Bir küp haline getirme Kısaltılmış çarpma formülleri Farkın küpü

15.09.2023

Kısaltılmış çarpma formülleri veya kuralları, aritmetikte, daha spesifik olarak cebirde, büyük cebirsel ifadelerin değerlendirilme sürecini hızlandırmak için kullanılır. Formüllerin kendisi cebirde çeşitli polinomların çarpımı için mevcut kurallardan türetilmiştir.

Bu formüllerin kullanımı çeşitli matematik problemlerine oldukça hızlı bir çözüm sağlar ve aynı zamanda ifadelerin basitleştirilmesine de yardımcı olur. Cebirsel dönüşümlerin kuralları, ifadelerle bazı işlemler yapmanıza olanak tanır; bunu takiben eşitliğin sol tarafında sağ taraftaki ifadeyi elde edebilir veya eşitliğin sağ tarafını dönüştürebilirsiniz (sol taraftaki ifadeyi elde etmek için) eşittir işaretinden sonra).

Kısaltılmış çarpma için kullanılan formülleri, problemlerin ve denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanıldıkları için hafızadan bilmek uygundur. Aşağıda bu listede yer alan ana formüller ve adları yer almaktadır.

Toplamın karesi

Toplamın karesini hesaplamak için, birinci terimin karesi, birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı ve ikinci terimin karesinden oluşan toplamı bulmanız gerekir. İfade şeklinde bu kural şu şekilde yazılır: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kare farkı

Farkın karesini hesaplamak için birinci sayının karesi, birinci sayı ile ikincinin çarpımının (karşı işaretle alınan) iki katı ve ikinci sayının karesinden oluşan toplamı hesaplamanız gerekir. Bir ifade biçiminde bu kural şu şekilde görünür: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Karelerin farkı

İki sayının karesi farkının formülü, bu sayıların toplamı ile farklarının çarpımına eşittir. Bir ifade biçiminde bu kural şuna benzer: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Toplamın küpü

İki terimin toplamının küpünü hesaplamak için, ilk terimin küpünden oluşan toplamı hesaplamanız, birinci terim ile ikinci terimin karesinin çarpımının üç katını, birinci terim ile ikinci terimin çarpımının üç katını hesaplamanız gerekir. karesi ve ikinci terimin küpü. Bir ifade biçiminde bu kural şu şekilde görünür: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Küplerin toplamı

Formüle göre bu terimlerin toplamı ile farkın eksik karesinin çarpımına eşittir. Bir ifade biçiminde bu kural şu şekilde görünür: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Örnek.İki küpün eklenmesiyle oluşan şeklin hacmini hesaplamak gerekir. Sadece yanlarının boyutları bilinmektedir.

Yan değerler küçükse hesaplamalar basittir.

Kenarların uzunlukları hantal sayılarla ifade edilirse, bu durumda hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirecek olan “Küplerin Toplamı” formülünü kullanmak daha kolaydır.

Fark küpü

Kübik farkın ifadesi şu şekildedir: Birinci terimin üçüncü kuvvetinin toplamı olarak, birinci terimin karesinin negatif çarpımını ikinciyle üç katına çıkarın, birinci terimin çarpımını ikincinin karesiyle üç katına çıkarın. ve ikinci terimin negatif küpü. Matematiksel ifade biçiminde farkın küpü şu şekilde görünür: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Küplerin farkı

Küp farkı formülü, küp toplamından yalnızca bir işaret farklıdır. Dolayısıyla küplerin farkı, bu sayıların farkının ve toplamın eksik karesinin çarpımına eşit bir formüldür. Formda küplerin farkı şu şekilde görünür: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Örnek. Yine bir küp olan sarı hacimsel rakamı mavi küpün hacminden çıkardıktan sonra kalan şeklin hacmini hesaplamak gerekir. Küçük ve büyük küpün yalnızca yan boyutları bilinmektedir.

Yan değerler küçükse hesaplamalar oldukça basittir. Ve kenarların uzunlukları önemli sayılarla ifade ediliyorsa, hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirecek olan "Küplerin farkı" (veya "Farkın küpü") adlı formülü uygulamaya değer.

Kısaltılmış çarpma formülleri.

Kısaltılmış çarpma formüllerinin incelenmesi: iki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi; iki ifadenin kareleri farkı; iki ifadenin toplamının küpü ve farkının küpü; iki ifadenin küplerinin toplamları ve farkları.

Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.

İfadeleri basitleştirmek, polinomları çarpanlara ayırmak ve polinomları standart forma indirgemek için kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin ezbere bilinmesi gerekir.

a, b R olsun. O halde:

1. İki ifadenin toplamının karesi eşittir birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. İki ifadenin farkının karesi eşittir birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Karelerin farkı iki ifade, bu ifadelerin farkı ve toplamlarının çarpımına eşittir.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Toplamın küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü artı birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımı ve ikincinin karesi artı ikinci ifadenin küpünün üç katıdır.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Fark küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü eksi birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının üç katı ve ikincinin karesi eksi ikinci ifadenin küpüne eşittir.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Küplerin toplamı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin toplamı ile bu ifadelerin farkının eksik karesinin çarpımına eşittir.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Küplerin farkı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin farkının, bu ifadelerin toplamının eksik karesinin çarpımına eşittir.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.

Örnek 1.

Hesaplamak

a) İki ifadenin toplamının karesi formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) İki ifadenin farkının karesi formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Örnek 2.

Hesaplamak

İki ifadenin kareleri farkı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 3.

Bir ifadeyi basitleştirme

(x - y) 2 + (x + y) 2

İki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi formüllerini kullanalım

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Kısaltılmış çarpma formülleri tek tabloda:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Her biri eşit olan üç faktör X. (\displaystyle x.) Bu aritmetik işleme "küp" adı verilir ve sonucu gösterilir. x 3 (\displaystyle x^(3)):

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x)

Küp için ters işlem küp kökünü almaktır. Üçüncü derecenin geometrik adı " küp"eski matematikçilerin küplerin değerlerini şu şekilde düşünmelerinden kaynaklanmaktadır: kübik sayılar, özel bir tür kıvırcık sayılar (aşağıya bakınız), çünkü sayının küpü x (\displaystyle x) kenar uzunluğu eşit olan bir küpün hacmine eşittir x (\displaystyle x).

Küp dizisi

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

İlk küplerin toplamı n (\displaystyle n) Pozitif doğal sayılar aşağıdaki formülle hesaplanır:

∑ ben = 1 n ben 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\right) ^(2))

Formülün türetilmesi

Küp toplamı formülü, çarpım tablosu ve aritmetik ilerleme toplamı formülü kullanılarak elde edilebilir. Yöntemin örneği olarak iki adet 5×5 çarpım tablosunu ele alarak, n×n boyutundaki tablolar için muhakeme yürüteceğiz.

Çarpım tablosu ve sayı küpleri

×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Çarpım tabloları ve aritmetik ilerleme

×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Birinci tablonun k'inci (k=1,2,...) seçilen alanındaki sayıların toplamı:

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))

Ve ikinci tablonun k-th (k=1,2,...) seçilen alanındaki sayıların toplamı, aritmetik bir ilerlemeyi temsil eder:

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))

İlk tablonun seçilen tüm alanlarının toplamı, ikinci tablonun tüm seçili alanlarının toplamı ile aynı sayıyı elde ederiz:

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k) =1)^(n)k^(3)=\toplam _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1) ))(2))\sum _(k=1)^(n)k=\left((\frac (n(n+1))(2))\right)^(2))

Bazı özellikler

Ondalık gösterimde küp herhangi bir rakamla bitebilir (kareden farklı olarak)
Ondalık gösterimde küpün son iki basamağı 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 olabilir. , 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Küpün sondan bir önceki basamağının sonuncusu aşağıdaki tabloda sunulabilir:

Figürlü sayılar olarak küpler

"Küp sayı" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3)) tarihsel olarak bir tür mekansal figürlü sayı olarak görülmüştür. Ardışık üçgen sayıların karelerinin farkı olarak gösterilebilir. T n (\displaystyle T_(n)):

Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\dots +Q_(n)=(T_(n) )^(2))

İki bitişik kübik sayı arasındaki fark, ortalanmış altıgen sayıdır.

Bir kübik sayının tetrahedral cinsinden ifade edilmesi Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).

Matematiksel ifadeler (formüller) kısaltılmış çarpma(toplamın karesi ve fark, toplamın küpü ve fark, kareler farkı, toplam ve küplerin farkı) müspet bilimlerin birçok alanında son derece yeri doldurulamaz. Bu 7 sembolik gösterim, ifadeleri basitleştirmek, denklemleri çözmek, polinomları çarpmak, kesirleri azaltmak, integralleri çözmek ve çok daha fazlası için çok değerlidir. Yani bunların nasıl elde edildiğini, neden ihtiyaç duyulduğunu ve en önemlisi nasıl hatırlanıp uygulamaya geçileceğini anlamak çok faydalı olacaktır. Daha sonra başvuruyorum kısaltılmış çarpma formülleri pratikte en zor şey ne olduğunu görmek olacaktır. X ve neyin var? Açıkçası herhangi bir kısıtlama yok A Ve B hayır, bu herhangi bir sayısal veya alfabetik ifade olabileceği anlamına gelir.

Ve işte buradalar:

Birinci x 2 - 2'de = (x - y) (x+y).Hesaplamak kareler farkıİki ifadeyi kullanmak için bu ifadelerin farklarını toplamlarıyla çarpmanız gerekir.

Saniye (x + y) 2 =x2 + 2xy + y 2. Bulmak toplamın karesi iki ifade, birinci ifadenin karesine, birinci ifadenin çift çarpımını ve ikinci artı ikinci ifadenin karesini eklemeniz gerekir.

Üçüncü (x - y) 2 =x2 - 2xy + y2. Hesaplamak kare farkı iki ifade varsa, ilk ifadenin karesinden birinci ifadenin çarpımının iki katını ikinci artı ikinci ifadenin karesinden çıkarmanız gerekir.

Dördüncü (x + y) 3 = x3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 3'te. Hesaplamak toplamın küpü iki ifade, ilk ifadenin küpüne, birinci ifadenin karesinin ikinci ile üçlü çarpımı artı birinci ifadenin üçlü çarpımı ile ikincinin karesi artı ikinci ifadenin küpünü eklemeniz gerekir.

Beşinci (x - y) 3 = x3 - 3x 2 y + 3xy 2 - 3'te. Hesaplamak fark küpü iki ifade varsa, birinci ifadenin küpünden birinci ifadenin karesinin üçlü çarpımının ikinci ile artı birinci ifadenin üçlü çarpımının ikincinin karesi eksi ikinci ifadenin küpüyle çıkarılması gerekir.

Altıncı x 3 + e 3 = (x + y) (x 2 -xy + y2) Hesaplamak küplerin toplamıİki ifadeyi kullanmak için, birinci ve ikinci ifadelerin toplamını bu ifadelerin farkının eksik karesiyle çarpmanız gerekir.

Yedinci x 3 - 3'te = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Hesaplamayı gerçekleştirmek için küp farklılıkları iki ifadeyi kullanmak için, birinci ve ikinci ifadenin farkını bu ifadelerin toplamının eksik karesiyle çarpmanız gerekir.

Tüm formüllerin hesaplamaları ters yönde (sağdan sola) yapmak için kullanıldığını hatırlamak zor değil.

Bu desenlerin varlığı yaklaşık 4 bin yıl öncesinden biliniyordu. Eski Babil ve Mısır sakinleri tarafından yaygın olarak kullanıldılar. Ancak o dönemlerde sözlü veya geometrik olarak ifade ediliyor ve hesaplamalarda harf kullanılmıyordu.

Hadi halledelim kare toplamı kanıtı(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.

İlk önce bu matematiksel desen MÖ 3. yüzyılda İskenderiye'de çalışan antik Yunan bilim adamı Öklid tarafından kanıtlanan formülü kanıtlamak için, antik Hellas'ın bilim adamları sayıları belirtmek için harfler kullanmadıkları için geometrik bir yöntem kullandı. Her yerde “a 2”yi değil, “a parçası üzerinde bir kare”yi, “ab”yi değil, “a ve b parçalarının arasına alınmış bir dikdörtgeni” kullandılar.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Eğitim.

Aşağıdaki ifadeleri bu şekilde değerlendirmeye çalışın:

Yanıtlar:

Veya iki basamaklı temel sayıların karelerini biliyorsanız, bunun ne kadar olduğunu hatırlıyor musunuz? Hatırlıyor musun? . Harika! Karesini aldığımız için ile çarpmamız gerekiyor. Şekline dönüştü.

Kare toplam ve kare fark formüllerinin yalnızca sayısal ifadeler için geçerli olmadığını unutmayın:

Aşağıdaki ifadeleri kendiniz hesaplayın:

Yanıtlar:

Kısaltılmış çarpma formülleri. Sonuç olarak.

Biraz özetleyelim ve toplamın ve farkın karesi formüllerini tek satıra yazalım:

Şimdi formülü ayrıştırılmış görünümden görünüme "birleştirme" pratiği yapalım. Daha sonra büyük ifadeleri dönüştürürken bu beceriye ihtiyacımız olacak.

Diyelim ki aşağıdaki ifadeye sahibiz:

Toplamın (veya farkın) karesinin şu şekilde olduğunu biliyoruz: bir sayının karesi başka bir sayının karesi Ve bu sayıların çarpımının iki katı.

Bu problemde bir sayının karesini görmek kolaydır - bu. Buna göre parantez içindeki sayılardan biri kareköküdür, yani

İkinci terim içerdiğinden, bunun sırasıyla bir ve başka bir sayının çift çarpımı olduğu anlamına gelir:

Parantezimizin içindeki ikinci sayı nerede?

Parantez içindeki ikinci sayı eşittir.

Hadi kontrol edelim. eşit olmalıdır. Aslında bu böyledir; bu, her iki sayının da parantez içinde bulunduğunu bulduğumuz anlamına gelir: ve. Aralarında duran işareti belirlemek için kalır. Orada ne tür bir işaret olacağını düşünüyorsunuz?

Sağ! Bizden beri eklemekÜrün iki katına çıkarsa rakamların arasına toplama işareti konulacaktır. Şimdi dönüştürülmüş ifadeyi yazın. Becerebildin mi? Aşağıdakileri almalısınız:

Not: Terimlerin yerlerinin değiştirilmesi sonucu etkilemez (ve arasına toplama veya çıkarma yapılması önemli değildir).

Dönüştürülecek ifadedeki terimlerin formülde yazıldığı gibi olması kesinlikle gerekli değildir. Şu ifadeye bakın: . Kendiniz dönüştürmeyi deneyin. Olmuş?

Alıştırma - aşağıdaki ifadeleri dönüştürün:

Yanıtlar: Becerebildin mi? Konuyu düzeltelim. Aşağıdaki ifadelerden toplamın veya farkın karesi olarak gösterilebilecekleri seçin.

- eşdeğer olduğunu kanıtlayın.

- kare olarak temsil edilemez; bunun yerine var olup olmadığı hayal edilebilir.

Karelerin farkı

Bir diğer kısaltılmış çarpma formülü ise kareler farkıdır.

Karelerin farkı, farkın karesi değildir!

İki sayının kareleri arasındaki fark, bu sayıların toplamı ile farklarının çarpımına eşittir:

Bu formülün doğru olup olmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için, toplamın ve farkın karesi formüllerini elde ederken yaptığımız gibi çarpalım:

Böylece formülün gerçekten doğru olduğunu doğruladık. Bu formül aynı zamanda karmaşık hesaplama işlemlerini de basitleştirir. İşte bir örnek:

Hesaplamak gerekir: . Elbette, birinin karesini alabilir, sonra karesini alabilir ve diğerinden çıkartabiliriz, ancak formül bunu bizim için kolaylaştırır:

Olmuş? Sonuçları karşılaştıralım:

Tıpkı bir toplamın (farkın) karesi gibi, kareler farkı formülü de yalnızca sayılarla kullanılamaz:

Kareler farkının nasıl hesaplanacağını bilmek, karmaşık matematiksel ifadeleri dönüştürmemize yardımcı olacaktır.

Dikkat etmek:

Çünkü doğru ifadenin farkını kareye göre ayrıştırırken şunu elde ederiz:

Dikkatli olun ve hangi terimin karesinin alındığını görün! Konuyu pekiştirmek için aşağıdaki ifadeleri dönüştürün:

Bunu yazdın mı? Ortaya çıkan ifadeleri karşılaştıralım:

Artık toplamın karesi ve farkın karesi ile kareler farkı konusunda uzmanlaştığınıza göre, bu üç formülün birleşimine ilişkin örnekleri çözmeye çalışalım.

Temel ifadelerin dönüştürülmesi (toplamın karesi, farkın karesi, kareler farkı)

Diyelim ki bize bir örnek verildi

Bu ifadenin basitleştirilmesi gerekiyor. Dikkatli bakın, payda ne görüyorsunuz? Bu doğru, pay tam bir kare:

Bir ifadeyi basitleştirirken, sadeleştirmede hangi yöne gidileceğine dair ipucunun paydada (veya payda) olduğunu unutmayın. Bizim durumumuzda payda genişletildiğinde ve başka bir şey yapılamadığında payın ya toplamın karesi ya da farkın karesi olacağını anlayabiliriz. Eklediğimiz için payın toplamın karesi olduğu anlaşılıyor.

Aşağıdaki ifadeleri kendiniz dönüştürmeyi deneyin:

Olmuş? Cevapları karşılaştırın ve devam edin!

Toplamın küpü ve farkın küpü

Toplam küp ve fark küp formülleri aynı şekilde türetilir. toplamın karesi Ve kare farkı: Terimler birbirleriyle çarpılırken parantezlerin açılması.

Toplamın karesi ve farkın karesi çok kolay hatırlanıyorsa şu soru ortaya çıkar: "Küpler nasıl hatırlanır?"

Benzer terimlerin karelerinin alınmasıyla karşılaştırmalı olarak açıklanan iki formüle dikkatlice bakın:

Hangi modeli görüyorsunuz?

1. Kurulduğunda kare sahibiz kare ilk gün ve kare ikinci; küp haline getirildiğinde - evet küp aynı numara ve küp başka bir numara.

2. Kurulduğunda kare, sahibiz iki katına çıktı sayıların çarpımı (ifadeyi yükselttiğimizden bir kat eksik olan 1'inci kuvvete yükseltilmiş sayılar); inşaat sırasında küp - üç katına çıktı sayılardan birinin karesi olan bir çarpım (bu da ifadeyi yükselttiğimiz kuvvetten 1 kuvvet eksiktir).

3. Kare alırken, açık ifadedeki parantez içindeki işaret, çift çarpım eklenirken (veya çıkarılırken) yansıtılır - parantez içinde bir toplama varsa, o zaman ekleriz, bir çıkarma varsa çıkarırız; bir küpü yükseltirken kural şudur: eğer bir toplam küpümüz varsa, o zaman tüm işaretler “+” olur ve eğer bir fark küpümüz varsa, o zaman işaretler değişir: “ ” - “ ” - “ ” - “ “ .

Terimlerin çarpılması sırasında kuvvetlere bağımlılık dışında yukarıdakilerin tümü şekilde gösterilmiştir.

Pratik yapalım mı? Aşağıdaki ifadelerde parantezleri açın:

Ortaya çıkan ifadeleri karşılaştırın:

Fark ve küp toplamı

Son formül çiftine bakalım: fark ve küp toplamı.

Hatırladığımız gibi kareler farkında bu sayıların farkını ve toplamını birbiriyle çarpıyoruz. Küp farkı ve küp toplamında da iki parantez vardır:

1 parantez - sayıların birinci kuvvetine göre farkı (veya toplamı) (farkı mı yoksa küplerin toplamını mı ortaya çıkardığımıza bağlı olarak);

2. parantez tamamlanmamış bir karedir (yakından bakın: sayıların çift çarpımını çıkarırsak (veya eklersek), bir kare olur), sayıları çarparken işaret orijinal ifadenin işaretinin tersidir.

Konuyu pekiştirmek için birkaç örnek çözelim:

Ortaya çıkan ifadeleri karşılaştırın:

Eğitim

Yanıtlar:

Özetleyelim:

7 kısaltılmış çarpma formülü vardır:

İLERİ DÜZEY

Kısaltılmış çarpma formülleri, ifadeleri basitleştirirken veya polinomları çarpanlarına ayırırken bazı standart eylemleri gerçekleştirmekten kaçınabileceğinizi bildiğiniz formüllerdir. Kısaltılmış çarpma formüllerinin ezbere bilinmesi gerekir!

Toplamın karesi iki ifade, birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesine eşittir:
Kare farkı iki ifade, birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesine eşittir:
Karelerin farkı iki ifade, bu ifadelerin farkı ve toplamlarının çarpımına eşittir:
Toplamın küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü artı birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımı ve ikincinin karesi artı ikinci ifadenin küpünün üç katıdır:
Fark küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü eksi birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının üç katı ve ikincinin karesi eksi ikinci ifadenin küpüne eşittir:
Küplerin toplamı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin toplamı ile bu ifadelerin farkının eksik karesinin çarpımına eşittir:
Küplerin farkı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin farkının, bu ifadelerin toplamının eksik karesinin çarpımına eşittir: