Altıgen içine bir daire ne zaman yazılabilir? Diğer sözlüklerde "Normal Altıgen" in ne olduğunu görün

Çokgenler konusu okul müfredatında yer alıyor ancak buna yeterince önem verilmiyor. Bu arada ilginçtir ve bu özellikle normal altıgen veya altıgen için geçerlidir - sonuçta birçok doğal nesne bu şekle sahiptir. Bunlara petekler ve daha fazlası dahildir. Bu form pratikte çok iyi uygulanmaktadır.

Tanım ve yapı

Düzenli altıgen, altı kenarı eşit uzunlukta ve aynı sayıda eşit açıya sahip olan bir düzlem şeklidir.

Bir çokgenin açılarının toplamı formülünü hatırlarsak

bu şekilde 720 °'ye eşit olduğu ortaya çıktı. Şeklin tüm açıları eşit olduğundan her birinin 120 °'ye eşit olduğunu hesaplamak kolaydır.

Altıgen çizmek çok basittir, ihtiyacınız olan tek şey bir pergel ve bir cetveldir.

Adım adım talimatşöyle görünecek:

İstenirse eşit yarıçaplı beş daire çizerek çizgisiz yapabilirsiniz.

Bu şekilde elde edilen şekil düzgün bir altıgen olacaktır ve bu aşağıda kanıtlanabilir.

Özellikler basit ve ilginç

Düzenli bir altıgenin özelliklerini anlamak için onu altı üçgene bölmek mantıklıdır:

Bu, gelecekte ana özellikleri olan özelliklerini daha net bir şekilde göstermeye yardımcı olacaktır:

1. sınırlı daire çapı;
2. yazılı dairenin çapı;
3. kare;
4. çevre.

Sınırlandırılmış daire ve inşaat olasılığı

Bir altıgenin etrafındaki bir daireyi, üstelik sadece bir tanesini tanımlamak mümkündür. Bu şekil doğru olduğundan, bunu oldukça basit bir şekilde yapabilirsiniz: İçerideki iki bitişik açıdan bir açıortay çizin. O noktasında kesişirler ve aralarındaki kenarla birlikte bir üçgen oluştururlar.

Altıgenin kenarı ile açıortayları arasındaki açıların her biri 60° olacaktır, dolayısıyla bir üçgenin, örneğin AOB'nin, ikizkenar olduğunu kesinlikle söyleyebiliriz. Üçüncü açı da 60°'ye eşit olacağından eşkenardır. Bundan OA ve OB bölümlerinin eşit olduğu sonucu çıkar, bu da onların dairenin yarıçapı olarak görev yapabilecekleri anlamına gelir.

Bundan sonra bir sonraki tarafa gidebilir ve ayrıca C noktasındaki açıdan bir açıortay çizebilirsiniz. Başka bir eşkenar üçgen ortaya çıkacak ve AB tarafı aynı anda iki için ortak olacak ve OS aynı dairenin geçtiği bir sonraki yarıçap olacak. Toplamda bu tür altı üçgen olacak ve O noktasında ortak bir tepe noktasına sahip olacaklar. Çemberi tanımlamanın mümkün olacağı ve sadece bir tane olduğu ve yarıçapının altıgenin kenarına eşit olduğu ortaya çıktı. :

Bu nedenle bu figürü pergel ve cetvel yardımıyla oluşturmak mümkündür.

Peki, bu dairenin alanı standart olacaktır:

Yazılı daire

Sınırlandırılmış dairenin merkezi, yazılı olanın merkezi ile çakışmaktadır. Bunu doğrulamak için O noktasından altıgenin kenarlarına dikler çizebiliriz. Altıgeni oluşturan üçgenlerin yükseklikleri olacaklar. Ve bir ikizkenar üçgende yükseklik, dayandığı kenara göre ortancadır. Dolayısıyla bu yükseklik, yazılı dairenin yarıçapı olan dik açıortaydan başka bir şey değildir.

Eşkenar üçgenin yüksekliği basitçe hesaplanır:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

Ve R=a ve r=h olduğundan, şu ortaya çıkıyor:

r=R(√3)/2.

Böylece yazılı daire, düzgün bir altıgenin kenarlarının merkezlerinden geçer.

Alanı şöyle olacaktır:

S=3πa²/4,

yani açıklananın dörtte üçü.

Çevre ve alan

Çevre ile ilgili her şey açık, bu kenarların uzunluklarının toplamıdır:

P=6a, veya P=6R

Ancak alan, altıgenin bölünebileceği altı üçgenin toplamına eşit olacaktır. Bir üçgenin alanı taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak hesaplandığından:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2 veya

S=3R²(√3)/2

Yazılı dairenin yarıçapı boyunca bu alanı hesaplamak isteyenler şu şekilde yapabilirler:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Eğlenceli yapılar

Bir altıgenin içine, kenarları köşeleri birinden bağlayacak bir üçgen yazılabilir:

Toplamda iki tane olacak ve birbirlerine dayatmaları Davut Yıldızı'nı verecektir. Bu üçgenlerin her biri eşkenardır. Bunu doğrulamak kolaydır. AC tarafına bakarsanız, aynı anda iki üçgene aittir - BAC ve AEC. Bunlardan ilkinde AB \u003d BC ve aralarındaki açı 120 ° ise, geri kalanların her biri 30 ° olacaktır. Bundan mantıksal sonuçlar çıkarabiliriz:

1. ABC'nin B köşesinden yüksekliği, sin30°=1/2 olduğundan altıgenin kenarının yarısına eşit olacaktır. Bunu doğrulamak isteyenlere Pisagor teoremine göre yeniden hesaplama yapmaları önerilebilir, buraya mükemmel bir şekilde uyuyor.
2. AC tarafı, yine aynı teorem kullanılarak hesaplanan yazılı dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır. Yani AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
3. ABC, CDE ve AEF üçgenlerinin iki tarafı ve aralarındaki açı eşittir ve dolayısıyla AC, CE ve EA kenarlarının eşitliği sağlanır.

Birbirleriyle kesişen üçgenler yeni bir altıgen oluşturur ve bu da düzenlidir. Bunu kanıtlamak kolaydır:

Böylece şekil, normal bir altıgenin işaretlerini karşılar - altı eşit kenarı ve açısı vardır. Köşelerdeki üçgenlerin eşitliğinden yeni altıgenin kenar uzunluğunu bulmak kolaydır:

d=а(√3)/3

Aynı zamanda etrafında açıklanan dairenin yarıçapı da olacaktır. Yazıtın yarıçapı, ABC üçgeni dikkate alındığında kanıtlanan büyük altıgenin kenarının yarısı kadar olacaktır. Yüksekliği, kenarın tam yarısı kadardır, bu nedenle ikinci yarı, küçük altıgen içine yazılan dairenin yarıçapıdır:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Davut yıldızının içindeki altıgenin alanının, yıldızın yazılı olduğu büyük alanın alanından üç kat daha küçük olduğu ortaya çıktı.

Teoriden pratiğe

Altıgenin özellikleri hem doğada hem de insan faaliyetinin çeşitli alanlarında çok aktif olarak kullanılmaktadır. Her şeyden önce, bu cıvatalar ve somunlar için geçerlidir - pahları hesaba katmazsanız, birinci ve ikincinin şapkaları normal bir altıgenden başka bir şey değildir. Anahtarların boyutu, yazılı dairenin çapına, yani karşıt yüzler arasındaki mesafeye karşılık gelir.

Uygulamasını ve altıgen fayanslarını buldu. Dörtgen olandan çok daha az yaygındır, ancak onu döşemek daha uygundur: üç kiremit bir noktada buluşur, dört değil. Kompozisyonlar çok ilginç olabilir:

Beton parke döşemeleri de üretilmektedir.

Altıgenin doğadaki yaygınlığı basit bir şekilde açıklanmaktadır. Bu nedenle, aynı çapa sahip olmaları durumunda daireleri ve topları bir düzleme sıkıca yerleştirmek en kolay yoldur. Bu nedenle petekler böyle bir şekle sahiptir.

Normal bir altıgenin neye benzediğini biliyor musun?
Bu soru tesadüfen sorulmadı. 11.sınıftaki çoğu öğrenci bu sorunun cevabını bilmiyor.

Düzgün altıgen, tüm kenarların eşit olduğu ve tüm açıların da eşit olduğu bir altıgendir..

Demir somunu. Kar tanesi. Arıların yaşadığı petek hücresi. Benzen molekülü. Bu nesnelerin ortak noktası nedir? - Hepsinin düzenli altıgen şekle sahip olması.

Pek çok okul çocuğu, düzenli bir altıgenle ilgili görevleri gördüklerinde kayboluyor ve bunları çözmek için bazı özel formüllerin gerekli olduğuna inanıyorlar. Öyle mi?

Düzgün altıgenin köşegenlerini çizin. Altı tane eşkenar üçgenimiz var.

Eşkenar üçgenin alanının olduğunu biliyoruz.

O zaman normal bir altıgenin alanı altı kat daha büyüktür.

Düzgün altıgenin bir kenarı nerededir?

Normal bir altıgenin merkezinden herhangi bir köşeye olan mesafenin normal altıgenin kenarıyla aynı ve eşit olduğunu lütfen unutmayın.

Bu, düzgün bir altıgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapının bu altıgenin kenarına eşit olduğu anlamına gelir..
Düzenli bir altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını bulmak kolaydır.
O eşittir.
Artık düzenli bir altıgenin göründüğü herhangi bir KULLANIM problemini kolayca çözebilirsiniz.

Kenarı ile düzgün bir altıgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapını bulun.

Böyle bir dairenin yarıçapı.

Cevap: .

Yarıçapı 6 olan bir dairenin içine çizilmiş düzgün altıgenin kenarı nedir?

Düzgün altıgenin bir kenarının, onu çevreleyen dairenin yarıçapına eşit olduğunu biliyoruz.

Yakınınızda kalem var mı? Bölümüne bir bakın - normal bir altıgen veya aynı zamanda altıgen olarak da adlandırıldığı gibi. Bir somunun, altıgen bir satranç alanının, bazı karmaşık karbon moleküllerinin (örneğin grafit), bir kar tanesinin, bir bal peteğinin ve diğer nesnelerin kesiti de bu şekle sahiptir. Yakın zamanda devasa bir düzenli altıgen keşfedildi. Doğanın, yaratımlarında bu özel şekle sahip yapıları bu kadar sıklıkla kullanması tuhaf görünmüyor mu? Hadi daha yakından bakalım.

Düzenli altıgen, altı eşit kenarı ve eşit açıları olan bir çokgendir. Okul kursundan aşağıdaki özelliklere sahip olduğunu biliyoruz:

• Kenarlarının uzunluğu, çevrelenen dairenin yarıçapına karşılık gelir. Hepsinden önemlisi, yalnızca normal bir altıgen bu özelliğe sahiptir.
• Açılar birbirine eşit olup her birinin büyüklüğü 120°'dir.
• Bir altıgenin çevresi, etrafını çevreleyen dairenin yarıçapı biliniyorsa Р=6*R formülü kullanılarak veya daire içinde yazılıysa Р=4*√(3)*r formülü kullanılarak bulunabilir. R ve r, çevrelenmiş ve yazılı dairelerin yarıçaplarıdır.
• Düzgün altıgenin kapladığı alan şu şekilde belirlenir: S=(3*√(3)*R 2)/2. Yarıçap bilinmiyorsa, bunun yerine kenarlardan birinin uzunluğunu değiştiririz - bildiğiniz gibi bu, çevrelenen dairenin yarıçapının uzunluğuna karşılık gelir.

Normal bir altıgenin bir tane vardır ilginç özellik Doğada bu kadar geniş bir dağılıma sahip olması sayesinde düzlemin herhangi bir yüzeyini örtüşmeler ve boşluklar olmadan doldurabilmektedir. Tarafı 1/√(3)'e eşit olan normal bir altıgenin evrensel bir lastik olduğunu, yani bir birim çapındaki herhangi bir seti kapsayabileceğini söyleyen Pal lemma bile var.

Şimdi düzgün bir altıgenin yapımını düşünün. En kolayı pusula, kurşun kalem ve cetvel kullanmayı içeren birkaç yol vardır. Önce pergelle rastgele bir daire çiziyoruz, sonra bu dairenin üzerinde rastgele bir yere nokta koyuyoruz. Pusulanın çözümünü değiştirmeden ucu bu noktaya koyuyoruz, daire üzerinde bir sonraki çentiği işaretliyoruz, 6 noktanın tamamını alana kadar bu şekilde devam ediyoruz. Artık sadece onları düz parçalarla birbirine bağlamak kalıyor ve istenen şekil ortaya çıkacak.

Pratikte büyük bir altıgen çizmeniz gereken zamanlar vardır. Örneğin iki seviyeli bir alçıpan tavan, merkezi avizenin bağlantı noktasının çevresine, alt seviyeye altı küçük lamba takmanız gerekir. Bu büyüklükte bir pusula bulmak çok ama çok zor olacaktır. Bu durumda nasıl ilerlemeli? Büyük bir daire nasıl çizilir? Çok basit. İstenilen uzunlukta güçlü bir iplik almanız ve uçlarından birini kalemin karşısına bağlamanız gerekir. Artık sadece ipliğin ikinci ucunu tavana doğru noktada bastıracak bir asistan bulmak kalıyor. Elbette bu durumda küçük hatalar mümkündür, ancak bunların dışarıdan biri tarafından fark edilmesi pek olası değildir.

Normal bir altıgenin neye benzediğini biliyor musun?
Bu soru tesadüfen sorulmadı. 11.sınıftaki çoğu öğrenci bu sorunun cevabını bilmiyor.

Düzgün altıgen, tüm kenarların eşit olduğu ve tüm açıların da eşit olduğu bir altıgendir..

Demir somunu. Kar tanesi. Arıların yaşadığı petek hücresi. Benzen molekülü. Bu nesnelerin ortak noktası nedir? - Hepsinin düzenli altıgen şekle sahip olması.

Pek çok okul çocuğu, düzenli bir altıgenle ilgili görevleri gördüklerinde kayboluyor ve bunları çözmek için bazı özel formüllerin gerekli olduğuna inanıyorlar. Öyle mi?

Düzgün altıgenin köşegenlerini çizin. Altı tane eşkenar üçgenimiz var.

Eşkenar üçgenin alanının olduğunu biliyoruz.

O zaman normal bir altıgenin alanı altı kat daha büyüktür.

Düzgün altıgenin bir kenarı nerededir?

Normal bir altıgenin merkezinden herhangi bir köşeye olan mesafenin normal altıgenin kenarıyla aynı ve eşit olduğunu lütfen unutmayın.

Bu, düzgün bir altıgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapının bu altıgenin kenarına eşit olduğu anlamına gelir..
Düzenli bir altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını bulmak kolaydır.
O eşittir.
Artık düzenli bir altıgenin göründüğü herhangi bir KULLANIM problemini kolayca çözebilirsiniz.

Kenarı ile düzgün bir altıgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapını bulun.

Böyle bir dairenin yarıçapı.

Cevap: .

Yarıçapı 6 olan bir dairenin içine çizilmiş düzgün altıgenin kenarı nedir?

Düzgün altıgenin bir kenarının, onu çevreleyen dairenin yarıçapına eşit olduğunu biliyoruz.

Matematiksel özellikler

Düzenli bir altıgenin bir özelliği, kenarının eşitliği ve çevrelenen dairenin yarıçapıdır, çünkü

Bütün açılar 120°'dir.

Yazılı dairenin yarıçapı:

Düzgün altıgenin çevresi:

Düzenli bir altıgenin alanı aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

Düzlemi döşeyen altıgenler, yani düzlemi boşluklar ve üst üste binmeler olmadan doldurarak parke denilen şeyi oluşturabilirler.

Altıgen parke (altıgen parke)- Düzlemin yan yana yerleştirilmiş eşit düzenli altıgenlerle mozaiklenmesi.

Altıgen parke üçgen parkenin ikilisidir: bitişik altıgenlerin merkezlerini birleştirirseniz çizilen bölümler üçgen parke verecektir. Altıgen parkenin Schläfli sembolü (6,3)'tür; bu, parkenin her bir köşesinde üç altıgenin birleştiği anlamına gelir.

Altıgen parke, düzlemdeki dairelerin en yoğun paketlenmesidir. İki boyutlu Öklid uzayında en iyi dolgu, dairelerin merkezlerini, her dairenin diğer altı daireyle çevrelendiği, düzenli altıgenlerden oluşan bir parkenin köşelerine yerleştirmektir. Bu ambalajın yoğunluğu. 1940 yılında bu paketlemenin en yoğun olduğu kanıtlandı.

Kenarı olan normal bir altıgen evrensel bir örtüdür, yani herhangi bir çap seti, kenarı olan normal bir altıgen (Pal'in lemması) tarafından kaplanabilir.

Pergel ve cetvel kullanılarak düzgün bir altıgen oluşturulabilir. Aşağıda Öklid'in Elementler, Kitap IV, Teorem 15'te önerdiği yapım yöntemi bulunmaktadır.

Doğada, teknolojide ve kültürde düzenli altıgen

Düzlemin düzgün altıgenlere bölünmesini gösterin. Altıgen şeklin diğerlerinden daha fazla olması duvarlardan tasarruf etmenizi sağlar, yani bu tür hücrelere sahip peteklerde daha az balmumu harcanır.

Bazı karmaşık kristaller ve moleküller Grafit gibi altıgen bir kristal kafese sahiptir.

Bulutlardaki mikroskobik su damlacıklarının toz parçacıklarına çekilip donması sonucu oluşur. Bu durumda ortaya çıkan ve ilk başta çapı 0,1 mm'yi geçmeyen buz kristalleri, üzerlerindeki havadan gelen nemin yoğunlaşması sonucu aşağı düşerek büyür. Bu durumda altı köşeli kristal formlar oluşur. Su moleküllerinin yapısından dolayı kristalin ışınları arasında ancak 60° ve 120°'lik açılar mümkündür. Ana su kristali düzlemde düzenli bir altıgen şeklindedir. Daha sonra böyle bir altıgenin tepelerinde yeni kristaller biriktirilir, üzerlerine yenileri biriktirilir ve böylece çeşitli kar tanesi yıldızları elde edilir.

Oxford Üniversitesi'nden bilim insanları, böyle bir altıgenin ortaya çıkışını laboratuvarda simüle etmeyi başardılar. Böyle bir oluşumun nasıl meydana geldiğini anlamak için araştırmacılar, 30 litrelik bir şişe suyu döner tablanın üzerine yerleştirdiler. Satürn'ün atmosferini ve olağan dönüşünü modelledi. Bilim insanları içeriye kaptan daha hızlı dönen küçük halkalar yerleştirdiler. Bu, deneycilerin yeşil boyayla görselleştirdiği minyatür girdaplar ve jetler yarattı. Halka ne kadar hızlı döndüyse, girdaplar da o kadar büyüdü ve yakındaki akıntının dairesel bir şekilden sapmasına neden oldu. Böylece deneyin yazarları ovaller, üçgenler, kareler ve tabii ki istenen altıgen gibi çeşitli şekiller elde etmeyi başardılar.

Eski bir volkanik patlamanın sonucu olarak oluşan, birbirine bağlı yaklaşık 40.000 bazalt (nadiren andezitik) sütundan oluşan doğal bir anıt. Kuzey İrlanda'nın kuzeydoğusunda, Bushmills şehrinin 3 km kuzeyinde yer alır.

Sütunların tepeleri, uçurumun dibinden başlayıp deniz yüzeyinin altında kaybolan bir tür sıçrama tahtası oluşturuyor. Sütunların çoğu altıgen şeklindedir, ancak bazılarının dört, beş, yedi veya sekiz köşesi vardır. En yüksek sütun yaklaşık 12 metre yüksekliğindedir.

Yaklaşık 50-60 milyon yıl önce, Paleojen döneminde, erimiş bazalt birikintilere nüfuz ederek geniş lav platoları oluşturduğunda Antrim bölgesi yoğun volkanik aktiviteye maruz kaldı. Hızlı soğutmayla maddenin hacmi azaldı (bu, çamur kuruduğunda gözlenir). Yatay sıkıştırma, altıgen sütunların karakteristik yapısıyla sonuçlandı.

Somunun kesiti düzenli altıgen şeklindedir.