Зменшує геометричну прогресію b1. Знаменник геометричної прогресії: формули та властивості

>>Математика: Геометрична прогресія

Для зручності читача цей параграф будується точно за тим самим планом, якого ми дотримувались у попередньому параграфі.

1. Основні поняття.

Визначення.Числову послідовність, всі члени якої відмінні від 0 і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням його на одне і те число називають геометричною прогресією . У цьому число 5 називають знаменником геометричної прогресії.

Таким чином, геометрична прогресія - це числова послідовність (b n), задана рекурентними співвідношеннями

Чи можна, дивлячись на числову послідовність, визначити, чи є геометричною прогресією? Можна, можливо. Якщо ви переконалися в тому, що відношення будь-якого члена послідовності до попереднього члена постійно перед вами - геометрична прогресія.
приклад 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 = 1, q = 3.

приклад 2.

Це геометрична прогресія, у якої
приклад 3.

Це геометрична прогресія, у якої
приклад 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Це геометрична прогресія, яка має b 1 - 8, q = 1.

Зауважимо, що ця послідовність є і арифметичною прогресією (див. приклад 3 § 15).

Приклад 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Це геометрична прогресія, яка має b 1 = 2, q = -1.

Очевидно, що геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q > 1 (див. приклад 1), і спадною, якщо b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Для позначення того, що послідовність (b n) є геометричною прогресією, іноді буває зручним наступний запис:

Значок замінює словосполучення "геометрична прогресія".
Зазначимо одну цікаву і водночас досить очевидну властивість геометричної прогресії:
Якщо послідовність є геометричною прогресією, те й послідовність квадратів, тобто. є геометричною прогресією.
У другій геометричній прогресії перший член дорівнює q 2 .
Якщо в геометричній прогресії відкинути всі члени, які йдуть за b n , то вийде кінцева геометрична прогресія
У подальших пунктах цього параграфа ми розглянемо найважливіші властивості геометричної прогресії.

2. Формула п-го члена геометричної прогресії.

Розглянемо геометричну прогресію знаменником q. Маємо:

Неважко здогадатися, що для будь-якого номера n справедлива рівність

Це – формула n-го члена геометричної прогресії.

Зауваження.

Якщо ви прочитали важливе зауваження з попереднього параграфа і зрозуміли його, спробуйте довести формулу (1) методом математичної індукції подібно до того, як це було зроблено для формули n-го члена арифметичної прогресії.

Перепишемо формулу n-го члена геометричної прогресії

і введемо позначення: Отримаємо у = mq 2 або, докладніше,
Аргумент х міститься у показнику ступеня, тому таку функцію називають показовою функцією. Отже, геометричну прогресію можна як показову функцію, задану на безлічі N натуральних чисел . На рис. 96а зображено графік функції рис. 966 - графік функції В обох випадках маємо ізольовані точки (з абсцисами х = 1, х = 2, х = 3 і т.д.), що лежать на деякій кривій (на обох малюнках представлена ​​та сама крива, тільки по-різному розташована і зображена в різних масштабах). Цю криву називають експонентою. Докладніше про показову функцію та її графіку мова піде в курсі алгебри 11-го класу.

Повернемося до прикладів 1-5 із попереднього пункту.

1) 1, 3, 9, 27, 81, ... . Це геометрична прогресія, яка має Ь 1 = 1, q = 3. Складемо формулу n-го члена
2) Це геометрична прогресія, у якої складемо формулу n-го члена

Це геометрична прогресія, у якої Складемо формулу n-го члена
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Це геометрична прогресія, у якої b 1 = 8, q = 1. Складемо формулу n-го члена
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Це геометрична прогресія, у якої b 1 = 2, q = -1. Складемо формулу n-го члена

Приклад 6.

Дано геометричну прогресію

У всіх випадках в основі рішення лежить формула n-го члена геометричної прогресії

а) Поклавши у формулі n-го члена геометричної прогресії n = 6, отримаємо

б) Маємо

Так як 512 = 29, то отримуємо п - 1 = 9, п = 10.

г) Маємо

Приклад 7.

Різниця між сьомим і п'ятим членами геометричної прогресії дорівнює 48, сума п'ятого та шостого членів прогресії також дорівнює 48. Знайти дванадцятий член цієї прогресії.

Перший етап.Складання математичної моделі.

Умови завдання можна коротко записати так:

Скориставшись формулою n-го члена геометричної прогресії, отримаємо:
Тоді другу умову задачі (b 7 - b 5 = 48) можна записати у вигляді

Третя умова задачі (b 5 +b 6 = 48) можна записати у вигляді

У результаті отримуємо систему двох рівнянь із двома змінними b 1 і q:

яка у поєднанні із записаною вище умовою 1) і являє собою математичну модельзавдання.

Другий етап.

Робота із складеною моделлю. Прирівнявши ліві частини обох рівнянь системи, отримаємо:

(Ми розділили обидві частини рівняння на вираз b 1 q 4 відмінне від нуля).

З рівняння q 2 - q - 2 = 0 знаходимо q 1 = 2, q 2 = -1. Підставивши значення q = 2 у друге рівняння системи отримаємо
Підставивши значення q = -1 у друге рівняння системи отримаємо b 1 1 0 = 48; це рівняння немає рішень.

Отже, b 1 =1, q = 2 – ця пара є рішенням складеної системи рівнянь.

Тепер ми можемо записати геометричну прогресію, про яку йдеться у завданні: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Третій етап.

Відповідь питанням завдання. Потрібно обчислити b12. Маємо

Відповідь: b 12 = 2048.

3. Формула суми членів кінцевої геометричної прогресії.

Нехай дана кінцева геометрична прогресія

Позначимо через S n суму її членів, тобто.

Виведемо формулу для відшукання цієї суми.

Почнемо з найпростішого випадку, коли q = 1. Тоді геометрична прогресія b1, b2, b3, ..., bn складається з n чисел, рівних b1, тобто. прогресія має вигляд b1, b2, b3, ..., b4. Сума цих чисел дорівнює nb1.

Нехай тепер q = 1 Для відшукання S n застосуємо штучний прийом: виконаємо деякі перетворення виразу S n q. Маємо:

Виконуючи перетворення, ми, по-перше, користувалися визначенням геометричної прогресії, згідно з яким (див. третій рядок міркувань); по-друге, додали і відняли від чого значення висловлювання, зрозуміло, не змінилося (див. четвертий рядок міркувань); по-третє, скористалися формулою n-го члена геометричної прогресії:

З формули (1) знаходимо:

Це формула суми n членів геометричної прогресії (для випадку, коли q = 1).

Приклад 8.

Дано кінцеву геометричну прогресію

а) суму членів прогресії; б) суму квадратів її членів.

б) Вище (див. с. 132) ми вже зазначали, що якщо всі члени геометричної прогресії звести в квадрат, то вийде геометрична прогресія з першим членом Ь2 і знаменником q2. Тоді сума шести членів нової прогресії буде обчислюватися за

Приклад 9.

Знайти 8-й член геометричної прогресії, у якої

Фактично ми довели таку теорему.

Числова, послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого Теорема (і останнього, у разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього та наступного членів (характеристичне властивість геометричної прогресії).

Формула n-го члена геометричної прогресії – річ дуже проста. Як за змістом, так і за загальним виглядом. Але завдання формулу n-го члена зустрічаються всякі – від дуже примітивних до цілком серйозних. І в процесі нашого знайомства ми обов'язково розглянемо ті й інші. Ну що, знайомимося?)

Отже, спершу власне сама формулаn

Ось вона:

b n = b 1 · q n -1

Формула як формула, нічого надприродного. Виглядає навіть простіше та компактніше, ніж аналогічна формула для . Сенс формули теж простий, як валянок.

Ця формула дозволяє знаходити БУДЬ-ЯКИЙ член геометричної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n".

Як бачите, за змістом повна аналогія з арифметичною прогресією. Знаємо номер n – можемо порахувати і член, який стоїть під цим номером. Який хочемо. Не помножуючи послідовно на "q" багато разів. Ось і весь сенс.)

Я розумію, що на даному рівні роботи з прогресіями всі величини, що входять у формулу, вам уже повинні бути зрозумілі, але вважаю своїм обов'язком все-таки розшифрувати кожну. На всякий випадок.

Отже, поїхали:

b 1 – першийчлен геометричної прогресії;

q – ;

n- Номер члена;

b n – енний (n-й)член геометричної прогресії.

Ця формулка пов'язує чотири основні параметри будь-якої геометричної прогресії – bn, b 1 , qі n. І навколо цих чотирьох ключових фігур і крутяться всі завдання по прогресії.

"А як вона виводиться?"– чую цікаве запитання… Елементарно! Дивіться!

Чому дорівнює другийчлен прогресії? Не питання! Прямо за пишемо:

b 2 = b 1 ·q

А третій член? Теж не проблема! Другий член помножуємо ще раз наq.

Ось так:

B 3 = b 2 ·q

Згадаймо тепер, що другий член, у свою чергу, у нас дорівнює b 1 ·q і підставимо цей вираз у нашу рівність:

B 3 = b 2 · q = (b 1 · q) · q = b 1 · q · q = b 1 · q 2

Отримуємо:

B 3 = b 1 ·q 2

А тепер прочитаємо наш запис російською мовою: третійчлен дорівнює першому члену, помноженому на q другийступеня. Уловлюєте? Поки немає? Добре ще один крок.

Чому дорівнює четвертий член? Все теж саме! Примножуємо попередній(тобто третій член) на q:

B 4 = b 3 · q = (b 1 · q 2) · q = b 1 · q 2 · q = b 1 · q 3

Разом:

B 4 = b 1 ·q 3

І знову перекладаємо російською мовою: четвертийчлен дорівнює першому члену, помноженому на q в третьоюступеня.

І так далі. Ну і як? Вловили закономірність? Так! Для будь-якого члена з будь-яким номером кількість однакових множників q (тобто ступінь знаменника) завжди буде на один менше, ніж номер шуканого членаn.

Отже, наша формула буде, без варіантів:

b n =b 1 · q n -1

Ось і всі справи.)

Ну що, вирішуємо завдання, напевно?)

Розв'язання задач на формулуn-го члена геометричної прогресії

Почнемо, як завжди, із прямого застосування формули. Ось своєрідне завдання:

У геометричній прогресії відомо, що b 1 = 512 та q = -1/2. Знайдіть десятий член прогресії.

Звичайно, це завдання можна взагалі без будь-яких формул вирішити. Прямо за змістом геометричної прогресії. Але нам з формулою n-го члена розім'ятися потрібно, правда? От і розминаємось.

Наші дані для застосування формули є наступними.

Відомий перший член. Це 512.

b 1 = 512.

Відомий також знаменник прогресії: q = -1/2.

Залишається тільки збагнути, чому дорівнює номер члена n. Не питання! Нас цікавить десятий член? Ось і підставляємо у загальну формулу десятку замість n.

І акуратно вважаємо арифметику:

Відповідь: -1

Як бачимо, десятий член прогресії виявився з мінусом. Нічого дивного: знаменник прогресії ми -1/2, тобто. негативнечисло. А це говорить нам про те, що знаки у нашій прогресії чергуються, так.

Тут все просто. А ось схоже завдання, але трохи складніше щодо обчислень.

У геометричній прогресії відомо, що:

b 1 = 3

Знайдіть тринадцятий член прогресії.

Все те саме, тільки цього разу знаменник прогресії – ірраціональний. Корінь із двох. Та й нічого страшного. Формула - штука універсальна, з будь-якими числами справляється.

Працюємо прямо за формулою:

Формула, звичайно, спрацювала як слід, але… ось тут деякі й зависнуть. Що далі робити з коренем? Як звести корінь у дванадцятий ступінь?

Як-то ... Треба розуміти, що будь-яка формула, звичайно, справа хороша, але знання всієї попередньої математики при цьому не скасовується! Як звести? Та властивості ступенів згадати! Перетворимо корінь на ступінь із дробовим показникомі – за формулою зведення ступеня до ступеня.

Ось так:

Відповідь: 192

І всі справи.)

У чому полягає основна складність при прямому застосуванні формули n-го члена? Так! Основні труднощі – це робота зі ступенями!А саме – зведення у ступінь негативних чисел, дробів, коренів тощо конструкцій. Так що ті, у кого з цим проблеми, наполегливе прохання повторити ступеня та їхні властивості! Інакше і в цій темі гальмуватимете, так…)

А тепер вирішуємо типові завдання на пошук одного з елементів формулиякщо дані всі інші. Для успішного вирішення таких завдань рецепт єдиний і простий жах - пишемо формулуn-го члена у загальному вигляді!Прямо в зошиту поруч із умовою. А потім з умови розуміємо, що нам дано, а чого не вистачає. І висловлюємо з формули потрібну величину. Всі!

Наприклад, така нешкідлива задача.

П'ятий член геометричної прогресії зі знаменником 3 дорівнює 567. Знайдіть перший член цієї прогресії.

Нічого складного. Працюємо прямо за заклинанням.

Пишемо формулу n-го члена!

b n = b 1 · q n -1

Що нам дано? По-перше, дано знаменник прогресії: q = 3.

Крім того, нам дано п'ятий член: b 5 = 567 .

Всі? Ні! Ще нам дано номер n! Це п'ятірка: n = 5.

Сподіваюся, ви вже розумієте, що у записі b 5 = 567 приховані відразу два параметри - це сам п'ятий член (567) та його номер (5). В аналогічному уроці я про це вже говорив, але і тут вважаю не зайвим нагадати.)

Ось тепер підставляємо наші дані у формулу:

567 = b 1 ·3 5-1

Вважаємо арифметику, спрощуємо і отримуємо просте лінійне рівняння:

81 b 1 = 567

Вирішуємо та отримуємо:

b 1 = 7

Як ви бачите, з пошуком першого члена проблем жодних. А ось при пошуку знаменника qта номери nможуть траплятися і сюрпризи. І до них (до сюрпризів) теж треба бути готовим, так.

Наприклад, таке завдання:

П'ятий член геометричної прогресії з позитивним знаменником дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.

На цей раз нам дано перший і п'ятий члени, а знайти просять знаменник прогресії. Ось і приступаємо.

Пишемо формулуn-го члена!

b n = b 1 · q n -1

Наші вихідні дані будуть наступними:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Не вистачає значення q. Не питання! Зараз знайдемо.) Підставляємо у формулу все, що нам відомо.

Отримуємо:

162 = 2 ·q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Просте рівняння четвертого ступеня. А ось зараз – акуратно!На даному етапі рішення багато учнів відразу ж радісно витягують корінь (четвертого ступеня) та отримують відповідь q=3 .

Ось так:

q 4 = 81

q = 3

Але взагалі це недороблена відповідь. Точніше, неповний. Чому? Справа в тому, що відповідь q = -3 теж підходить: (-3) 4 теж буде 81!

Все через те, що статечне рівняння x n = aзавжди має два протилежні кореніпри парномуn . З плюсом та з мінусом:

Обидва підходять.

Наприклад, вирішуючи (тобто. другийступеня)

x 2 = 9

Ви ж чомусь не дивуєтесь появи двохкоріння x=±3? Ось і тут те саме. І з будь-якою іншою парноїступенем (четвертим, шостим, десятим і т.д.) буде так само. Подробиці – у темі про

Тому правильне рішення буде таким:

q 4 = 81

q= ±3

Добре, зі знаками розібралися. Який із них правильний – плюс чи мінус? Що ж, читаємо ще раз умову задачі у пошуках додаткової інформації. Її, звичайно, може і не бути, але в даному завданні така інформація є.У нас за умови прямим текстом сказано, що дана прогресія з позитивним знаменником.

Тому відповідь очевидна:

q = 3

Тут все просто. А як ви думаєте, що було б, якби формулювання завдання було б таке:

П'ятий член геометричної прогресії дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.

В чому різниця? Так! В умові нічогоне сказано про знак знаменника. Ні прямо, ні побічно. І ось тут завдання вже мало б два рішення!

q = 3 і q = -3

Так Так! І з плюсом і з мінусом.) Математично цей факт означав би, що існують дві прогресії, що підходять під умову завдання. І для кожної – свій знаменник. Заради інтересу, потренуйтеся та випишіть перші п'ять членів кожної з них.)

А тепер потренуємося номер члена знаходити. Це завдання найскладніше, так. Зате і творчіша.)

Дана геометрична прогресія:

3; 6; 12; 24; …

Під яким номером у цій прогресії стоїть число 768?

Перший крок все той же: пишемо формулуn-го члена!

b n = b 1 · q n -1

А тепер, як завжди, підставляємо до неї відомі нам дані. Гм… не підставляється! Де перший член, де знаменник, де все інше?

Де-де… А вічка нам навіщо? Віями плескати? На цей раз прогресія задана нам безпосередньо у вигляді послідовності.Перший член бачимо? Бачимо! Це трійка (b 1 = 3). А знаменник? Поки що не бачимо, але він дуже легко вважається. Якщо, звичайно, розуміти, .

Ось і рахуємо. Прямо за змістом геометричної прогресії: беремо будь-який її член (крім першого) і поділяємо на попередній.

Хоча б ось так:

q = 24/12 = 2

Що нам ще відомо? Нам ще відомий деякий член цієї прогресії, що дорівнює 768. Під якимось номером n:

b n = 768

Номер його нам невідомий, але наше завдання якраз і полягає в тому, щоб його відшукати.) От і шукаємо. Усі необхідні дані для підстановки у формулу ми вже завантажили. Непомітно для себе.)

Ось і підставляємо:

768 = 3 · 2n -1

Робимо елементарні – ділимо обидві частини на трійку та переписуємо рівняння у звичному вигляді: невідоме зліва, відоме – праворуч.

Отримуємо:

2 n -1 = 256

Ось таке цікаве рівняння. Потрібно знайти "n". Що, незвично? Так, я не сперечаюся. Взагалі, це найпростіше. Воно так називається через те, що невідоме (у даному випадку це номер n) стоїть у показникуступеня.

На етапі знайомства з геометричною прогресією (це дев'ятий клас) показові рівняння не вчать, так… Це тема старших класів. Але ж страшного нічого немає. Навіть якщо ви не в курсі, як вирішуються такі рівняння, спробуємо знайти наше n, керуючись простою логікою та здоровим глуздом.

Починаємо міркувати. Зліва у нас стоїть двійка в якійсь мірі. Ми поки що не знаємо, що це за ступінь, але це й не страшно. Зате ми твердо знаємо, що цей ступінь дорівнює 256! Ось і згадуємо, якою ж мірою двійка дає нам 256. Згадали? Так! У восьмийступеня!

256 = 2 8

Якщо не згадали або з розпізнаванням ступенів проблеми, то теж нічого страшного: просто послідовно зводимо двійку в квадрат, куб, четвертий ступінь, п'яту і так далі. Підбір, власне, але на цьому рівні - цілком прокотить.

Так чи інакше, ми отримаємо:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Отже, 768 – це дев'ятийчлен нашої прогресії. Все, завдання вирішено.)

Відповідь: 9

Що? Нудно? Набридла елементарщина? Згоден. І мені теж. Крокуємо на наступний рівень.)

Більш складні завдання.

А тепер вирішуємо завдання крутіше. Не те щоб зовсім надкруті, але над якими доведеться трохи попрацювати, щоб дістатися до відповіді.

Наприклад, така.

Знайдіть другий член геометричної прогресії, якщо четвертий її член дорівнює -24, а сьомий член дорівнює 192.

Це класика жанру. Відомі якісь два різних члени прогресії, а знайти треба ще якийсь член. Причому всі члени не сусідні. Що й бентежить спочатку, так…

Як і в , Для вирішення таких завдань розглянемо два способи. Перший спосіб – універсальний. Алгебраїчний. Працює безвідмовно та з будь-якими вихідними даними. Тому саме з нього і почнемо.)

Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!

Все точнісінько як з арифметичною прогресією. Тільки цього разу працюємо з іншийзагальною формулою. Ось і все.) Але суть та сама: беремо і по черзіпідставляємо у формулу n-го члена наші вихідні дані. Для кожного члена – свої.

Для четвертого члена записуємо:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Є. Одне рівняння готове.

Для сьомого члена пишемо:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Разом отримали два рівняння для однієї і тієї ж прогресії .

Збираємо з них систему:

Незважаючи на її грізний вигляд, система дуже проста. Найочевидніший спосіб рішення – звичайна підстановка. Висловлюємо b 1 з верхнього рівняння та підставляємо в нижнє:

Трохи повозившись з нижнім рівнянням (зменшивши ступеня і поділивши на -24), отримаємо:

q 3 = -8

До цього ж рівняння, між іншим, можна дійти і простіше! Яким? Зараз я вам продемонструю ще один секретний, але дуже красивий, потужний і корисний спосіб вирішення подібних систем. Таких систем, у рівняннях яких сидять лише твори.Хоч би в одному. Називається метод почленного поділуодного рівняння інше.

Отже, перед нами система:

В обох рівняннях зліва – твір, а праворуч – просто число. Це дуже добрий знак.) Давайте візьмемо і… поділимо, скажімо, нижнє рівняння на верхнє! Що значить, поділимо одне рівняння на інше?Дуже просто. Беремо ліву частинуодного рівняння (нижнього) та ділимоїї на ліву частинуіншого рівняння (верхнього). З правою частиною аналогічно: праву частинуодного рівняння ділимона праву частинуіншого.

Весь процес поділу виглядає так:

Тепер, скоротивши все, що скорочується, отримаємо:

q 3 = -8

Чим добрий цей спосіб? Та тим, що в процесі такого поділу все погане і незручне може швидко скоротитися і залишитися цілком невинне рівняння! Саме тому так важлива наявність тільки множенняхоч би в одному з рівнянь системи. Нема множення – нічого і скорочувати, так…

А взагалі, цей спосіб (як і багато інших нетривіальних способів вирішення систем) навіть заслуговує на окремий урок. Обов'язково його розберу детальніше. Колись…

Втім, неважливо, як саме ви вирішуєте систему, в будь-якому випадку тепер нам треба вирішити рівняння, що вийшло:

q 3 = -8

Жодних проблем: витягаємо корінь (кубічний) і – готово!

Прошу помітити, що тут, коли виймаєте, ставити плюс/мінус не потрібно. Непарного (третього) ступеня у нас корінь. І відповідь – теж одна, так.)

Отже, знаменника прогресії знайдено. Мінус два. Чудово! Процес іде.)

Для першого члена (скажімо, з верхнього рівняння) ми отримаємо:

Чудово! Знаємо перший член, знаємо знаменник. І тепер у нас з'явилася можливість знайти будь-якого члена прогресії. В тому числі і другий.)

Для другого члена все дуже просто:

b 2 = b 1 · q= 3 · (-2) = -6

Відповідь: -6

Отже, спосіб алгебри вирішення задачі ми з вами розклали по поличках. Важко? Не дуже, згоден. Довго та нудно? Так, безумовно. Але іноді можна суттєво скоротити обсяг роботи. Для цього є графічний метод.Старий добрий і знайомий нам з .)

Малюємо завдання!

Так! Саме так. Знову зображаємо нашу прогресію на числовій осі. Не обов'язково по лінійці, не обов'язково витримувати рівні інтервали між членами (які, до речі, і не будуть однаковими, тому що прогресія – геометрична!), а просто схематичномалюємо нашу послідовність.

У мене вийшло ось так:

А тепер дивимося на картинку та розуміємо. Скільки однакових множників "q" поділяють четвертийі сьомийчлени? Мабуть, три!

Отже, маємо повне право записати:

-24 ·q 3 = 192

Звідси тепер легко шукається q:

q 3 = -8

q = -2

От і добре, знаменник у нас уже в кишені. А тепер знову дивимося на картинку: скільки таких знаменників сидить між другимі четвертимчленами? Два! Отже, для запису зв'язку між цими членами знаменник будемо зводити у квадрат.

Ось і пишемо:

b 2 · q 2 = -24 , звідки b 2 = -24/ q 2

Підставляємо наш знайдений знаменник у вираз для b 2 , рахуємо та отримуємо:

Відповідь: -6

Як бачимо, все набагато простіше та швидше, ніж через систему. Більше того, тут нам взагалі навіть не потрібно було вважати перший член! Зовсім.)

Ось такий простий та наочний спосіб-лайт. Але є в нього й серйозна вада. Здогадалися? Так! Він підходить лише для дуже коротких шматочків прогресії. Таких, де відстані між членами, які нас цікавлять, не дуже великі. А от у всіх інших випадках картинку малювати вже важко, так… Тоді вирішуємо завдання аналітично, через систему. А системи – штука універсальна. З будь-якими числами справляються.

Ще одне епічне завдання:

Другий член геометричної прогресії на 10 більше першого, а третій член на 30 більше другого. Знайдіть знаменник прогресії.

Що, круто? Зовсім ні! Все теж саме. Знову переводимо умову завдання до чистої алгебри.

1) Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!

Другий член: b 2 = b 1 ·q

Третій член: b 3 = b 1 · q 2

2) Записуємо зв'язок між членами з умови завдання.

Читаємо умову: "Другий член геометричної прогресії на 10 більше за перший".Стоп це цінно!

Так і пишемо:

b 2 = b 1 +10

І цю фразу перекладаємо у чисту математику:

b 3 = b 2 +30

Здобули два рівняння. Об'єднуємо їх у систему:

Система на вигляд простенька. Але щось вже багато різних індексів у літер. Підставимо замість другого і третього членів їх вираження через перший член і знаменник! Даремно, чи ми їх розписували?

Отримаємо:

А ось така система – вже не подарунок, так… Як таке вирішувати? На жаль, універсального секретного заклинання на вирішення складних нелінійнихсистем у математиці немає і не може. Це фантастика! Але перше що має приходити вам в голову при спробі розгризти подібний міцний горішок - це прикинути, а чи не зводиться одне із рівнянь системи до гарного вигляду, що дозволяє, наприклад, легко висловити одну із змінних через іншу?

От і прикинемо. Перше рівняння системи явно простіше за друге. Його і піддамо тортурам.) А чи не спробувати з першого рівняння щосьвиразити через щось?Якщо ми хочемо знайти знаменник q, то найвигідніше нам було б висловити b 1 через q.

Ось і спробуємо виконати цю процедуру з першим рівнянням, застосовуючи старі добрі:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Всі! Ось ми й висловили непотрібнунам змінну (b 1) через потрібну(q). Так, не найпростіший вираз отримали. Дроби якусь… Але й система у нас пристойного рівня, так.)

Типове. Що робити – знаємо.

Пишемо ОДЗ (обов'язково!) :

q ≠ 1

Помножуємо все на знаменник (q-1) і скорочуємо всі дроби:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Ділимо все на десятку, розкриваємо дужки, збираємо все зліва:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Вирішуємо отримане і отримуємо два корені:

q 1 = 1

q 2 = 3

Остаточна відповідь одна: q = 3 .

Відповідь: 3

Як ви бачите, шлях вирішення більшості завдань на формулу n-го члена геометричної прогресії завжди єдиний: читаємо уважноумова задачі та за допомогою формули n-го члена переводимо всю корисну інформацію в чисту алгебру.

А саме:

1) Розписуємо окремо кожен даний у завданні член за формулоюn-го члена.

2) З умови завдання переводимо зв'язок між членами математичну форму. Складаємо рівняння чи систему рівнянь.

3) Вирішуємо отримане рівняння чи систему рівнянь, знаходимо невідомі параметри прогресії.

4) У разі неоднозначної відповіді читаємо уважно умову завдання у пошуках додаткової інформації (якщо така є). Також звіряємо отриману відповідь з умовами ОДЗ (якщо є).

А тепер перерахуємо основні проблеми, що найчастіше призводять до помилок у процесі вирішення задач на геометричну прогресію.

1. Елементарна арифметика. Дії з дробами та негативними числами.

2. Якщо хоча б з одним із цих трьох пунктів проблеми, то неминуче помилятиметеся і в цій темі. На жаль ... Так що не лінуйтеся і повторіть те, про що згадано вище. І за посиланнями – сходіть. Іноді допомагає.)

Видозмінені та рекурентні формули.

А тепер розглянемо кілька типових екзаменаційних завдань з менш звичною подачею умови. Так-так, ви вгадали! Це видозміненіі рекурентніформули n-го члена З такими формулами ми вже з вами стикалися і працювали в арифметичній прогресії. Тут все аналогічно. Суть та сама.

Наприклад, таке завдання з ОДЕ:

Геометрична прогресія задана формулою b n = 3 · 2 n . Знайдіть суму першого та четвертого її членів.

На цей раз прогресія нам задана не зовсім звично. У вигляді формули. Ну і що? Ця формула – теж формулаn-го члена!Ми ж з вами знаємо, що формулу n-го члена можна записати як у загальному вигляді, через літери, так і для конкретної прогресії. З конкретнимипершим членом та знаменником.

У нашому випадку нам насправді задана формула загального члена для геометричної прогресії ось з такими параметрами:

b 1 = 6

q = 2

Перевіримо?) Запишемо формулу n-го члена у загальному вигляді та підставимо до неї b 1 і q. Отримаємо:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 · 2n -1

Спрощуємо, використовуючи розкладання на множники та властивості ступенів, і отримуємо:

b n= 6 · 2n -1 = 3 · 2 · 2n -1 = 3 · 2n -1+1 = 3 · 2n

Як бачите, все чесно. Але наша мета – не продемонструвати виведення конкретної формули. Це так, ліричний відступ. Чисто для розуміння.) Наша мета – вирішити завдання за тією формулою, що дана нам за умови. Уловлюєте?) Ось і працюємо з видозміненою формулою безпосередньо.

Вважаємо перший член. Підставляємо n=1 у загальну формулу:

b 1 = 3 · 2 1 = 3 · 2 = 6

Ось так. До речі, не полінуся і ще раз зверну вашу увагу на типовий ляп з підрахунком першого члена. НЕ ТРЕБА, дивлячись на формулу b n= 3 · 2n, Зразу кидатися писати, що перший член - трійка! Це – груба помилка, так…)

Продовжуємо. Підставляємо n=4 і вважаємо четвертий член:

b 4 = 3 · 2 4 = 3 · 16 = 48

Ну і нарешті, вважаємо потрібну суму:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Відповідь: 54

Ще завдання.

Геометрична прогресія задана умовами:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Знайдіть четвертий член прогресії.

Тут прогрес задано рекурентною формулою. Ну і добре.) Як працювати з такою формулою – теж знаємо.

Ось і діємо. За кроками.

1) Вважаємо два послідовнихчлена прогресії.

Перший член нам уже заданий. Мінус сім. А ось наступний, другий член, легко можна порахувати за рекурентною формулою. Якщо розуміти принцип її роботи, звичайно.

Ось і вважаємо другий член за відомим першим:

b 2 = 3 b 1 = 3 · (-7) = -21

2) Вважаємо знаменник прогресії

Теж ніяких проблем. Прямо, ділимо другийчлен на перший.

Отримуємо:

q = -21/(-7) = 3

3) Пишемо формулуn-го члена у звичному вигляді та вважаємо потрібний член.

Отже, перший член знаємо, знаменник – також. Ось і пишемо:

b n= -7 · 3n -1

b 4 = -7 · 3 3 = -7 · 27 = -189

Відповідь: -189

Як ви бачите, робота з такими формулами для геометричної прогресії нічим за своєю суттю не відрізняється від такої для арифметичної прогресії. Важливо лише розуміти загальну суть та зміст цих формул. Та й сенс геометричної прогресії теж треба розуміти, так.) І тоді дурних помилок не буде.

Ну що, вирішуємо самостійно?)

Дуже елементарні завдання, для розминки:

1. Дана геометрична прогресія, в якій b 1 = 243, а q = -2/3. Знайдіть шостий член прогресії.

2. Загальний член геометричної прогресії заданий формулою b n = 5∙2 n +1 . Знайдіть номер останнього тризначного члена цієї прогресії.

3. Геометрична прогресія задана умовами:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Знайдіть п'ятий член прогресії.

Трохи складніше:

4. Дана геометрична прогресія:

b 1 =2048; q =-0,5

Чому дорівнює шостий негативний її член?

Що, здається, суперскладно? Зовсім ні. Врятує логіка та розуміння сенсу геометричної прогресії. Та й формула n-го члена, само собою.

5. Третій член геометричної прогресії дорівнює -14, а восьмий член дорівнює 112. Знайдіть знаменник прогресії.

6. Сума першого та другого членів геометричної прогресії дорівнює 75, а сума другого та третього членів дорівнює 150. Знайдіть шостий член прогресії.

Відповіді (безладно): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Ось майже все. Залишилося лише навчитися нам рахувати суму n перших членів геометричної прогресіїтак відкрити для себе нескінченно спадаючу геометричну прогресіюта її суму. Дуже цікаву та незвичайну штуку, між іншим! Про це – у наступних уроках.)

Геометрична прогресія – це новий видчислової послідовності, з яким ми маємо познайомитися. Для успішного знайомства не завадить хоча б знати і розуміти. Тоді і з геометричною прогресією проблем не буде.)

Що таке геометрична прогресія? Концепція геометричної прогресії.

Починаємо екскурсію, як завжди, з елементарщини. Пишу незакінчену послідовність чисел:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Чи зможете вловити закономірність і сказати, які числа підуть далі? Ясен перець, далі підуть числа 100 000, 1 000 000 і так далі. Навіть без особливого розумового напруження все ясно, правда ж?)

Гаразд. Ще приклад. Пишу таку послідовність:

1, 2, 4, 8, 16, …

Можете сказати, які числа підуть далі, за числом 16 і назвати восьмийчлен послідовності? Якщо ви зрозуміли, що це буде число 128, то дуже добре. Значить, півсправи в розумінні сенсуі ключових моментівгеометричної прогресії вже зроблено. Можна рости далі.)

А тепер знову переходимо від відчуттів до суворої математики.

Ключові моменти геометричної прогресії.

Ключовий момент №1

Геометрична прогресія – це послідовність чисел.Як і прогрес. Нічого хитрого. Тільки влаштовано цю послідовність по іншому.Звідси, звісно, ​​й іншу назву носить, так…

Ключовий момент №2

З другим ключовим моментом питання хитрішим буде. Повернемося трохи назад і згадаємо ключову властивість арифметичної прогресії. Ось воно: кожен член відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.

А чи можна подібну ключову властивість сформулювати для геометричної прогресії? Подумайте трохи… Придивіться до наведених прикладів. Здогадалися? Так! У геометричній прогресії (будь-який!) кожен її член відрізняється від попереднього в те саме число разів.Завжди!

У першому прикладі це число – десяток. Який член послідовності не візьми, він більший за попередній удесятеро.

У другому прикладі це – двійка: кожен член більший за попередній в два рази.

Саме цим ключовим моментом геометрична прогресія і відрізняється від арифметичної. В арифметичній прогресії кожен наступний член виходить додаткомоднієї й тієї величини до попередньому члену. А тут - множеннямпопереднього члена на одну й ту саму величину. Ось і вся різниця.)

Ключовий момент №3

Цей ключовий момент є повністю ідентичним такому для арифметичної прогресії. А саме: кожен член геометричної прогресії стоїть своєму місці.Все точнісінько як і в арифметичній прогресії та коментарі, я думаю, зайві. Є перший член, є сто перший і т.д. Переставимо місцями хоча б два члени – закономірність (а разом із нею і геометрична прогресія) зникнуть. Залишиться просто послідовність чисел без жодної логіки.

От і все. Ось і весь сенс геометричної прогресії.

Терміни та позначення.

А ось тепер, розібравшись із змістом та ключовими моментами геометричної прогресії, можна й до теорії переходити. А інакше яка теорія без розуміння сенсу, правда?

Як позначати геометричну прогресію?

Як записується геометрична прогресія у загальному вигляді? Ніяких проблем! Кожен член прогресії також записується як букви. Тільки для арифметичної прогресії, як правило, використовується буква "а", для геометричної – буква "b". Номер члена, як завжди, вказується індекс праворуч внизу. Самі члени прогресії просто перераховуємо через кому або крапку з комою.

Ось так:

b 1 ,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Коротко таку прогресію записують так: (b n) .

Або ось так, для кінцевих прогресій:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , …, b 29 , b 30 .

Або, у короткому записі:

(b n), n=30 .

Ось, власне, і всі позначення. Все те саме, тільки літера інша, так.) А тепер переходимо безпосередньо до визначення.

Визначення геометричної прогресії.

Геометрична прогресія – це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен наступний член дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме ненульове число.

Ось і все визначення. Більшість слів та фраз вам зрозумілі та добре знайомі. Якщо, звичайно, розумієте сенс геометричної прогресії "на пальцях" і загалом. Але є кілька нових фраз, на які я хотів би звернути особливу увагу.

По-перше, слова: "перший член якої відмінний від нуля".

Це обмеження на перший член запроваджено не випадково. Як ви вважаєте, що станеться, якщо перший член b 1 виявиться рівним нулю? Чому дорівнюватиме другий член, якщо кожен член більший за попередній в те саме число разів?Допустимо, втричі? Подивимося… Помножуємо перший член (тобто 0) на 3 і отримуємо… нуль! А третій член? Теж нуль! І четвертий член – теж нуль! І так далі…

Отримуємо просто мішок бубликів послідовність нулів:

0, 0, 0, 0, …

Звичайно, така послідовність має право на життя, але жодного практичного інтересу вона не становить. Все й так зрозуміло. Кожен її член - нуль. Сума будь-якої кількості членів - теж нуль ... Що з нею цікавого можна робити? Нічого…

Наступні ключові слова: "помноженому на те саме ненульове число".

Це саме число теж має свою спеціальну назву - знаменник геометричної прогресії. Починаємо знайомство.)

Знаменник геометричної прогресії.

Все простіше простого.

Знаменник геометричної прогресії – це ненульове число (або величина), що показує,у скільки разівкожен член прогресії більше за попередній.

Знову ж таки, за аналогією до арифметичної прогресії, ключовим словом, на яке слід звернути увагу в цьому визначенні, є слово "більше". Воно означає, що кожен член геометричної прогресії виходить множеннямна цей самий знаменник попереднього члена.

Пояснюю.

Для розрахунку, скажімо, другогочлена, треба взяти першийчлен та помножитийого на знаменник. Для розрахунку десятогочлена, треба взяти дев'ятийчлен та помножитийого на знаменник.

Сам знаменник геометричної прогресії може бути будь-яким. Абсолютно будь-яким! Цілим, дробовим, позитивним, негативним, ірраціональним – всяким. Окрім нуля. Про це і говорить нам слово "ненульове" у визначенні. Навіщо це слово тут потрібне – про це далі.

Знаменник геометричної прогресіїпозначається, найчастіше, літерою q.

Як знайти це саме q? Не питання! Треба взяти будь-який член прогресії та поділити на попередній член. Поділ – це дріб. Звідси і назва – "знаменник прогресії". Знаменник, він зазвичай у дробі сидить, так ...) Хоча, за логікою, величину qслід було б називати приватнимгеометричній прогресії, за аналогією з різницеюдля прогресії арифметичної. Але домовилися називати знаменником. І ми теж не винаходитимемо велосипед.)

Визначимо, наприклад, величину qдля такої геометричної прогресії:

2, 6, 18, 54, …

Все просто. Беремо будь-якечисло послідовності. Яке хочемо, таке й беремо. Крім найпершого. Наприклад, 18. І ділимо на попереднє число. Тобто на 6.

Отримуємо:

q = 18/6 = 3

От і все. Це вірна відповідь. Для цієї геометричної прогресії знаменник дорівнює трьом.

Знайдемо тепер знаменник qдля іншої геометричної прогресії. Наприклад, ось такий:

1, -2, 4, -8, 16, …

Все теж саме. Які б знаки не були у самих членів, все одно беремо будь-якечисло послідовності (наприклад, 16) і ділимо на попереднє число(Тобто -8).

Отримаємо:

d = 16/(-8) = -2

І всі справи.) На цей раз знаменник прогресії виявився негативним. Мінус два. Буває.)

Візьмемо тепер таку прогресію:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

І знову, незалежно від виду чисел, що стоять у послідовності (хоч цілі, хоч дробові, хоч негативні, хоч ірраціональні), беремо будь-яке число (наприклад, 1/9) і поділяємо на попереднє число (1/3). За правилами дій з дробами, звісно.

Отримаємо:

І все.) Тут знаменник виявився дрібним: q = 1/3.

А ось така "прогресія" як вам?

3, 3, 3, 3, 3, …

Очевидно, тут q = 1 . Формально це теж геометрична прогресія, тільки з однаковими членами.) Але такі прогресії для вивчення та практичного застосуванняне цікаві. Так само, як і прогресії із суцільними нулями. Тому ми їх розглядатимемо і не будемо.

Як ви бачите, знаменник прогресії може бути будь-яким – цілим, дробовим, позитивним, негативним – всяким! Не може бути лише нулем. Чи не здогадалися, чому?

Ну, давайте на якомусь конкретному прикладі подивимося, що буде, якщо взяти як знаменник qнулик.) Нехай у нас, припустимо, буде b 1 = 2 , а q = 0 . Чому тоді дорівнюватиме другий член?

Вважаємо:

b 2 = b 1 · q= 2 · 0 = 0

А третій член?

b 3 = b 2 · q= 0 · 0 = 0

Види та поведінка геометричних прогресій.

З усе було більш-менш ясно: якщо різниця прогресії dпозитивна, то прогресія зростає. Якщо ж різниця негативна, то прогресія зменшується. Усього два варіанти. Третього не дано.)

А ось з поведінкою геометричної прогресії все буде вже набагато цікавіше та різноманітніше!)

Як тільки себе тут члени не поводяться: і зростають, і спадають, і необмежено наближаються до нуля, і навіть змінюють знаки, поперемінно кидаючись то в плюс, то мінус! І у всьому цьому різноманітті треба вміти добре розумітися, так…

Розбираємось?) Починаємо з найпростішого випадку.

Знаменник позитивний ( q >0)

При позитивному знаменнику, по-перше, члени геометричної прогресії можуть йти в плюс нескінченність(тобто необмежено зростати) і можуть йти в мінус нескінченність(Тобто необмежено спадати). До такої поведінки прогресій ми вже звикли.

Наприклад:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Тут все просто. Кожен член прогресії виходить більше попереднього. Причому кожен член виходить множеннямпопереднього члена на позитивнечисло +2 (тобто. q = 2 ). Поведінка такої прогресії очевидна: всі члени прогресії необмежено зростають, йдучи до космосу. У плюс нескінченність.

А тепер ось така прогресія:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Тут також кожен член прогресії виходить множеннямпопереднього члена на позитивнечисло +2. А ось поведінка такої прогресії вже прямо протилежна: кожен член прогресії виходить менше попереднього, і всі її члени необмежено зменшуються, йдучи в мінус нескінченність.

А тепер подумаємо: що спільного у цих двох прогресій? Правильно, знаменнику! І там і там q = +2 . Додатне число.Двійка. А от поведінкацих двох прогресій – принципово різне! Чи не здогадалися, чому? Так! Вся справа в першому члені!Саме він, як-то кажуть, і замовляє музику.) Дивіться самі.

У першому випадку перший член прогресії позитивний(+1) і, отже, всі наступні члени, одержувані множенням на позитивнийзнаменник q = +2 , також будуть позитивними.

А ось у другому випадку перший член негативний(-1). Тому і всі наступні члени прогресії, які отримують множенням на позитивне q = +2 , також виходитимуть негативними.Бо "мінус" на "плюс" завжди дає "мінус", так.

Як ви бачите, на відміну від арифметичної прогресії, геометрична прогресія може поводитися зовсім по-різному не тільки залежно від знаменникаq, але ще й залежно від першого члена, так.)

Запам'ятовуємо: поведінка геометричної прогресії однозначно визначається її першим членом b 1 та знаменникомq .

А тепер починаємо розбір менш звичних, але набагато цікавіших випадків!

Візьмемо, наприклад, ось таку послідовність:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Ця послідовність – теж геометрична прогресія! Кожен член цієї прогресії теж виходить множеннямпопереднього члена, на те саме число. Тільки число це – дробове: q = +1/2 . Або +0,5 . До того ж (важливо!) число, менше одиниці:q = 1/2<1.

Чим цікава ця геометрична прогресія? Куди прагнуть її члени? Давайте подивимося:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Що цікавого тут можна побачити? По-перше, відразу впадає у вічі спадання членів прогресії: кожен її член меншепопереднього рівно в 2 рази.Або, відповідно до визначення геометричної прогресії, кожен член більшепопереднього в 1/2 рази, т.к. знаменник прогресії q = 1/2 . А від множення на позитивне число, менше одиниці, результат зазвичай зменшується, так ...

Що щеможна помітити у поведінці цієї прогресії? Чи спадають її члени необмежено, йдучи в мінус нескінченність? Ні! Вони зменшуються по-особливому. Спочатку досить швидко зменшуються, а потім все повільніше і повільніше. Причому весь час залишаючись позитивними. Нехай і дуже маленькими. А чого вони самі при цьому прагнуть? Чи не здогадалися? Так! До нуля вони прагнуть!) Причому, зверніть увагу, самого нуля члени нашої прогресії ніколи не досягають!Лише нескінченно близько до нього наближаються. Це дуже важливо.)

Схожа ситуація буде й у такій прогресії:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Тут b 1 = -1 , а q = 1/2 . Все те саме, тільки до нуля тепер члени наближатимуться вже з іншого боку, знизу. Весь час залишаючись негативними.)

Така геометрична прогресія, члени якої необмежено наближаються до нуля(Неважливо, з позитивного або з негативного боку), в математиці носить особливу назву - нескінченно спадна геометрична прогресія.Прогресія ця настільки цікава та незвичайна, що про неї навіть буде окремий урок .)

Отже, ми розглянули всі можливі позитивнізнаменники - і великі одиниці і менші одиниці. Саму одиницю як знаменник ми не розглядаємо з причин, викладених вище (згадайте приклад із послідовністю трійок…)

Підсумуємо:

позитивнийі більше одиниці (q>1), то члени прогресії:

a) необмежено зростають (якщоb 1 >0);

б) необмежено спадають (якщоb 1 <0).

Якщо знаменник геометричної прогресії позитивний і менше одиниці (0< q<1), то члены прогрессии:

а) нескінченно близько наближаються до нуля зверху(якщоb 1 >0);

б) нескінченно близько наближаються до нуля знизу(якщоb 1 <0).

Залишилося тепер розглянути випадок негативного знаменника.

Знаменник негативний ( q <0)

За прикладом далеко не ходитимемо. Чого, власне, кудлатити бабусю?!) Нехай, наприклад, перший член прогресії буде b 1 = 1 , а знаменник візьмемо q = -2.

Отримаємо таку послідовність:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

І так далі.) Кожен член прогресії виходить множеннямпопереднього члена на від'ємне число-2. При цьому всі члени, які стоять на непарних місцях (перший, третій, п'ятий тощо), будуть позитивними, а на парних місцях (другий, четвертий і т.д.) - негативними.Знаки строго чергуються. Плюс-мінус-плюс-мінус… Така геометрична прогресія так і називається – зростаючою знакочередною.

Куди прагнуть її члени? А нікуди.) Так, по абсолютній величині (тобто за модулем)члени нашої прогресії необмежено зростають (звідси і назва "зростаюча"). Але при цьому кожен член прогресії по черзі кидає то в жар, то в холод. То в "плюс", то в "мінус". Коливається наша прогресія ... Причому розмах коливань з кожним кроком стрімко зростає, так.) Отже, прагнення членів прогресії кудись конкретнотут ні.Ні до плюс нескінченності, ні до мінус нескінченності, ні до нуля – нікуди.

Розглянемо тепер якийсь дрібний знаменник між нулем і мінус одиничкою.

Наприклад, нехай буде b 1 = 1 , а q = -1/2.

Тоді отримаємо прогресію:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

І знову маємо чергування знаків! Але, на відміну від попереднього прикладу, тут вже простежується чітка тенденція наближення членів до нуля.) Тільки на цей раз наші члени наближаються до нуля не строго зверху чи знизу, а знову вагаючись. Поперемінно приймаючи то позитивні, негативні значення. Але при цьому їх модулістають все ближче і ближче до заповітного нулика.)

Така геометрична прогресія називається нескінченно спадаючою знак чергою.

Чим цікаві ці два приклади? А тим, що в обох випадках має місце чергування знаків!Така фішка характерна тільки для прогресій з негативним знаменником, так.) Отже, якщо в якомусь завданні ви побачите геометричну прогресію з членами, що знаходять черги, то вже твердо будете знати, що її знаменник на 100% негативний і не помилитеся в знаку.

До речі, у разі негативного знаменника знак першого члена не впливає на поведінку самої прогресії. З яким би знаком перший член прогресії не був, у будь-якому випадку спостерігатиметься знак чергування членів. Все питання лише в тому, на яких місцях(парні або непарні) стоятимуть члени з конкретними знаками.

Запам'ятовуємо:

Якщо знаменник геометричної прогресії негативний , то знаки членів прогресії завжди чергуються.

При цьому самі члени:

а) необмежено зростаютьза модулем, якщоq<-1;

б) нескінченно наближаються до нуля, якщо -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

От і все. Усі типові випадки розібрані.)

У процесі розбору різних прикладів геометричних прогресій, я періодично вживав слова: "прагне до нуля", "прагне до плюс нескінченності", "прагне мінус нескінченності"… Нічого страшного.) Ці мовні звороти (і конкретні приклади) – лише початкове знайомство з поведінкоюнайрізноманітніших числових послідовностей. На прикладі геометричної прогресії.

Навіщо нам взагалі потрібно знати поведінку прогресії? Яка різниця, куди вона там прагне? Чи до нуля, до плюс нескінченності, до мінус нескінченності… Що нам від цього?

Справа все в тому, що вже у ВНЗ, в курсі вищої математики, вам знадобиться вміння працювати з різними числовими послідовностями (з будь-якими, а не тільки прогресіями!) і вміння уявляти, як саме поводиться та чи інша послідовність - чи зростає вона необмежено, чи зменшується, чи прагне конкретного числа (причому не обов'язково до нуля) або навіть взагалі ні до чого не прагне… Цій темі в курсі матаналізу присвячений цілий розділ – теорія меж.А трохи конкретніше – поняття межі числової послідовності.Дуже цікава тема! Має сенс вступити до інституту та розібратися.)

Деякі приклади цього розділу (послідовності, що мають межу) і зокрема, нескінченно спадна геометрична прогресіяпочинають освоюватися ще у школі. Звикаємо.)

Більше того, вміння добре дослідити поведінку послідовностей надалі здорово зіграє на руку і дуже знадобиться в Дослідженні функцій.Найрізноманітніших. А ось уміння грамотно працювати з функціями (обчислювати похідні, досліджувати їх за повною програмою, будувати їхні графіки) вже різко підвищує ваш математичний рівень! Сумніваєтесь? Не треба. Ще згадайте мої слова.)

Подивимося на геометричну прогресію у житті?

У навколишньому житті з геометричною прогресією ми стикаємося дуже і дуже часто. Навіть самі того не підозрюючи.)

Наприклад, різні мікроорганізми, які оточують нас усюди у величезних кількостях і яких ми навіть не бачимо без мікроскопа, розмножуються саме у геометричній прогресії.

Скажімо, одна бактерія розмножується розподілом навпіл, даючи потомство в 2 бактерії. У свою чергу, кожна з них, розмножуючись, теж ділиться навпіл, даючи спільне потомство у 4 бактерії. Наступне покоління дасть вже 8 бактерій, потім 16 бактерій, 32, 64 тощо. З кожним наступним поколінням кількість бактерій подвоюється. Типовий приклад геометричної прогресії.)

Також у геометричній прогресії розмножуються і деякі комахи – попелиця, мухи. І кролики іноді, до речі, теж.)

Інший приклад геометричної прогресії, вже ближче до повсякденного життя, – це так звані складні відсотки.Таке цікаве явище часто зустрічається у банківських вкладах та називається капіталізацією відсотків.Що це таке?

Самі ви поки що, звичайно, юні. У школі навчаєтесь, у банки не звертаєтесь. А от батьки ваші – люди вже дорослі та самостійні. На роботу ходять, грошики на хліб насущний заробляють, а частину грошей кладуть у банк, роблячи заощадження.

Скажімо, ваш тато хоче накопичити певну грошову суму на сімейний відпочинок у Туреччині і поклав у банк 50000 рублів під 10% річних терміном на три роки із щорічною капіталізацією відсотків.Причому, протягом усього цього терміну робити з вкладом нічого не можна. Не можна поповнювати внесок, ні знімати гроші з рахунку. Який прибуток він отримає за ці три роки?

Ну, по-перше, треба розібратися, що таке 10% річних. Це означає що через рікдо початкової суми вкладу банком буде нараховано 10%. Від чого? Звичайно ж, від первісної суми вкладу.

Вважаємо розмір рахунку через рік. Якщо початкова сума вкладу становила 50 000 рублів (тобто 100%), то через рік на рахунку буде скільки відсотків? Правильно, 110%! Від 50 000 рублів.

Ось і вважаємо 110% від 50000 рублів:

50000 · 1,1 = 55000 рублів.

Сподіваюся, ви знаєте, що знайти 110% від величини означає помножити цю величину на число 1,1? Якщо не розумієте, чому це саме так, згадуйте п'ятий та шостий класи. А саме – зв'язок відсотків з дробами та частинами.)

Таким чином, збільшення за перший рік складе 5000 рублів.

А скільки грошей буде на рахунку за два роки? 60 000 рублів? На жаль (а точніше, на щастя), все не так просто. Весь фокус капіталізації відсотків полягає в тому, що при кожному новому нарахуванні відсотків ці самі відсотки будуть вважатися вже від нової суми!Від тієї, що вжележить на рахунку в даний момент.А нараховані за попередній строк відсотки додаються до початкової суми вкладу і таким чином самі беруть участь у нарахуванні нових відсотків! Тобто вони стають повноправною частиною загального рахунку. Або спільного капіталу.Звідси і назва капіталізація відсотків.

Це в економіці. А в математиці такі відсотки називаються складними відсотками.Або відсотками від відсотків.) Їх фішка полягає в тому, що при послідовному обчисленні відсотки щоразу вважаються від нової величини.А не від початкової...

Отже, для підрахунку суми через два рокинам треба порахувати 110% від тієї суми, яка буде на рахунку через рік.Тобто вже від 55000 рублів.

Вважаємо 110% від 55000 рублів:

55000 · 1,1 = 60500 рублів.

Значить, відсоткова надбавка за другий рік складе вже 5500 рублів, а за два роки - 10500 рублів.

Тепер уже можна здогадатися, що через три роки сума на рахунку становитиме 110% від 60 500 рублів. Тобто знову 110% від попередньої (торішньої)суми.

Ось і вважаємо:

60500 · 1,1 = 66550 рублів.

А тепер вибудовуємо наші грошові суми за роками у послідовність:

50000;

55000 = 50000 · 1,1;

60500 = 55000 · 1,1 = (50000 · 1,1) · 1,1;

66550 = 60500 · 1,1 = ((50000 · 1,1) · 1,1) · 1,1

Ну і як? Чим не геометрична прогресія? Перший член b 1 = 50000 , а знаменник q = 1,1 . Кожен член більший за попередній строго в 1,1 рази. Все в суворій відповідності до визначення.)

І скільки ж додаткових процентних бонусів "накапає" вашому татові, поки його 50000 рублів три роки лежали на банківському рахунку?

Вважаємо:

66550 - 50000 = 16550 рублів

Негусто, звісно. Але якщо початкова сума вкладу – маленька. А якщо більше? Скажімо, не 50, а 200 тисяч карбованців? Тоді збільшення за три роки складе вже 66200 рублів (якщо порахувати). Що вже дуже непогано.) А якщо внесок ще більший? Ось те й воно…

Висновок: що вищий початковий внесок, то вигіднішим стає капіталізація відсотків. Саме тому вклади із капіталізацією відсотків надаються банками на тривалі терміни. Скажімо, п'ять років.

Також у геометричній прогресії люблять поширюватися всілякі погані хвороби типу грипу, кору і навіть страшніших захворювань (тієї ж атипової пневмонії на початку 2000-х або чуми в Середньовіччі). Звідси й такі масштаби епідемій, так…) А все через те, що геометрична прогресія з цілим позитивним знаменником (q>1) - Штука, що зростає дуже швидко! Згадайте розмноження бактерій: з однієї бактерії виходять дві, з двох – чотири, з чотирьох – вісім тощо… З поширенням будь-якої зарази все те саме.)

Найпростіші завдання щодо геометричної прогресії.

Почнемо, як завжди, з простого завдання. Чисто на розуміння сенсу.

1. Відомо, що другий член геометричної прогресії дорівнює 6 а знаменник дорівнює -0,5. Знайдіть перший, третій та четвертий її члени.

Отже, нам дано нескінченнагеометрична прогресія, а відомий другий членцієї прогресії:

b 2 = 6

Крім того, нам ще відомий знаменник прогресії:

q = -0,5

А знайти треба перший, третійі четвертийчлени цієї прогресії.

Ось і діємо. Записуємо послідовність за умовою завдання. Прямо у загальному вигляді, де другий член – шістка:

b 1 , 6,b 3 , b 4 , …

А тепер приступаємо до пошуків. Починаємо, як завжди, із найпростішого. Можна порахувати, наприклад, третій член b 3? Можна, можливо! Ми ж з вами вже знаємо (прямо за змістом геометричної прогресії), що третій член (b 3)більше за друге (b 2 ) в "q"разів!

Так і пишемо:

b 3 =b 2 · q

Підставляємо в цей вираз шістку замість b 2і -0,5 замість qі рахуємо. І мінус теж не ігноруємо, зрозуміло.

b 3 = 6 · (-0,5) = -3

Ось так. Третій член виявився з мінусом. Не дивно: наш знаменник q- Негативний. А плюс помножити на мінус, буде, звичайно, мінус.)

Вважаємо тепер наступний, четвертий член прогресії:

b 4 =b 3 · q

b 4 = -3 · (-0,5) = 1,5

Четвертий член – знову із плюсом. П'ятий член знову буде з мінусом, шостий - з плюсом і так далі. Знаки – чергуються!

Так, третій та четвертий члени знайшли. Вийшла така послідовність:

b 1; 6; -3; 1,5; …

Залишилось тепер знайти перший член b 1за відомим другим. Для цього крокуємо вже в інший бік, ліворуч. Це означає, що в цьому випадку другий член прогресії нам треба не помножити на знаменник, а поділити.

Ділимо і отримуємо:

Ось і все.) Відповідь до завдання буде такою:

-12; 6; -3; 1,5; …

Як ви бачите, принцип рішення той самий, що і в . Знаємо будь-якийчлен та знаменникгеометричній прогресії - можемо знайти і будь-який інший її член. Який хочемо, такий і знайдемо.) З тією лише різницею, що додавання/віднімання замінюється на множення/розподіл.

Запам'ятовуємо: якщо нам відомий хоча б один член і знаменник геометричної прогресії, то завжди можемо знайти будь-який інший член цієї прогресії.

Наступне завдання, за традицією, з реального варіанта ОДЕ:

2.

…; 150; х; 6; 1,2; …

Ну і як? На цей раз ні першого члена немає, ні знаменника q, Задана просто послідовність чисел ... Щось знайоме вже, правда? Так! Схоже завдання вже розбиралася в арифметичній прогресії!

От і не лякаємось. Все теж саме. Включаємо голову та згадуємо елементарний сенс геометричної прогресії. Дивимося уважно нашу послідовність і розуміємо, які параметри геометричної прогресії з трьох головних (перший член, знаменник, номер члена) у ній заховані.

Номери членів? Номерів членів немає, так… Але є чотири послідовнихчисла. Що означає це слово, пояснювати на цьому етапі сенсу не бачу.) Чи є в цій послідовності два сусідніх відомих чисел?Є! Це 6 та 1,2. Отже, ми можемо знайти знаменник прогресії.Ось і беремо число 1,2 і ділимо на попереднє число.На шістку.

Отримуємо:

Отримаємо:

x= 150 · 0,2 = 30

Відповідь: x = 30 .

Як бачите, все досить просто. Основна складність полягає лише у обчисленнях. Особливо буває у разі негативних і дробових знаменників. Тож ті, хто має проблеми, повторіть арифметику! Як працювати з дробами, як працювати з негативними числами і так далі… Інакше тут гальмуватимете нещадно.

А тепер трохи видозмінимо завдання. Нині цікаво стане! Приберемо у ній останнє число 1,2. Ось таке завдання тепер вирішимо:

3. Виписано кілька послідовних членів геометричної прогресії:

…; 150; х; 6; …

Знайдіть член прогресії, позначений літерою х.

Все те саме, тільки двох сусідніх відомихЧленів прогресії у нас тепер не стало. У цьому полягає основна проблема. Тому що величину qчерез два сусідні члени ми так просто визначити вже не зможемо.Чи є у нас шанс впоратися із завданням? Звичайно!

Розпишемо невідомий член xпрямо за змістом геометричної прогресії! У загальному вигляді.

Так Так! Прямо з невідомим знаменником!

З одного боку, для ікса ми можемо записати ось таке співвідношення:

x= 150 ·q

З іншого боку, цей же ікс ми маємо повне право розписати і через наступнийчлен, через шістку! Поділивши шістку на знаменник.

Ось так:

x = 6/ q

Очевидно, тепер можна прирівняти обидва ці співвідношення. Якщо вже ми висловлюємо одну й ту самувеличину (ікс), але двома різними способами.

Отримаємо рівняння:

Помножуючи все на q, спрощуючи, скорочуючи, отримаємо рівняння:

q 2 = 1/25

Вирішуємо та отримуємо:

q = ±1/5 = ±0,2

Опаньки! Знаменник подвійний вийшов! +0,2 та -0,2. І який із них вибрати? Глухий кут?

Спокій! Так, завдання дійсно має два рішення!Нічого страшного у цьому немає. Буває.) Ви ж не дивуєтесь, коли, наприклад, отримуєте два корені, вирішуючи звичайне? Ось і тут та сама історія.)

Для q = +0,2ми отримаємо:

X = 150 · 0,2 = 30

А для q = -0,2 буде:

X = 150 · (-0,2) = -30

Отримуємо подвійну відповідь: x = 30; x = -30.

Що означає цей цікавий факт? А те, що існує дві прогресії, Що задовольняють умові завдання!

Ось такі:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Обидві – підходять.) Як ви вважаєте, через що в нас відбулося роздвоєння відповідей? Саме через ліквідацію конкретного члена прогресії (1,2), що йде після шістки. А знаючи лише попередній (n-1)-й та наступний (n+1)-й члени геометричної прогресії, ми вже нічого не можемо однозначно сказати про n-й член, що стоїть між ними. Можливі два варіанти – з плюсом та мінусом.

Але не біда. Як правило, у завданнях на геометричну прогресію є додаткова інформація, що дає однозначну відповідь. Скажімо, слова: "знакочергова прогресія"або "прогресія з позитивним знаменником"і так далі ... Саме ці слова і повинні служити зачіпкою, який знак плюс або мінус, слід вибрати при оформленні остаточної відповіді. Якщо ж такої інформації немає, тоді – так, завдання матиме два рішення.)

А тепер вирішуємо самостійно.

4. Визначте, чи буде число 20 членом геометричної прогресії:

4 ; 6; 9; …

5. Задано знакочередуючу геометричну прогресію:

…; 5; x ; 45; …

Знайдіть член прогресії, позначений буквою x .

6. Знайдіть четвертий позитивний член геометричної прогресії:

625; -250; 100; …

7. Другий член геометричної прогресії дорівнює -360, а п'ятий її член дорівнює 23,04. Знайдіть перший член цієї прогресії.

Відповіді (безладно): -15; 900; ні; 2,56.

Вітаю, якщо все вийшло!

Щось не стикується? Десь відповідь подвійна вийшла? Читаємо уважну умову завдання!

Останнє завдання не виходить? Там нічого складного.) Працюємо прямо за змістом геометричної прогресії. Та й картинку можна намалювати. Це допомагає.)

Як ви бачите, все просто. Якщо прогресія – коротенька. А якщо довга? Чи номер потрібного члена дуже великий? Хотілося б, за аналогією з арифметичною прогресією, отримати зручну формулу, що дозволяє легко знаходити будь-якийчлен будь-якої геометричної прогресії за його номером.Не помножуючи багато разів на q. І така формула є!) Подробиці – у наступному уроці.

Геометрична прогресія - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен наступний член дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме не дорівнює нулю число.

Геометрична прогресія позначається b1, b2, b3, …, bn, ….

Відношення будь-якого члена геометричної похибки до її попереднього члена дорівнює одному й тому ж числу, тобто b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = …. Це випливає безпосередньо з визначення арифметичної прогресії. Це число називають знаменником геометричної прогресії. Зазвичай знаменник геометричної прогресії позначають буквою q.

Монотонна та постійна послідовність

Одним із способів завдання геометричної прогресії є завдання першого члена b1 і знаменника геометричної похибки q. Наприклад, b1=4, q=-2. Ці дві умови задають геометричну прогресію 4, -8, 16, -32, ….

Якщо q>0 (q не дорівнює 1), то прогресія є монотонною послідовністю.Наприклад, послідовність, 2, 4,8,16,32, … є монотонно зростаючою послідовністю (b1=2, q=2).

Якщо геометричної похибки знаменник q=1, всі члени геометричної прогресії дорівнюють між собою. У таких випадках кажуть, що прогрес є постійною послідовністю.

Формула n-ого члена геометричної прогресії

Для того, щоб числова послідовність (bn) була геометричною прогресією необхідно, щоб кожен її член, починаючи з другого, був середнім геометричним сусіднім членом. Тобто необхідне виконання наступного рівняння
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2),для будь-якого n>0, де n належить множині натуральних чисел N.

Формула n-ого члена геометричної прогресії має вигляд:

bn=b1*q^(n-1),

де n належить множині натуральних чисел N.

Формула суми n перших членів геометричної прогресії

Формула суми n перших членів геометричної прогресії має вигляд:

Sn = (bn * q - b1) / (q-1), де q не дорівнює 1.

Розглянемо простий приклад:

У геометричній прогресії b1=6, q=3, n=8 знайти Sn.

Для знаходження S8 скористаємося формулою суми n перших членів геометричної прогресії.

S8 = (6 * (3 ^ 8 -1)) / (3-1) = 19680.

Геометрична прогресія - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен наступний член дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме не дорівнює нулю число. Геометрична прогресія позначається b1, b2, b3, …, bn, …

Властивості геометричної прогресії

Відношення будь-якого члена геометричної похибки до її попереднього члена дорівнює одному й тому ж числу, тобто b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = …. Це випливає безпосередньо з визначення арифметичної прогресії. Це число називають знаменником геометричної прогресії. Зазвичай знаменник геометричної прогресії позначають буквою q.

Одним із способів завдання геометричної прогресії є завдання першого члена b1 і знаменника геометричної похибки q. Наприклад, b1=4, q=-2. Ці дві умови задають геометричну прогресію 4, -8, 16, -32, ….

Якщо q>0 (q не одно 1), то прогресія є монотонною послідовністю. Наприклад, послідовність, 2, 4,8,16,32, … є монотонно зростаючою послідовністю (b1=2, q=2).

Якщо геометричної похибки знаменник q=1, всі члени геометричної прогресії дорівнюють між собою. У таких випадках говорять, що прогрес є постійною послідовністю.

Формула n-го члена прогресії

Для того, щоб числова послідовність (bn) була геометричною прогресією необхідно, щоб кожен її член, починаючи з другого, був середнім геометричним сусіднім членом. Тобто необхідно виконання наступного рівняння - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), для будь-якого n>0, де n належить множині натуральних чисел N.

Формула n-ого члена геометричної прогресії має вигляд:

bn=b1*q^(n-1), де n належить множині натуральних чисел N.

Розглянемо простий приклад:

У геометричній прогресії b1=6, q=3, n=8 знайти bn.

Скористаємося формулою n-ого члена геометричної прогресії.