Množina spojitých funkcií má kardinalitu kontinua. Kontinuum (teória množín)

§2. Súpravy nepretržitého napájania.

Všetky doteraz uvažované nekonečné množiny boli spočítateľné, teda rovné množine N prirodzené čísla. Cantor má nasledujúcu pozoruhodnú vetu, ktorá hovorí, že existujú nekonečné množiny, ktoré nie sú spočítateľné. Spôsob, akým je táto veta dokázaná, sa nazýva „diagonálny proces“ alebo Cantorova „diagonálna konštrukcia“. Úspešne sa používa v mnohých iných argumentoch.

Veta 2.1.

Kopa C = {0, 1} N Všetky nekonečné postupnosti 0 a 1 sú nespočítateľné.

Dôkaz.

Nech X C– akákoľvek počítateľná podmnožina. Môžete napísať: X = (x 1, x 2, ...). Každý prvok množiny X je nekonečná postupnosť: x j =  j 1 ,  j 2 , …, kde  jk (0, 1). Zostrojme novú nekonečnú postupnosť y = 1- 11, 1- 22, 1- 33, …. Všimnite si, že j: y  x j, keďže j-té členy týchto postupností sú rôzne:  jj  1- jj. Preto yX a teda X  C. To znamená, že C nespočítateľné.

Definícia.

Každá sada je rovnaká C sa nazýva výkonová množina kontinua.

Ako bolo uvedené v predchádzajúcej časti, má silu kontinua.

Takže mohutnosti nekonečných množín sa môžu líšiť. Sila kontinua je väčšia ako sila spočítateľnej množiny. Odpoveď na otázku, či existujú množiny vyššej mohutnosti ako je mohutnosť kontinua, dáva nasledujúca veta (uvedená bez dôkazu).

Veta o množinách vyššej mohutnosti. Množina všetkých podmnožín danej množiny má vyššiu mohutnosť ako daná množina.

Z tejto vety vyplýva, že neexistujú množiny s najväčšou mohutnosťou.

Testovacie otázky k téme 1.

1. Nechajte aÎ A. Vyplýva z toho, že ( a} A?

2. V akom prípade A AÇ IN?

3. Pomenujte množinu, ktorá je podmnožinou ľubovoľnej množiny.

4. Môže byť množina ekvivalentná jej podmnožine?

5. Ktorá množina má väčšiu mohutnosť: množina prirodzených čísel alebo množina bodov na úsečke?

Pre mocnosť množiny reálnych čísel R existuje osobitné označenie - s. Akákoľvek množina s takouto silou sa nazýva kontinuum (z anglického continue - pokračovať).

Zavedenie konceptu kontinuálnej sily vyvoláva dve otázky.

1. Existuje množina mohutnosti väčšia ako c?

2. Existuje súbor medziľahlých výkonov medzi spočítateľným a kontinuom?

Na prvý pohľad je množina mocniny väčšia ako c ľubovoľná plochá postava, napríklad štvorec. Nie je to však pravda a nie je to pravda

TEOREM. Otvorený jednotkový štvorec v rovine má mohutnosť rovnajúcu sa c.

DÔKAZ. Zostrojme zobrazenie f bodov štvorca na jeho stranu. Zoberme si ľubovoľný bod vo vnútri štvorca so súradnicami (x, y). Nech v desiatkovom zápise x = 0,a 1 a 2 a 3 ..., a y = 0,b 1 b 2 b 3 ... . Zostavme číslo z = f(x, y) = = 0,a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ..., ktoré je súradnicou bodu na strane štvorca. Takto namapujeme body štvorca na jeho stranu. Je zrejmé, že toto mapovanie je injektívne, t.j. ak vezmeme body A = (x 1, y 1) a B = (x 2, y 2), takže A ¹ B, a definujeme z A = f(A), z B = f(B), potom získať z A ¹ z B, t.j. dva rôzne body A a B štvorca sú mapované na dva rôzne body na úsečke. Nech je A ¹ B. To znamená x 1 ¹ x 2 alebo y 1 ¹ y 2, a ak áno, potom sa tieto čísla líšia aspoň na jedno desatinné miesto, a teda z A ¹ z B.

Injektivita znamená, že v štvorci nie je viac bodov ako v segmente. Na druhej strane ich nemôže byť menej, keďže segment je podmnožinou štvorca. V dôsledku toho je skonštruované zobrazenie f jedna ku jednej.

Napriek tomu existujú množiny mohutnosti nad kontinuom; navyše,

TEOREM. Pre každú množinu A existuje množina B s väčšou mocnosťou.

DÔKAZ. Nech existuje množina A. Uvažujme množinu B, ktorá je množinou všetkých funkcií definovaných v bodoch množiny A a rovná sa 0 alebo 1 v týchto bodoch. Ukážme, že mocnina množiny B je väčšia ako mocnina A.

Uvažujme na množine A funkciu z B definovanú pravidlom

kde aОА. Spojme každý bod АОА s funkciou f a (x)ОВ a uvažujme výslednú množinu

B 1 = ( f a (x)ÎB | aÎA )Ì B.

Je zrejmé, že sme vytvorili mapovanie jedna ku jednej A « B 1. Preto | A | = | B 1 |, čo znamená | A | £ | B 1 |.

Ukážme, že | A | ¹ | B 1 |. To je ekvivalentné skutočnosti, že neexistuje žiadne individuálne zobrazenie z A na všetky B. Predpokladajme naopak, že existuje bijektívne zobrazenie j: A ® B, ktoré priraďuje každému aOA prvok bОB a každá funkcia z B je prvkom množiny A. Označme j(a ) = f (a) (x) a uvažujme funkciu

g(x) = 1 – f (a) (x).

Na základe vlastností prvkov množiny B máme, že hodnota f (a) (x) je rovná 0 alebo 1, potom táto vlastnosť platí aj pre funkciu g(x). Preto g(x)ОВ. To znamená, že podľa predpokladu existuje bod bОА taký, že mu g(x) jednoznačne zodpovedá, t.j. g(x) = f (b) (x). Vezmime x = b, potom dostaneme

g(b) = 1 – f (b) (b) = f (b) (b).

Preto f (b) (b) = 1/2, čo je v rozpore s podmienkou, že funkcia f (b) (x) patrí do množiny B. Takéto zobrazenie j teda neexistuje. To znamená, že sila B je striktne väčšia ako sila A.

Z vety vyplýva, že množina najväčšej mohutnosti neexistuje.

Ekvivalentný spôsob, ako zostrojiť množinu väčšej mohutnosti, získame, ak B definujeme ako množinu, ktorej prvkami sú všetky možné podmnožiny množiny A. Množina všetkých podmnožín určitej množiny A sa nazýva booleovská a označuje sa 2 A ( 2 A =( C | C Í A)). Potom m(2 A) = 2 | A | .

Množina, ktorej mohutnosť je 2c, sa nazýva množina mohutností hyperkontinua.

Čo sa týka problému existencie množiny intermediárnej kardinality, ukázalo sa, že toto tvrdenie nie je možné dokázať na základe axióm teórie množín, ale nie je im v rozpore.

TESTOVACIE OTÁZKY A ÚLOHY

1. Určite mohutnosti nasledujúcich množín:

a) množina všetkých trojuholníkov v rovine, ktorých súradnice vrcholov sú vyjadrené racionálnymi číslami;

b) množina koreňov polynómov s celočíselnými koeficientmi;

c) množina reálnych čísel od 0 do 1, v ktorých desiatkovom zobrazení je 7 na 3. mieste (t. j. čísla tvaru 0.ab7cd...).

2. Na číselnej osi je daná neobmedzená spočítateľná množina E. Dokážte, že vždy existuje reálne číslo z a že posunutím množiny E o z doprava získame novú množinu E 1, ktorá bude mať prázdnu križovatka s E.

3*. Dokážte, že množina všetkých spojitých funkcií na intervale má mohutnosť kontinua.

4. Aká je mohutnosť množiny všetkých funkcií definovaných na intervale a nesúvislých aspoň v jednom bode tohto intervalu?

5. Akú mohutnosť má množina všetkých striktne rastúcich spojitých funkcií definovaných na intervale?

6. Aká je mohutnosť množiny všetkých monotónnych funkcií na intervale?

7. Ukážte, že množina všetkých permutácií prirodzeného radu N má silu kontinua.

8. Akú mohutnosť má množina všetkých striktne rastúcich postupností prirodzených čísel?

9. Akú mohutnosť má množina všetkých postupností prirodzených čísel?

Príklady riešení

Uvažujme množinu Q všetkých racionálnych bodov úsečky , očíslovaných ľubovoľným spôsobom, t.j. Q= = (r1, r2, ...). Priraďme ku každej spojitej funkcii f postupnosť reálnych čísel f(r 1), f(r 2), ... Keďže spojitá funkcia on je úplne určená jej hodnotami v bodoch množiny Q, vytvoriť korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinou všetkých spojitých funkcií a časťou množiny všetkých postupností reálnych čísel. To znamená, že na základe výsledkov úloh 11–13 odseku 4, mohutnosť množiny všetkých spojitých funkcií nie je väčšia ako mohutnosť kontinua. Na druhej strane nemôže byť menšia ako mocnina kontinua, keďže všetky funkcie, ktoré sú konštantné na, už tvoria množinu mocniny kontinua. Na dokončenie dôkazu zostáva použiť Cantor-Bernsteinovu vetu.

Fuzzy sady. Základné pojmy

Klasická teória množín vznikla začiatkom 20. storočia v prácach Cantora av roku 1965 profesor Kalifornskej univerzity (Berkeley) Lotfi A. Zadeh publikoval prácu „Fuzzy Sets“, v ktorej rozšíril klasický koncept položil a položil základy modelovania ľudskej intelektuálnej činnosti.

V mnohých aplikovaných problémoch riešených pomocou teórie množín môže byť ťažké jednoznačne a jasne obmedziť množinu prvkov patriacich do danej množiny, pretože Vzniká rozpor medzi formálnou povahou matematiky a ľudským zvykom myslieť v nejasných, nejasných pojmoch. (Koľko kusov je kopa kameňov? 5 slonov je veľa, 10 mravcov je málo atď.). Tento rozpor sa Zademu do istej miery podarilo prekonať.

Ďalšia práca profesora L. Zadeha a jeho nasledovníkov položila pevný základ novej teórie a vytvorila predpoklady pre zavedenie metód fuzzy riadenia do inžinierskej praxe. Do roku 1990 bolo na túto tému publikovaných viac ako 10 000 prác a počet výskumníkov dosiahol 10 000, pričom 200-300 ľudí v USA, Európe a ZSSR, asi 1000 v Japonsku, 2000-3000 v Indii a asi 5000 výskumníkov. v Číne. V posledných 5 - 7 rokoch sa v priemysle začalo používať nové metódy a modely. A hoci prvé aplikácie fuzzy riadiacich systémov prebehli v Európe, najintenzívnejšie sa takéto systémy implementujú v Japonsku. Ich rozsah použitia je široký: od riadenia procesu odchodu a zastavenia vlaku metra, riadenia nákladných výťahov a vysokých pecí až po práčky, vysávače a mikrovlnné rúry. Fuzzy systémy zároveň umožňujú zlepšiť kvalitu produktov pri znižovaní nákladov na zdroje a energiu a poskytujú vyššiu odolnosť voči rušivým faktorom v porovnaní s tradičnými automatickými riadiacimi systémami.

Inými slovami, nové prístupy umožňujú rozšíriť rozsah aplikácie automatizačných systémov nad rámec použiteľnosti klasickej teórie. V tomto smere je zaujímavý pohľad L. Zadeha: „Domnievam sa, že prílišná túžba po presnosti začala mať za následok anulovanie teórie riadenia a teórie systémov, pretože to vedie k tomu, že výskum v tejto oblasti sa sústreďuje len na tie problémy, ktoré sa dajú presne vyriešiť. , mnohé triedy dôležitých problémov, v ktorých sú údaje, ciele a obmedzenia príliš zložité alebo nedostatočne definované na to, aby bolo možné pripustiť presnú matematickú analýzu, boli a zostávajú bokom z dôvodu, že sa nehodia na matematické spracovanie. musíme opustiť naše požiadavky na presnosť a umožniť výsledky, ktoré sú trochu vágne alebo neisté."

Posun v zameraní výskumu fuzzy systémov smerom k praktickým aplikáciám viedol k formulácii množstva problémov, ako sú nové počítačové architektúry pre fuzzy výpočty, elementárna základňa fuzzy počítačov a regulátorov, vývojové nástroje, inžinierske metódy na výpočet a vývoj fuzzy riadiace systémy a mnoho ďalšieho.

Nech E je univerzálna množina, x je prvok E a P je nejaká vlastnosť. Obyčajná (chrumkavá) podmnožina A univerzálnej množiny E, ktorej prvky spĺňajú vlastnosť P, je definovaná ako množina usporiadaných dvojíc A = (m A (x) / X } , kde m A (x) je charakteristická funkcia, ktorá nadobúda hodnotu 1, ak x spĺňa vlastnosť P , a 0 – inak.

Fuzzy podmnožina sa líši od obyčajnej v tom, že pre prvky x z E neexistuje jednoznačná odpoveď „áno-nie“ ohľadom vlastnosti P. V tomto ohľade je fuzzy podmnožina A univerzálnej množiny E definovaná ako množina usporiadaných párov. A = (m A (x) /x), kde m A (x) je charakteristická funkcia príslušnosti (alebo jednoducho funkcia príslušnosti) nadobúdajúca hodnoty v nejakej dobre usporiadanej množine M (napríklad M = [ 0,1] ). Funkcia príslušnosti udáva stupeň (alebo úroveň) príslušnosti prvku x k podmnožine A. Množina M sa nazýva množina príslušnosti. Ak M = { 0,1} , potom fuzzy podmnožina A možno považovať za obyčajný alebo ostrý súbor.

Príklady zápisu fuzzy množiny

Nech E= (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5), M = [ 0,1] ; A je fuzzy množina, pre ktorú m A ( X 1) = 0,3; m A ( X 2) = 0; m A ( X 3) = 1; m A ( X 4) = 0,5; m A ( X 5) = 0,9. Potom A môže byť reprezentované ako:
A= { 0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } alebo
A = 0,3/x 1 È 0/x 2 È 1/x 3 È 0,5/x 4 È 0,9/x 5, príp.

A=	X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 0,3 0,5 0,9

Štýl: . Množina s kontinuom mohutnosti sa nazýva kontinuálne veľa.

Tiež termín kontinuum môže označovať samotnú množinu reálnych čísel alebo dokonca akúkoľvek množinu kontinua.

Vlastnosti

Príklady

Príklady množín s kontinuom mohutnosti:

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „Continuum (teória množín)“ v iných slovníkoch:

Teória, v ktorej sa študujú množiny (triedy) prvkov ľubovoľnej povahy. Vytvorené predovšetkým dielami Cantora (ako aj R. Dedekinda a K. Weierstrassa), T. m. do konca 19. storočia. sa stal základom pre konštrukciu matematických systémov, ktoré sa dovtedy vyvinuli... ... Filozofická encyklopédia

Teória množín je oblasť matematiky, ktorá študuje všeobecné vlastnosti množín. Teória množín je základom väčšiny matematických disciplín; mala hlboký vplyv na pochopenie samotnej témy... ... Wikipedia

TEÓRIA SETOV- odvetvie matematiky, ktoré študuje všeobecné vlastnosti množín. Súbor je akákoľvek kombinácia do jedného celku určitých špecifických a odlišných objektov nášho vnímania alebo myslenia. V technickej matematike sa študujú všeobecné vlastnosti rôznych operácií... ... Encyklopedický slovník psychológie a pedagogiky

Smer v matematike. logika, ktorá sa zaoberá štúdiom fragmentov zmysluplnej teórie množín pomocou matematických metód. logika. Zvyčajne sa na tento účel fragmenty teórie množín formalizujú vo forme formálnej axiomatickej teórie. teórie. V užšom zmysle...... Matematická encyklopédia

Formulácia teórie množín (Pozri Teória množín) vo forme formálneho (axiomatického) systému (Pozri axiomatická metóda). Hlavným podnetom pre konštrukciu A. t. m. bol objav G. Cantora v „naivnej“ teórii množín.… … Veľká sovietska encyklopédia

Teória množín je oblasť matematiky, ktorá študuje všeobecné vlastnosti množín. Teória množín je základom väčšiny matematických disciplín; malo hlboký vplyv na chápanie samotného predmetu matematiky. Obsah 1 Teória ... ... Wikipedia

Z lat. kontinuum súvislý, súvislý. Kontinuum (vo fyzike) V matematike: Kontinuum (teória množín) je množina rovnajúca sa množine reálnych čísel R alebo trieda všetkých takýchto množín. Kontinuum (topológia) pripojené... ... Wikipedia

Matematik, teória, ktorá študuje problém nekonečna presnými prostriedkami. Predmet M. t. vlastnosti množín (zbierky, triedy, súbory), kap. arr. nekonečné. Základné obsahová klasika M. t. bol vyvinutý v Nemecku. matematik G....... Filozofická encyklopédia

- (z lat. continuum kontinuálne), používaný výraz? matematika, veda a filozofia. Kvantita sa v matematike chápe ako nekonečné množiny, ktoré sú kvantitatívne ekvivalentné množine reálnych. čísla. Moc, alebo kardinálne číslo... Filozofická encyklopédia