Doğrusal vektör uzayı: tanımı, özellikleri. Doğrusal uzaylar: tanım ve örnekler Uzunluklar ve açılar

Doğrusal (vektör) Uzay, vektör adı verilen rastgele öğelerden oluşan bir V kümesidir; burada vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayıyla çarpma işlemleri tanımlanır; \mathbf(u) ve (\mathbf(v)) herhangi iki vektöre bir vektör atanır \mathbf(u)+\mathbf(v)\mathbf(u) ve (\mathbf(v)) vektörlerinin toplamı olarak adlandırılan, herhangi bir vektör (\mathbf(v)) ve gerçek sayılar alanından \mathbb(R) herhangi bir sayı \lambda bir vektörle ilişkilidir \lambda\mathbf(v), \mathbf(v) vektörünün çarpımına \lambda sayısıyla denir; yani aşağıdaki koşullar karşılanır:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(toplamanın değişebilirliği);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(eklemenin ilişkilendirilebilirliği);
3. sıfır vektörü olarak adlandırılan bir \mathbf(o)\in V öğesi vardır, öyle ki \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. Her (\mathbf(v)) vektörü için, \mathbf(v) vektörünün karşısında öyle adlandırılan bir vektör vardır ki, \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ \mathbb(R) içinde;
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

1-8 arası koşullar denir doğrusal uzay aksiyomları. Vektörler arasına yerleştirilen eşittir işareti, eşitliğin sol ve sağ taraflarının V kümesinin aynı elemanını temsil ettiği anlamına gelir; bu tür vektörlere eşit denir.

Doğrusal uzayın tanımında reel sayılar için bir vektörün bir sayı ile çarpılması işlemi tanıtılmıştır. Böyle bir uzaya denir reel sayılar alanı üzerinde doğrusal uzay veya kısaca, gerçek doğrusal uzay. Tanımda reel sayıların \mathbb(R) alanı yerine karmaşık sayıların \mathbb(C) alanını alırsak, şunu elde ederiz: karmaşık sayılar alanı üzerindeki doğrusal uzay veya kısaca, karmaşık doğrusal uzay. Sayı alanı olarak rasyonel sayıların \mathbb(Q) alanını da seçebiliriz ve bu durumda rasyonel sayılar alanı üzerinde doğrusal bir uzay elde ederiz. Aşağıda aksi belirtilmedikçe gerçek doğrusal uzaylar dikkate alınacaktır. Bazı durumlarda, kısaca anlatmak gerekirse, aşağıda tartışılan tüm uzaylar doğrusal olduğundan, doğrusal sözcüğünü atlayarak uzaydan bahsedeceğiz.

Notlar 8.1

1. Aksiyomlar 1-4, toplama işlemine göre doğrusal bir uzayın değişmeli bir grup olduğunu gösterir.

2. Aksiyomlar 5 ve 6, vektörleri toplama işlemine (aksiyom 5) veya sayıları toplama işlemine (aksiyom 6) göre bir vektörü bir sayıyla çarpma işleminin dağıtımını belirler. Bazen bir sayıyla çarpmanın ilişkisellik yasası olarak da adlandırılan Aksiyom 7, iki farklı işlem arasındaki bağlantıyı ifade eder: bir vektörün bir sayıyla çarpılması ve sayıların çarpılması. Aksiyom 8 tarafından tanımlanan özelliğe, bir vektörün bir sayı ile çarpılması işleminin üniterliği denir.

3. Doğrusal uzay boş olmayan bir kümedir çünkü mutlaka sıfır vektörü içerir.

4. Vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayıyla çarpma işlemlerine, vektörler üzerinde doğrusal işlemler denir.

5. \mathbf(u) ve \mathbf(v) vektörleri arasındaki fark, \mathbf(u) vektörünün karşıt vektör (-\mathbf(v)) ile toplamıdır ve şöyle gösterilir: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Sıfırdan farklı iki \mathbf(u) ve \mathbf(v) vektörüne, eğer öyle bir \lambda sayısı varsa, doğrusal (orantılı) denir. \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Eşdoğrusallık kavramı herhangi bir sonlu sayıda vektöre uzanır. Sıfır vektörü \mathbf(o) herhangi bir vektörle eşdoğrusal kabul edilir.

Doğrusal uzay aksiyomlarının sonuçları

1. Doğrusal uzayda yalnızca bir sıfır vektörü vardır.

2. Doğrusal uzayda, herhangi bir \mathbf(v)\in V vektörü için benzersiz bir zıt vektör vardır (-\mathbf(v))\in V.

3. Rasgele bir uzay vektörü ile sıfır sayısının çarpımı sıfır vektörüne eşittir, yani. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Sıfır vektörünün herhangi bir sayıyla çarpımı sıfır vektörüne eşittir, yani herhangi bir sayı için \lambda.

5. Belirli bir vektörün karşısındaki vektör, bu vektörün (-1) sayısına göre çarpımına eşittir, yani. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. Formun ifadelerinde \mathbf(a+b+\ldots+z)(sonlu sayıda vektörün toplamı) veya \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(bir vektör ile sonlu sayıda faktörün çarpımı) parantezleri istediğiniz sıraya yerleştirebilir veya hiç belirtmeyebilirsiniz.

Örneğin ilk iki özelliği kanıtlayalım. Sıfır vektörünün tekliği. Eğer \mathbf(o) ve \mathbf(o)" iki sıfır vektör ise, aksiyom 3 ile iki eşitlik elde ederiz: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" veya \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o) Aksiyom 1'e göre sol tarafları eşittir. Sonuç olarak sağ taraflar da eşittir, yani. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Zıt vektörün benzersizliği. Eğer \mathbf(v)\in V vektörü iki zıt vektöre (-\mathbf(v)) ve (-\mathbf(v))" sahipse, o zaman 2, 3,4 aksiyomlarıyla bunların eşitliğini elde ederiz:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v))).

Geri kalan özellikler de benzer şekilde kanıtlanır.

Doğrusal uzay örnekleri

1. Bir sıfır vektör içeren bir küme olan \(\mathbf(o)\)'yı işlemlerle birlikte gösterelim \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) Ve \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Belirtilen işlemler için 1-8 aksiyomları karşılanmıştır. Sonuç olarak, \(\mathbf(o)\) kümesi herhangi bir sayı alanı üzerinde doğrusal bir uzaydır. Bu doğrusal uzaya null adı verilir.

2. V_1,\,V_2,\,V_3 - vektörleri toplama ve vektörleri bir sayıyla çarpma gibi olağan işlemlerle sırasıyla düz bir çizgi üzerinde, bir düzlem üzerinde, uzayda vektör kümelerini (yönlendirilmiş bölümler) gösterelim. Doğrusal uzayın 1-8 aksiyomlarının yerine getirilmesi, temel geometrinin seyrinden kaynaklanır. Sonuç olarak, V_1,\,V_2,\,V_3 kümeleri gerçek doğrusal uzaylardır. Serbest vektörler yerine karşılık gelen yarıçap vektör kümelerini dikkate alabiliriz. Örneğin, bir düzlem üzerinde ortak bir kökene sahip bir dizi vektör; Düzlemin sabit bir noktasından çizilen gerçek bir doğrusal uzaydır. Birim uzunluktaki yarıçap vektörleri kümesi doğrusal bir uzay oluşturmaz, çünkü bu vektörlerden herhangi biri için toplam \mathbf(v)+\mathbf(v) söz konusu kümeye ait değil.

3. \mathbb(R)^n - matrisleri toplama ve matrisleri bir sayıyla çarpma işlemlerini içeren n\times1 boyutunda bir matris sütunları kümesini gösterelim. Doğrusal uzayın 1-8 aksiyomları bu küme için karşılanmıştır. Bu kümedeki sıfır vektörü sıfır sütunudur o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Sonuç olarak, \mathbb(R)^n kümesi gerçek bir doğrusal uzaydır. Benzer şekilde, karmaşık elemanlara sahip n\times1 boyutunda bir \mathbb(C)^n sütun kümesi karmaşık bir doğrusal uzaydır. Negatif olmayan gerçek elemanlara sahip sütun matrisleri kümesi ise zıt vektörler içermediğinden doğrusal bir uzay değildir.

4. \(Ax=o\) - lineer cebirsel denklemlerin ve bilinmeyenlerin (burada A, sistemin gerçek matrisidir) homojen bir Ax=o sisteminin çözüm kümesini, sütunların bir kümesi olarak kabul edelim. matrisleri toplama ve matrisleri bir sayıyla çarpma işlemleriyle n\times1 boyutları. Bu işlemlerin aslında \(Ax=o\) kümesinde tanımlandığına dikkat edin. Homojen bir sisteme yönelik çözümlerin Özellik 1'inden (bkz. Bölüm 5.5), homojen bir sistemin iki çözümünün toplamı ve çözümünün bir sayı ile çarpımının aynı zamanda homojen bir sistemin çözümleri olduğu sonucu çıkar; \(Ax=o\) kümesine aittir. Sütunlar için doğrusal uzay aksiyomları karşılanmıştır (doğrusal uzay örneklerindeki 3. maddeye bakınız). Bu nedenle homojen bir sistemin çözüm kümesi gerçek bir doğrusal uzaydır.

Homojen olmayan Ax=b,~b\ne o sisteminin \(Ax=b\) çözüm kümesi, aksine, sıfır eleman içermediğinden dolayı doğrusal bir uzay değildir (x=o, homojen olmayan sisteme bir çözüm değildir).

5. M_(m\times n) - matrisleri toplama ve matrisleri bir sayıyla çarpma işlemlerini içeren m\times n büyüklüğünde bir matris kümesini gösterelim. Doğrusal uzayın 1-8 aksiyomları bu küme için karşılanmıştır. Sıfır vektörü uygun boyutlarda bir sıfır matris O'dur. Bu nedenle, M_(m\times n) kümesi doğrusal bir uzaydır.

6. P(\mathbb(C)) - tek değişkenli, karmaşık katsayılı polinomların kümesini gösterelim. Birçok terimin eklenmesi ve bir polinomun sıfır dereceli bir polinom olarak kabul edilen bir sayı ile çarpılması işlemleri tanımlanır ve 1-8 aksiyomlarını karşılar (özellikle sıfır vektörü, sıfıra eşit olan bir polinomdur). Bu nedenle, P(\mathbb(C)) kümesi karmaşık sayılar alanı üzerinde doğrusal bir uzaydır. Gerçek katsayılı polinomların P(\mathbb(R)) kümesi de doğrusal bir uzaydır (ancak elbette gerçek sayılar alanı üzerinde). Gerçek katsayılı en fazla n dereceli polinomlardan oluşan P_n(\mathbb(R)) kümesi de gerçek bir doğrusal uzaydır. Polinomların toplamının derecesi terimlerin derecelerini aşmadığından, birçok terimin toplama işleminin bu kümede tanımlandığına dikkat edin.

Derecesi n olan polinomlar kümesi doğrusal bir uzay değildir, çünkü bu tür polinomların toplamı, söz konusu kümeye ait olmayan daha düşük dereceli bir polinom olarak ortaya çıkabilir. Derecesi n'den yüksek olmayan ve pozitif katsayılı tüm polinomların kümesi de doğrusal bir uzay değildir, çünkü böyle bir polinomun negatif bir sayıyla çarpılması, bu kümeye ait olmayan bir polinomla sonuçlanacaktır.

7. C(\mathbb(R)) - \mathbb(R) üzerinde tanımlı ve sürekli olan gerçek fonksiyonlar kümesini gösterelim. f,g fonksiyonlarının toplamı (f+g) ve f fonksiyonunun \lambda f çarpımı ve \lambda gerçek sayısı eşitliklerle tanımlanır:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) tüm x\in \mathbb(R) için

Sürekli fonksiyonların toplamı ve sürekli bir fonksiyon ile bir sayının çarpımı sürekli fonksiyonlar olduğundan, bu işlemler aslında C(\mathbb(R)) üzerinde tanımlanır; C(\mathbb(R))'nin elemanları. Doğrusal uzay aksiyomlarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. Reel sayıların toplamı değişmeli olduğundan eşitlik şu şekilde olur: f(x)+g(x)=g(x)+f(x) herhangi bir x\in \mathbb(R) için. Bu nedenle f+g=g+f, yani. aksiyom 1 karşılanmıştır. Aksiyom 2, toplamanın ilişkilendirilebilirliğinden benzer şekilde çıkar. Sıfır vektörü o(x) fonksiyonudur, sıfıra eşit ve elbette süreklidir. Herhangi bir f fonksiyonu için f(x)+o(x)=f(x) eşitliği sağlanır; Aksiyom 3 doğrudur. f vektörünün zıt vektörü (-f)(x)=-f(x) fonksiyonu olacaktır. O halde f+(-f)=o (aksiyom 4 doğrudur). Aksiyom 5, 6, gerçek sayıların toplama ve çarpma işlemlerinin dağıtılabilirliğinden ve aksiyom 7 - sayıların çarpımının ilişkilendirilebilirliğinden kaynaklanır. Son aksiyom karşılanmıştır, çünkü bir ile çarpma fonksiyonu değiştirmez: herhangi bir x\in \mathbb(R) için 1\cdot f(x)=f(x), yani 1\cdot f=f . Dolayısıyla, tanıtılan işlemlerle birlikte dikkate alınan C(\mathbb(R)) kümesi gerçek bir doğrusal uzaydır. Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- birinci, ikinci vb.nin sürekli türevlerine sahip fonksiyon kümeleri. sıralar da sırasıyla doğrusal uzaylardır.

Trigonometrik binom kümesini (çoğunlukla \omega\ne0 ) gerçek katsayılarla gösterelim; formun birçok işlevi f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, Nerede a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Bu tür binomların toplamı ve bir binomun gerçek sayıyla çarpımı trigonometrik binomlardır. Söz konusu küme için doğrusal uzay aksiyomları karşılanmıştır (çünkü T_(\omega)(\mathbb(R))\altküme C(\mathbb(R))). Bu nedenle birçok T_(\omega)(\mathbb(R)) Fonksiyonlar için bir sayı ile olağan toplama ve çarpma işlemleriyle, bu gerçek bir doğrusal uzaydır. Sıfır elemanı binomdur o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, aynı şekilde sıfıra eşittir.

\mathbb(R) üzerinde tanımlanan ve monoton gerçek fonksiyonlar kümesi doğrusal bir uzay değildir, çünkü iki monoton fonksiyonun farkı monoton olmayan bir fonksiyon olarak ortaya çıkabilir.

8. \mathbb(R)^X - X kümesinde tanımlanan gerçek fonksiyonlar kümesini aşağıdaki işlemlerle gösterelim:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Bu gerçek bir doğrusal uzaydır (kanıt önceki örnektekiyle aynıdır). Bu durumda X kümesi keyfi olarak seçilebilir. Özellikle eğer X=\(1,2,\ldots,n\) ise f(X) sıralı bir sayı kümesidir f_1,f_2,\ldots,f_n, Nerede f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Böyle bir küme, boyutları n\times1 olan bir matris sütunu olarak düşünülebilir; bir demet \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))\mathbb(R)^n kümesiyle çakışır (doğrusal uzay örnekleri için 3. maddeye bakın). Eğer X=\mathbb(N) ise (\mathbb(N)'nin doğal sayılar kümesi olduğunu hatırlayın), o zaman doğrusal bir uzay elde ederiz \mathbb(R)^(\mathbb(N))- birçok sayı dizisi \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Özellikle, yakınsak sayı dizileri kümesi aynı zamanda doğrusal bir uzay oluşturur, çünkü iki yakınsak dizinin toplamı yakınsar ve yakınsak bir dizinin tüm terimleri bir sayıyla çarpıldığında, yakınsak bir dizi elde ederiz. Bunun tersine, ıraksak diziler kümesi doğrusal bir uzay değildir, çünkü örneğin ıraksak dizilerin toplamının bir sınırı olabilir.

9. \mathbb(R)^(+) - a\oplus b toplamı ve \lambda\ast a çarpımının (bu örnekteki gösterimler olağan olanlardan farklıdır) olduğu pozitif gerçek sayılar kümesini gösterelim. eşitliklerle tanımlanır: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda) yani elementlerin toplamı sayıların çarpımı olarak, bir elementin bir sayı ile çarpılması ise bir kuvvete yükselme olarak anlaşılmaktadır. Pozitif sayıların çarpımı pozitif bir sayı olduğundan ve pozitif bir sayının herhangi bir gerçek kuvveti pozitif bir sayı olduğundan, her iki işlem de aslında \mathbb(R)^(+) kümesinde tanımlıdır. Aksiyomların geçerliliğini kontrol edelim. Eşitlikler

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

aksiyom 1 ve 2'nin sağlandığını gösterin. Bu kümenin sıfır vektörü birdir, çünkü a\oplus1=a\cdot1=a yani o=1 . a'nın zıt vektörü, a\ne o'dan beri tanımlanan \frac(1)(a) vektörüdür. Aslında, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. 5, 6,7,8 aksiyomlarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

\begin(toplanan) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(toplandı)

Tüm aksiyomlar karşılanmıştır. Sonuç olarak, söz konusu küme gerçek bir doğrusal uzaydır.

10. V gerçek bir doğrusal uzay olsun. V üzerinde tanımlanan doğrusal skaler fonksiyonlar kümesini ele alalım; işlevler f\iki nokta üst üste V\'den \mathbb(R)'ye, gerçek değerleri alıp koşulları karşılayan:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(toplanabilirlik);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(homojenlik).

Doğrusal fonksiyonlar üzerindeki doğrusal işlemler, doğrusal uzay örneklerinin 8. paragrafındakiyle aynı şekilde belirtilir. f+g toplamı ve \lambda\cdot f çarpımı eşitliklerle tanımlanır:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\ in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)'de.

Doğrusal uzay aksiyomlarının yerine getirilmesi paragraf 8'dekiyle aynı şekilde doğrulanır. Bu nedenle V doğrusal uzayında tanımlanan doğrusal fonksiyonlar kümesi doğrusal bir uzaydır. Bu uzaya V uzayına eşlenik denir ve V^(\ast) ile gösterilir. Elementlerine kovektörler denir.

Örneğin, vektör argümanının skaler fonksiyonlarının kümesi olarak kabul edilen n değişkenin doğrusal formlarının kümesi, \mathbb(R)^n uzayına eşlenik doğrusal uzaydır.

Bir hata, yazım hatası fark ederseniz veya herhangi bir öneriniz varsa yorumlara yazın.

Wikipedia'dan materyal - özgür ansiklopedi

Vektör(veya doğrusal) uzay- birbirleriyle toplama ve bir sayıyla çarpma işlemlerinin tanımlandığı, vektör adı verilen bir dizi öğeden oluşan matematiksel bir yapı - bir skaler. Bu işlemler sekiz aksiyoma tabidir. Skalerler gerçek, karmaşık veya başka herhangi bir sayı alanının elemanları olabilir. Böyle bir uzayın özel bir durumu, vektörleri örneğin fiziksel kuvvetleri temsil etmek için kullanılan olağan üç boyutlu Öklid uzayıdır. Vektör uzayının bir elemanı olarak bir vektörün, mutlaka yönlendirilmiş bir parça biçiminde belirtilmesinin gerekmediğine dikkat edilmelidir. "Vektör" kavramını herhangi bir nitelikteki bir vektör uzayının bir öğesine genellemek, yalnızca terimlerin karışmasına neden olmakla kalmaz, aynı zamanda keyfi nitelikteki uzaylar için geçerli olan bir takım sonuçların anlaşılmasını ve hatta tahmin edilmesini de mümkün kılar.

Vektör uzayları doğrusal cebirin konusudur. Bir vektör uzayının temel özelliklerinden biri boyutudur. Boyut, uzayın doğrusal olarak bağımsız elemanlarının maksimum sayısını, yani kaba bir geometrik tanımlamaya başvurularak, yalnızca toplama ve bir skalerle çarpma işlemleriyle birbirleri aracılığıyla ifade edilemeyen yönlerin sayısını temsil eder. Vektör uzayı, norm veya iç çarpım gibi ek yapılarla donatılabilir. Bu tür uzaylar matematiksel analizde doğal olarak öncelikle sonsuz boyutlu fonksiyon uzayları biçiminde görünür ( İngilizce), burada işlevler . Çoğu analiz problemi, bir vektör dizisinin belirli bir vektöre yakınsayıp yakınlaşmadığını bulmayı gerektirir. Bu tür soruların dikkate alınması, çoğu durumda yakınlık ve süreklilik kavramlarını tanımlamamıza olanak tanıyan uygun bir topolojiye sahip ek yapıya sahip vektör uzaylarında mümkündür. Bu tür topolojik vektör uzayları, özellikle Banach ve Hilbert uzayları daha derin çalışmalara olanak sağlar.

Doğrusal cebir, vektörlere ek olarak daha yüksek dereceli tensörleri de inceler (bir skaler, sıra 0 tensör olarak kabul edilir, bir vektör, derece 1 tensör olarak kabul edilir).

Vektör uzayı kavramının ortaya çıkmasını öngören ilk çalışmalar 17. yüzyıla kadar uzanmaktadır. O zaman analitik geometri, matris doktrini, doğrusal denklem sistemleri ve Öklid vektörleri gelişmeye başladı.

Tanım

Doğrusal, veya Vektör Uzayı $V\backslash sol(F\backslash sağ)$ alanın üzerinde $F$- bu sıralı dörtlü $(V,F,+,\backslash cdot)$, Nerede

• $V$- keyfi nitelikteki boş olmayan bir dizi öğe vektörler;
• $F$- (cebirsel) elemanları adı verilen alan skalerler;
• İşlem tanımlandı ek vektörler $V\backslash çarpı\; V\backslash to\; V$ her bir öğe çiftini ilişkilendiren $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ setleri $V$ $V$ Onları çağırdı miktar ve belirlenmiş $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• İşlem tanımlandı vektörlerin skalerlerle çarpılması $F\backslash time\; V\backslash to\; V$, her öğeyle eşleşen $\backslash lambda$ alanlar $F$ ve her bir öğe $\backslash mathbf(x)$ setleri $V$ kümenin tek elemanı $V$, belirtilen $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ veya $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Aynı öğe kümesinde, ancak farklı alanlar üzerinde tanımlanan vektör uzayları, farklı vektör uzayları olacaktır (örneğin, gerçek sayı çiftleri kümesi). $\backslash mathbb(R)^2$ gerçek sayılar alanı üzerinde iki boyutlu bir vektör uzayı veya karmaşık sayılar alanı üzerinde tek boyutlu bir vektör uzayı olabilir).

En basit özellikler

1. Bir vektör uzayı toplama işlemi altındaki bir Abel grubudur.
2. Nötr eleman $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ herkes için $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Herkes için $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ karşıt eleman $-\backslash mathbf(x)\backslash in\; V$ grup özelliklerinden çıkan tek şeydir.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ herkes için $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ herhangi $F\text{'}de\; \backslash alfa\; \backslash$ Ve $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ herkes için $F\text{'}de\; \backslash alfa\; \backslash$.

İlgili tanımlar ve özellikler

Altuzay

Cebirsel tanım: Doğrusal altuzay veya vektör alt uzayı- boş olmayan alt küme $k$ doğrusal uzay $V$öyle ki $k$ kendisi de tanımlananlara göre doğrusal bir uzaydır $V$ bir skalerle toplama ve çarpma işlemleri. Tüm altuzayların kümesi genellikle şu şekilde gösterilir: $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Bir alt kümenin alt uzay olabilmesi için gerekli ve yeterli olması

1. herhangi bir vektör için $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, vektör $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ aynı zamanda aitti $k$, herhangi $F\text{'}de\; \backslash alfa\backslash$;
2. tüm vektörler için $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektör $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ aynı zamanda aitti $k$.

Son iki ifade aşağıdakine eşdeğerdir:

Tüm vektörler için $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektör $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ aynı zamanda aitti $k$ herhangi $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

Özellikle, yalnızca bir sıfır vektörden oluşan bir vektör uzayı, herhangi bir uzayın bir alt uzayıdır; her uzay kendisinin bir alt uzayıdır. Bu ikisiyle örtüşmeyen altuzaylara denir. sahip olmak veya önemsiz değil.

Alt uzayların özellikleri

• Herhangi bir alt uzay ailesinin kesişimi yine bir alt uzaydır;
• Alt uzayların toplamı $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ mümkün olan tüm elemanların toplamını içeren bir küme olarak tanımlanır $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Sonlu bir alt uzay ailesinin toplamı yine bir alt uzaydır.

Doğrusal kombinasyonlar

Formun son toplamı

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Doğrusal kombinasyon denir:

Temel. Boyut

Vektörler $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ arandı doğrusal bağımlı, bunların sıfıra eşit önemsiz bir doğrusal kombinasyonu varsa:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Aksi takdirde bu vektörlere denir Doğrusal bağımsız.

Bu tanım aşağıdaki genellemeyi sağlar: sonsuz bir vektör kümesi. $V$ isminde doğrusal bağımlı bazıları doğrusal bağımlı ise son bunun bir alt kümesi ve Doğrusal bağımsız eğer varsa son alt küme doğrusal olarak bağımsızdır.

Bazın özellikleri:

• Herhangi $N$ doğrusal bağımsız elemanlar $N$ boyutlu uzay formu temel bu alan.
• Herhangi bir vektör $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ temel elemanların sonlu doğrusal kombinasyonu olarak (benzersiz olarak) temsil edilebilir:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Doğrusal kabuk

Doğrusal kabuk $\backslash mathcal\; V(X)$ alt kümeler $X$ doğrusal uzay $V$- tüm alt uzayların kesişimi $V$ kapsamak $X$.

Doğrusal açıklık bir altuzaydır $V$.

Doğrusal kabuk da denir altuzay oluşturuldu $X$. Aynı zamanda doğrusal kabuğun da olduğu söylenir. $\backslash mathcal\; V(X)$- uzay, uzanmış bir demet $X$.

Doğrusal kabuk $\backslash mathcal\; V(X)$ elemanların çeşitli sonlu alt sistemlerinin tüm olası doğrusal kombinasyonlarından oluşur. $X$. Özellikle eğer $X$ o halde sonlu bir kümedir $\backslash mathcal\; V(X)$ elemanların tüm doğrusal kombinasyonlarından oluşur $X$. Dolayısıyla sıfır vektörü her zaman doğrusal gövdeye aittir.

Eğer $X$ doğrusal olarak bağımsız bir küme ise bu bir tabandır $\backslash mathcal\; V(X)$ ve böylece boyutunu belirler.

Örnekler

• Tek elemanı sıfır olan bir sıfır uzayı.
• Tüm fonksiyonların alanı $X\backslash \text{'}den\; F\text{'}ye$ sonlu desteğe sahip, önem derecesine eşit boyutta bir vektör uzayı oluşturur $X$.
• Gerçel sayılar alanı, rasyonel sayılar alanı üzerinde sürekli boyutlu bir vektör uzayı olarak düşünülebilir.
• Herhangi bir alan kendisinin üstünde tek boyutlu bir uzaydır.

Ek yapılar

Ayrıca bakınız

"Vektör uzayı" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Notlar

Edebiyat

• Gelfand I.M. Lineer cebir üzerine dersler. - 5'inci. - M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 s. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I.M. Lineer cebir üzerine dersler. 5. baskı. - M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 s. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Doğrusal cebir ve geometri. 2. baskı. - M .: Nauka, 1986. - 304 s.
• Kostrikin A.I. Cebire giriş. Bölüm 2: Doğrusal cebir. - 3 üncü. - M .: Nauka., 2004. - 368 s. - (Üniversite ders kitabı).
• Maltsev A. I. Doğrusal cebirin temelleri. - 3 üncü. - M .: Nauka, 1970. - 400 s.

• Postnikov M.M. Lineer cebir (Geometri dersleri. Yarıyıl II). - 2.. - M .: Nauka, 1986. - 400 s.
• Strang G. Lineer Cebir ve Uygulamaları. - M.: Mir, 1980. - 454 s.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Lineer Cebir. 6. baskı. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 s. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Sonlu Boyutlu Vektör Uzayları. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 s.
• Faddeev D.K. Cebir üzerine dersler. - 5'inci. - St.Petersburg. : Lan, 2007. - 416 s.
• Shafarevich I.R., Remizov A.O. Doğrusal cebir ve geometri. - 1 inci. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 s.
• Schreyer O., Sperner G. Geometrik gösterimde doğrusal cebire giriş = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (Almancadan çeviri). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 s.

Vektörler ve matrisler Vektörler Temel konseptler Vektör türleri Vektörler üzerinde işlemler Alan türleri Matrisler Temel konseptler Diğer

Vektör Uzayını karakterize eden bir alıntı

Kutuzov saflar arasında yürüdü, ara sıra durup Türk savaşından tanıdığı subaylara, bazen de askerlere birkaç güzel söz söyledi. Ayakkabılara baktığında üzgün bir şekilde birkaç kez başını salladı ve öyle bir ifadeyle Avusturyalı generale işaret etti ki, bu konuda kimseyi suçluyor gibi görünmüyordu ama ne kadar kötü olduğunu görmeden de edemiyordu. Her seferinde alay komutanı, başkomutanın alayla ilgili sözünü kaçırmaktan korkarak önden koşuyordu. Kutuzov'un arkasında, belli belirsiz konuşulan herhangi bir kelimenin duyulabileceği bir mesafede, maiyetinde yaklaşık 20 kişi yürüyordu. Maiyetin beyleri kendi aralarında konuşuyor, bazen gülüyorlardı. Yakışıklı emir subayı başkomutanın en yakınına yürüdü. Prens Bolkonsky'ydi. Yanında, uzun boylu, son derece şişman, nazik ve gülümseyen yakışıklı bir yüze ve nemli gözlere sahip bir kurmay subay olan yoldaşı Nesvitsky yürüyordu; Nesvitsky, yanında yürüyen kara hussar subayının heyecanıyla gülmemek için kendini zor tuttu. Hussar subayı, gülümsemeden, sabit gözlerinin ifadesini değiştirmeden, ciddi bir yüzle alay komutanının arkasına baktı ve onun her hareketini taklit etti. Alay komutanı ne zaman geri çekilip öne doğru eğilse, aynı şekilde, tamamen aynı şekilde, hussar subayı da geri çekilip öne doğru eğiliyordu. Nesvitsky güldü ve diğerlerini komik adama bakmaya itti.
Kutuzov, patronlarını izleyen, yuvalarından fırlamış binlerce gözün yanından yavaşça ve ağır ağır yürüdü. 3. bölüğe yetişince aniden durdu. Bu durağı beklemeyen maiyet, istemsizce ona doğru ilerledi.
- Ah, Timokhin! - dedi başkomutan, mavi paltosu için acı çeken kırmızı burunlu kaptanı tanıyarak.
Alay komutanı onu azarlarken, Timokhin'in uzandığından daha fazlasını uzatmanın imkansız olduğu görülüyordu. Ama o anda başkomutan ona hitap etti, yüzbaşı dimdik ayağa kalktı, sanki başkomutan ona biraz daha baksa yüzbaşı buna dayanamayacakmış gibi görünüyordu; ve bu nedenle, görünüşe göre konumunu anlayan ve tam tersine kaptan için en iyisini dileyen Kutuzov aceleyle geri döndü. Kutuzov'un dolgun, yaralarla şekilsiz yüzünde zar zor fark edilen bir gülümseme belirdi.
“Başka bir Izmailovo yoldaş” dedi. - Cesur subay! Bundan memnun musun? – Kutuzov alay komutanına sordu.
Ve bir hussar subayında aynada yansıyan, kendisi tarafından görülmeyen alay komutanı ürperdi, öne çıktı ve cevap verdi:
– Çok memnun oldum, Ekselansları.
Kutuzov, gülümseyerek ve ondan uzaklaşarak, "Hepimizin zayıf yönleri yok değil" dedi. “Bacchus'a bağlılığı vardı.
Alay komutanı bunun sorumlusunun kendisi olduğundan korkuyordu ve hiçbir şeye cevap vermedi. O anda subay, kaptanın kırmızı burunlu ve göbekli yüzünü fark etti ve yüzünü taklit etti ve o kadar yakın poz verdi ki Nesvitsky gülmeden duramadı.
Kutuzov arkasını döndü. Memurun yüzünü istediği gibi kontrol edebildiği açıktı: Kutuzov arkasını döndüğü anda memur yüzünü buruşturmayı başardı ve ardından en ciddi, saygılı ve masum ifadeyi takındı.
Üçüncü bölük sonuncuydu ve Kutuzov, görünüşe göre bir şeyler hatırlayarak bunu düşündü. Prens Andrei maiyetinden çıktı ve sessizce Fransızca şöyle dedi:
– Bu alayda rütbesi düşürülen Dolokhov'un hatırlatılmasını emretmiştiniz.
-Dolokhov nerede? – Kutuzov'a sordu.
Zaten gri bir asker paltosu giymiş olan Dolokhov çağrılmayı beklemedi. Açık mavi gözlü, sarışın bir askerin ince figürü önden dışarı çıktı. Başkomutanlığa yaklaştı ve onu nöbet tuttu.
- İddia? – Kutuzov hafifçe kaşlarını çatarak sordu.
Prens Andrei, "Bu Dolokhov" dedi.
- A! - dedi Kutuzov. “Umarım bu ders seni düzeltir, iyi hizmet eder.” Rab merhametlidir. Ve eğer bunu hak ediyorsan seni unutmayacağım.
Mavi, berrak gözler, başkomutana, alay komutanı kadar meydan okurcasına baktı; sanki ifadeleriyle, başkomutanı askerden şimdiye kadar ayıran gelenek perdesini yırtıyormuş gibi.
"Bir şey rica ediyorum, Ekselansları," dedi gür, kararlı ve telaşsız sesiyle. "Lütfen bana suçumu telafi etme ve İmparator'a ve Rusya'ya olan bağlılığımı kanıtlama şansı verin."
Kutuzov arkasını döndü. Gözlerindeki aynı gülümseme, Yüzbaşı Timokhin'den uzaklaşırkenki gibi yüzünde de parladı. Sanki Dolokhov'un kendisine söylediği her şeyin ve söyleyebileceği her şeyin, uzun zamandır bildiğini, tüm bunların onu zaten sıktığını ve tüm bunların hiçbir şey olmadığını ifade etmek istiyormuş gibi arkasını döndü ve yüzünü buruşturdu. aslında ihtiyacı olan şey. Arkasını dönüp bebek arabasına doğru ilerledi.
Alay bölükler halinde dağıldı ve zorlu yürüyüşlerden sonra ayakkabı giymeyi, giyinmeyi ve dinlenmeyi umdukları Braunau'dan çok da uzak olmayan belirlenmiş bölgelere doğru yola çıktı.
– Sen bana sahip çıkmıyor musun Prokhor Ignatyich? - dedi alay komutanı, 3. bölüğün etrafından dolaşarak oraya doğru ilerledi ve önünde yürüyen Yüzbaşı Timokhin'e yaklaştı. Alay komutanının yüzü, mutlu bir şekilde tamamlanan incelemenin ardından kontrol edilemeyen bir neşe ifade ediyordu. - Kraliyet hizmeti... imkansız... başka zaman cephede bitirirsin... Önce ben özür dilerim, beni bilirsin... Sana çok teşekkür ettim! - Ve bölük komutanına elini uzattı.
- Allah aşkına general, buna cesaret edebilir miyim? - cevap verdi kaptan, burnu kırmızıya döndü, gülümsedi ve iki ön dişinin eksikliğini bir gülümsemeyle ortaya çıkardı, İsmail'in altındaki popo tarafından yere serildi.
- Evet, Bay Dolokhov'a onu unutmayacağımı söyleyin ki sakinleşebilsin. Evet, lütfen söyle bana, nasıl olduğunu, nasıl davrandığını sormak istiyordum. Ve hepsi bu...
Timokhin, "Hizmetinde çok yararlı, Ekselansları... ama gemiyi kiralayan kişi..." dedi.
- Ne, hangi karakter? – alay komutanına sordu.
Kaptan, "Ekselansları günlerdir onun akıllı, bilgili ve nazik olduğunu anlıyor" dedi. Bu bir canavar. Polonya'da bir Yahudi'yi öldürdü, tabiri caizse...
Alay komutanı, "Evet, evet," dedi, "talihsiz genç adam için hâlâ üzülmemiz gerekiyor." Sonuçta harika bağlantılar... Yani siz...
Timokhin gülümseyerek, "Dinliyorum, Ekselansları," dedi ve patronun isteklerini anladığını hissettirdi.
- Evet evet.
Alay komutanı Dolokhov'u saflarda buldu ve atını dizginledi.
"İlk görevden önce apoletler," dedi ona.
Dolokhov etrafına baktı, hiçbir şey söylemedi ve alaycı bir şekilde gülümseyen ağzının ifadesini değiştirmedi.
Alay komutanı, "Eh, bu iyi," diye devam etti. Askerlerin duyabilmesi için "Herkes benden birer bardak votka içsin" diye ekledi. - Herkese teşekkürler! Tanrı kutsasın! - Ve şirketi geçerek diğerine doğru ilerledi.
“Eh, o gerçekten iyi bir adam; Astsubay Timokhin, yanında yürüyen subaya, "Onunla birlikte hizmet edebilirsin" dedi.
Astsubay gülerek, "Tek kelimeyle, kalplerin kralı!... (alay komutanına kalplerin kralı lakabı takılmıştı)" dedi.
Yetkililerin inceleme sonrasındaki mutlu havası askerlere de sıçradı. Şirket neşeyle yürüdü. Her taraftan asker sesleri duyuluyordu.
- Tek göz hakkında ne dediler çarpık Kutuzov?
- Aksi halde hayır! Tamamen çarpık.
- Hayır... kardeşim, gözleri senden daha büyük. Botlar ve pileler - Her şeye baktım...
- Kardeşim nasıl ayaklarıma bakar... peki! Düşünmek…
- Ve yanındaki diğer Avusturyalı sanki tebeşirle lekelenmiş gibiydi. Un gibi, beyaz. Çay içiyorum, mühimmatı nasıl temizliyorlar!
- Ne, Fedeshow!... çatışma başladığında daha yakın durduğunu mu söyledi? Hepsi Bunaparte'nin kendisinin Brunovo'da olduğunu söyledi.
- Bunaparte buna değer! yalan söylüyor, seni aptal! Neyi bilmiyor! Şimdi Prusyalı isyan ediyor. Bu nedenle Avusturyalı onu sakinleştiriyor. Barış yapar yapmaz Bunaparte ile savaş başlayacak. Aksi takdirde Bunaparte Brunovo'da duracak diyor! Bu onun aptal olduğunu gösteriyor. Daha fazlasını dinle.
- Bak, kiracılara lanet olsun! Beşinci bölük, bakın, şimdiden köye dönüyor, yulaf lapası pişirecekler ama biz hâlâ oraya varamıyoruz.
- Bana bir kraker ver, kahretsin.
- Dün bana tütün verdin mi? İşte bu, kardeşim. İşte başlıyoruz, Tanrı seninle olsun.
"En azından bir mola verdiler, yoksa beş mil daha yemek yemeyeceğiz."
– Almanların bize bebek arabası vermesi çok hoştu. Gittiğinizde şunu bilin: bu önemli!
"Ve burada kardeşim, insanlar tamamen kudurmuş durumda." Oradaki her şey bir Kutup'a benziyordu, her şey Rus tacındandı; ve şimdi kardeşim, tamamen Alman oldu.
– Şarkı yazarları ileri! – Kaptanın çığlığı duyuldu.
Ve şirketin önündeki farklı sıralardan yirmi kişi koştu. Davulcu şarkı söylemeye başladı ve yüzünü şarkı yazarlarına çevirdi ve elini sallayarak "Şafak değil mi, güneş kırıldı..." diye başlayıp şu sözlerle biten uzun bir asker şarkısına başladı. : “Öyleyse kardeşlerim, hem bize hem de Kamensky'nin babasına şeref olacak…” Bu şarkı Türkiye'de bestelendi ve artık Avusturya'da söyleniyordu, ancak “Kamensky'nin babası” yerine şu sözler eklendi: “ Kutuzov'un babası.”
Kırk yaşlarında kuru ve yakışıklı bir asker olan davulcu, bu son sözleri bir asker gibi yırtıp ellerini yere bir şey atıyormuş gibi sallayarak, asker şarkı yazarlarına sert bir şekilde baktı ve gözlerini kapattı. Sonra, tüm gözlerin kendisine odaklandığından emin olarak, sanki iki eliyle dikkatlice başının üstüne görünmez, değerli bir şeyi kaldırıyormuş gibi, onu birkaç saniye böyle tuttu ve aniden çaresizce fırlattı:
Ah, sen, gölgem, gölgem!
"Yeni gölgeliğim...", yirmi ses yankılandı ve kaşık tutucu, cephanesinin ağırlığına rağmen hızla ileri atladı ve grubun önüne doğru geri yürüdü, omuzlarını hareket ettirdi ve kaşıklarıyla birini tehdit etti. Şarkının ritmine göre kollarını sallayan askerler, istemsizce ayaklarını yere vurarak uzun adımlarla yürüdüler. Grubun arkasından tekerlek sesleri, yayların çıtırtıları ve atların ayak sesleri duyuluyordu.
Kutuzov ve maiyeti şehre dönüyordu. Başkomutan halka özgürce yürümeye devam etmeleri için bir işaret verdi ve şarkının seslerinden, dans eden asker ve askerlerin görüntüsünden hem kendisinin hem de maiyetinin tüm yüzlerinde memnuniyet ifade edildi. grup neşeyle ve hızlı adımlarla yürüyordu. İkinci sırada, arabanın şirketlerin önüne geçtiği sağ kanatta, özellikle şarkının ritmine göre hızlı ve zarif bir şekilde yürüyen ve yüzlerine bakan mavi gözlü asker Dolokhov'un istemeden gözüne çarptı. Öyle bir ifadeyle geçenler, sanki şirketle bu zamanda gitmeyen herkese üzülüyormuş gibi. Kutuzov'un maiyetinden alay komutanını taklit eden hafif süvari korneti arabanın arkasına düştü ve Dolokhov'a doğru yola çıktı.
Hafif süvari korneti Zherkov, bir zamanlar St.Petersburg'da Dolokhov liderliğindeki şiddet içeren topluma aitti. Zherkov, yurtdışında Dolokhov ile bir asker olarak tanıştı, ancak onu tanımanın gerekli olduğunu düşünmedi. Şimdi Kutuzov rütbesi düşmüş adamla konuştuktan sonra eski bir dostun sevinciyle ona döndü:
- Sevgili dostum, nasılsın? - dedi şarkının sesiyle, atının adımlarını şirketin adımlarıyla eşleştirerek.
- Gibiyim? - Dolokhov soğuk bir şekilde cevap verdi - gördüğünüz gibi.
Canlı şarkı, Zherkov'un konuştuğu arsız neşe tonuna ve Dolokhov'un cevaplarındaki kasıtlı soğukluğa özel bir önem verdi.
- Peki patronunla aran nasıl? – Zherkov'a sordu.
- Hiçbir şey, iyi insanlar. Karargaha nasıl girdiniz?
- Göreve atandım.
Sessizdiler.
Şarkı, istemeden neşeli, neşeli bir duygu uyandırarak, "Sağ kolundan bir şahin çıkardı" dedi. Bir şarkının sesiyle konuşmasalardı konuşmaları muhtemelen farklı olurdu.
– Avusturyalıların yenildiği doğru mu? – Dolokhov'a sordu.
“Şeytan onları biliyor” diyorlar.
Dolokhov, şarkının gerektirdiği gibi kısa ve net bir şekilde "Sevindim" diye yanıtladı.
Zherkov, "Pekala, akşam bize gelin, firavunu rehin vereceksiniz" dedi.
– Yoksa çok paran mı var?
- Gelmek.
- Yasaktır. Bir yemin ettim. Onlar başarana kadar ne içki içiyorum ne de kumar oynuyorum.
- İlk şeye geçelim...
- Orada göreceğiz.
Yine sessiz kaldılar.
Zherkov, "Bir şeye ihtiyacın olursa içeri gir, merkezdeki herkes yardım edecek..." dedi.
Dolokhov sırıttı.
- Endişelenmesen iyi olur. İhtiyacım olan hiçbir şeyi istemeyeceğim, kendim alacağım.
- Ben çok...
- Ben de öyle.
- Güle güle.
- Sağlıklı olmak…
... ve yüksek ve uzak,
Ev sahibi tarafta...
Zherkov mahmuzlarını ata dokundurdu, ata heyecanlandı, hangisinden başlayacağını bilemeden üç kez tekme attı, başardı ve dörtnala gitti, şirketi solladı ve şarkının ritmine göre arabaya yetişti.

İncelemeden dönen Kutuzov, Avusturyalı generalin eşliğinde ofisine gitti ve emir subayını çağırarak, gelen birliklerin durumuyla ilgili bazı belgelerin ve ileri orduya komuta eden Arşidük Ferdinand'dan alınan mektupların verilmesini emretti. . Prens Andrei Bolkonsky gerekli evraklarla başkomutanın ofisine girdi. Kutuzov ve Gofkriegsrat'ın Avusturyalı bir üyesi, masanın üzerinde ortaya konan planın önünde oturuyordu.
“Ah…” dedi Kutuzov, Bolkonsky'ye bakarak, sanki bu sözle emir subayını beklemeye davet ediyormuş gibi ve Fransızca başlattığı konuşmaya devam etti.
Kutuzov, sizi yavaşça söylenen her kelimeyi dikkatle dinlemeye zorlayan hoş bir ifade ve tonlama zarafetiyle, "Sadece bir şey söylüyorum, General" dedi. Kutuzov'un kendisini dinlemekten keyif aldığı açıktı. "Sadece tek bir şey söylüyorum General, eğer konu benim kişisel isteğime bağlı olsaydı, o zaman Majesteleri İmparator Franz'ın vasiyeti uzun zaman önce yerine getirilmiş olurdu." Arşidük'e uzun zaman önce katılırdım. Ve inanın şerefim ki, Avusturya'da çok sayıda bulunan ordunun en yüksek komutanlığını benden daha bilgili ve yetenekli bir generale devretmek ve tüm bu ağır sorumluluktan vazgeçmek kişisel olarak benim için mutluluk olacaktır. Ama koşullar bizden daha güçlü General.
Ve Kutuzov sanki şöyle diyormuş gibi bir ifadeyle gülümsedi: “Bana inanmamaya hakkınız var ve bana inanıp inanmamanız umurumda bile değil, ama bunu bana söylemek için hiçbir nedeniniz yok. Ve bütün mesele bu."
Avusturyalı general tatminsiz görünüyordu ama Kutuzov'a aynı tonda cevap vermekten kendini alamadı.
“Aksine,” dedi huysuz ve öfkeli bir ses tonuyla, söylediği sözlerin gurur verici anlamının aksine, “tam tersine, Ekselanslarının ortak davaya katılımı Majesteleri tarafından çok takdir edilmektedir; ancak mevcut yavaşlamanın, şanlı Rus birliklerini ve onların başkomutanlarını, savaşlarda toplamaya alıştıkları defneden mahrum bıraktığına inanıyoruz” diye tamamladı, görünüşe göre hazırlanmış cümlesini.
Kutuzov gülümsemesini değiştirmeden eğildi.
"Ve o kadar eminim ki, Majesteleri Arşidük Ferdinand'ın beni onurlandırdığı son mektuba dayanarak, General Mack gibi yetenekli bir asistanın komutası altındaki Avusturya birliklerinin artık kesin bir zafer kazandığını ve artık kesin bir zafer kazandığını varsayıyorum. Yardımımıza ihtiyacımız var” dedi Kutuzov.
General kaşlarını çattı. Avusturyalıların yenilgisine ilişkin olumlu bir haber olmamasına rağmen, genel olumsuz söylentileri doğrulayan pek çok durum vardı; ve bu nedenle Kutuzov'un Avusturyalıların zaferine ilişkin varsayımı alay konusu olmaya çok benziyordu. Ancak Kutuzov, hala aynı ifadeyle, bunu üstlenmeye hakkı olduğunu söyleyen uysal bir şekilde gülümsedi. Nitekim Mac'in ordusundan aldığı son mektup ona zaferi ve ordunun en avantajlı stratejik konumunu bildiriyordu.
Kutuzov, Prens Andrey'e dönerek, "Bana bu mektubu ver," dedi. - Lütfen bakın. - Ve Kutuzov, dudaklarının ucunda alaycı bir gülümsemeyle Avusturyalı generale Arşidük Ferdinand'ın bir mektubundan Almanca olarak şu pasajı okudu: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir connen, da wir Meister von Ulm, den Vortheil, ve von beiden von beiden der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; Augenblick, Wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communications Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee, çok sayıda entgegenharren ve sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, yani karara varıldı. [Yaklaşık 70.000 kişilik oldukça yoğun bir gücümüz var, böylece Lech'i geçerse düşmana saldırıp onu yenebiliriz. Zaten Ulm'a sahip olduğumuz için, Tuna Nehri'nin her iki yakasının da komuta avantajını elimizde tutabiliriz, bu nedenle her dakika, eğer düşman Lech'i geçmezse, Tuna'yı geçer, iletişim hattına koşar ve Tuna'yı aşağıdan geri geçer. Düşman tüm gücünü sadık müttefiklerimize yöneltmeye karar verirse, bu niyetinin gerçekleşmesini engelleyin. Böylece, Rus imparatorluk ordusunun tamamen hazır olacağı zamanı neşeyle bekleyeceğiz ve sonra hep birlikte, düşmana hak ettiği kaderi hazırlama fırsatını hep birlikte kolayca bulacağız.”]

Ders 6. Vektör uzayı.

Ana sorular.

1. Vektör doğrusal uzayı.

2. Uzayın temeli ve boyutu.

3. Uzay yönelimi.

4. Bir vektörün esaslara göre ayrıştırılması.

5. Vektör koordinatları.

1. Vektör doğrusal uzayı.

Doğrusal işlemlerin tanımlandığı, herhangi bir nitelikteki öğelerden oluşan bir kümeye: iki öğenin eklenmesi ve bir öğenin bir sayıyla çarpılması denir boşluklar ve bunların unsurları vektörler bu uzay ve geometrideki vektör büyüklükleriyle aynı şekilde gösterilir: . Vektörler Bu tür soyut uzayların kural olarak sıradan geometrik vektörlerle hiçbir ortak yanı yoktur. Soyut uzayların elemanları fonksiyonlar, bir sayı sistemi, matrisler vb. ve belirli bir durumda sıradan vektörler olabilir. Bu nedenle, bu tür boşluklara genellikle denir vektör uzayları .

Vektör uzayları, Örneğin, bir dizi eşdoğrusal vektör, belirtilen V1 , eş düzlemli vektörler kümesi V2 , sıradan vektörler kümesi (gerçek uzay) V3 .

Bu özel durum için, bir vektör uzayının aşağıdaki tanımını verebiliriz.

Tanım 1. Vektörler kümesine denir Vektör Uzayı, eğer bir kümenin herhangi bir vektörünün doğrusal birleşimi aynı zamanda bu kümenin bir vektörü ise. Vektörlerin kendilerine denir elementler Vektör Uzayı.

Hem teorik hem de uygulamalı olarak daha önemli olan, genel (soyut) vektör uzayı kavramıdır.

Tanım 2. Bir demet R herhangi iki öğe için ve https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> olarak adlandırılan herhangi bir öğe için toplamın belirlendiği öğeler vektör(veya doğrusal) uzay Eğer vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayı ile çarpma işlemleri aşağıdaki koşulları sağlıyorsa, ve onun elemanları vektörlerdir ( aksiyomlar) :

1) toplama değişmelidir, yani..gif" width="184" height="25">;

3) öyle bir öğe (sıfır vektör) var ki, herhangi bir https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width = "45" height = "20">.gif" width= için " 99" yükseklik = "27">;

5) herhangi bir vektör ve herhangi bir λ sayısı için eşitlik geçerlidir;

6) herhangi bir vektör ve herhangi bir sayı için λ Ve µ eşitlik doğrudur: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> ve herhangi bir sayı λ Ve µ adil ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Bir vektör uzayını tanımlayan en basit aksiyomlar şunlardır: sonuçlar :

1. Bir vektör uzayında yalnızca bir sıfır vardır - eleman - sıfır vektörü.

2. Vektör uzayında her vektörün tek bir zıt vektörü vardır.

3. Her element için eşitlik sağlanmıştır.

4. Herhangi bir gerçek sayı için λ ve sıfır vektör https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" genişlik = "145" yükseklik = "28">

6..gif" width = "15" height = "19 src = ">.gif" width = "71" height = "24 src = ">, https://pandia.ru/text eşitliğini karşılayan bir vektördür /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Dolayısıyla, aslında tüm geometrik vektörlerin kümesi doğrusal (vektör) bir uzaydır, çünkü bu kümenin elemanları için formüle edilmiş aksiyomları karşılayan toplama ve bir sayıyla çarpma eylemleri tanımlanır.

2. Uzayın temeli ve boyutu.

Bir vektör uzayının temel kavramları taban ve boyut kavramlarıdır.

Tanım. Herhangi bir uzay vektörünün doğrusal olarak ifade edilebildiği, belirli bir sırayla alınan doğrusal olarak bağımsız vektörler kümesine denir. temel bu alan. Vektörler. Uzayın temelini oluşturan bileşenlere denir temel .

Rastgele bir çizgi üzerinde bulunan bir dizi vektörün temeli, bu çizgiye eşdoğrusal bir vektör olarak düşünülebilir.

Uçağın temeli bu düzlemde belirli bir sırayla alınan, aynı doğrultuda olmayan iki vektörü çağıralım https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Temel vektörler ikili olarak dik (dik) ise, tabana denir. dikey ve eğer bu vektörlerin uzunluğu bire eşitse, taban denir ortonormal .

Uzaydaki doğrusal bağımsız vektörlerin en büyük sayısına ne denir? boyut yani uzayın boyutu bu uzayın temel vektörlerinin sayısıyla çakışmaktadır.

Yani bu tanımlara göre:

1. Tek boyutlu uzay V1 düz bir çizgidir ve temeli şunlardan oluşur: bir eşdoğrusal vektör https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width = "39" height = "23 src = "> .

3. Sıradan uzay üç boyutlu uzaydır V3 temeli şunlardan oluşan üç eş düzlemli olmayan vektörler

Buradan, gerçek uzaydaki bir çizgi üzerindeki, bir düzlem üzerindeki temel vektörlerin sayısının, geometride genellikle bir çizginin, düzlemin, uzayın boyutları (boyutları) sayısı olarak adlandırılan sayıyla çakıştığını görüyoruz. Bu nedenle daha genel bir tanım getirilmesi doğaldır.

Tanım. Vektör Uzayı R isminde N– eğer daha fazlası yoksa boyutlu N doğrusal olarak bağımsız vektörler ve gösterilir R N. Sayı N isminde boyut uzay.

Alanın boyutuna uygun olarak bölünmüştür sonlu boyutlu Ve sonsuz boyutlu. Sıfır uzayının boyutu tanım gereği sıfıra eşit kabul edilir.

Not 1. Her uzayda istediğiniz kadar taban belirleyebilirsiniz, ancak belirli bir uzayın tüm tabanları aynı sayıda vektörden oluşur.

Not 2.İÇİNDE N– boyutlu bir vektör uzayında, herhangi bir sıralı koleksiyon temeldir N doğrusal bağımsız vektörler.

3. Uzay yönelimi.

Uzaydaki temel vektörler olsun V3 sahip olmak genel başlangıç Ve sipariş edildi yani hangi vektörün birinci, hangisinin ikinci, hangisinin üçüncü olduğu belirtilir. Örneğin, temelde vektörler indekslemeye göre sıralanır.

Bunun için uzayı yönlendirmek için bir temel oluşturmak ve bunu olumlu ilan etmek gerekiyor .

Uzayın tüm tabanlarından oluşan kümenin iki sınıfa, yani iki ayrı alt kümeye ayrıldığı gösterilebilir.

a) bir alt kümeye (sınıfa) ait tüm bazlar aynısı yönlendirme (aynı adı taşıyan üsler);

b) ait olan herhangi iki baz çeşitli alt kümeler (sınıflar), tam tersi oryantasyon, ( farklı isimler bazlar).

Bir uzayın tabanlarının iki sınıfından biri pozitif, diğeri negatif olarak bildirilirse bu uzaya denir. odaklı .

Çoğu zaman, alanı yönlendirirken bazı üslere denir Sağ, ve diğerleri - sol .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width = "61" height = "24 src = "> çağrılır Sağ, eğer üçüncü vektörün sonundan gözlemlerken, birinci vektörün en kısa dönüşü https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > gerçekleştirilir saat yönünün tersine(Şekil 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" genişlik = "16" yükseklik = "24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" genişlik = "15" yükseklik = "23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" genişlik = "13" yükseklik = "19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" genişlik = "16" yükseklik = "23">

Pirinç. 1.8. Sağ taban (a) ve sol taban (b)

Genellikle mekanın doğru temeli pozitif bir temel olarak beyan edilir

Alanın sağ (sol) temeli aynı zamanda "sağ" ("sol") vida veya burgu kuralı kullanılarak da belirlenebilir.

Buna benzetme yapılarak sağ ve sol kavramı tanıtılmıştır. üçlü sıralanması gereken eş düzlemli olmayan vektörler (Şekil 1.8).

Bu nedenle, genel durumda, aynı düzlemde olmayan vektörlerin iki sıralı üçlüsü uzayda aynı yönelime (aynı ad) sahiptir. V3 her ikisi de sağda veya her ikisi de soldaysa ve - biri sağda, diğeri soldaysa ters yönde (karşıt).

Aynı şey boşluk durumunda da yapılır V2 (uçak).

4. Bir vektörün esaslara göre ayrıştırılması.

Akıl yürütmeyi kolaylaştırmak için, bu soruyu üç boyutlu vektör uzayı örneğini kullanarak ele alalım. R3 .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> bu uzayın isteğe bağlı bir vektörü olsun.

Bir vektör (doğrusal) uzayı, belirli aksiyomları (özellikleri) karşılayan vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayı ile çarpma işlemlerinin tanımlandığı, gerçek bileşenlere sahip bir vektörler (elemanlar) kümesidir.

1)x+en=en+X(toplamanın değişebilirliği);

2)(X+en)+z=X+(sen+z) (eklemenin ilişkilendirilebilirliği);

3) sıfır vektör var 0 (veya boş vektör) koşulu karşılayan X+ 0 =X: herhangi bir vektör için X;

4) herhangi bir vektör için X zıt bir vektör var enöyle ki X+en = 0 ,

5) 1 adet=X,

6) A(bx)=(ab)X(çarpımın ilişkilendirilebilirliği);

7) (A+B)X=Ah+bx(sayısal faktöre göre dağılım özelliği);

8) A(X+en)=Ah+evet(vektör çarpanına göre dağılım özelliği).

Bir P alanı üzerindeki doğrusal (vektör) uzay V(P), boş olmayan bir V kümesidir. V kümesinin elemanlarına vektörler, P alanının elemanlarına ise skalerler denir.

En basit özellikler.

1. Bir vektör uzayı bir Abel grubudur (grup işleminin değişmeli olduğu bir grup. Abel gruplarında grup işlemine genellikle "toplama" adı verilir ve + işaretiyle gösterilir)

2. Nötr öğe, herhangi bir grup özelliğinden çıkan tek öğedir.

3. Herhangi biri için karşıt öğe, grup özelliklerinden çıkan tek öğedir.

4.(–1) x = – x herhangi bir x є V için.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) herhangi bir α є P ve x є V için.

İfade a 1 e 1+a 2 e 2+ … +bir n e n(1) vektörlerin doğrusal birleşimi olarak adlandırılır e 1 , e 2 ,..., en n ihtimalli bir 1, bir 2,..., BİR . Doğrusal kombinasyon (1), katsayılardan en az birinin olması durumunda önemsiz olmayan olarak adlandırılır. a 1 , a 2 ,..., a n sıfırdan farklı. Vektörler e 1 , e 2 ,..., en n sıfır vektör olan önemsiz olmayan bir kombinasyon (1) varsa doğrusal bağımlı olarak adlandırılırlar. Aksi takdirde (yani, vektörlerin yalnızca önemsiz bir kombinasyonu varsa) e 1 , e 2 ,..., en n sıfır vektörüne eşit) vektörleri e 1 , e 2 ,..., en n doğrusal bağımsız denir.

Uzayın boyutu, içinde bulunan LZ vektörlerinin maksimum sayısıdır.

Vektör Uzayı n boyutlu olarak adlandırılır (veya “boyuta sahiptir) N"), eğer varsa N doğrusal bağımsız elemanlar e 1 , e 2 ,..., en , Ve herhangi biri N+ 1 elemanlar doğrusal olarak bağımlıdır (genelleştirilmiş koşul B). Vektör Uzayı içinde herhangi bir doğal durum varsa sonsuz boyutlu olarak adlandırılır N var N doğrusal bağımsız vektörler. Herhangi N doğrusal bağımsız n boyutlu vektörler Vektör Uzayı bu alanın temelini oluşturur. Eğer e 1 , e 2 ,..., en n- temel Vektör Uzayı, o zaman herhangi bir vektör X bu uzay benzersiz bir şekilde temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir: X=a 1 e 1+a 2 e 2+... +bir n e n.
Aynı zamanda rakamlar a 1 , a 2, ..., a n vektör koordinatları denir X bu temelde.

Golovizin V.V. Cebir ve geometri üzerine dersler. 4

Cebir ve geometri üzerine dersler. 2. yarıyıl.

Ders 22. Vektör uzayları.

Özet: bir vektör uzayının tanımı, en basit özellikleri, vektör sistemleri, bir vektör sisteminin doğrusal birleşimi, önemsiz ve önemsiz olmayan doğrusal bileşim, doğrusal olarak bağımlı ve bağımsız vektör sistemleri, bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı veya bağımsızlığı için koşullar vektörler, bir vektör sisteminin alt sistemleri, bir aritmetik vektör uzayının sütun sistemleri.

Madde 1. Vektör uzayının tanımı ve en basit özellikleri.

Burada okuyucunun rahatlığı için 1. dersin 13. paragrafının içeriğini tekrarlıyoruz.

Tanım. Elemanlarına vektör diyeceğimiz, boş olmayan rastgele bir küme, elemanlarına skaler diyeceğimiz bir K alanı olsun. Bir küme üzerinde, + işaretiyle ve vektör toplama olarak adlandıracağımız bir iç ikili cebirsel işlem tanımlansın. Küme üzerinde, bir vektörün bir skalerle çarpımı diyeceğimiz ve çarpma işaretiyle gösterilen harici bir ikili cebirsel işlemin de tanımlandığını varsayalım. Başka bir deyişle, iki eşleme tanımlanır:

Aşağıdaki aksiyomlar geçerliyse, bu iki cebirsel işlemi içeren bir kümeye K alanı üzerinde bir vektör uzayı denir:

1. Ekleme ilişkiseldir, yani.

2. Sıfır vektör var, yani.

3. Herhangi bir vektör için bunun tersi vardır:

X vektörünün karşısındaki y vektörü genellikle -x ile gösterilir, dolayısıyla

4. Toplama değişmelidir, yani. .

5. Bir vektörün bir skalerle çarpımı ilişkisellik yasasına uyar;

burada ürün, K alanında tanımlanan skalerlerin çarpımıdır.

6. , burada 1, K alanının birimidir.

7. Bir vektörün bir skalerle çarpımı, vektörlerin toplamına göre dağılımlıdır:

8. Bir vektörün bir skalerle çarpımı, skalerlerin toplamına göre dağılımsaldır: .

Tanım. Gerçel sayılar alanı üzerindeki bir vektör uzayına gerçel vektör uzayı denir.

Teorem. (Vektör uzaylarının en basit özellikleri.)

1. Bir vektör uzayında yalnızca bir sıfır vektör vardır.

2. Vektör uzayında her vektörün kendine özgü bir karşıtı vardır.

3. veya
.

4. .

Kanıt. 1) Sıfır vektörünün benzersizliği, birim matrisin benzersizliğiyle aynı şekilde ve genel olarak herhangi bir dahili ikili cebirsel işlemin nötr öğesinin benzersizliğiyle kanıtlanır.

V vektör uzayının sıfır vektörü 0 olsun. O halde . İzin vermek
– başka bir sıfır vektörü. Daha sonra . İlk durumu ele alalım
ve ikincisinde –
. Daha sonra
Ve
, bundan şu sonuç çıkıyor
, vesaire.

2a) Öncelikle sıfır skaler ile herhangi bir vektörün çarpımının sıfır vektöre eşit olduğunu kanıtlıyoruz.

İzin vermek
. Daha sonra vektör uzayı aksiyomlarını uygulayarak şunu elde ederiz:

Toplama açısından bir vektör uzayı bir Abel grubudur ve iptal yasası herhangi bir grupta geçerlidir. İptal kanunu uygulandığında son eşitlikten yola çıkılır.

.

2b) Şimdi ifade 4)'ü kanıtlıyoruz. İzin vermek
– keyfi vektör. Daha sonra

Hemen şunu takip eder: vektör
x vektörünün tersidir.

2c) Şimdi izin ver
. Daha sonra vektör uzayı aksiyomlarını kullanarak,
Ve
şunu elde ederiz:

2d) İzin ver
ve varsayalım ki
. Çünkü
, burada K bir cisimdir, o zaman
. Eşitliği çarpalım
sol
:
, aşağıdaki
veya
veya
.

Teorem kanıtlandı.

Madde 2. Vektör uzaylarına örnekler.

1) Fonksiyonların eklenmesi ve bir fonksiyonun bir sayı ile çarpılması gibi olağan işlemlere göre (0; 1) aralığında sürekli olan, tek değişkenli sayısal gerçek fonksiyonlar kümesi.

2) Polinomların toplamına ve polinomların bir skalerle çarpımına göre K alanından katsayıları olan bir harften oluşan bir polinom seti.

3) Karmaşık sayıların bir gerçel sayı ile toplanması ve çarpımına göre karmaşık sayılar kümesi.

4) Matris toplama ve matrisin bir skalerle çarpımı açısından K alanındaki öğelerle aynı büyüklükte bir matris kümesi.

Aşağıdaki örnek, Örnek 4'ün önemli bir özel durumudur.

5) Keyfi bir doğal sayı olsun. Yüksekliği n olan tüm sütunların kümesiyle gösterelim; K boyutunda bir alan üzerinde matrisler kümesi
.

Küme, K alanı üzerinde bir vektör uzayıdır ve K alanı üzerinde n yüksekliğindeki sütunların aritmetik vektör uzayı olarak adlandırılır.

Özellikle, keyfi bir K alanı yerine gerçek sayılar alanını alırsak, o zaman vektör uzayı
yüksekliği n olan sütunların gerçek aritmetik vektör uzayı denir.

Benzer şekilde, bir vektör uzayı da K boyutunda bir alan üzerindeki matrisler kümesidir.
veya başka bir deyişle n uzunluğunda dizeler. Aynı zamanda K alanı üzerinde n uzunluğundaki dizilerin aritmetik vektör uzayı olarak da gösterilir ve denir.

Madde 3. Vektör uzayı vektör sistemleri.

Tanım. Bir vektör uzayındaki vektörler sistemi, bu uzaydaki herhangi bir sonlu, boş olmayan vektör kümesidir.

Tanım:
.

Tanım. İfade

, (1)

K alanının skalerleri nerede, V vektör uzayının vektörleri, bir vektörler sisteminin doğrusal birleşimi olarak adlandırılır
. Skalerlere bu doğrusal kombinasyonun katsayıları denir.

Tanım. Doğrusal bir kombinasyonun (1) tüm katsayıları sıfıra eşitse, bu tür bir doğrusal kombinasyona önemsiz, aksi halde önemsiz denir.

Örnek. İzin vermek
V vektör uzayındaki üç vektörden oluşan sistem. Sonra

– belirli bir vektör sisteminin önemsiz doğrusal kombinasyonu;

belirli bir vektör sisteminin önemsiz olmayan doğrusal birleşimidir, çünkü bu kombinasyonun ilk katsayısı
.

Tanım. V vektör uzayının herhangi bir x vektörü şu şekilde temsil edilebilir:

daha sonra x vektörünün sistemin vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini söylüyorlar
. Bu durumda ayrıca sistemin
x vektörünü doğrusal olarak temsil eder.

Yorum. Bu ve önceki tanımda “doğrusal” kelimesi sıklıkla atlanır ve sistemin bir vektörü temsil ettiği veya vektörün sistem vektörleri vb. cinsinden ifade edildiği söylenir.

Örnek. İzin vermek
yüksekliği 2 olan sütunlardan oluşan bir aritmetik gerçek vektör uzayının iki sütunundan oluşan bir sistemdir.
sistemin sütunları aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir veya belirli bir sütun sistemi x sütununu doğrusal olarak temsil eder. Gerçekten mi,

Madde 4. Bir vektör uzayında doğrusal bağımlı ve doğrusal bağımsız vektör sistemleri.

Sıfır skalerin herhangi bir vektörle çarpımı sıfır vektör olduğundan ve sıfır vektörlerin toplamı sıfır vektöre eşit olduğundan, herhangi bir vektör sistemi için eşitlik

Buradan sıfır vektörünün herhangi bir vektör sisteminin vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiği veya başka bir deyişle herhangi bir vektör sisteminin sıfır vektörünü doğrusal olarak temsil ettiği sonucu çıkar.

Örnek. İzin vermek
. Bu durumda boş sütun sistemin sütunları aracılığıyla doğrusal olarak birden fazla şekilde ifade edilebilir:

veya

Sıfır vektörünün doğrusal temsiline ilişkin bu yöntemler arasında ayrım yapmak için aşağıdaki tanımı sunuyoruz.

Tanım. Eşitlik geçerliyse

ve aynı zamanda tüm katsayılar, o zaman sistemin olduğunu söylüyorlar
boş vektörü önemsiz bir şekilde temsil eder. Eşitlik (3) ise katsayılardan en az biri
sıfıra eşit değilse vektörler sisteminin
boş vektörü önemsiz bir şekilde temsil eder.

Son örnekte sıfır vektörünü önemsiz olmayan şekillerde temsil edebilen vektör sistemlerinin olduğunu görüyoruz. Aşağıdaki örnekten boş vektörü önemsiz olmayan bir şekilde temsil edemeyen vektör sistemlerinin olduğunu göreceğiz.

Örnek. İzin vermek
– bir vektör uzayından iki sütunlu bir sistem. Eşitliği düşünün:

,

Nerede
Henüz bilinmeyen katsayılar. Bir sütunu bir skalerle (sayı) çarpma ve sütunları ekleme kurallarını kullanarak eşitliği elde ederiz:

.

Matris eşitliğinin tanımından şu sonuç çıkar:
Ve
.

Dolayısıyla bu sistem boş sütunu önemsiz olmayan bir şekilde temsil edemez.

Yukarıdaki örneklerden iki tür vektör sisteminin olduğu anlaşılmaktadır. Bazı sistemler boş vektörü önemsiz olmayan bir şekilde temsil ederken diğerleri bunu yapmaz. Herhangi bir vektör sisteminin önemsiz bir şekilde sıfır vektörünü temsil ettiğini tekrar unutmayın.

Tanım. Bir vektör uzayında YALNIZCA boş vektörü önemsiz bir şekilde temsil eden bir vektörler sistemine doğrusal bağımsız denir.

Tanım. Sıfır vektörünü önemsiz olmayan bir şekilde temsil edebilen bir vektör uzayındaki vektörler sistemine doğrusal bağımlı denir.

Son tanım daha ayrıntılı olarak verilebilir.

Tanım. Vektör sistemi
K alanının sıfırdan farklı bir skaler kümesi varsa V vektör uzayına doğrusal bağımlı denir.

Yorum. Herhangi bir vektör sistemi
boş vektörü önemsiz bir şekilde temsil edebilir:

Ancak bu, belirli bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı mı yoksa doğrusal olarak bağımsız mı olduğunu bulmak için yeterli değildir. Tanımdan, doğrusal olarak bağımsız bir vektör sisteminin sıfır vektörünü önemsiz olmayan bir şekilde temsil edemeyeceği, ancak yalnızca önemsiz bir şekilde temsil ettiği sonucu çıkar. Bu nedenle, belirli bir vektörler sisteminin doğrusal bağımsızlığını doğrulamak için, sıfırın bu vektörler sisteminin keyfi bir doğrusal birleşimiyle temsilini dikkate almamız gerekir:

Bu doğrusal kombinasyonun en az bir katsayısının sıfırdan farklı olması koşuluyla bu eşitlik imkansızsa, o zaman bu sistem tanımı gereği doğrusal olarak bağımsızdır.

Yani önceki paragrafın örneklerinde sütun sistemi
doğrusal olarak bağımsızdır ve sütun sistemi
doğrusal bağımlıdır.

Sütun sisteminin doğrusal bağımsızlığı da benzer şekilde kanıtlanır. , , ... ,

K'nin keyfi bir alan olduğu uzaydan, n keyfi bir doğal sayıdır.

Aşağıdaki teoremler, vektör sistemlerinin doğrusal bağımlılığı ve buna bağlı olarak doğrusal bağımsızlığı için çeşitli kriterler sağlar.

Teorem. (Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı için gerekli ve yeterli koşul.)

Bir vektör uzayındaki bir vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmesi durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt. Gereklilik. Sisteme izin ver
doğrusal bağımlı. Daha sonra tanım gereği sıfır vektörünü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder, yani. sıfır vektörüne eşit olan bu vektörler sisteminin önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır:

bu doğrusal kombinasyonun katsayılarından en az birinin sıfıra eşit olmadığı yer. İzin vermek
,
.

Önceki eşitliğin her iki tarafını da sıfır olmayan bu katsayıya bölelim (yani :

Şunu belirtelim:
, Nerede .

onlar. Sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri vb. aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir.

Yeterlilik. Sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilmesine izin verin:

Vektörü hareket ettirelim bu eşitliğin sağ tarafında:

Vektörün katsayısından beri eşittir
, o zaman sıfırın bir vektörler sistemi tarafından önemsiz olmayan bir temsiline sahibiz
, bu, bu vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir, vb.

Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar.

1. Bir vektör uzayındaki bir vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden hiçbiri bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmiyorsa doğrusal olarak bağımsızdır.

2. Sıfır vektör veya iki eşit vektör içeren bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

1) Gereklilik. Sistemin doğrusal bağımsız olmasına izin verin. Bunun tersini varsayalım ve sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilen bir vektörü vardır. O zaman teoreme göre sistem doğrusal bağımlıdır ve bir çelişkiye varırız.

Yeterlilik. Sistemin vektörlerinden hiçbirinin diğerleri cinsinden ifade edilmesine izin vermeyin. Tam tersini varsayalım. Sistemin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin, ancak o zaman teoremden, bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilen sistemin bir vektörünün olduğu sonucu çıkar ve yine bir çelişkiye geliriz.

2a) Sistemin sıfır vektör içermesine izin verin. Kesinlik için vektörün olduğunu varsayalım.
:. O zaman eşitlik açıktır

onlar. sistemin vektörlerinden biri bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden böyle bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu vb. sonucu çıkar.

Bu gerçeğin doğrudan doğrusal bağımlı bir vektör sisteminin tanımıyla kanıtlanabileceğini unutmayın.

Çünkü
, o zaman aşağıdaki eşitlik açıktır

Bu sıfır vektörünün basit olmayan bir temsilidir, yani sistem
doğrusal bağımlıdır.

2b) Sistemin iki eşit vektörü olsun. Kesinlik için izin ver
. O zaman eşitlik açıktır

Onlar. ilk vektör aynı sistemin geri kalan vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden bu sistemin doğrusal olarak bağımlı olduğu vb. sonucu çıkar.

Önceki ifadeye benzer şekilde bu ifade, doğrusal bağımlı bir sistem tanımlanarak doğrudan kanıtlanabilir.

Gerçekten de o zamandan beri
o zaman eşitlik doğrudur

onlar. sıfır vektörünün önemsiz olmayan bir temsiline sahibiz.

Soruşturma kanıtlandı.

Teorem (Bir vektörden oluşan bir sistemin doğrusal bağımlılığı üzerine.

Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektörün sıfır olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

Gereklilik. Sisteme izin ver
doğrusal olarak bağımlı, yani sıfır vektörünün önemsiz olmayan bir temsili var

,

Nerede
Ve
. Vektör uzayının en basit özelliklerinden şu sonuç çıkar:
.

Yeterlilik. Sistemin bir sıfır vektörden oluşmasına izin verin
. O zaman bu sistem önemsiz olmayan bir şekilde sıfır vektörünü temsil eder

,

sistemin doğrusal bağımlılığı buradan kaynaklanır
.

Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar. Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektör sıfırdan farklı ise doğrusal olarak bağımsızdır.

Kanıt okuyucuya bir alıştırma olarak bırakılmıştır.