Y ekseni etrafında dönme ile oluşan bir cismin hacmi. III Devrim organlarının hacimlerinin hesaplanması

12.04.2021

Hariç belirli bir integral kullanarak düz bir şeklin alanını bulma (bkz. 7.2.3.) temanın en önemli uygulaması dönen bir cismin hacminin hesaplanması. Materyal basittir, ancak okuyucu hazırlıklı olmalıdır: çözebilmek gerekir belirsiz integraller orta karmaşıklık ve Newton-Leibniz formülünü belirli integral, n Güçlü çizim becerileri de gereklidir. Genel olarak, integral hesabında birçok ilginç uygulama vardır; belirli bir integral kullanarak, bir şeklin alanını, bir dönüş gövdesinin hacmini, bir yayın uzunluğunu, yüzey alanını hesaplayabilirsiniz vücut ve çok daha fazlası. Koordinat düzleminde düz bir şekil hayal edin. Temsil mi? ... Şimdi bu şekil de döndürülebilir ve iki şekilde döndürülebilir:

- x ekseni etrafında ;

- y ekseni etrafında .

Her iki duruma da bir göz atalım. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilginçtir, en büyük zorluklara neden olur, ancak aslında çözüm, x ekseni etrafında daha yaygın olan döndürme ile hemen hemen aynıdır. En popüler döndürme türüyle başlayalım.

Düz bir şeklin bir eksen etrafında dönmesiyle oluşan bir cismin hacminin hesaplanması ÖKÜZ

örnek 1

Çizgilerle sınırlandırılmış şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. yani uçakta XOY denklemin ekseni tanımladığını unutmadan çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir. Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi gölgelidir, eksen etrafında dönen odur. Döndürmenin bir sonucu olarak, eksen üzerinde iki keskin tepe noktası olan hafif yumurta şeklinde bir uçan daire elde edilir. ÖKÜZ, eksene göre simetrik ÖKÜZ. Aslında vücudun matematiksel bir adı vardır, referans kitabına bakın.

Bir devrim gövdesinin hacmi nasıl hesaplanır? Gövde bir eksen etrafında dönme sonucu oluşmuşsaÖKÜZ, zihinsel olarak küçük kalınlıktaki paralel katmanlara bölünmüştür dx eksene dik olan ÖKÜZ. Tüm vücudun hacmi, açıkça, bu tür temel katmanların hacimlerinin toplamına eşittir. Her katman, yuvarlak bir limon dilimi gibi, düşük silindir yüksekliğindedir. dx ve taban yarıçapı ile F(X). Daha sonra bir katmanın hacmi, taban alanı π'nin ürünüdür. F 2'den silindirin yüksekliğine ( dx) veya π∙ F 2 (X)∙dx. Ve tüm devrim gövdesinin alanı, temel hacimlerin toplamı veya karşılık gelen kesin integral. Dönen bir cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

"a" ve "be" entegrasyon sınırlarının nasıl ayarlanacağını tamamlanmış çizimden tahmin etmek kolaydır. fonksiyon... bu fonksiyon nedir? Çizime bakalım. Düz şekil yukarıdan parabol grafiği ile sınırlanmıştır. Bu, formülde ima edilen işlevdir. Pratik görevlerde, bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. ÖKÜZ. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki işlevin karesi alınır: F 2 (X), Böylece, bir devrim gövdesinin hacmi her zaman negatif değildir, bu oldukça mantıklı. Bu formülü kullanarak devrim gövdesinin hacmini hesaplayın:

Daha önce de belirttiğimiz gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl mesele dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevapta, boyutu - kübik birimleri belirtmek gerekir. Yani, dönüş bedenimizde yaklaşık 3.35 "küp" vardır. Neden tam olarak kübik birimler? Çünkü en evrensel formülasyondur. Santimetreküp olabilir, metreküp olabilir, kilometreküp olabilir vs. işte hayal gücünüzün bir uçan daireye sığdırabileceği kadar küçük yeşil adam.

Örnek 2

Bir eksen etrafında dönerek oluşan bir cismin hacmini bulun ÖKÜZçizgilerle sınırlanmış şekil , , .

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Örnek 3

, , ve çizgileriyle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Denklemin olduğunu unutmadan , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekli çizimde gösterelim. X= 0 ekseni belirtir oy:

İstenen şekil mavi gölgeli. Eksen etrafında döndüğünde ÖKÜZ düz köşeli bir simit (iki konik yüzeye sahip bir rondela) çıkıyor.

Devir gövdesinin hacmi şu şekilde hesaplanır: vücut hacmi farkı. İlk önce kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Eksen etrafında döndüğünde ÖKÜZ kesik bir koni ile sonuçlanır. Bu kesik koninin hacmini şu şekilde gösterelim: V 1 .

Yeşil daire içine alınmış şekli düşünün. Bu rakamı eksen etrafında döndürürsek ÖKÜZ, o zaman sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. Hacmini şu şekilde gösterelim V 2 .

Açıkçası, hacim farkı V = V 1 - V 2, "çöreğimizin" hacmidir.

Dönen bir cismin hacmini bulmak için standart formülü kullanıyoruz:

1) Kırmızı daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgi ile sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgi ile sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenen devir gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda, kesik bir koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak çözümün kontrol edilebileceği merak edilmektedir.

Kararın kendisi genellikle şuna benzer şekilde kısaltılır:

Çizgi sınırlı olsun. düzlem şekli kutupsal koordinat sisteminde verilmiştir.

Örnek: Çevreyi hesapla: x 2 +y 2 =R 2

I çeyreğinde bulunan dairenin 4. kısmının uzunluğunu hesaplayın (х≥0, y≥0):

Eğrinin denklemi param-th formunda verilirse:
, x(t), y(t) fonksiyonları [α,β] doğru parçası üzerindeki türevleri ile birlikte tanımlı ve süreklidir. Türev, ardından formülde bir ikame yapmak:
ve verilen

alırız
çarpan ekle
kök işaretinin altında ve sonunda elde ederiz

Not: Bir düzlem eğrisi verilmiş, uzayda parametreler tarafından verilen bir fonksiyonu da düşünebilirsiniz, sonra z=z(t) fonksiyonu eklenecek ve formül

Örnek: Asteroitin uzunluğunu şu denklemle hesaplayın: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

4. parçanın uzunluğunu hesaplayın:

formüle göre

Kutupsal koordinat sisteminde verilen bir düzlem eğrisi yayının uzunluğu:

Eğrinin denklemi kutupsal koordinat sisteminde verilsin:
[α,β] segmentindeki türevi ile birlikte sürekli bir fonksiyondur.

Kutupsal koordinatlardan geçiş formülleri:

parametrik olarak kabul edilir:

ϕ - f-le'ye göre parametre

Örn: Eğri uzunluğunu hesaplayın:
>0

Z-tion: çevrenin yarısını hesapla:

Vücudun enine kesit alanından hesaplanan bir vücudun hacmi.

Kapalı bir yüzeyle sınırlanan bir cisim verilsin ve bu cismin herhangi bir bölümünün alanı Öküz eksenine dik bir düzlemle bilinsin. Bu alan kesme düzleminin konumuna bağlı olacaktır.

tüm gövde x eksenine dik 2 düzlem arasında, x=a, x=b noktalarında kesişsin (a

Böyle bir cismin hacmini belirlemek için onu Öküz eksenine dik sekant düzlemler kullanarak ve onu noktalarda keserek katmanlara ayırırız. Her kısmi aralıkta
. hadi seçelim

ve her i=1,….,n değeri için, generatriksi Ox'e paralel olan ve kılavuz, cismin x=С i , hacmi taban alanı S=Ci ve yüksekliği ∆хi olan böyle bir temel silindir. V ben =S(C ben)∆x ben . Tüm bu temel silindirlerin hacmi
. Bu toplamın limiti, eğer varsa ve maksimum ∆х  0'da sonluysa, verilen cismin hacmi olarak adlandırılır.

. V n, bir parça üzerinde sürekli bir S(x) fonksiyonunun integral toplamı olduğundan, belirtilen limit mevcuttur (varlığın t-ma'sı) ve tanım ile ifade edilir. ayrılmaz.

- kesit alanından hesaplanan gövde hacmi.

Devrim gövdesinin hacmi:

Gövde, y=f(x) fonksiyonunun grafiği, Öküz ekseni ve x=a, x=b doğruları ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun Öküz ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulsun.

y=f(x) fonksiyonu parça üzerinde tanımlı ve sürekli ve negatif olmayan olsun, o zaman bu cismin Ox'e dik bir düzlemle kesiti yarıçapı R=y(x)=f(x) olan bir dairedir. ) . Dairenin alanı S (x) \u003d Py 2 (x) \u003d P 2. Formülün değiştirilmesi
Öküz ekseni etrafında dönen bir cismin hacmini hesaplamak için bir formül elde ederiz:

Bununla birlikte, fonksiyon üzerinde sürekli bir grafikle sınırlanan eğrisel bir yamuk Oy ekseni etrafında dönüyorsa, o zaman böyle bir dönüş gövdesinin hacmi:

Aynı hacim aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
. Doğru parametrik denklemlerle verilirse:

Değişkeni değiştirerek şunu elde ederiz:

Doğru parametrik denklemlerle verilirse:

y (α)= c , y (β)= d . y = y (t) değişikliğini yaparak şunu elde ederiz:

Parabolün y ekseni etrafındaki dönme cisimlerini hesaplayın, .

2) Düz bir çizgi y \u003d 0, bir yay ile sınırlanmış eğrisel bir yamuğun OX ekseni etrafındaki dönüş gövdesinin V'sini hesaplayın (merkez noktada(1;0) ve yarıçap=1), ile .

Bir devrim gövdesinin yüzey alanı

Verilen yüzey, y=f(x) eğrisinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulsun. Bu yüzeyin S'sini .

Y \u003d f (x) fonksiyonunun belirli ve sürekli olmasına izin verin, segmentin tüm noktalarında negatif ve negatif olmayan [a; c]

Sırasıyla uzunluklarını belirttiğimiz akorları çizelim (n-akorlar)

Lagrange teoremine göre:

Sınırlandırılmış kesikli çizginin tamamının yüzey alanı şuna eşit olacaktır:

tanım: Bu toplamın limiti, eğer sonluysa, sürekli çizginin en büyük halkası max , dikkate alınan dönme yüzeyinin alanı olarak adlandırılır.

Toplamın yüz limitinin, p-th için entegre toplamın limitine eşit olduğu kanıtlanabilir.

Dönen bir cismin S yüzeyi için formül =

x=g(x) eğrisi yayının Oy ekseni etrafında dönmesiyle oluşan yüzeyin S'si

türevi ile sürekli

Eğri parametrik olarak ur-mi ile verilirseX= x(t) ,y= T(T) fonksiyonlarX’(T), y’(T), X(T), y(T) [A; B], X(A)= A, X(B)= Bsonra oyuncu değişikliğini yapmakX= X(T)

Eğri, formülde bir değişiklik yaparak parametrik olarak verilirse, şunu elde ederiz:

Eğrinin denklemi kutupsal koordinat sisteminde verilirse

Seksen etrafındaki dönüş yüzeyi şuna eşit olacaktır:

Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Metodolojik materyaller ve grafiklerin Geometrik dönüşümleri yardımıyla yetkin ve hızlı bir grafik tekniğinde ustalaşabilirsiniz. Ama aslında derste çizimlerin öneminden defalarca bahsetmiştim.

Genel olarak, integral hesabında pek çok ilginç uygulama vardır, belirli bir integralin yardımıyla bir şeklin alanını, bir dönüş gövdesinin hacmini, yay uzunluğunu, yüzey alanını hesaplayabilirsiniz. rotasyon ve çok daha fazlası. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser olun!

Koordinat düzleminde düz bir şekil hayal edin. Temsil mi? ... Acaba kim neyi sundu ... =))) Biz zaten alanını bulduk. Ancak ek olarak, bu şekil döndürülebilir ve iki şekilde döndürülebilir:

- apsis ekseni etrafında;
- y ekseni etrafında.

Bu yazıda her iki durum da tartışılacaktır. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilginçtir, en büyük zorluklara neden olur, ancak aslında çözüm, x ekseni etrafında daha yaygın olan döndürme ile hemen hemen aynıdır. Bonus olarak geri döneceğim bir şeklin alanını bulma sorunu, ve alanı ikinci şekilde - eksen boyunca nasıl bulacağınızı söyleyin. Materyal temaya iyi uyduğu için bir bonus bile değil.

En popüler döndürme türüyle başlayalım.

bir eksen etrafında düz şekil

örnek 1

Çizgilerle sınırlandırılmış şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Alan probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani düzlemde, denklemin ekseni tanımladığını unutmadan çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir. Daha rasyonel ve daha hızlı bir çizimin nasıl yapıldığını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel Fonksiyonların Grafikleri ve Özellikleri Ve Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Bu bir Çin hatırlatması ve bu noktada durmuyorum.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi ile gölgelendirilir ve eksen etrafında dönen bu şekildir Döndürme sonucunda eksene göre simetrik olan böyle hafif yumurta şeklinde bir uçan daire elde edilir. Aslında, vücudun matematiksel bir adı var, ancak referans kitabında bir şey belirtmek için çok tembel, bu yüzden devam ediyoruz.

Bir devrim gövdesinin hacmi nasıl hesaplanır?

Dönen bir cismin hacmi formülle hesaplanabilir.:

Formülde, integralden önce bir sayı olmalıdır. Öyle oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılı.

"a" ve "be" entegrasyonunun sınırlarının nasıl belirleneceğini, tamamlanmış çizimden tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

fonksiyon... bu fonksiyon nedir? Çizime bakalım. Düz şekil yukarıdan parabol grafiği ile sınırlanmıştır. Bu, formülde ima edilen işlevdir.

Pratik görevlerde, bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki integralin karesi alınır: , yani integral her zaman negatif değildir, bu oldukça mantıklı.

Bu formülü kullanarak devrim gövdesinin hacmini hesaplayın:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl mesele dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevapta, boyutu - kübik birimleri belirtmek gerekir. Yani, dönüş bedenimizde yaklaşık 3.35 "küp" vardır. Neden tam olarak kübik birimler? Çünkü en evrensel formülasyon. Santimetreküp olabilir, metreküp olabilir, kilometreküp olabilir vs. işte hayal gücünüzün bir uçan daireye sığdırabileceği kadar küçük yeşil adam.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlandırılmış şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulunuz , ,

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Uygulamada da sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

, , ve çizgileriyle sınırlandırılmış şeklin apsis ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizin:

İstenen şekil mavi gölgeli. Eksen etrafında döndüğünde, dört köşeli böyle gerçeküstü bir halka elde edilir.

Devir gövdesinin hacmi şu şekilde hesaplanır: vücut hacmi farkı.

İlk önce kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Eksen etrafında döndüğünde kesik bir koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini olarak gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli düşünün. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çöreğimizin" hacmidir.

Dönen bir cismin hacmini bulmak için standart formülü kullanıyoruz:

1) Kırmızı daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgi ile sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgi ile sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenen devir gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda, kesik bir koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak çözümün kontrol edilebileceği merak edilmektedir.

Kararın kendisi genellikle şuna benzer şekilde kısaltılır:

Şimdi biraz ara verelim ve geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

İnsanlar genellikle, Perelman'ın (başka bir) kitapta fark ettiği ciltlerle ilişkili illüzyonlara sahiptir. ilginç geometri. Çözülmüş problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrim gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, ki bu çok büyük görünüyor. Bu arada, ortalama bir insan hayatı boyunca 18 metrekarelik bir oda hacminde bir sıvı içiyor, aksine hacim çok küçük görünüyor.

Genel olarak, SSCB'deki eğitim sistemi gerçekten en iyisiydi. Perelman'ın 1950'de yayınlanan aynı kitabı, mizahçının dediği gibi, akıl yürütmeyi çok iyi geliştirir ve sorunlara standart dışı orijinal çözümler aramayı öğretir. Son zamanlarda bazı bölümleri büyük bir ilgiyle yeniden okudum, tavsiye ediyorum, insani yardım isteyenler için bile erişilebilir. Hayır, ısmarlama bir eğlence, bilgelik ve iletişimde geniş bir bakış açısı önerdiğim için gülümsemenize gerek yok, harika bir şey.

Lirik bir konudan sonra, yaratıcı bir görevi çözmek tam olarak uygundur:

Örnek 4

, , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şeklin ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan bir cismin hacmini hesaplayınız .

Bu bir kendin yap örneğidir. Her şeyin bantta gerçekleştiğine dikkat edin, yani hazır entegrasyon limitleri aslında verilmiştir. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini doğru bir şekilde çizin, size dersin materyalini hatırlatacağım. grafiklerin geometrik dönüşümleri: bağımsız değişken ikiye bölünebilirse: , grafikler eksen boyunca iki kez uzatılır. En az 3-4 puan bulunması arzu edilir trigonometrik tablolara göreçizimi daha doğru bir şekilde tamamlamak için. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Bu arada, görev rasyonel olarak çözülebilir ve çok rasyonel değil.

Dönme ile oluşan bir cismin hacminin hesaplanması
bir eksen etrafında düz şekil

İkinci paragraf birinciden daha da ilginç olacak. Y ekseni etrafında dönen bir cismin hacmini hesaplama görevi de testlerde oldukça sık ziyaret edilen bir konu. geçerken dikkate alınacak bir şeklin alanını bulma problemi ikinci yol - eksen boyunca entegrasyon, bu sadece becerilerinizi geliştirmenize değil, aynı zamanda size en karlı çözümü nasıl bulacağınızı da öğretecektir. Ayrıca pratik bir anlamı var! Matematik öğretim yöntemleri öğretmenimin gülümseyerek hatırladığı gibi, birçok mezun ona şu sözlerle teşekkür etti: "Konunun bize çok yardımcı oldu, artık etkili yöneticileriz ve kadromuzu en iyi şekilde yönetiyoruz." Bu fırsatı değerlendirerek, özellikle edinilen bilgileri amacına uygun kullandığım için ona büyük şükranlarımı sunuyorum =).

Herkesin okumasını tavsiye ederim, hatta tam mankenler bile. Ayrıca, ikinci paragrafın asimile edilmiş materyali, çift katlı integrallerin hesaplanmasında paha biçilmez bir yardımcı olacaktır..

Örnek 5

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şekil verildiğinde , , .

1) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun.
2) Bu çizgilerle çevrelenmiş düz bir şekli eksen etrafında döndürerek elde edilen cismin hacmini bulunuz.

Dikkat! Sadece ikinci paragrafı okumak isteseniz bile, önce zorunlu olarak ilkini oku!

Çözüm: Görev iki bölümden oluşmaktadır. Kare ile başlayalım.

1) Çizimi çalıştıralım:

Fonksiyonun parabolün üst kolunu tanımladığını ve fonksiyonun parabolün alt kolunu tanımladığını görmek kolaydır. Önümüzde "yan yatmış" önemsiz bir parabol var.

Alanı bulunacak istenen şekil mavi renkle gölgelendirilir.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur? Derste ele alınan "olağan" şekilde bulunabilir. Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Ayrıca şeklin alanı, alanların toplamı olarak bulunur:
- segmentte ;
- segmentte.

Bu yüzden:

Bu durumda olağan çözümde yanlış olan ne? İlk olarak, iki integral vardır. İkincisi, integraller altındaki kökler ve integrallerdeki kökler bir hediye değildir, ayrıca entegrasyonun sınırlarını değiştirirken kafanız karışabilir. Aslında, integraller elbette ölümcül değil, ancak pratikte her şey çok daha üzücü, görev için sadece "daha iyi" işlevler aldım.

Daha rasyonel bir çözüm var: ters fonksiyonlara geçiş ve eksen boyunca entegrasyondan oluşuyor.

Ters fonksiyonlara nasıl geçilir? Kabaca konuşursak, "x"i "y" ile ifade etmeniz gerekir. İlk olarak, parabol ile ilgilenelim:

Bu kadar yeter ama aynı fonksiyonun alt daldan da türetilebildiğinden emin olalım:

Düz bir çizgi ile her şey daha kolay:

Şimdi eksene bakın: lütfen açıklarken başınızı periyodik olarak 90 derece sağa eğin (bu bir şaka değil!). İhtiyacımız olan rakam, kırmızı noktalı çizgi ile gösterilen segmentte yer almaktadır. Ayrıca, segmentte düz çizgi parabolün üzerinde bulunur, bu da şeklin alanının size zaten tanıdık gelen formül kullanılarak bulunması gerektiği anlamına gelir: . Formülde neler değişti? Sadece bir mektup ve daha fazlası değil.

! Not: Eksen boyunca entegrasyon limitleri ayarlanmalıdır kesinlikle aşağıdan yukarıya!

Alanı bulmak:

Bu nedenle segmentte:

Entegrasyonu nasıl gerçekleştirdiğime dikkat edin, bu en akılcı yoldur ve ödevin bir sonraki paragrafında neden olduğu netleşecektir.

Entegrasyonun doğruluğundan şüphe duyan okuyucular için türevleri bulacağım:

Orijinal integral elde edilir, bu da entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir.

Cevap:

2) Bu şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayınız.

Çizimi biraz farklı bir tasarımla yeniden çizeceğim:

Böylece mavi gölgeli şekil eksen etrafında döner. Sonuç, kendi ekseni etrafında dönen bir "uçan kelebek".

Dönen cismin hacmini bulmak için eksen boyunca integral alacağız. İlk önce ters fonksiyonlara geçmeliyiz. Bu zaten yapılmış ve önceki paragrafta ayrıntılı olarak açıklanmıştır.

Şimdi başımızı tekrar sağa eğerek figürümüzü inceliyoruz. Açıkçası, devrim gövdesinin hacmi, hacimler arasındaki fark olarak bulunmalıdır.

Kırmızı daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürerek kesik bir koni elde ediyoruz. Bu hacmi ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürüyoruz ve ortaya çıkan dönüş gövdesinin hacmiyle gösteriyoruz.

Kelebeğimizin hacmi hacim farkına eşittir.

Dönen bir cismin hacmini bulmak için formülü kullanıyoruz:

Önceki paragrafın formülünden farkı nedir? Sadece harflerle.

Ve işte bir süre önce bahsettiğim entegrasyonun avantajı, onu bulmak çok daha kolay integrali 4. kuvvete yükseltmektense.

Cevap:

Ancak hasta bir kelebek.

Aynı düz şekil eksen etrafında döndürülürse, doğal olarak farklı bir hacimde tamamen farklı bir dönüş gövdesi ortaya çıkacağına dikkat edin.

Örnek 6

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şekil ve bir eksen verilir.

1) Ters fonksiyonlara gidin ve bu doğrularla sınırlanan düz bir şeklin alanını değişken üzerinden integral alarak bulun.
2) Bu çizgilerle çevrelenmiş düz bir şekli eksen etrafında döndürerek elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Bu bir kendin yap örneğidir. Dileyenler ayrıca şeklin alanını "olağan" şekilde bulabilir ve böylece 1. noktadaki testi tamamlayabilirler). Ama tekrar ediyorum, düz bir şekli eksen etrafında döndürürseniz, o zaman farklı bir hacme sahip tamamen farklı bir dönüş gövdesi elde edersiniz, bu arada, doğru cevap (çözmeyi sevenler için de).

Dersin sonunda görevin önerilen iki öğesinin tam çözümü.

Oh, ve rotasyon cisimlerini ve entegrasyon içinde anlamak için başınızı sağa yatırmayı unutmayın!

Dışında belirli bir integral kullanarak düz bir şeklin alanını bulma temanın en önemli uygulaması dönen bir cismin hacminin hesaplanması. Materyal basittir, ancak okuyucu hazırlıklı olmalıdır: çözebilmek gerekir belirsiz integraller orta karmaşıklık ve Newton-Leibniz formülünü kesin integral . Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Metodolojik materyalin yardımıyla grafik çizmenin yetkin ve hızlı tekniğinde ustalaşabilirsiniz. . Ama aslında derste çizimlerin öneminden defalarca bahsetmiştim. .

Genel olarak, integral hesabında pek çok ilginç uygulama vardır, belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını, bir dönüş gövdesinin hacmini, bir yayın uzunluğunu, yüzey alanını hesaplayabilirsiniz. vücudun ve çok daha fazlası. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser olun!

– x ekseni etrafında; - y ekseni etrafında.

Bu yazıda her iki durum da tartışılacaktır. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilginçtir, en büyük zorluklara neden olur, ancak aslında çözüm, x ekseni etrafında daha yaygın olan döndürme ile hemen hemen aynıdır. Bonus olarak geri döneceğim bir şeklin alanını bulma sorunu , ve alanı ikinci şekilde - eksen boyunca nasıl bulacağınızı söyleyin. Materyal temaya iyi uyduğu için bir bonus bile değil.

En popüler döndürme türüyle başlayalım.

Düz bir şeklin bir eksen etrafında dönmesiyle oluşan bir cismin hacminin hesaplanması

örnek 1

Çizgilerle sınırlandırılmış şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani düzlemde, denklemin ekseni tanımladığını unutmadan çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir. Daha rasyonel ve daha hızlı bir çizimin nasıl yapıldığını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel Fonksiyonların Grafikleri ve Özellikleri Ve Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır . Bu bir Çin hatırlatması ve bu noktada durmuyorum.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi gölgelidir, eksen etrafında dönen odur. Döndürme sonucunda eksene göre simetrik olan bu hafif yumurta şeklindeki uçan daire elde edilir. Aslında vücudun matematiksel bir adı var ama referans kitaptaki bir şeye bakmak için çok tembel, o yüzden devam ediyoruz.

Bir devrim gövdesinin hacmi nasıl hesaplanır?

Dönen bir cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Formülde, integralden önce bir sayı olmalıdır. Öyle oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılı.

"a" ve "be" entegrasyonunun sınırlarının nasıl belirleneceğini, tamamlanmış çizimden tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

fonksiyon... bu fonksiyon nedir? Çizime bakalım. Düz şekil yukarıdan parabol grafiği ile sınırlanmıştır. Bu, formülde ima edilen işlevdir.

Pratik görevlerde, bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki işlevin karesi alınır: , yani bir devrim gövdesinin hacmi her zaman negatif değildir, bu oldukça mantıklı.

Bu formülü kullanarak devrim gövdesinin hacmini hesaplayın:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl mesele dikkatli olmaktır.

Cevap:

Örnek 2

Çizgilerle sınırlandırılmış şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulunuz , ,

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Uygulamada da sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

, , ve çizgileriyle sınırlandırılmış şeklin apsis ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil gösterelim: