Verilen parametrelere göre üçgen parametreleri. Üçgenin alanı Bir üçgenin açılarının verilen kenarlardan belirlenmesi

08.06.2023

ANDREY PROKIP: “SEVGİLİM RUS EKOLOJİSİDİR. BUNA YATIRIM YAPMALISINIZ!”
4-5 Eylül tarihlerinde “Şehirlerin İklimsel Şekli” çevre forumu düzenlendi. Etkinliğin başlatıcısı BM tarafından 2005 yılında kurulan C40 örgütüdür. Formun ve şehirlerin temel görevi şehirlerdeki iklim değişikliğini kontrol altına almaktır.
Uygulamanın gösterdiği gibi, sosyal etkinliklerin ve "gece kulüplerindeki toplantıların" aksine, çok az milletvekili ve tanınmış kişi vardı. Çevresel durumla ilgili gerçekten endişe duyanlar arasında Prokip Adrey Zinovievich de vardı. Cumhurbaşkanı Özel Temsilcisi ile birlikte tüm genel kurul oturumlarında aktif rol aldı. Rusya Federasyonu iklim sorunları hakkında Ruslan Edelgeriev, Moskova Konut ve Toplumsal Hizmetlerden Sorumlu Belediye Başkan Yardımcısı Pyotr Biryukov ve yabancı temsilciler - İtalya'nın Savona şehrinin belediye başkanı - Ilario Caprioglio. Katılımcılar projelerini sunarak küresel sıcaklıklardaki artışın durdurulmasına yönelik stratejileri tartıştı ve önerilerde bulundu. pratik çözümler Sürdürülebilir kentsel gelişim.
ANDREY PROKIP ŞAŞLIKLAR, MİLLETVEKİLLERİ VE YEŞİL BİNA HAKKINDA
Aralarında Avrupalı mimarların, bilim adamlarının ve Savona belediye başkanlarının da bulunduğu konuşmacıların konuşmaları Rus tarafı tarafından özellikle ilgi gördü. Konuşmanın konusu ÜST yön - “yeşil inşaat” idi. Andrey Prokip'in kendisinin de belirttiği gibi, “Moskova gibi bir metropol için kaynakların doğru şekilde yeniden dağıtılmasının yanı sıra Avrupa inşaat standartlarının dikkate alınması da önemlidir. Rusya'nın Federal düzeyde “yeşil finansmana” yönelik bir yol izlemesi gerekiyor, özellikle de ekonomik olarak mümkün olduğu ve pratikte görüldüğü gibi karlı olduğu için.” Ayrıca Rusların sağlık durumunun kötüleşmesiyle ilgili endişelerini de dile getirdi. çevre felaketleri ve büyük ve küçük atıkların bertarafına ilişkin çevre standartlarına uyulmaması endüstriyel Girişimcilik" DSÖ Avrupa Sağlık Yatırım Ofisi profesörü Francesco Zambona'nın konuşması da korkularını doğruladı.
Andrei, karakteristik bir mizah anlayışıyla, foruma davet edilen ancak hiçbir zaman gelmeyen ünlü kişilere, "doğayı yalnızca mangal yapmak veya balığa gitmek istediklerinde değil, hatırlayın" çağrısında bulundu. Sonuçta tüm insanların sağlığı, ne yazık ki onları da içeren doğanın iyiliğine bağlı.”
Andrei Zinovievich'in yeni "doğa aşığı" ve sorumluluk almanın önemi hakkındaki tutkulu konuşmaların yanı sıra çevre Nitekim forumun önemli olaylarından biri de “Yeni neslin nasıl eğitileceği” konulu genel kurul oturumuydu. Forum katılımcıları sadece çocukların değil yetişkin neslin de eğitilmesi gerektiği konusunda hemfikirdi. İş hayatında olduğu kadar günlük davranışlarda da doğaya karşı sorumluluğu aşılamak çok önemlidir.
Moskova için "medeni bir şekilde yaşamayı öğrenme" özel projesi başlatılacak. Bu, nüfusun ve yaş kategorilerinin tüm kesimlerine yönelik bir eğitim projesidir. Ancak teori ve iyi niyet ne kadar harika olursa olsun, "kızarmış horoz gagalayana kadar aptal kendini geçemez" sözü Rusya için hala geçerli.
Ünlü tiyatro yönetmeni Timothy Netter'a göre sanat her şeyi değiştirebilir. Bir konuşmasında doğayı koruma fikrinin tiyatro ve sinemada nasıl sunulması gerektiğinden, yarın bize ve doğaya olacaklardan sorumlu olacak şekilde insanları sanat yoluyla eğitmenin ne kadar önemli olduğundan bahsetti.
Rus üniversitelerinden öğrenciler, neme ve sıcaklığa dayanıklı konteyner üretimi için çevre dostu teknolojiye ilişkin bir proje sunarak Rentv operatörlerinin ve Andrey Prokirpa'nın dikkatini çekti. Bu çok şuanki problemçünkü dünya çapında, doğada çözünmesi 30 yıldan fazla süren, toprağı kirleten ve hayvanların ölümüne neden olan plastik kaplara karşı yasalar çıkarılıyor.
Moskova'nın C40 organizasyonuna katılan 94 şehirden biri olması ve her yıl daha fazla ünlü şahsiyet ve vatandaşın ilgisini çeken forumun üçüncü kez düzenlenmesi cesaret verici.

Birincisi dik açıya bitişik olan bölümlerdir ve hipotenüs şeklin en uzun kısmıdır ve 90 derecelik açının karşısında yer alır. Pisagor üçgeni, kenarları doğal sayılara eşit olan üçgendir; bu durumda uzunluklarına “Pisagor üçlüsü” adı verilir.

Mısır üçgeni

Şimdiki neslin geometriyi şu anda okullarda öğretildiği şekliyle tanıyabilmesi için, geometri birkaç yüzyıl boyunca gelişmiştir. Temel nokta Pisagor teoremi olarak kabul edilir. Dikdörtgenin kenarlarının 3, 4, 5 olduğu tüm dünyada bilinmektedir.

Çok az insan "Pisagor pantolonları her yöne eşittir" ifadesine aşina değildir. Ancak gerçekte teorem şöyle görünür: c 2 (hipotenüsün karesi) = a 2 + b 2 (bacakların karelerinin toplamı).

Matematikçiler arasında kenarları 3, 4, 5 (cm, m vb.) olan üçgene “Mısırlı” denir. İlginç olan şekilde yazılı olanın bire eşit olmasıdır. İsim, Yunan filozoflarının Mısır'a seyahat ettiği MÖ 5. yüzyılda ortaya çıktı.

Piramitleri inşa ederken mimarlar ve araştırmacılar 3:4:5 oranını kullandılar. Bu tür yapıların orantılı, görünümü hoş ve ferah olduğu ve ayrıca nadiren çöktüğü ortaya çıktı.

İnşaatçılar dik açı oluşturmak için üzerine 12 düğümlü bir halat kullandılar. Bu durumda dik üçgen oluşturma olasılığı %95'e çıkmıştır.

Rakamların eşitliğinin işaretleri

İkinci üçgendeki aynı elemanlara eşit olan dik üçgendeki dar açı ve uzun kenar, rakamların eşitliğinin tartışılmaz bir işaretidir. Açıların toplamını dikkate alarak ikinci dar açıların da eşit olduğunu kanıtlamak kolaydır. Dolayısıyla ikinci kritere göre üçgenler aynıdır.
İki rakamı üst üste bindirirken, onları birleştirdiklerinde tek bir ikizkenar üçgen olacak şekilde döndürüyoruz. Özelliğine göre kenarlar, daha doğrusu hipotenüsler eşittir, tabandaki açılar da eşittir, yani bu şekiller aynıdır.

İlk işarete dayanarak, üçgenlerin gerçekten eşit olduğunu kanıtlamak çok kolaydır; asıl mesele, iki küçük tarafın (yani bacakların) birbirine eşit olmasıdır.

Özü bacağın eşitliği ve dar açı olan ikinci kritere göre üçgenler aynı olacaktır.

Dik açılı bir üçgenin özellikleri

Dik açıdan alçaltılan yükseklik, figürü iki eşit parçaya böler.

Bir dik üçgenin kenarları ve medyanı şu kuralla kolayca tanınabilir: Hipotenüse düşen medyan bunun yarısına eşittir. hem Heron formülüyle hem de bacakların çarpımının yarısına eşit olduğu ifadesiyle bulunabilir.

Bir dik üçgende 30°, 45° ve 60° açıların özellikleri geçerlidir.

30° açıyla karşı bacağın en büyük kenarın 1/2'sine eşit olacağı unutulmamalıdır.
Açı 45° ise ikinci dar açı da 45° olur. Bu, üçgenin ikizkenar olduğunu ve bacaklarının aynı olduğunu gösterir.
60°lik açının özelliği üçüncü açının ölçüsünün 30° olmasıdır.

Alan üç formülden biri kullanılarak kolayca bulunabilir:

yükseklik ve alçaldığı taraf boyunca;
Heron'un formülüne göre;
yanlarda ve aralarındaki açıda.

Dik üçgenin kenarları veya daha doğrusu bacakları iki yükseklikte birleşir. Üçüncüyü bulmak için ortaya çıkan üçgeni dikkate almak ve ardından Pisagor teoremini kullanarak gerekli uzunluğu hesaplamak gerekir. Bu formüle ek olarak alanın iki katı ile hipotenüs uzunluğu arasında da bir ilişki vardır. Öğrenciler arasında en yaygın ifade, daha az hesaplama gerektirdiği için ilk ifadedir.

Dik üçgene uygulanan teoremler

Sağ üçgen geometrisi aşağıdaki gibi teoremlerin kullanımını içerir:

Herhangi bir çatı inşa etmek göründüğü kadar kolay değildir. Güvenilir, dayanıklı olmasını ve çeşitli yüklerden korkmamasını istiyorsanız, öncelikle tasarım aşamasında çok sayıda hesaplama yapmanız gerekir. Ve sadece kurulum için kullanılan malzeme miktarını değil aynı zamanda eğim açılarının, eğim alanlarının vb. belirlenmesini de içerecektir. Çatı eğim açısı nasıl doğru hesaplanır? Bu tasarımın geri kalan parametreleri büyük ölçüde bu değere bağlı olacaktır.

Herhangi bir çatının tasarımı ve inşası her zaman çok önemli ve sorumlu bir konudur. Özellikle bir konut binasının çatısı veya karmaşık şekilli bir çatı söz konusu olduğunda. Ancak sıradan bir kulübeye veya garaja kurulan sıradan bir yaslanma yeri bile ön hesaplamalara ihtiyaç duyar.

Çatının eğim açısını önceden belirlemezseniz, sırtın en uygun yüksekliğinin ne olması gerektiğini bulmazsanız, ilk kar yağışından sonra veya tamamından sonra çökecek bir çatı inşa etme riski yüksektir. bitirme kaplaması orta derecede bir rüzgarla bile yırtılacaktır.

Ayrıca çatının açısı sırtın yüksekliğini, eğimlerin alanını ve boyutlarını önemli ölçüde etkileyecektir. Buna bağlı olarak kiriş sistemini oluşturmak için gerekli malzeme miktarını ve kaplama malzemelerini daha doğru hesaplamak mümkün olacaktır.

Farklı tipteki çatı sırtlarının fiyatları

Çatı sırtı

Birimler

Herkesin okulda öğrendiği geometriyi hatırlayarak çatı açısının derece cinsinden ölçüldüğünü rahatlıkla söyleyebiliriz. Bununla birlikte, inşaat kitaplarında ve çeşitli çizimlerde başka bir seçenek bulabilirsiniz - açı yüzde olarak belirtilir (burada en boy oranını kastediyoruz).

Genel olarak, Eğim açısı kesişen iki düzlemin oluşturduğu açıdır– tavan ve çatı eğiminin kendisi. Sadece keskin olabilir, yani 0-90 derece aralığında olabilir.

Bir notta! Eğim açısı 50 dereceden fazla olan çok dik eğimler, saf haliyle son derece nadirdir. Genellikle sadece çatıların dekoratif tasarımı için kullanılırlar, çatı katlarında bulunabilirler.

Çatı açılarını derece cinsinden ölçmeye gelince, her şey basit - okulda geometri okuyan herkes bu bilgiye sahiptir. Çatının bir diyagramını kağıt üzerine çizmek ve açıyı belirlemek için bir iletki kullanmak yeterlidir.

Yüzdelere gelince, sırtın yüksekliğini ve binanın genişliğini bilmeniz gerekir. İlk gösterge ikinciye bölünür ve elde edilen değer %100 ile çarpılır. Bu şekilde yüzde hesaplanabilir.

Bir notta! 1 yüzdesinde tipik eğim derecesi %2,22'dir. Yani 45 derecelik açıya sahip bir eğim %100'e eşittir. Ve yüzde 1, 27 yay dakikasıdır.

Değer tablosu - derece, dakika, yüzde

Eğim açısını hangi faktörler etkiler?

Herhangi bir çatının eğim açısı, evin gelecekteki sahibinin isteklerinden evin bulunacağı bölgeye kadar çok sayıda faktörden etkilenir. Hesaplarken, ilk bakışta önemsiz görünenler bile tüm incelikleri hesaba katmak önemlidir. Bir gün rollerini oynayabilirler. Aşağıdakileri bilerek uygun çatı açısını belirleyin:

kiriş sisteminden dış dekorasyona kadar çatı pastasının inşa edileceği malzeme türleri;
belirli bir alandaki iklim koşulları (rüzgar yükü, hakim rüzgar yönü, yağış miktarı vb.);
gelecekteki binanın şekli, yüksekliği, tasarımı;
binanın amacı, çatı katı alanını kullanma seçenekleri.

Kuvvetli rüzgar yükünün olduğu bölgelerde tek eğimli ve hafif eğim açılı bir çatı yapılması tavsiye edilir. Daha sonra kuvvetli bir rüzgarda çatının ayakta kalma ve yırtılmama şansı daha yüksektir. Bölge çok miktarda yağış (kar veya yağmur) ile karakterize ediliyorsa, eğimi daha dik yapmak daha iyidir; bu, yağışların çatıdan akmasına/boşalmasına izin verecek ve ek yük oluşturmayacaktır. Rüzgarlı bölgelerde eğimli bir çatının optimal eğimi 9-20 derece arasında değişir ve çok yağışın olduğu yerlerde - 60 dereceye kadar. 45 derecelik bir açı, kar yükünü bir bütün olarak göz ardı etmenize izin verecektir, ancak bu durumda çatıdaki rüzgar basıncı, yalnızca 11 derecelik eğime sahip bir çatıya göre 5 kat daha fazla olacaktır.

Bir notta! Çatı eğimi parametreleri ne kadar büyük olursa, onu oluşturmak için gereken malzeme miktarı da o kadar fazla olur. Maliyet en az %20 artar.

Eğim açıları ve çatı kaplama malzemeleri

Sadece iklim koşulları yamaçların şekli ve açısı üzerinde önemli bir etkiye sahip olmayacaktır. İnşaatta kullanılan malzemeler, özellikle çatı kaplamaları da önemli bir rol oynamaktadır.

Masa. Çeşitli malzemelerden yapılmış çatılar için optimum eğim açıları.

Bir notta! Çatı eğimi ne kadar düşük olursa, kaplama oluşturulurken kullanılan eğim o kadar küçük olur.

Metal fayans fiyatları

Metal fayans

Sırtın yüksekliği aynı zamanda eğimin açısına da bağlıdır

Herhangi bir çatıyı hesaplarken, her zaman dik açılı bir üçgen referans noktası olarak alınır; burada bacaklar, üst noktadaki eğimin yüksekliği, yani tüm kiriş sisteminin sırtında veya alt kısmının geçişindedir. yukarıya doğru (şu durumda mansart çatılar) ve belirli bir eğimin uzunluğunun zeminlerle temsil edilen yatay üzerine izdüşümü. Burada tek bir sabit değer vardır - bu, iki duvar arasındaki çatının uzunluğu, yani açıklığın uzunluğudur. Mahya kısmının yüksekliği eğim açısına bağlı olarak değişecektir.

Trigonometri formüllerini bilmek bir çatı tasarlamanıza yardımcı olacaktır: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LxtgA, S = H/sinA, burada A eğimin açısı, H çatının yüksekliğidir mahya alanına göre L, çatı açıklığının tüm uzunluğunun ½'sidir ( üçgen çatı) veya tüm uzunluk (eğimli çatı durumunda), S eğimin kendisinin uzunluğudur. Örneğin, sırt kısmının yüksekliğinin kesin değeri biliniyorsa, ilk formül kullanılarak eğim açısı belirlenir. Teğet tablosunu kullanarak açıyı bulabilirsiniz. Hesaplamalar çatı açısına göre yapılıyorsa, üçüncü formül kullanılarak sırt yüksekliği parametresi bulunabilir. Eğim açısının değerine ve bacak parametrelerine sahip olan kirişlerin uzunluğu dördüncü formül kullanılarak hesaplanabilir.

Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki tarafa hipotenüs, diğer ikisine ise bacaklar denir.

Bir dik üçgende açıyı bulmak için dik üçgenlerin bazı özellikleri kullanılır, yani: dar açıların toplamı 90°'dir ve ayrıca uzunluğu hipotenüsün uzunluğunun yarısı kadar olan bacağın karşısında yer alması gerçeği 30°'ye eşit bir açı.

Makalede hızlı gezinme

İkizkenar üçgen

İkizkenar üçgenin özelliklerinden biri de iki açısının eşit olmasıdır. Dik ikizkenar üçgenin açılarını hesaplamak için şunu bilmeniz gerekir:

Dik açı 90°'dir.
Dar açıların değerleri şu formülle belirlenir: (180°-90°)/2=45°, yani. α ve β açıları 45°'ye eşittir.

Dar açılardan birinin boyutu biliniyorsa ikincisi şu formül kullanılarak bulunabilir: β=180°-90°-α veya α=180°-90°-β. Çoğu zaman bu oran, açılardan birinin 60° veya 30° olması durumunda kullanılır.

Anahtar kavramlar

Üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir. Bir açı dik olduğundan geri kalan ikisi dar olacaktır. Onları bulmak için şunu bilmeniz gerekir:

diğer yöntemler

Bir dik üçgenin dar açılarının değerleri, ortancanın (tepe noktasından üçgenin karşı tarafına çizilen bir çizgi) ve yüksekliğin (dik olarak bırakılan düz bir çizgi) değeri bilinerek hesaplanabilir. dik açıdan hipotenüse kadar. Dik açıdan hipotenüsün ortasına çizilen kenarortay s, yükseklik ise h olsun. Bu durumda şu ortaya çıkıyor:

sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
çünkü α=a/(2*s); çünkü β=b/(2*s).
günah α=h/b; günah β =h/a.

İki taraf

Bir dik üçgende hipotenüsün ve bacaklardan birinin veya iki tarafın uzunlukları biliniyorsa, dar açıların değerlerini bulmak için trigonometrik özdeşlikler kullanılır:

α=arksin(a/c), β=arksin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=yayg(a/b), β=yayg(b/a).

Üçgen Tanımı

Üçgen uçları aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç parçanın kesişmesi sonucu oluşan geometrik şekildir. Herhangi bir üçgenin üç kenarı, üç köşesi ve üç açısı vardır.

Cevrimici hesap makinesi

Üçgenler var çeşitli türler. Örneğin, var eşkenar üçgen(tüm kenarların eşit olduğu), ikizkenar (iki kenarın eşit olduğu) ve dikdörtgen (açılardan birinin düz olduğu, yani 90 dereceye eşit olduğu).

Üçgenin alanı bulunabilir Farklı yollar Sorunun koşullarından şeklin hangi öğelerinin bilindiğine bağlı olarak, ister açılar, uzunluklar, hatta üçgenle ilişkili dairelerin yarıçapları olsun. Örneklerle her yönteme ayrı ayrı bakalım.

Tabanına ve yüksekliğine göre bir üçgenin alanı için formül

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ⋅ bir ⋅H,

bir bir A- üçgenin tabanı;
h h H- verilen a tabanına çizilen üçgenin yüksekliği.

Örnek

Tabanının uzunluğu 10 (cm) ve bu tabana çizilen yüksekliğin 5 (cm) olduğu bilinen bir üçgenin alanını bulun.

Çözüm

bir = 10 bir=10 bir =1 0
sa = 5 sa=5 saat =5

Bunu alan formülünde yerine koyarsak:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (bkz. kare)

Cevap: 25 (cm. kare)

Tüm kenarların uzunluklarına dayalı bir üçgenin alanı için formül

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p - a ) ⋅ (p - b ) ⋅ (p - c) ,

A, b, c a, b, c a, b, c- üçgenin kenarlarının uzunlukları;
p p P- üçgenin tüm kenarlarının toplamının yarısı (yani üçgenin çevresinin yarısı):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 (bir +b+C)

Bu formül denir Heron'un formülü.

Örnek

Üç tarafının uzunluğu biliniyorsa, 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm)'ye eşit olan bir üçgenin alanını bulun.

Çözüm

bir = 3 bir=3 bir =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5

Çevrenin yarısını bulalım p p P:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6

O halde Heron formülüne göre üçgenin alanı:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-) 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (bkz. kare)

Cevap: 6 (kareye bakın)

Bir tarafı ve iki açısı verilen üçgenin alanı formülü

S = a 2 2 ⋅ günah ⁡ β günah ⁡ γ günah ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 A 2 ⋅ günah(β + γ)günah β günah γ ,

bir bir A- üçgenin kenarının uzunluğu;
β , γ \beta, \gamma β , γ - tarafa bitişik açılar bir bir A.

Örnek

Bir üçgenin bir kenarı 10 (cm) ve komşu iki açısı 30 derecedir. Üçgenin alanını bulun.

Çözüm

bir = 10 bir=10 bir =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Formüle göre:

S = 1 0 2 2 ⋅ günah ⁡ 3 0 ∘ günah ⁡ 3 0 ∘ günah ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\yaklaşık14,4S=2 1 0 2 ⋅ günah(3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) günah 3 0 ∘ günah 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (bkz. kare)