Hustota pravdepodobnosti náhodnej premennej sa rovná. Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti a hustota pravdepodobnosti

Spojité náhodné premenné sa vyznačujú tým, že ich hodnoty sa môžu navzájom ľubovoľne málo líšiť.

Pravdepodobnosť udalosti X < X(Kde X je hodnota a X je ľubovoľne nastavená hodnota), považovaná za funkciu X, sa volá funkcia rozdelenia pravdepodobnosti:

F(X) = R(X <X).

Derivácia funkcie rozdelenia pravdepodobnosti sa nazýva funkcia hustoty pravdepodobnosti alebo hustota pravdepodobnosti:

f(X) = F"(X).

Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti je vyjadrená pomocou hustoty pravdepodobnosti ako integrálu:

X 1 , X 2) sa rovná prírastku funkcie rozdelenia pravdepodobnosti na tomto intervale:

P(X 1 <X<X 2) = F(X 2) – F(X 1). (4)

3.1. Náhodná hodnota X daná funkciou rozdelenia pravdepodobnosti:

Nájdite hustotu pravdepodobnosti f(X) a pravdepodobnosť, že náhodná premenná X spadne do intervalov (1; 2,5), (2,5; 3,5).

Riešenie. Hustota pravdepodobnosti sa zistí podľa vzorca f(X) = F"(X):

Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej X do intervalov vypočítame podľa vzorca (3.1):

R(1 < X < 2,5) = F(2,5) – F(1) = 0,5 2 – 0 = 0,25;

R(2,5 < X < 3,5) = F(3,5) – F(2,5) = 1 – 0,25= 0,75.

3.2. Hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X:

Funkcia nájsť distribúciu F(X) a zostavte jeho graf.

Riešenie.

ak ,

Ak X > 2.

Graf funkcie je znázornený na obr. 3.1.

Ryža. 3.1

3.3. Hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X uvedené vo formulári

Nájdite parameter C.

Riešenie. Na základe rovnosti

Matematické očakávanie a rozptyl. Režim a medián

Priemerná hodnota alebo matematické očakávanie spojitá náhodná premenná X

M(X) = M x = ,

Kde f(X) je hustota pravdepodobnosti.

disperzia spojitá náhodná premenná X sa nazýva hodnota integrálu

D(X) = Dx= .

Vzorec možno použiť aj na určenie disperzie

D x = .

Móda M 0 (X X nazýva sa hodnota tejto veličiny, ktorej hustota pravdepodobnosti je maximálna.

Medián Ja(X) spojitá náhodná premenná X jeho hodnota sa nazýva taká, že rovnosť

R(X < ja) = R(X > ja).

3.4. Náhodná hodnota X f(X) = X/2 v intervale (0; 2), mimo tohto intervalu f(X) = 0. Nájdite matematické očakávanie množstva X.

Riešenie. Na základe vzorca

3.5. Náhodná hodnota X daný hustotou pravdepodobnosti f(X) = X/8 v intervale (0; 4). Mimo tohto rozsahu f(X) = 0. Nájdite matematické očakávanie.

3.6. Náhodná hodnota X daný hustotou pravdepodobnosti f(X) = o . Nájdite matematické očakávanie.

3.7. Náhodná hodnota X daný hustotou pravdepodobnosti f(X) = S(X 2 + 2X) v intervale (0; 1). Mimo tohto rozsahu f(X) = 0. Nájdite parameter S.

Riešenie. Pretože

Kde S = .

Rovnomerné rozdelenie

Nazýva sa spojitá náhodná premenná rovnomerne rozložené na segmente [ A, b] ak má hustota pravdepodobnosti tvar:

Matematické očakávanie a rozptyl rovnomerne rozloženej náhodnej premennej sú definované výrazmi

3.8. Náhodná hodnota X rozložené rovnomerne po segmente. Funkcia nájsť distribúciu F(X), matematické očakávanie, rozptyl a štandardná odchýlka hodnoty.

Riešenie. Hustota pravdepodobnosti pre množstvo X vyzerá ako:

Preto distribučná funkcia vypočítaná podľa vzorca:

,

bude napísané takto:

Matematické očakávanie bude M x= (1 + 6)/2 = 3,5. Nájdite rozptyl a štandardnú odchýlku:

Dx = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

Normálne rozdelenie

Náhodná hodnota X je normálne rozložená, ak jej funkcia hustoty pravdepodobnosti má tvar:

Kde M x- očakávaná hodnota;

je štandardná odchýlka.

Pravdepodobnosť náhodnej premennej spadajúcej do intervalu ( A, b) sa zistí podľa vzorca

R(A < X < b) = F – F = F( z 2) – F( z 1), (5)

kde F( z) = je Laplaceova funkcia.

Hodnoty Laplaceovej funkcie pre rôzne hodnoty z sú uvedené v prílohe 2.

3.9. Matematické očakávanie normálne rozloženej náhodnej premennej X rovná sa M x= 5, rozptyl je Dx= 9. Napíšte výraz pre hustotu pravdepodobnosti.

3.10. Matematické očakávanie a smerodajná odchýlka normálne rozloženej náhodnej premennej X sú 12 a 2. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnotu obsiahnutú v intervale (14; 16).

Riešenie. Používame vzorec (21.2), pričom to berieme do úvahy M x = 12, = 2:

R(14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

Podľa tabuľky hodnôt Laplaceovej funkcie nájdeme Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772. Po substitúcii dostaneme hodnotu požadovanej pravdepodobnosti:

R(14 <X < 16) = 0,1359.

3.11. Existuje náhodná premenná X, rozdelené podľa normálneho zákona, ktorého matematické očakávanie sa rovná 20, smerodajná odchýlka sa rovná 3. Nájdite interval symetrický vzhľadom na matematické očakávanie, v ktorom s pravdepodobnosťou R= 0,9972 dostane náhodnú premennú.

Riešenie. Pretože R(X 1 < X < X 2) = R= 2Ф(( X 2 – M x)/ ), potom Ф( z) = R/2 = 0,4986. Podľa tabuľky Laplaceovej funkcie zistíme hodnotu z, čo zodpovedá získanej hodnote funkcie Ф( z) = 0,4986: z= 2,98. Vzhľadom na skutočnosť, že z = (X 2 – M x)/ , definujeme = X 2 – M x = z= 3 2,98 = 8,94. Požadovaný interval bude vyzerať takto (11.06; 28.94).

Berieme to do úvahy f(X) = F"(X). Potom dostaneme:

Dosaďte vo výraze matematické očakávanie

.

Integráciou po častiach dostaneme M x= 1/ , alebo M x = 1/0,1.

Na určenie rozptylu integrujeme prvý člen po častiach. V dôsledku toho dostaneme:

.

Zoberme do úvahy nájdený výraz pre M x. Kde

.

V tomto prípade M x = 10, Dx = 100.

SYSTÉMY NÁHODNÝCH PREMENNÝCH

Vlastnosti hustoty distribúcie

Najprv si pripomeňme, aká je hustota distribúcie:

Zvážte vlastnosti distribučnej hustoty:

Vlastnosť 1: Funkcia hustoty distribúcie $\varphi (x)$ je nezáporná:

Dôkaz.

Vieme, že distribučná funkcia $F(x)$ je neklesajúca funkcia. Z definície vyplýva, že $\varphi \left(x\right)=F"(x)$ a derivácia neklesajúcej funkcie -- je nezáporná funkcia.

Geometricky táto vlastnosť znamená, že graf funkcie hustoty rozdelenia $\varphi \left(x\right)$ je buď nad alebo na samotnej osi $Ox$ (obr. 1)

Obrázok 1. Ilustrácia nerovnosti $\varphi (x)\ge 0$.

Vlastnosť 2: Nevlastný integrál funkcie hustoty rozdelenia v rámci $-\infty $ až $+\infty $ sa rovná 1:

Dôkaz.

Pripomeňme si vzorec na zistenie pravdepodobnosti, že náhodná premenná spadá do intervalu $(\alpha ,\beta)$:

Obrázok 2

Nájdite pravdepodobnosť, že náhodná premenná spadá do intervalu $(-\infty ,+\infty $):

Obrázok 3

Je zrejmé, že náhodná premenná bude vždy spadať do intervalu $(-\infty ,+\infty $), preto je pravdepodobnosť takéhoto zásahu rovná jednej. Dostaneme:

Geometricky druhá vlastnosť znamená, že plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená grafom funkcie hustoty rozdelenia $\varphi (x)$ a osou x je číselne rovná jednej.

Môžete tiež formulovať inverznú vlastnosť:

Vlastnosť 3: Akákoľvek nezáporná funkcia $f(x)\ge 0$ spĺňajúca rovnosť $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ je funkcia hustoty rozdelenia nejaká spojitá náhodná veličina.

Pravdepodobný význam hustoty distribúcie

Dajme premennej $x$ prírastok $\trojuholník x$.

Pravdepodobný význam hustoty rozdelenia: Pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná $X$ nadobudne hodnoty z intervalu $(x,x+\trojuholník x)$, sa približne rovná súčinu hustoty rozdelenia pravdepodobnosti v bode $x $ a prírastok $\trojuholník x$:

Obrázok 4. Geometrická ilustrácia pravdepodobnostného významu hustoty distribúcie spojitej náhodnej premennej.

Príklady riešenia problémov pomocou vlastností hustoty rozdelenia

Príklad 1

Funkcia hustoty rozdelenia pravdepodobnosti má tvar:

Obrázok 5

1. Nájdite koeficient $\alpha $.
2. Zostrojte graf hustoty distribúcie.

1. Uvažujme nesprávny integrál $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)$, dostaneme:

Obrázok 6

Pomocou vlastnosti 2 dostaneme:

\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac(1)(2).\]

To znamená, že funkcia hustoty distribúcie má tvar:

Obrázok 7

1. Poďme si to nakresliť:

Obrázok 8

Príklad 2

Funkcia hustoty rozdelenia má tvar $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$

(Pripomeňme, že $chx$ je hyperbolický kosínus).

Nájdite hodnotu koeficientu $\alpha $.

Riešenie. Používame druhú vlastnosť:

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \limits^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\]

Keďže $chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$, potom

\[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x)))=2arctge^x+C\]

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \]

Preto:

\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]

Definícia . nepretržitý sa nazýva náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť všetky hodnoty z určitého konečného alebo nekonečného intervalu.

Pre spojitú náhodnú premennú sa zavádza pojem distribučnej funkcie.

Definícia. distribučná funkcia Pravdepodobnosti náhodnej premennej X sa nazývajú funkcia F(x), ktorá pre každú hodnotu x určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu ako x, teda:

F(x) = P(X< x)

Často sa namiesto termínu „distribučná funkcia“ používa termín „integrálna distribučná funkcia“.

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1. Hodnoty distribučnej funkcie patria do segmentu:

0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. Distribučná funkcia je neklesajúca funkcia, to znamená:

ak x > x ,

potom F(x) ≥ F(x).

3. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnotu obsiahnutú v intervale:

pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X bude mať akúkoľvek hodnotu z intervalu [ a; b], sa rovná určitému integrálu jeho hustoty pravdepodobnosti v rozsahu od a predtým b:

.

V tomto prípade všeobecný vzorec funkcie F(X) rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej, ktoré možno použiť, ak je známa funkcia hustoty f(X) :

.

Graf hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny sa nazýva jej distribučná krivka (obr. nižšie).

Oblasť obrázku (na obrázku vytieňovaná), ohraničená krivkou, rovné čiary nakreslené z bodov a A b kolmá na os x a os Oh, graficky zobrazuje pravdepodobnosť, že hodnota spojitej náhodnej premennej X je v dosahu a predtým b.

Vlastnosti funkcie hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej

1. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu z intervalu (a oblasti obrázku, ktorá je obmedzená grafom funkcie f(X) a os Oh) sa rovná jednej:

2. Funkcia hustoty pravdepodobnosti nemôže nadobúdať záporné hodnoty:

a mimo existencie rozdelenia je jeho hodnota nula

Hustota distribúcie f(X), ako aj distribučnú funkciu F(X), je jednou z foriem distribučného zákona, ale na rozdiel od distribučnej funkcie nie je univerzálna: hustota distribúcie existuje len pre spojité náhodné premenné.

Spomeňme dva v praxi najdôležitejšie typy rozdelenia spojitej náhodnej premennej.

Ak funkcia hustoty distribúcie f(X) spojitá náhodná premenná v nejakom konečnom intervale [ a; b] nadobúda konštantnú hodnotu C, a mimo intervalu nadobudne hodnotu rovnajúcu sa nule, potom toto rozdelenie sa nazýva rovnomerné .

Ak je graf funkcie hustoty distribúcie symetrický okolo stredu, priemerné hodnoty sú sústredené blízko stredu a pri pohybe od stredu sa zhromažďujú viac odlišné od priemerov (graf funkcie sa podobá rezu zvonček), potom toto rozdelenie sa nazýva normálne .

Príklad 1 Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej je známa:

Nájdite funkciu f(X) hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej. Nakreslite grafy pre obe funkcie. Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 4 do 8: .

Riešenie. Funkciu hustoty pravdepodobnosti získame nájdením derivácie funkcie rozdelenia pravdepodobnosti:

Graf funkcií F(X) - parabola:

Graf funkcií f(X) - priamka:

Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 4 do 8:

Príklad 2 Funkcia hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej je daná ako:

Vypočítajte faktor C. Nájdite funkciu F(X) rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej. Nakreslite grafy pre obe funkcie. Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 0 do 5: .

Riešenie. Koeficient C pomocou vlastnosti 1 funkcie hustoty pravdepodobnosti nájdeme:

Funkcia hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej je teda:

Integráciou nájdeme funkciu F(X) rozdelenia pravdepodobnosti. Ak X < 0 , то F(X) = 0. Ak 0< X < 10 , то

.

X Potom > 10 F(X) = 1 .

Úplný záznam funkcie rozdelenia pravdepodobnosti je teda:

Graf funkcií f(X) :

Graf funkcií F(X) :

Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 0 do 5:

Príklad 3 Hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X je daný rovnosťou , pričom . Nájdite koeficient A, pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X nadobúda nejakú hodnotu z intervalu ]0, 5[, distribučnej funkcie spojitej náhodnej premennej X.

Riešenie. Podľa podmienok sa dostávame k rovnosti

Preto, odkiaľ. takže,

.

Teraz nájdeme pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X bude nadobúdať akúkoľvek hodnotu z intervalu ]0, 5[:

Teraz dostaneme distribučnú funkciu tejto náhodnej premennej:

Príklad 4 Nájdite hustotu pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X, ktorý nadobúda iba nezáporné hodnoty, a jeho distribučnú funkciu .

Očakávaná hodnota

Disperzia spojitá náhodná premenná X, ktorej možné hodnoty patria do celej osi Ox, je určená rovnosťou:

Pridelenie služby. Online kalkulačka je určená na riešenie problémov, v ktorých buď hustota distribúcie f(x) alebo distribučná funkcia F(x) (pozri príklad). Zvyčajne v takýchto úlohách je potrebné nájsť matematické očakávanie, smerodajná odchýlka, graf funkcií f(x) a F(x).

Inštrukcia. Vyberte typ vstupných údajov: distribučná hustota f(x) alebo distribučná funkcia F(x) .

Distribučná hustota f(x) je daná:

Distribučná funkcia F(x) je daná:

Spojitá náhodná premenná je definovaná hustotou pravdepodobnosti
(Rayleighov distribučný zákon – používaný v rádiotechnike). Nájdite M(x) , D(x) .

Volá sa náhodná premenná X nepretržitý , ak jej distribučná funkcia F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej sa používa na výpočet pravdepodobnosti náhodnej premennej spadajúcej do daného intervalu:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
navyše pre spojitú náhodnú premennú nezáleží na tom, či sú jej hranice zahrnuté v tomto intervale alebo nie:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Hustota distribúcie spojitá náhodná premenná sa nazýva funkcia
f(x)=F'(x) , derivácia distribučnej funkcie.

Vlastnosti hustoty distribúcie

1. Hustota distribúcie náhodnej premennej je nezáporná (f(x) ≥ 0) pre všetky hodnoty x.
2. Normalizačná podmienka:

Geometrický význam podmienky normalizácie: plocha pod krivkou hustoty distribúcie sa rovná jednej.
3. Pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej X v intervale od α do β možno vypočítať podľa vzorca

Geometricky sa pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X spadá do intervalu (α, β), rovná ploche krivočiareho lichobežníka pod krivkou hustoty rozloženia založenej na tomto intervale.
4. Distribučná funkcia je vyjadrená z hľadiska hustoty takto:

Hodnota hustoty rozdelenia v bode x sa nerovná pravdepodobnosti získania tejto hodnoty, pri spojitej náhodnej premennej môžeme hovoriť len o pravdepodobnosti pádu do daného intervalu. nech)