez možností:

b n =b 1 · qn -1

To je všetko.)

No, poďme vyriešiť problémy, myslím?)

Riešenie problémov so vzorcomnčlen geometrickej progresie.

Začnime ako obvykle priamou aplikáciou vzorca. Tu je typický problém:

Pri geometrickom postupe je známe, že b 1 = 512 a q = -1/2. Nájdite desiaty termín postupu.

Samozrejme, tento problém sa dá vyriešiť úplne bez vzorcov. Priamo v zmysle geometrickej progresie. Ale musíme sa zahriať vzorcom na n-tý termín, však? Tu sa rozcvičujeme.

Naše údaje na použitie vzorca sú nasledovné.

Prvý člen je známy. Toto je 512.

b 1 = 512.

Známy je aj menovateľ progresie: q = -1/2.

Zostáva len zistiť, aký je počet členov n. Žiaden problém! Máme záujem o desiaty termín? Do všeobecného vzorca teda dosadíme desať namiesto n.

A starostlivo vypočítajte aritmetiku:

odpoveď: -1

Ako vidíte, desiaty termín progresie dopadol ako mínus. Nič prekvapujúce: náš menovateľ progresie je -1/2, t.j. negatívnečíslo. A to nám hovorí, že príznaky našej progresie sa striedajú, áno.)

Všetko je tu jednoduché. Tu je podobný problém, ale trochu komplikovanejší z hľadiska výpočtov.

Pri geometrickom postupe je známe, že:

b 1 = 3

Nájdite trinásty termín postupu.

Všetko je po starom, len tentoraz je menovateľom postup iracionálny. Koreň dvoch. No to je v poriadku. Vzorec je univerzálna vec, zvládne akékoľvek čísla.

Pracujeme priamo podľa vzorca:

Vzorec samozrejme fungoval tak, ako mal, ale... tu sa niektorí zasekli. Čo robiť ďalej s koreňom? Ako pozdvihnúť koreň do dvanástej moci?

Ako-ako... Musíte pochopiť, že akýkoľvek vzorec je, samozrejme, dobrá vec, ale znalosť všetkej predchádzajúcej matematiky nie je zrušená! Ako stavať? Áno, pamätajte na vlastnosti stupňov! Premeníme koreň na zlomkový stupeň a – podľa vzorca pre zvýšenie stupňa na stupeň.

Páči sa ti to:

odpoveď: 192

A to je všetko.)

Aký je hlavný problém pri priamom použití vzorca n-tého členu? Áno! Hlavnou ťažkosťou je práca s titulmi! Totiž zvyšovanie záporných čísel, zlomkov, odmocničiek a podobných konštrukcií na mocniny. Takže tí, ktorí s tým majú problémy, zopakujte stupne a ich vlastnosti! Inak spomalíš aj túto tému, áno...)

Teraz poďme vyriešiť typické problémy vyhľadávania jeden z prvkov vzorca, ak sú dané všetky ostatné. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov je recept jednotný a strašne jednoduchý - napíš vzorecn-tý člen vo všeobecnosti! Hneď v zošite vedľa stavu. A potom zo stavu zistíme, čo nám je dané a čo chýba. A zo vzorca vyjadríme požadovanú hodnotu. Všetky!

Napríklad taký neškodný problém.

Piaty člen geometrickej postupnosti s menovateľom 3 je 567. Nájdite prvý člen tejto postupnosti.

Nič zložité. Pracujeme priamo podľa kúzla.

Napíšme vzorec pre n-tý člen!

b n = b 1 · qn -1

Čo sme dostali? Najprv je daný menovateľ progresie: q = 3.

Navyše je nám dané piaty člen: b 5 = 567 .

všetky? Nie! Dostali sme aj číslo n! Toto je päť: n = 5.

Dúfam, že ste už pochopili, čo je na nahrávke b 5 = 567 dva parametre sú skryté naraz - toto je samotný piaty výraz (567) a jeho číslo (5). Už som o tom hovoril v podobnej lekcii, ale myslím, že to stojí za zmienku aj tu.)

Teraz dosadíme naše údaje do vzorca:

567 = b 1 ·3 5-1

Urobíme aritmetiku, zjednodušíme a získame jednoduchú lineárnu rovnicu:

81 b 1 = 567

Riešime a dostaneme:

b 1 = 7

Ako vidíte, s nájdením prvého termínu nie sú žiadne problémy. Ale pri hľadaní menovateľa q a čísla n Môžu nastať aj prekvapenia. A tiež musíte byť na ne pripravení (prekvapenia), áno.)

Napríklad tento problém:

Piaty člen geometrickej postupnosti s kladným menovateľom je 162 a prvý člen tejto postupnosti je 2. Nájdite menovateľa postupnosti.

Tentoraz dostaneme prvý a piaty termín a požiadame, aby sme našli menovateľa postupu. Ideme na to.

Napíšeme vzorecnčlen!

b n = b 1 · qn -1

Naše počiatočné údaje budú nasledovné:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Chýbajúca hodnota q. Žiaden problém! Poďme to nájsť.) Do vzorca dosadíme všetko, čo vieme.

Dostaneme:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Jednoduchá rovnica štvrtého stupňa. A teraz - opatrne! V tejto fáze riešenia mnohí študenti okamžite s radosťou vytiahnu koreň (štvrtého stupňa) a dostanú odpoveď q=3 .

Páči sa ti to:

q4 = 81

q = 3

Ale v skutočnosti je to nedokončená odpoveď. Presnejšie, neúplné. prečo? Ide o to, že odpoveď q = -3 vhodné aj: (-3) 4 bude tiež 81!

Je to kvôli mocenskej rovnici x n = a vždy má dva protiľahlé korene pri dokoncan . S plusom a mínusom:

Obe sú vhodné.

Napríklad pri rozhodovaní (t.j. druhý stupne)

x 2 = 9

Z nejakého dôvodu nie ste prekvapení vzhľadom dva korene x=±3? Tu je to rovnaké. A s akoukoľvek inou dokonca stupňa (štvrtého, šiesteho, desiateho atď.) budú rovnaké. Podrobnosti sú v téme o

Správne riešenie by teda bolo:

q 4 = 81

q= ±3

Dobre, vyriešili sme znamenia. Ktorá je správna - plus alebo mínus? Nuž, prečítajme si vyhlásenie o probléme znova pri hľadaní Ďalšie informácie. Samozrejme, nemusí existovať, ale v tomto probléme takéto informácie k dispozícii. Naša podmienka uvádza v čistom texte, že postup je daný s kladný menovateľ.

Preto je odpoveď jasná:

q = 3

Všetko je tu jednoduché. Čo si myslíte, že by sa stalo, keby problémové vyhlásenie bolo takéto:

Piaty člen geometrickej postupnosti je 162 a prvý člen tejto postupnosti je 2. Nájdite menovateľa postupnosti.

V čom je rozdiel? Áno! V stave Nič o znaku menovateľa sa nehovorí. Ani priamo, ani nepriamo. A tu by už problém nastal dve riešenia!

q = 3 A q = -3

Áno áno! Aj s plusom aj s mínusom.) Matematicky by tento fakt znamenal, že existujú dve progresie, ktoré zodpovedajú podmienkam problému. A každý má svojho menovateľa. Len pre zábavu si precvičte a napíšte prvých päť termínov každého z nich.)

Teraz si precvičme hľadanie čísla člena. Tento problém je najťažší, áno. Ale aj kreatívnejší.)

Vzhľadom na geometrický priebeh:

3; 6; 12; 24; …

Aké číslo v tomto postupe je číslo 768?

Prvý krok je stále rovnaký: napíš vzorecnčlen!

b n = b 1 · qn -1

A teraz, ako obvykle, do nej dosadíme údaje, ktoré poznáme. Hm... nejde to! Kde je prvý termín, kde je menovateľ, kde je všetko ostatné?!

Kde, kde... Prečo potrebujeme oči? Mlátenie mihalníc? Tentoraz nám je postup daný priamo vo formulári sekvencie. Môžeme vidieť prvého člena? Vidíme! Toto je trojica (b 1 = 3). A čo menovateľ? Zatiaľ to nevidíme, ale je veľmi ľahké to spočítať. Ak, samozrejme, rozumiete...

Takže počítame. Priamo podľa významu geometrickej postupnosti: vezmeme ktorýkoľvek z jej členov (okrem prvého) a vydelíme predchádzajúcim.

Aspoň takto:

q = 24/12 = 2

Čo ešte vieme? Tiež poznáme nejaký člen tejto postupnosti, rovný 768. Pod nejakým číslom n:

b n = 768

Nepoznáme jeho číslo, ale našou úlohou je presne ho nájsť.) Takže hľadáme. Všetky potrebné údaje na dosadzovanie sme už stiahli do vzorca. Bez vedomia seba.)

Tu nahrádzame:

768 = 3 2n -1

Urobme tie elementárne – vydeľme obe strany tromi a prepíšme rovnicu do zaužívaného tvaru: neznáma je vľavo, známa je vpravo.

Dostaneme:

2 n -1 = 256

Toto je zaujímavá rovnica. Musíme nájsť "n". Čo, nezvyčajné? Áno, nehádam sa. V skutočnosti je to tá najjednoduchšia vec. Nazýva sa tak, pretože neznáma (v tomto prípade je to číslo n) náklady v indikátor stupňa.

V štádiu učenia sa o geometrickom postupe (toto je deviaty ročník) ťa nenaučia riešiť exponenciálne rovnice, áno... Toto je téma pre strednú školu. Ale nie je tam nič strašidelné. Aj keď neviete, ako sa takéto rovnice riešia, skúsme nájsť naše n, riadený jednoduchou logikou a zdravým rozumom.

Začnime sa rozprávať. Na ľavej strane máme dvojku do určitej miery. Zatiaľ nevieme, čo presne je tento stupeň, ale to nie je strašidelné. S istotou však vieme, že tento stupeň sa rovná 256! Takže si pamätáme, do akej miery nám dvojka dáva 256. Pamätáte si? Áno! IN ôsmy stupňa!

256 = 2 8

Ak si nepamätáte alebo máte problémy s rozpoznaním stupňov, potom je to tiež v poriadku: stačí postupne druhú druhú, kocku, štvrtú, piatu atď. Výber, v skutočnosti, ale na tejto úrovni bude fungovať celkom dobre.

Tak či onak dostaneme:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Takže 768 je deviatyčlenom našej progresie. To je všetko, problém vyriešený.)

odpoveď: 9

Čo? nuda? Ste unavení zo základných vecí? Súhlasím. A ja tiež. Poďme na ďalšiu úroveň.)

Zložitejšie úlohy.

Teraz poďme riešiť náročnejšie problémy. Nie sú úplne super, ale také, ktoré vyžadujú trochu práce, aby ste sa dostali k odpovedi.

Napríklad tento.

Nájdite druhý člen geometrickej postupnosti, ak jej štvrtý člen je -24 a siedmy člen je 192.

Toto je klasika žánru. Niektoré dva rôzne termíny progresie sú známe, ale je potrebné nájsť iný termín. Navyše všetci členovia NIE SÚ susedia. Čo je na prvý pohľad mätúce, áno...

Rovnako ako v prípade riešenia takýchto problémov zvážime dve metódy. Prvá metóda je univerzálna. Algebraické. Funguje bezchybne s akýmikoľvek zdrojovými údajmi. Takže tam začneme.)

Každý výraz opíšeme podľa vzorca nčlen!

Všetko je úplne rovnaké ako pri aritmetickom postupe. Iba tentoraz pracujeme ďalší všeobecný vzorec. To je všetko.) Ale podstata je rovnaká: berieme a jeden za druhým Naše počiatočné údaje dosadíme do vzorca pre n-tý člen. Pre každého člena - ich vlastné.

Pre štvrtý termín píšeme:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Jedzte. Jedna rovnica je pripravená.

Pre siedmy termín píšeme:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Celkovo sme dostali dve rovnice pre rovnaký progres .

Z nich zostavíme systém:

Napriek hrozivému vzhľadu je systém celkom jednoduchý. Najzrejmejším riešením je jednoduchá náhrada. Vyjadrujeme sa b 1 z hornej rovnice a dosaďte ju do spodnej:

Keď sa trochu pohráme so spodnou rovnicou (znížením mocnín a vydelením -24), dostaneme:

q 3 = -8

Mimochodom, k tej istej rovnici sa dá prísť aj jednoduchším spôsobom! Ktorý? Teraz vám ukážem ďalší tajný, ale veľmi krásny, výkonný a užitočný spôsob riešenia takýchto systémov. Takéto systémy, ktorých rovnice zahŕňajú iba funguje. Aspoň v jednom. Volaný metóda delenia jedna rovnica k druhej.

Takže máme pred sebou systém:

V oboch rovniciach vľavo - práca a na pravej strane je len číslo. Toto je veľmi dobré znamenie.) Zoberme si to a... vydeľte, povedzme, spodnú rovnicu hornou! Čo znamená, vydelíme jednu rovnicu druhou? Veľmi jednoduché. Vezmime si to ľavá strana jedna rovnica (nižšia) a rozdeliť ju na ľavá stranaďalšia rovnica (horná). Pravá strana je podobná: pravá strana jedna rovnica rozdeliť na pravá stranaďalší.

Celý proces rozdelenia vyzerá takto:

Teraz, keď znížime všetko, čo sa dá znížiť, dostaneme:

q 3 = -8

Čo je na tejto metóde dobré? Áno, pretože v procese takéhoto delenia možno všetko zlé a nepohodlné bezpečne znížiť a zostáva úplne neškodná rovnica! To je dôvod, prečo je také dôležité mať iba násobenie aspoň v jednej z rovníc systému. Neexistuje násobenie - nie je čo zmenšovať, áno...

Vo všeobecnosti si táto metóda (ako mnohé iné netriviálne metódy riešenia systémov) dokonca zaslúži samostatnú lekciu. Určite sa na to pozriem podrobnejšie. Jedného dňa…

Nezáleží však na tom, ako presne systém vyriešite, v každom prípade teraz musíme vyriešiť výslednú rovnicu:

q 3 = -8

Žiadny problém: extrahujte koreň kocky a máte hotovo!

Upozorňujeme, že pri extrakcii tu nie je potrebné dávať plus/mínus. Náš koreň je nepárneho (tretieho) stupňa. A odpoveď je rovnaká, áno.)

Takže menovateľ progresie bol nájdený. Mínus dva. Skvelé! Proces prebieha.)

Pre prvý člen (povedzme z hornej rovnice) dostaneme:

Skvelé! Poznáme prvý člen, poznáme menovateľa. A teraz máme možnosť nájsť ktoréhokoľvek člena progresie. Vrátane toho druhého.)

Pre druhý termín je všetko celkom jednoduché:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Odpoveď: -6

Takže sme rozdelili algebraickú metódu na riešenie problému. ťažké? Nie naozaj, súhlasím. Dlhé a únavné? Rozhodne áno. Ale niekedy môžete výrazne znížiť množstvo práce. Pre toto existuje grafická metóda. Staré dobré a známe.)

Nakreslíme problém!

Áno! presne tak. Opäť znázorňujeme náš postup na číselnej osi. Nie je potrebné riadiť sa pravítkom, nie je potrebné udržiavať rovnaké intervaly medzi členmi (ktoré, mimochodom, nebudú rovnaké, pretože postup je geometrický!), ale jednoducho schematicky Nakreslíme našu postupnosť.

Mám to takto:

Teraz sa pozrite na obrázok a zistite to. Koľko rovnakých faktorov "q" oddeľuje štvrtý A siedmyčlenov? Presne tak, tri!

Preto máme plné právo napísať:

-24·q 3 = 192

Odtiaľto je teraz ľahké nájsť q:

q 3 = -8

q = -2

To je skvelé, menovateľa už máme vo vrecku. Teraz sa znova pozrime na obrázok: koľko takýchto menovateľov je medzi nimi druhý A štvrtýčlenov? Dva! Preto, aby sme zaznamenali súvislosť medzi týmito pojmami, zostrojíme menovateľ štvorec.

Takže píšeme:

b 2 · q 2 = -24 , kde b 2 = -24/ q 2

Náš nájdený menovateľ dosadíme do výrazu pre b 2, spočítame a dostaneme:

Odpoveď: -6

Ako vidíte, všetko je oveľa jednoduchšie a rýchlejšie ako cez systém. Navyše, tu sme vôbec nemuseli počítať prvý termín! Vôbec.)

Tu je taký jednoduchý a vizuálny spôsob svetla. Má to však aj vážnu nevýhodu. Uhádli ste to? Áno! Je to dobré len pre veľmi krátke úseky progresie. Tie, kde vzdialenosti medzi členmi, ktoré nás zaujímajú, nie sú príliš veľké. Ale vo všetkých ostatných prípadoch je už ťažké nakresliť obrázok, áno... Potom problém riešime analyticky, cez systém.) A systémy sú univerzálne veci. Poradia si s akýmikoľvek číslami.

Ďalšia epická výzva:

Druhý člen geometrickej progresie je o 10 viac ako prvý a tretí člen je o 30 viac ako druhý. Nájdite menovateľa postupu.

Čo, v pohode? Vôbec nie! Všetky rovnaké. Opäť preložíme problémový výrok do čistej algebry.

1) Každý výraz opíšeme podľa vzorca nčlen!

Druhý člen: b 2 = b 1 q

Tretí člen: b 3 = b 1 q 2

2) Spojenie medzi členmi zapíšeme z problémového výkazu.

Čítame podmienku: "Druhý člen geometrickej progresie je o 10 väčší ako prvý." Prestaň, toto je cenné!

Takže píšeme:

b 2 = b 1 +10

A túto frázu preložíme do čistej matematiky:

b 3 = b 2 +30

Dostali sme dve rovnice. Spojme ich do systému:

Systém vyzerá jednoducho. Ale existuje príliš veľa rôznych indexov pre písmená. Nahraďte namiesto druhého a tretieho termínu ich vyjadrenia cez prvý člen a menovateľ! Bolo to márne, že sme ich maľovali?

Dostaneme:

Ale taký systém už nie je dar, to áno... Ako to vyriešiť? Bohužiaľ neexistuje žiadne univerzálne tajné kúzlo na riešenie komplexov nelineárne V matematike systémy neexistujú a ani nemôžu byť. To je fantastické! Prvá vec, ktorá by vás však mala napadnúť pri pokuse o rozlúsknutie takéhoto tvrdého orieška, je prísť na to Nie je však jedna z rovníc systému zredukovaná do krásnej podoby, ktorá umožňuje napríklad jednoducho vyjadriť jednu z premenných v termínoch inej?

Poďme na to. Prvá rovnica systému je jednoznačne jednoduchšia ako druhá. Budeme ho mučiť.) Nemali by sme to skúsiť z prvej rovnice niečo vyjadriť cez niečo? Keďže chceme nájsť menovateľa q, vtedy by bolo pre nás najvýhodnejšie vyjadriť b 1 cez q.

Skúsme teda urobiť tento postup s prvou rovnicou pomocou starých dobrých rovnic:

b1q = b1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b1 (q-1) = 10

Všetky! Tak sme sa vyjadrili zbytočné dajte nám premennú (b 1) cez nevyhnutné(q). Áno, nie je to najjednoduchší výraz, aký máme. Nejaký zlomok... Ale náš systém je na slušnej úrovni, áno.)

Typické. Vieme, čo robiť.

Píšeme ODZ (Nevyhnutne!) :

q ≠ 1

Všetko vynásobíme menovateľom (q-1) a zrušíme všetky zlomky:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Všetko rozdelíme desiatimi, otvoríme zátvorky a zhromaždíme všetko zľava:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Vyriešime výsledok a získame dva korene:

q 1 = 1

q 2 = 3

Existuje len jedna konečná odpoveď: q = 3 .

odpoveď: 3

Ako vidíte, cesta k riešeniu väčšiny problémov zahŕňajúcich vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti je vždy rovnaká: prečítajte si pozorne stav problému a pomocou vzorca n-tého členu prevedieme všetky užitočné informácie do čistej algebry.

menovite:

1) Každý výraz uvedený v úlohe popíšeme samostatne podľa vzorcančlen.

2) Z podmienok úlohy prevedieme spojenie medzi členmi do matematického tvaru. Zostavíme rovnicu alebo sústavu rovníc.

3) Vyriešime výslednú rovnicu alebo sústavu rovníc, nájdeme neznáme parametre postupu.

4) V prípade nejednoznačnej odpovede si pozorne prečítajte vyhlásenie o probléme a vyhľadajte ďalšie informácie (ak nejaké existujú). Prijatú odpoveď tiež skontrolujeme s podmienkami DL (ak existujú).

Teraz si poďme vymenovať hlavné problémy, ktoré najčastejšie vedú k chybám v procese riešenia problémov geometrickej progresie.

1. Základná aritmetika. Operácie so zlomkami a zápornými číslami.

2. Ak sa vyskytnú problémy aspoň s jedným z týchto troch bodov, potom sa v tejto téme nevyhnutne dopustíte chýb. Bohužiaľ... Nebuďte preto leniví a zopakujte to, čo bolo spomenuté vyššie. A postupujte podľa odkazov - choďte. Niekedy to pomôže.)

Upravené a opakujúce sa vzorce.

Teraz sa pozrime na niekoľko typických problémov so skúškami s menej známou prezentáciou stavu. Áno, áno, uhádli ste! Toto upravené A opakujúci vzorce n-tého členu. S takýmito vzorcami sme sa už stretli a pracovali sme na aritmetickom postupe. Všetko je tu podobné. Podstata je rovnaká.

Napríklad tento problém z OGE:

Geometrická postupnosť je daná vzorcom b n = 32 n . Nájdite súčet jeho prvého a štvrtého členu.

Tentoraz nie je u nás postup celkom ako obvykle. Vo forme akéhosi vzorca. No a čo? Tento vzorec je aj vzorecnčlen! Vy a ja vieme, že vzorec pre n-tý člen môže byť napísaný vo všeobecnej forme pomocou písmen a pre špecifická progresia. S konkrétne prvý termín a menovateľ.

V našom prípade sme v skutočnosti dostali všeobecný termínový vzorec pre geometrickú postupnosť s nasledujúcimi parametrami:

b 1 = 6

q = 2

Skontrolujeme?) Zapíšme si vzorec pre n-tý člen vo všeobecnom tvare a dosaďte ho do b 1 A q. Dostaneme:

b n = b 1 · qn -1

b n= 62n -1

Zjednodušíme pomocou faktorizácie a vlastností mocnín a dostaneme:

b n= 62n -1 = 3,2,2n -1 = 32n -1+1 = 32n

Ako vidíte, všetko je fér. Naším cieľom ale nie je demonštrovať odvodenie konkrétneho vzorca. Toto je taká lyrická odbočka. Čisto pre pochopenie.) Naším cieľom je vyriešiť problém podľa vzorca, ktorý nám je daný v podmienke. Chápete to?) Takže pracujeme priamo s upraveným vzorcom.

Počítame prvý termín. Poďme nahradiť n=1 do všeobecného vzorca:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Páči sa ti to. Mimochodom, nebudem lenivý a ešte raz vás upozorním na typickú chybu pri výpočte prvého termínu. NIE, pri pohľade na vzorec b n= 32n, hneď sa ponáhľaj napísať, že prvý termín je trojka! To je hrubá chyba, áno...)

Pokračujme. Poďme nahradiť n=4 a počítajte štvrtý člen:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

A nakoniec vypočítame požadované množstvo:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

odpoveď: 54

Iný problém.

Geometrická postupnosť je určená podmienkami:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Nájdite štvrtý termín postupu.

Tu je progresia daná opakujúcim sa vzorcom. No dobre.) Ako pracovať s týmto vzorcom – aj my vieme.

Takže konáme. Krok za krokom.

1) Počítajte dva po sebe idúcichčlen progresu.

Prvý termín nám už bol daný. Mínus sedem. Ale ďalší, druhý termín, možno ľahko vypočítať pomocou vzorca opakovania. Ak rozumiete princípu jeho fungovania, samozrejme.)

Počítame teda druhý termín podľa známeho prvého:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Vypočítajte menovateľa progresie

Tiež žiadny problém. Rovno, rozdeľme sa druhýčurák na najprv.

Dostaneme:

q = -21/(-7) = 3

3) Napíšte vzorecnčlen v obvyklom tvare a vypočítajte požadovaný člen.

Takže, poznáme prvý výraz a tiež poznáme menovateľa. Takže píšeme:

b n= -7,3n -1

b 4 = -7,3 3 = -7,27 = -189

Odpoveď: -189

Ako vidíte, práca s takýmito vzorcami pre geometrickú progresiu sa v podstate nelíši od tej pre aritmetickú progresiu. Dôležité je len pochopiť všeobecnú podstatu a význam týchto vzorcov. Nuž, treba pochopiť aj význam geometrickej progresie, áno.) A potom nebudú žiadne hlúpe chyby.

No, poďme sa rozhodnúť sami?)

Veľmi základné úlohy na zahriatie:

1. Vzhľadom na geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 243, a q = -2/3. Nájdite šiesty termín postupu.

2. Všeobecný člen geometrickej postupnosti je daný vzorcom b n = 5∙2 n +1 . Nájdite číslo posledného trojciferného člena tohto postupu.

3. Geometrická postupnosť je daná podmienkami:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Nájdite piaty termín postupu.

Trochu komplikovanejšie:

4. Daná geometrická postupnosť:

b 1 =2048; q =-0,5

Čomu sa rovná šiesty záporný člen?

Čo sa zdá byť super ťažké? Vôbec nie. Logika a pochopenie významu geometrickej progresie vás zachráni. No, vzorec pre n-tý termín, samozrejme.

5. Tretí člen geometrickej postupnosti je -14 a ôsmy člen je 112. Nájdite menovateľa postupnosti.

6. Súčet prvého a druhého člena geometrickej postupnosti je 75 a súčet druhého a tretieho člena je 150. Nájdite šiesty člen postupnosti.

Odpovede (v neporiadku): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

To je skoro všetko. Jediné, čo musíme urobiť, je naučiť sa počítať súčet prvých n členov geometrickej postupnostiáno objaviť nekonečne klesajúca geometrická progresia a jeho množstvo. Mimochodom, veľmi zaujímavá a nezvyčajná vec! Viac o tom v ďalších lekciách.)

Geometrická progresia je nový druhčíselná postupnosť, s ktorou sa práve zoznámime. Pre úspešné randenie nezaškodí aspoň poznať a pochopiť. Potom nebudú žiadne problémy s geometrickým postupom.)

Čo je geometrická progresia? Koncept geometrickej progresie.

Prehliadku začíname, ako inak, základmi. Píšem nedokončenú postupnosť čísel:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Dokážete rozpoznať vzor a povedať, ktoré čísla budú nasledovať? Paprika je jasná, potom budú nasledovať čísla 100 000, 1 000 000 a tak ďalej. Aj bez veľkého duševného úsilia je všetko jasné, však?)

OK. Ďalší príklad. Píšem túto postupnosť:

1, 2, 4, 8, 16, …

Môžete povedať, ktoré čísla budú nasledovať po čísle 16 a mene ôsmyčlen sekvencie? Ak ste prišli na to, že to bude číslo 128, tak veľmi dobre. Polovica úspechu je teda v porozumení význam A Kľúčové body geometrický postup už bol urobený. Môžete rásť ďalej.)

A teraz opäť prejdeme od vnemov k prísnej matematike.

Kľúčové body geometrickej progresie.

Kľúčový bod #1

Geometrická progresia je postupnosť čísel. Rovnako aj progresia. Nič vymyslené. Iba táto postupnosť je usporiadaná inak. Preto má, prirodzene, iný názov, áno...

Kľúčový bod č. 2

S druhým kľúčovým bodom bude otázka zložitejšia. Vráťme sa trochu späť a pripomeňme si kľúčovú vlastnosť aritmetickej progresie. Tu je: každý člen je iný ako predchádzajúci o rovnakú sumu.

Je možné sformulovať podobnú kľúčovú vlastnosť pre geometrickú progresiu? Zamyslite sa trochu... Pozrite sa bližšie na uvedené príklady. Uhádli ste to? Áno! V geometrickej postupnosti (akejkoľvek!) sa každý jej člen líši od predchádzajúceho rovnaký počet krát. Vždy!

V prvom príklade je toto číslo desať. Ktorýkoľvek člen sekvencie si vezmete, je väčší ako predchádzajúci desaťkrát.

V druhom príklade je to dvojka: každý člen je väčší ako predchádzajúci dvakrát.

Práve týmto kľúčovým bodom sa geometrická progresia líši od aritmetickej progresie. V aritmetickom postupe sa získa každý nasledujúci člen pridaním rovnakú hodnotu ako predchádzajúci termín. A tu - násobenie predchádzajúce obdobie o rovnakú sumu. To je celý rozdiel.)

Kľúčový bod č. 3

Tento kľúčový bod je úplne identický s bodom aritmetického postupu. menovite: Každý člen geometrickej postupnosti stojí na svojom mieste. Všetko je úplne rovnaké ako v aritmetickom postupe a komentáre sú podľa mňa zbytočné. Je tu prvý termín, je tam sto prvý atď. Prehoďme aspoň dva pojmy – vzor (a s ním aj geometrická postupnosť) zmizne. Zostane len postupnosť čísel bez akejkoľvek logiky.

To je všetko. To je celý zmysel geometrického postupu.

Termíny a označenia.

Ale teraz, keď sme pochopili význam a kľúčové body geometrickej progresie, môžeme prejsť k teórii. Inak, čo je teória bez pochopenia významu, však?

Ako označiť geometrickú progresiu?

Ako sa geometrická postupnosť píše vo všeobecnej forme? Žiaden problém! Každý termín postupu je tiež napísaný ako list. Iba na aritmetický postup sa zvyčajne používa písmeno "A", pre geometrické – písm "b". Číslo člena, ako obvykle, je uvedené index vpravo dole. Jednoducho uvádzame samotné členy progresie oddelené čiarkami alebo bodkočiarkami.

Páči sa ti to:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Stručne povedané, tento postup je napísaný takto: (b n) .

Alebo takto pre konečný postup:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

Alebo v skratke:

(b n), n=30 .

To je vlastne celé označenie. Všetko je rovnaké, len písmeno je iné, áno.) A teraz prejdeme priamo k definícii.

Definícia geometrickej progresie.

Geometrická postupnosť je postupnosť čísel, v ktorej je prvý člen nenulový a každý nasledujúci člen sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým nenulovým číslom.

To je celá definícia. Väčšina slov a fráz je vám jasná a známa. Ak, samozrejme, rozumiete významu geometrickej progresie „na prstoch“ a vo všeobecnosti. Existuje však aj niekoľko nových fráz, ktorým by som chcel venovať osobitnú pozornosť.

Najprv slová: „prvým členom ktorej nenulové".

Toto obmedzenie v prvom volebnom období nebolo zavedené náhodou. Čo si myslíte, že sa stane, ak prvý člen b 1 bude sa rovnať nule? Čomu sa bude rovnať druhý člen, ak je každý člen väčší ako predchádzajúci? rovnaký počet krát? Povedzme trikrát? Pozrime sa... Vynásobte prvý člen (t. j. 0) 3 a dostanete... nulu! A čo tretí člen? Tiež nula! A štvrtý termín je tiež nula! A tak ďalej…

Dostaneme len vrece rožkov, sekvenciu núl:

0, 0, 0, 0, …

Samozrejme, že takáto sekvencia má právo na život, ale nemá praktický význam. Všetko je čisté. Ktorýkoľvek jeho člen je nula. Súčet ľubovoľného počtu pojmov je tiež nula... Čo zaujímavé sa s tým dá robiť? nič…

Nasledujúce kľúčové slová: "vynásobené rovnakým nenulovým číslom."

Toto isté číslo má tiež svoje špeciálne meno - menovateľ geometrickej progresie. Začnime sa zoznamovať.)

Menovateľ geometrickej postupnosti.

Všetko je také jednoduché ako lúskanie hrušiek.

Menovateľom geometrickej progresie je nenulové číslo (alebo veličina) označujúce koľko krátkaždé obdobie postupu viac ako predchádzajúca.

Opäť, podobne ako pri aritmetickej progresii, kľúčové slovo, ktoré treba v tejto definícii hľadať, je slovo "viac". To znamená, že sa získa každý člen geometrickej progresie násobenie práve tomuto menovateľovi predchádzajúci člen.

Nechaj ma vysvetliť.

Na výpočet, povedzme druhý péro, treba zobrať najprvčlenom a množiť to na menovateľa. Pre výpočet desiaty péro, treba zobrať deviatyčlenom a množiť to na menovateľa.

Menovateľom samotnej geometrickej progresie môže byť čokoľvek. Úplne ktokoľvek! Celé, zlomkové, pozitívne, negatívne, iracionálne - všetko. Okrem nuly. To nám hovorí slovo „nenulové“ v definícii. Prečo je toto slovo potrebné tu - viac o tom neskôr.

Menovateľ geometrickej progresie najčastejšie označené písmenom q.

Ako to nájsť q? Žiaden problém! Musíme vziať akýkoľvek termín postupu a vydeliť predchádzajúcim termínom. Rozdelenie je zlomok. Odtiaľ pochádza názov - „menovateľ postupu“. Menovateľ, ten väčšinou sedí v zlomku, áno...) Aj keď, logicky, hodnota q treba zavolať súkromné geometrická progresia, podobne ako rozdiel pre aritmetický postup. Ale dohodli sme sa, že si zavoláme menovateľ. A nevynájdeme ani koleso.)

Definujme napríklad množstvo q pre túto geometrickú postupnosť:

2, 6, 18, 54, …

Všetko je elementárne. Vezmime si to akýkoľvek poradové číslo. Berieme si, čo chceme. Okrem toho úplne prvého. Napríklad 18. A deliť podľa predchádzajúce číslo. Teda o 6.

Dostaneme:

q = 18/6 = 3

To je všetko. Toto je správna odpoveď. Pre túto geometrickú postupnosť je menovateľ tri.

Poďme teraz nájsť menovateľa q pre ďalší geometrický postup. Napríklad tento:

1, -2, 4, -8, 16, …

Všetky rovnaké. Bez ohľadu na to, aké znaky majú samotní členovia, stále berieme akýkoľvekčíslo sekvencie (napríklad 16) a vydeliť predchádzajúce číslo(t.j. -8).

Dostaneme:

d = 16/(-8) = -2

A je to.) Tentokrát sa menovateľ progresie ukázal ako negatívny. Mínus dva. Stáva sa.)

Zoberme si teraz tento postup:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

A opäť, bez ohľadu na typ čísel v postupnosti (či celé čísla, párne zlomky, dokonca záporné, dokonca iracionálne), vezmeme ľubovoľné číslo (napríklad 1/9) a vydelíme predchádzajúcim číslom (1/3). Podľa pravidiel pre prácu so zlomkami, samozrejme.

Dostaneme:

To je všetko.) Tu sa ukázalo, že menovateľ je zlomkový: q = 1/3.

Čo si myslíte o tomto „pokroku“?

3, 3, 3, 3, 3, …

Očividne tu q = 1 . Formálne ide tiež o geometrický postup, len s identických členov.) Ale takéto pokroky sú na štúdium a praktické uplatnenie nezaujímavé. To isté ako progresie s plnými nulami. Preto ich nebudeme zvažovať.

Ako vidíte, menovateľom progresie môže byť čokoľvek – celé číslo, zlomok, kladné, záporné – čokoľvek! Nemôže to byť len nula. Neviete hádať prečo?

No, poďme použiť nejaký konkrétny príklad, aby sme videli, čo sa stane, ak vezmeme ako menovateľa q nula.) Nech máme napr b 1 = 2 , A q = 0 . Čomu sa potom bude rovnať druhý termín?

Počítame:

b 2 = b 1 · q= 20 = 0

A čo tretí člen?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Typy a správanie geometrických postupností.

Všetko bolo viac-menej jasné: ak je rozdiel v postupe d je pozitívny, potom sa progresia zvyšuje. Ak je rozdiel záporný, progresia klesá. Sú len dve možnosti. Tretia neexistuje.)

Ale so správaním geometrickej progresie bude všetko oveľa zaujímavejšie a pestrejšie!)

Bez ohľadu na to, ako sa tu pojmy správajú: pribúdajú a klesajú a donekonečna sa približujú k nule a dokonca menia znamienka, pričom sa striedavo vrhajú do „plus“ a potom do „mínusu“! A v celej tejto rozmanitosti musíte byť schopní dobre rozumieť, áno...

Poďme na to?) Začnime s najjednoduchším prípadom.

Menovateľ je kladný ( q >0)

S kladným menovateľom, po prvé, môžu vstúpiť podmienky geometrickej progresie plus nekonečno(t.j. zvýšenie bez obmedzenia) a môže ísť do mínus nekonečno(t.j. bez obmedzenia). Už sme si na toto správanie progresie zvykli.

Napríklad:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Všetko je tu jednoduché. Získa sa každý termín postupu viac ako predchádzajúce. Navyše sa ukáže každý termín násobenie predchádzajúci člen na pozitívnečíslo +2 (t.j. q = 2 ). Správanie takejto progresie je zrejmé: všetci členovia progresie rastú bez obmedzenia a idú do vesmíru. Navyše nekonečno...

A teraz je postup:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Aj tu sa získava každý člen postupu násobenie predchádzajúci člen na pozitívnečíslo +2. Ale správanie takejto progresie je presne opačné: získa sa každý člen progresie menej ako predchádzajúce a všetky jeho členy klesajú bez obmedzenia až do mínus nekonečna.

Teraz sa zamyslime: čo majú tieto dve progresie spoločné? Správne, menovateľ! Tu a tam q = +2 . Kladné číslo. Dva. A tu správanie Tieto dve progresie sú zásadne odlišné! Neviete hádať prečo? Áno! Je to všetko o prvý člen! Je to on, ako sa hovorí, kto volá melódiu.) Presvedčte sa sami.

V prvom prípade prvý termín progresie pozitívne(+1) a teda všetky nasledujúce výrazy získané vynásobením pozitívne menovateľ q = +2 , bude tiež pozitívne.

Ale v druhom prípade prvý termín negatívne(-1). Preto všetky nasledujúce podmienky progresie, získané vynásobením pozitívne q = +2 , bude tiež získaný negatívne. Pretože „mínus“ až „plus“ vždy dáva „mínus“, áno.)

Ako vidíte, na rozdiel od aritmetickej progresie sa geometrická progresia môže správať úplne inak nielen v závislosti od menovateľaq, ale aj v závislosti od prvého člena, Áno.)

Pamätajte: správanie geometrickej progresie je jednoznačne určené jej prvým členom b 1 a menovateľq .

A teraz začneme analyzovať menej známe, ale oveľa zaujímavejšie prípady!

Zoberme si napríklad túto postupnosť:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Táto postupnosť je tiež geometrickým postupom! Každý termín tohto postupu sa tiež ukáže násobenie predchádzajúci člen rovnakým číslom. Je to len číslo - zlomkový: q = +1/2 . Alebo +0,5 . Navyše (dôležité!) číslo menej ako jeden:q = 1/2<1.

Prečo je tento geometrický postup zaujímavý? Kam smerujú jej členovia? Poďme sa pozrieť:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Čo zaujímavé si tu môžete všimnúť? Po prvé, pokles z hľadiska progresie je okamžite viditeľný: každý z jeho členov menej presne ten predchádzajúci 2 krát. Alebo podľa definície geometrickej progresie každý pojem viac predchádzajúce 1/2 krát, pretože menovateľ progresie q = 1/2 . A keď sa vynásobí kladným číslom menším ako jedna, výsledok zvyčajne klesá, áno...

Čo viac možno vidieť v správaní tejto progresie? Ubúdajú jej členovia? neobmedzené, ísť do mínus nekonečna? Nie! Miznú zvláštnym spôsobom. Najprv klesajú pomerne rýchlo a potom čoraz pomalšie. A zatiaľ čo zostáva po celý čas pozitívne. Aj keď veľmi, veľmi malé. A o čo sa oni sami usilujú? Neuhádli ste? Áno! Usilujú sa o nulu!) Navyše pozor, členovia našej progresie sú od nuly nikdy nedosiahnu! Iba približuje sa k nemu nekonečne blízko. Je to veľmi dôležité.)

Podobná situácia nastane v nasledujúcom postupe:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Tu b 1 = -1 , A q = 1/2 . Všetko je po starom, len teraz sa budú podmienky blížiť k nule z druhej strany, zdola. Zostať celý čas negatívne.)

Taký geometrický postup, ktorého podmienky priblížiť sa k nule bez obmedzenia(bez ohľadu na pozitívnu alebo negatívnu stránku), v matematike má špeciálny názov - nekonečne klesajúca geometrická progresia. Tento vývoj je taký zaujímavý a nezvyčajný, že sa o ňom bude dokonca diskutovať samostatná lekcia .)

Takže sme zvážili všetko možné pozitívne menovatele sú veľké aj menšie. Samotnú jednotku z vyššie uvedených dôvodov nepovažujeme za menovateľa (pamätajte na príklad s postupnosťou trojíc...)

Poďme si to zhrnúť:

pozitívneA viac než jeden (q>1), potom podmienky postupu:

a) zvýšenie bez obmedzenia (akb 1 >0);

b) bez obmedzenia (akb 1 <0).

Ak je menovateľom geometrickej progresie pozitívne A menej ako jeden (0< q<1), то члены прогрессии:

a) nekonečne blízko nule vyššie(Akb 1 >0);

b) nekonečne blízko k nule zdola(Akb 1 <0).

Teraz zostáva zvážiť prípad záporný menovateľ.

Menovateľ je záporný ( q <0)

Pre príklad nepôjdeme ďaleko. Prečo práve huňatá baba?!) Nech je napríklad prvý termín postupu b 1 = 1 , a zoberme si menovateľa q = -2.

Dostaneme nasledujúcu postupnosť:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

A tak ďalej.) Získa sa každý termín postupu násobenie predchádzajúci člen na záporné číslo-2. V tomto prípade budú všetci členovia stojaci na nepárnych miestach (prvý, tretí, piaty atď.). pozitívne a na párnych miestach (druhé, štvrté atď.) – negatívne. Znaky sa striktne striedajú. Plus-mínus-plus-mínus... Táto geometrická postupnosť sa nazýva - rastúce znamenie striedanie.

Kam smerujú jej členovia? Ale nikde.) Áno, v absolútnej hodnote (t.j. modulo)členovia našej progresie pribúdajú neobmedzene (odtiaľ názov „rastúce“). Ale zároveň vás každý člen progresie striedavo hádže do tepla, potom do chladu. Buď „plus“ alebo „mínus“. Naša progresia kolíše... Navyše rozsah výkyvov každým krokom rapídne rastie, áno.) Preto ašpirácie členov progresie niekam smerujú konkrétne Tu Nie Ani do plus nekonečna, ani do mínus nekonečna, ani do nuly – nikde.

Uvažujme teraz o nejakom zlomkovom menovateli medzi nulou a mínus jedna.

Napríklad, nechajme to tak b 1 = 1 , A q = -1/2.

Potom dostaneme priebeh:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

A opäť tu máme striedanie znamení! Ale na rozdiel od predchádzajúceho príkladu je tu už jasná tendencia, aby sa členy blížili k nule.) Len tentoraz sa naše členy nepribližujú k nule striktne zhora alebo zdola, ale opäť váhanie. Striedavo prijímanie kladných a záporných hodnôt. Ale zároveň oni modulov sú stále bližšie a bližšie k drahocennej nule.)

Táto geometrická postupnosť sa nazýva nekonečne klesajúci znak, striedavý.

Prečo sú tieto dva príklady zaujímavé? A skutočnosť, že v oboch prípadoch sa koná striedanie znakov! Tento trik je typický len pre postupnosti so záporným menovateľom, áno.) Ak teda v niektorej úlohe uvidíte geometrickú postupnosť so striedajúcimi sa členmi, budete už s istotou vedieť, že jej menovateľ je 100% záporný a neurobíte chybu. v znamení.)

Mimochodom, v prípade negatívneho menovateľa znamienko prvého termínu vôbec neovplyvňuje správanie samotnej progresie. Bez ohľadu na znamienko prvého členu postupu bude v každom prípade dodržané znamienko termínov. Jedinou otázkou je, na akých miestach(párne alebo nepárne) budú členovia so špecifickými znakmi.

Pamätajte:

Ak je menovateľom geometrickej progresie negatívne , potom sú znaky podmienok progresie vždy striedať.

Zároveň samotní členovia:

a) zvýšenie bez obmedzeniamodulo, Akq<-1;

b) približovať sa k nule donekonečna, ak -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

To je všetko. Všetky typické prípady boli analyzované.)

V procese analýzy rôznych príkladov geometrických postupností som pravidelne používal slová: "inklinuje k nule", "inklinuje k plus nekonečnu", "má tendenciu k mínus nekonečnu"... To je v poriadku.) Tieto slovné spojenia (a konkrétne príklady) sú len úvodným úvodom správanie rôzne číselné postupnosti. Na príklade geometrickej progresie.

Prečo vôbec potrebujeme poznať správanie progresie? Aký je rozdiel v tom, kam ide? Smerom k nule, k plus nekonečnu, k mínus nekonečnu... Čo to s nami robí?

Ide o to, že už na univerzite, na kurze vyššej matematiky, budete potrebovať schopnosť pracovať so širokou škálou číselných postupností (s akýmikoľvek, nielen postupnosťami!) a schopnosť presne si predstaviť, ako tá či oná postupnosť chová sa - či rastie, či neobmedzene klesá, či smeruje k určitému číslu (a nie nevyhnutne k nule), alebo dokonca vôbec k ničomu... Tejto téme je venovaná celá jedna sekcia v kurze matematiky analýza - teória limitov. A trochu konkrétnejšie – koncept limit číselného radu. Veľmi zaujímavá téma! Má zmysel ísť na vysokú školu a prísť na to.)

Niektoré príklady z tejto časti (sekvencie s limitom) a najmä, nekonečne klesajúca geometrická progresia Začínajú si zvykať v škole. Zvykáme si.)

Navyše schopnosť dobre študovať správanie sekvencií vám v budúcnosti veľmi prospeje a bude veľmi užitočná funkčný výskum. Najrozmanitejšie. Ale schopnosť kompetentne pracovať s funkciami (vypočítať derivácie, študovať ich v plnom rozsahu, zostaviť ich grafy) už dramaticky zvyšuje vašu matematickú úroveň! Máte nejaké pochybnosti? Netreba. Pamätajte tiež na moje slová.)

Pozrime sa na geometrický postup v živote?

V živote okolo nás sa s geometrickým postupom stretávame veľmi, veľmi často. Aj bez toho, aby ste o tom vedeli.)

Napríklad rôzne mikroorganizmy, ktoré nás všade obklopujú v obrovských množstvách a ktoré bez mikroskopu ani nevidíme, sa množia presne geometrickým postupom.

Povedzme, že jedna baktéria sa rozmnožuje tak, že sa rozdelí na polovicu, čím sa potomstvo rozdelí na 2 baktérie. Na druhej strane sa každý z nich pri množení rozdelí na polovicu, čím sa získajú spoločné potomstvo 4 baktérií. Ďalšia generácia bude produkovať 8 baktérií, potom 16 baktérií, 32, 64 atď. S každou ďalšou generáciou sa počet baktérií zdvojnásobuje. Typický príklad geometrickej progresie.)

Tiež niektorý hmyz – vošky a muchy – sa množia exponenciálne. A niekedy aj králiky, mimochodom.)

Ďalším príkladom geometrickej progresie, bližšej každodennému životu, je tzv zložené úročenie. Tento zaujímavý jav sa často nachádza v bankových vkladoch a je tzv kapitalizácia úrokov.Čo to je?

Vy sám ste, samozrejme, ešte mladý. Študuješ v škole, nechodíš do bánk. Ale vaši rodičia sú už dospelí a nezávislí ľudia. Chodia do práce, zarábajú peniaze na svoj každodenný chlieb a časť peňazí vkladajú do banky, čím ušetria.)

Povedzme, že váš otec si chce našetriť určitú sumu peňazí na rodinnú dovolenku v Turecku a vloží 50 000 rubľov do banky s 10 % ročne na obdobie troch rokov. s ročnou úrokovou kapitalizáciou. Navyše počas celého tohto obdobia sa s vkladom nedá nič robiť. Nemôžete ani doplniť vklad, ani vybrať peniaze z účtu. Aký zisk bude mať po týchto troch rokoch?

V prvom rade musíme zistiť, čo je 10 % ročne. Znamená to, že v roku K počiatočnej výške vkladu banka pripočíta 10 %. Z čoho? Samozrejme, od výška počiatočného vkladu.

Veľkosť účtu vypočítame po roku. Ak bola počiatočná výška vkladu 50 000 rubľov (t. j. 100%), potom po roku bude na účte úrok? Presne tak, 110%! Od 50 000 rubľov.

Takže vypočítame 110% z 50 000 rubľov:

50 000 · 1,1 = 55 000 rubľov.

Dúfam, že chápete, že nájdenie 110 % hodnoty znamená vynásobenie tejto hodnoty číslom 1,1? Ak nerozumiete, prečo je to tak, spomeňte si na piaty a šiesty ročník. Totiž – spojenie medzi percentami a zlomkami a časťami.)

Nárast za prvý rok teda bude 5 000 rubľov.

Koľko peňazí bude na účte o dva roky? 60 000 rubľov? Bohužiaľ (alebo skôr našťastie) nie je všetko také jednoduché. Celý trik kapitalizácie úrokov je v tom, že s každým novým prírastkom úrokov sa tieto rovnaké úroky už zohľadnia z novej sumy! Od toho, kto už je na účte Práve teraz. A úroky naakumulované za predchádzajúce obdobie sa pripočítavajú k pôvodnej výške vkladu a tým sa sám podieľa na výpočte nového úroku! To znamená, že sa stanú plnohodnotnou súčasťou celkového účtu. Alebo všeobecné kapitál. Odtiaľ názov - kapitalizácia úrokov.

Je to v ekonomike. A v matematike sa takéto percentá nazývajú zložené úročenie. Alebo percento úroku.) Ich trik je v tom, že pri postupnom výpočte sa percentá počítajú zakaždým z novej hodnoty. A nie z originálu...

Preto pre výpočet sumy cez dva roky, potrebujeme vypočítať 110% sumy, ktorá bude na účte v roku. To znamená, že už od 55 000 rubľov.

Počítame 110% z 55 000 rubľov:

55000·1,1 = 60500 rubľov.

To znamená, že percentuálny nárast za druhý rok bude 5 500 rubľov a na dva roky - 10 500 rubľov.

Teraz už môžete hádať, že po troch rokoch bude suma na účte 110% zo 60 500 rubľov. To je zase 110% z predchádzajúceho (minulého roku) sumy.

Tu si myslíme:

60500·1,1 = 66550 rubľov.

Teraz usporiadame naše peňažné sumy podľa rokov v poradí:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50 000 1,1) 1,1) 1,1

Ako to teda je? Prečo nie geometrický postup? Prvý člen b 1 = 50000 a menovateľ q = 1,1 . Každý výraz je striktne 1,1-krát väčší ako predchádzajúci. Všetko je v prísnom súlade s definíciou.)

A koľko dodatočných úrokových bonusov „nahromadí“ váš otec, zatiaľ čo jeho 50 000 rubľov leží na jeho bankovom účte už tri roky?

Počítame:

66550 – 50000 = 16550 rubľov

Nie veľa, samozrejme. To však platí, ak je počiatočná suma vkladu malá. Čo ak je toho viac? Povedzme, že nie 50, ale 200 tisíc rubľov? Potom nárast za tri roky bude 66 200 rubľov (ak to spočítate). Čo je už veľmi dobré.) Čo ak je príspevok ešte väčší? to je všetko...

Záver: čím je počiatočný vklad vyšší, tým je úroková kapitalizácia výnosnejšia. Preto vklady s úrokovou kapitalizáciou poskytujú banky na dlhé obdobia. Povedzme na päť rokov.

Tiež všetky druhy zlých chorôb ako chrípka, osýpky a ešte hroznejšie choroby (rovnaký SARS na začiatku 21. storočia alebo mor v stredoveku) sa radi šíria exponenciálne. Preto rozsah epidémií, áno...) A to všetko kvôli tomu, že geometrický postup s celý kladný menovateľ (q>1) – vec, ktorá rastie veľmi rýchlo! Pamätajte na rozmnožovanie baktérií: z jednej baktérie sa získajú dve, z dvoch - štyri, zo štyroch - osem atď.... Rovnako je to s šírením akejkoľvek infekcie.)

Najjednoduchšie úlohy o geometrickom postupe.

Začnime ako vždy jednoduchým problémom. Čisto na pochopenie významu.

1. Je známe, že druhý člen geometrickej postupnosti je 6 a menovateľ je -0,5. Nájdite prvý, tretí a štvrtý výraz.

Takže sme dané nekonečné geometrický postup, ale známy druhý termín tento postup:

b2 = 6

Okrem toho tiež vieme menovateľ progresie:

q = -0,5

A musíte nájsť prvý, tretí A štvrtýčlenov tohto postupu.

Takže konáme. Postupnosť zapíšeme podľa podmienok úlohy. Priamo vo všeobecnej forme, kde druhý výraz je šesť:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Teraz začnime hľadať. Začíname ako vždy tým najjednoduchším. Môžete vypočítať napríklad tretí termín b 3? Môcť! Vy aj ja už vieme (priamo v zmysle geometrického postupu), že tretí termín (b 3) viac ako druhý (b 2 ) V "q" raz!

Takže píšeme:

b 3 =b 2 · q

Namiesto toho do tohto výrazu dosadíme šesť b 2 a -0,5 namiesto toho q a počítame. A nezanedbávame ani mínusy, samozrejme...

b3 = 6·(-0,5) = -3

Páči sa ti to. Tretí termín dopadol negatívne. Niet divu: náš menovateľ q– negatívny. A vynásobenie plus mínusom bude, samozrejme, mínus.)

Teraz počítame ďalšie, štvrté obdobie postupu:

b4 =b 3 · q

b4 = -3·(-0,5) = 1,5

Štvrtý termín je opäť s plusom. Piaty termín bude opäť mínus, šiesty plus atď. Znaky sa striedajú!

Takže sa našiel tretí a štvrtý výraz. Výsledkom je nasledujúca postupnosť:

b1; 6; -3; 1,5; ...

Teraz už zostáva len nájsť prvý termín b 1 podľa známeho druhého. Aby sme to urobili, vykročíme iným smerom, doľava. To znamená, že v tomto prípade nepotrebujeme násobiť druhý člen progresie menovateľom, ale rozdeliť.

Rozdelíme a dostaneme:

To je všetko.) Odpoveď na problém bude takáto:

-12; 6; -3; 1,5; …

Ako vidíte, princíp riešenia je rovnaký ako v . Vieme akýkoľvekčlenom a menovateľ geometrická postupnosť – môžeme nájsť akýkoľvek jej ďalší člen. Nájdeme tú, ktorú chceme.) Jediný rozdiel je v tom, že sčítanie/odčítanie je nahradené násobením/delením.

Zapamätajte si: ak poznáme aspoň jeden člen a menovateľ geometrickej postupnosti, vždy môžeme nájsť akýkoľvek iný člen tejto postupnosti.

Nasledujúci problém podľa tradície pochádza zo skutočnej verzie OGE:

...; 150; X; 6; 1,2; ...

Ako to teda je? Tentoraz neexistuje žiadny prvý termín, žiadny menovateľ q, je daná len postupnosť čísel... Niečo už známe, však? Áno! Podobný problém už bol vyriešený v aritmetickej postupnosti!

Takže sa nebojíme. Všetky rovnaké. Obráťme sa na hlavu a spomeňme si na elementárny význam geometrického postupu. Pozorne sa pozrieme na našu postupnosť a zistíme, ktoré parametre geometrickej postupnosti troch hlavných (prvý člen, menovateľ, číslo člena) sú v nej skryté.

Čísla členov? Nie sú tam žiadne členské čísla, áno... Ale sú štyri po sebe idúcichčísla. V tejto fáze nevidím zmysel vysvetľovať, čo toto slovo znamená.) Sú tam dva susedné známe čísla? Jedzte! Toto je 6 a 1,2. Takže môžeme nájsť menovateľ progresie. Takže vezmeme číslo 1,2 a rozdelíme na predchádzajúce číslo. Do šiestich.

Dostaneme:

X= 150,0,2 = 30

odpoveď: X = 30 .

Ako vidíte, všetko je celkom jednoduché. Hlavná ťažkosť je len vo výpočtoch. Obzvlášť ťažké je to v prípade záporných a zlomkových menovateľov. Takže tí, ktorí majú problémy, opakujte aritmetiku! Ako pracovať so zlomkami, ako pracovať so zápornými číslami a podobne... Inak tu nemilosrdne spomalíte.

Teraz poďme trochu upraviť problém. Teraz to bude zaujímavé! Odstránime z neho posledné číslo 1,2. Teraz poďme vyriešiť tento problém:

3. Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich členov geometrickej postupnosti:

...; 150; X; 6; ...

Nájdite člen progresie označený písmenom x.

Všetko je rovnaké, len dva susedia slávny Teraz nemáme žiadnych členov progresie. Toto je hlavný problém. Pretože veľkosť q cez dva susediace členy môžeme ľahko určiť nemôžeme. Máme šancu sa s úlohou vyrovnať? Určite!

Zapíšme si neznámy výraz " X„priamo v zmysle geometrickej progresie! Vo všeobecnosti.

Áno áno! Práve s neznámym menovateľom!

Na jednej strane pre X môžeme napísať nasledujúci pomer:

X= 150 ·q

Na druhej strane máme plné právo opísať to isté X Ďalšiečlen, cez šesť! Vydeľte šesť menovateľom.

Páči sa ti to:

X = 6/ q

Je zrejmé, že teraz môžeme oba tieto pomery vyrovnať. Keďže sa vyjadrujeme rovnaký magnitúda (x), ale dve rôzne cesty.

Dostaneme rovnicu:

Vynásobením všetkého q, zjednodušením a skrátením dostaneme rovnicu:

q2 = 1/25

Riešime a dostaneme:

q = ±1/5 = ±0,2

Ojoj! Menovateľ sa ukázal byť dvojnásobný! +0,2 a -0,2. A ktorý by ste si mali vybrať? Slepá ulica?

Pokojne! Áno, problém naozaj je dve riešenia! Nie je na tom nič zlé. Stáva sa.) Nečudujete sa, keď napríklad pri riešení bežného problému dostanete dva korene? Tu je ten istý príbeh.)

Pre q = +0,2 dostaneme:

X = 150 0,2 = 30

A pre q = -0,2 bude:

X = 150.(-0,2) = -30

Dostávame dvojitú odpoveď: X = 30; X = -30.

Čo znamená tento zaujímavý fakt? A čo existuje dve progresie, splnenie podmienok problému!

Ako tieto:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Obidve sú vhodné.) Prečo si myslíte, že sme sa rozdelili v odpovediach? Už len z dôvodu vyradenia konkrétneho člena postupu (1,2), prichádzajúceho po šiestej. A keďže poznáme iba predchádzajúci (n-1) a nasledujúci (n+1) člen geometrickej postupnosti, nemôžeme už jednoznačne povedať nič o tom, že medzi nimi stojí n-tý člen. Sú dve možnosti – s plusom a mínusom.

Ale žiadny problém. V úlohách geometrického postupu sú spravidla ďalšie informácie, ktoré dávajú jednoznačnú odpoveď. Povedzme slová: "striedavý postup" alebo "progresia s pozitívnym menovateľom" a tak ďalej... Práve tieto slová by mali slúžiť ako vodítko, aké znamienko plus alebo mínus zvoliť pri príprave konečnej odpovede. Ak takéto informácie neexistujú, potom áno, úloha bude mať dve riešenia.)

Teraz sa rozhodujeme sami.

4. Určte, či číslo 20 je členom geometrickej postupnosti:

4 ; 6; 9; …

5. Znamienko striedavého geometrického postupu je dané:

…; 5; X ; 45; …

Nájdite termín progresie označený písmenom X .

6. Nájdite štvrtý kladný člen geometrickej postupnosti:

625; -250; 100; …

7. Druhý člen geometrickej progresie sa rovná -360 a jeho piaty člen sa rovná 23,04. Nájdite prvý termín tohto postupu.

Odpovede (v neporiadku): -15; 900; nie; 2.56.

Gratulujeme, ak všetko klapne!

Niečo nesedí? Niekde bola dvojitá odpoveď? Pozorne si prečítajte podmienky zadania!

Posledný problém nevyrieši? Nie je tam nič zložité.) Pracujeme priamo podľa významu geometrickej postupnosti. No, môžeš si nakresliť obrázok. Pomáha to.)

Ako vidíte, všetko je elementárne. Ak je progresia krátka. Čo ak je to dlhé? Alebo je počet požadovaného člena veľmi veľký? Chcel by som, analogicky s aritmetickým postupom, nejakým spôsobom získať vhodný vzorec, ktorý uľahčí nájdenie akýkoľvek termín ľubovoľnej geometrickej progresie podľa jeho čísla. Bez násobenia mnohokrát q. A existuje taký vzorec!) Podrobnosti sú v ďalšej lekcii.

Geometrická postupnosť je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je nenulový a každý nasledujúci člen sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým nenulovým číslom.

Označuje sa geometrická progresia b1, b2, b3, …, bn, … .

Pomer ktoréhokoľvek člena geometrickej chyby k jeho predchádzajúcemu členu sa rovná rovnakému číslu, to znamená, že b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Vyplýva to priamo z definície aritmetickej progresie. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie. Obvykle sa menovateľ geometrickej progresie označuje písmenom q.

Monotónna a konštantná postupnosť

Jedným zo spôsobov, ako určiť geometrickú postupnosť, je určiť jej prvý člen b1 a menovateľ geometrickej chyby q. Napríklad b1=4, q=-2. Tieto dve podmienky definujú geometrickú postupnosť 4, -8, 16, -32, ….

Ak q>0 (q sa nerovná 1), potom je progresia monotónna postupnosť. Napríklad postupnosť 2, 4, 8, 16, 32, ... je monotónne rastúca postupnosť (b1=2, q=2).

Ak je menovateľ v geometrickej chybe q=1, potom sa všetky členy geometrickej postupnosti budú navzájom rovnať. V takýchto prípadoch hovoria, že progresia je konštantná postupnosť.

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti

Aby bola číselná postupnosť (bn) geometrickou postupnosťou, je potrebné, aby každý jej člen, počnúc druhým, bol geometrickým priemerom susedných členov. To znamená, že je potrebné splniť nasledujúcu rovnicu
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pre ľubovoľné n>0, kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je:

bn=b1*q^(n-1),

kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Vzorec pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti

Vzorec pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti má tvar:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kde q sa nerovná 1.

Pozrime sa na jednoduchý príklad:

V geometrickej postupnosti b1=6, q=3, n=8 nájdite Sn.

Na nájdenie S8 použijeme vzorec pre súčet prvých n členov geometrickej progresie.

S8= (6*(3^8-1))/(3-1) = 19 680.

Geometrická postupnosť je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je nenulový a každý nasledujúci člen sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým nenulovým číslom. Geometrická progresia sa označuje b1,b2,b3, …, bn, …

Vlastnosti geometrickej progresie

Ak q>0 (q sa nerovná 1), potom je progresia monotónna postupnosť. Napríklad postupnosť 2, 4, 8, 16, 32, ... je monotónne rastúca postupnosť (b1=2, q=2).

Ak je menovateľ v geometrickej chybe q=1, potom sa všetky členy geometrickej postupnosti budú navzájom rovnať. V takýchto prípadoch sa hovorí, že progresia je konštantná sekvencia.

Vzorec pre n-tý termín postupu

Aby bola číselná postupnosť (bn) geometrickou postupnosťou, je potrebné, aby každý jej člen, počnúc druhým, bol geometrickým priemerom susedných členov. To znamená, že je potrebné splniť nasledujúcu rovnicu - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pre ľubovoľné n>0, kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je:

bn=b1*q^(n-1), kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Pozrime sa na jednoduchý príklad:

V geometrickej postupnosti b1=6, q=3, n=8 nájdite bn.

Použime vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti.

Podobné články: