La densité de probabilité d'une variable aléatoire est égale à. Fonction de distribution de probabilité et densité de probabilité

Les variables aléatoires continues se caractérisent par le fait que leurs valeurs peuvent différer aussi peu que souhaité les unes des autres.

Probabilité de l'événement X < X(Où X– valeur , et X– valeur arbitrairement spécifiée), considérée en fonction de X, appelé fonction de distribution de probabilité:

F(X) = R.(X <X).

La dérivée de la fonction de distribution de probabilité est appelée fonction de densité de probabilité ou densité de probabilité:

F(X) = F"(X).

La fonction de distribution de probabilité est exprimée par la densité de probabilité sous forme d'intégrale :

X 1 , X 2) égal à l'incrément de la fonction de distribution de probabilité sur cet intervalle :

P.(X 1 <X<X 2) = F(X 2) – F(X 1). (4)

3.1. Valeur aléatoire X est donné par la fonction de distribution de probabilité :

Trouver la densité de probabilité F(X) et la probabilité que la variable aléatoire X tombe dans les intervalles (1 ; 2,5), (2,5 ; 3,5).

Solution. On trouve la densité de probabilité en utilisant la formule F(X) = F"(X):

Probabilités de toucher une variable aléatoire X en intervalles, nous calculons à l'aide de la formule (3.1) :

R.(1 < X < 2,5) = F(2,5) – F(1) = 0,5 2 – 0 = 0,25;

R.(2,5 < X < 3,5) = F(3,5) – F(2,5) = 1 – 0,25= 0,75.

3.2. Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue X:

Trouver la fonction de distribution F(X) et tracez-le.

Solution.

Si ,

Si X > 2.

Le graphique des fonctions est présenté sur la Fig. 3.1.

Riz. 3.1

3.3. Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue X donné sous la forme

Recherchez le paramètre C.

Solution. Basé sur l'égalité

Attente et variance. Mode et médiane

Valeur moyenne ou espérance mathématique variable aléatoire continue X

M(X) = M x = ,

Où F(X) - densité de probabilité.

Variance variable aléatoire continue X s'appelle la valeur de l'intégrale

D(X) = Dx= .

La formule peut également être utilisée pour déterminer l'écart

ré x = .

Mode M 0 (X X on appelle la valeur de cette quantité dont la densité de probabilité est maximale.

Moi médian(X) variable aléatoire continue X sa valeur est appelée à laquelle l'égalité est satisfaite

R.(X < Moi) = R.(X > Moi).

3.4. Valeur aléatoire X F(X) = X/2 dans l'intervalle (0 ; 2), en dehors de cet intervalle F(X) = 0. Trouvez l'espérance mathématique de la valeur X.

Solution. Basé sur une formule

3.5. Valeur aléatoire X donné par la densité de probabilité F(X) = X/8 dans l'intervalle (0 ; 4). En dehors de cet intervalle F(X) = 0. Trouvez l’espérance mathématique.

3.6. Valeur aléatoire X donné par la densité de probabilité F(X) = à . Trouvez l'espérance mathématique.

3.7. Valeur aléatoire X donné par la densité de probabilité F(X) = AVEC(X 2 + 2X) dans l'intervalle (0 ; 1). En dehors de cet intervalle F(X) = 0. Rechercher le paramètre AVEC.

Solution. Parce que

Où AVEC = .

Distribution uniforme

Une variable aléatoire continue est appelée distribué équitablement sur le segment [ UN, b], si sa densité de probabilité a la forme :

L'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire uniformément distribuée sont déterminées par les expressions

3.8. Valeur aléatoire X répartis uniformément sur le segment. Trouver la fonction de distribution F(X), l'espérance mathématique, la dispersion et l'écart type de la valeur.

Solution. Densité de probabilité pour la quantité X a la forme :

Par conséquent, la fonction de distribution calculée par la formule :

,

s'écrira ainsi :

L'espérance mathématique sera égale à M x= (1 + 6)/2 = 3,5. Trouvez la variance et l'écart type :

Dx = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

Distribution normale

Valeur aléatoire X est distribué selon la loi normale si sa fonction de densité de probabilité a la forme :

Où M x- valeur attendue;

- écart-type.

La probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle ( UN, b) se trouve par la formule

R.(UN < X < b) = Ф – Ф = Ф( z 2) – F( z 1), (5)

où Ф( z) = – Fonction de Laplace.

Valeurs de la fonction de Laplace pour différentes valeurs z sont donnés en annexe 2.

3.9. Attente d'une variable aléatoire normalement distribuée Xéquivaut à M x= 5, la variance est Dx= 9. Écrivez une expression pour la densité de probabilité.

3.10. Attente et écart type d'une variable aléatoire normalement distribuée X respectivement égaux à 12 et 2. Trouver la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur contenue dans l'intervalle (14 ; 16).

Solution. Nous utilisons la formule (21.2), en tenant compte du fait que M x = 12, = 2:

R.(14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

En utilisant le tableau des valeurs de la fonction de Laplace, nous trouvons Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772. Après substitution on obtient la valeur de la probabilité souhaitée :

R.(14 <X < 16) = 0,1359.

3.11. Il existe une variable aléatoire X, distribué selon la loi normale, dont l'espérance mathématique est de 20, l'écart type est de 3. Trouver un intervalle symétrique par rapport à l'espérance mathématique, dans lequel avec probabilité R.= 0,9972 sera une variable aléatoire.

Solution. Parce que R.(X 1 < X < X 2) = R.= 2F(( X 2 – M x)/ ), puis Ф( z) = R./2 = 0,4986. En utilisant la table des fonctions de Laplace, on trouve la valeur z, correspondant à la valeur obtenue de la fonction Ф( z) = 0,4986: z= 2,98. Compte tenu du fait que z = (X 2 – M x)/ , définir = X 2 – M x = z= 3 · 2,98 = 8,94. L'intervalle requis ressemblera à (11.06 ; 28.94).

Prenons en compte cela F(X) = F"(X). On obtient alors :

Remplaçons-le dans l'expression de l'espérance mathématique

.

En intégrant par parties, on obtient M x= 1/ , ou M x = 1/0,1.

Pour déterminer la dispersion, on intègre le premier terme par parties. En conséquence nous obtenons :

.

Prenons en compte l'expression trouvée pour M x. Où

.

Dans ce cas M x = 10, Dx = 100.

SYSTÈMES VARIABLES ALÉATOIRES

Propriétés de la densité de distribution

Tout d’abord, rappelons ce qu’est la densité de distribution :

Considérez les propriétés de la densité de distribution :

Propriété 1 : La fonction de densité de distribution $\varphi (x)$ est non négative :

Preuve.

Nous savons que la fonction de distribution $F(x)$ est une fonction non décroissante. De la définition, il s'ensuit que $\varphi \left(x\right)=F"(x)$, et la dérivée d'une fonction non décroissante est une fonction non négative.

Géométriquement, cette propriété signifie que le graphique de la fonction $\varphi \left(x\right)$ de la densité de distribution est soit au-dessus, soit sur l'axe $Ox$ lui-même (Fig. 1)

Figure 1. Illustration de l'inégalité $\varphi (x)\ge 0$.

Propriété 2 : L'intégrale impropre de la fonction de densité de distribution dans la plage allant de $-\infty $ à $+\infty $ est égale à 1 :

Preuve.

Rappelons la formule pour trouver la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle $(\alpha ,\beta)$ :

Figure 2.

Trouvons la probabilité que la variable aléatoire tombe dans l'intervalle $(-\infty ,+\infty $) :

Figure 3.

Évidemment, la variable aléatoire tombera toujours dans l'intervalle $(-\infty ,+\infty $), par conséquent, la probabilité d'un tel succès est égale à un. On a:

Géométriquement, la deuxième propriété signifie que l'aire d'un trapèze curviligne délimité par le graphique de la fonction de densité de distribution $\varphi (x)$ et l'axe des x est numériquement égale à un.

On peut aussi formuler la propriété inverse :

Propriété 3 : Toute fonction non négative $f(x)\ge 0$ satisfaisant l'égalité $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ est une fonction de densité de distribution une variable aléatoire continue.

Signification probabiliste de la densité de distribution

Donnons à la variable $x$ un incrément de $\triangle x$.

Signification probabiliste de la densité de distribution : La probabilité qu'une variable aléatoire continue $X$ prenne des valeurs de l'intervalle $(x,x+\triangle x)$ est approximativement égale au produit de la densité de distribution de probabilité au point $x$ par l'incrément $\triangle x$ :

Figure 4. Illustration géométrique de la signification probabiliste de la densité de distribution d'une variable aléatoire continue.

Exemples de résolution de problèmes utilisant les propriétés de la densité de distribution

Exemple 1

La fonction de densité de probabilité a la forme :

Graphique 5.

1. Trouvez le coefficient $\alpha $.
2. Construisez un graphique de densité de distribution.

1. Considérons l'intégrale impropre $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)$, nous obtenons :

Graphique 6.

En utilisant la propriété 2, on obtient :

\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac(1)(2).\]

Autrement dit, la fonction de densité de distribution a la forme :

Graphique 7.

1. Construisons son graphique :

Figure 8.

Exemple 2

La fonction de densité de distribution a la forme $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$

(Rappelez-vous que $chx$ est un cosinus hyperbolique).

Trouvez la valeur du coefficient $\alpha $.

Solution. Utilisons la deuxième propriété :

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \limites^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\]

Puisque $chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$, alors

\[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x)))=2arctge^x+C\]

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \]

Ainsi:

\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]

Définition . Continu appelé une variable aléatoire qui peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle fini ou infini.

Pour une variable aléatoire continue, la notion de fonction de distribution est introduite.

Définition. Fonction de répartition Les probabilités d'une variable aléatoire X sont une fonction F(x), qui détermine pour chaque valeur x la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à x, soit :

F(x) = P(X< x)

Souvent, au lieu du terme « fonction de distribution », le terme « fonction de distribution cumulative » est utilisé.

Propriétés de la fonction de distribution :

1. Les valeurs de la fonction de distribution appartiennent au segment :

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. La fonction de distribution est une fonction non décroissante, c'est-à-dire :

si x > x,

alors F(x) ≥ F(x).

3. La probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur contenue dans l'intervalle :

la probabilité qu'une variable aléatoire continue X prendra n'importe quelle valeur de l'intervalle [ un; b], est égal à une certaine intégrale de sa densité de probabilité allant de un avant b:

.

Dans ce cas, la formule générale de la fonction F(X) distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue, qui peut être utilisée si la fonction de densité est connue F(X) :

.

Le graphique de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue est appelé sa courbe de distribution (figure ci-dessous).

Aire d'une figure (ombrée sur la figure) délimitée par une courbe, lignes droites tirées de points un Et b perpendiculaire à l'axe des x et à l'axe Oh, affiche graphiquement la probabilité que la valeur d'une variable aléatoire continue X est dans la plage de un avant b.

Propriétés de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue

1. La probabilité qu'une variable aléatoire prenne n'importe quelle valeur de l'intervalle (et l'aire de la figure limitée par le graphique de la fonction F(X) et l'axe Oh) est égal à un :

2. La fonction de densité de probabilité ne peut pas prendre de valeurs négatives :

et en dehors de l'existence de la distribution sa valeur est nulle

Densité de distribution F(X), ainsi que la fonction de distribution F(X), est une des formes de la loi de distribution, mais contrairement à la fonction de distribution, elle n'est pas universelle : la densité de distribution n'existe que pour des variables aléatoires continues.

Mentionnons les deux types de distribution les plus importants d'une variable aléatoire continue en pratique.

Si la fonction de densité de distribution F(X) variable aléatoire continue dans un intervalle fini [ un; b] prend une valeur constante C, et en dehors de l'intervalle prend une valeur égale à zéro, alors ceci la distribution est dite uniforme .

Si le graphique de la fonction de densité de distribution est symétrique par rapport au centre, les valeurs moyennes sont concentrées près du centre, et en s'éloignant du centre, les plus différentes de la moyenne sont collectées (le graphique de la fonction ressemble à une section d'un cloche), alors ceci la distribution est dite normale .

Exemple 1. La fonction de distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue est connue :

Rechercher une fonction F(X) densité de probabilité d'une variable aléatoire continue. Construisez des graphiques des deux fonctions. Trouvez la probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne n'importe quelle valeur dans l'intervalle de 4 à 8 : .

Solution. Nous obtenons la fonction de densité de probabilité en trouvant la dérivée de la fonction de distribution de probabilité :

Graphique d'une fonction F(X) - parabole :

Graphique d'une fonction F(X) - droit:

Trouvons la probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne n'importe quelle valeur comprise entre 4 et 8 :

Exemple 2. La fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue est donnée par :

Calculer le coefficient C. Rechercher une fonction F(X) distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue. Construisez des graphiques des deux fonctions. Trouvez la probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne n'importe quelle valeur comprise entre 0 et 5 : .

Solution. Coefficient C on trouve, en utilisant la propriété 1 de la fonction de densité de probabilité :

Ainsi, la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue est :

En intégrant, on retrouve la fonction F(X) distributions de probabilité. Si X < 0 , то F(X) = 0 . Si 0< X < 10 , то

.

X> 10, alors F(X) = 1 .

Ainsi, l’enregistrement complet de la fonction de distribution de probabilité est :

Graphique d'une fonction F(X) :

Graphique d'une fonction F(X) :

Trouvons la probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne n'importe quelle valeur comprise entre 0 et 5 :

Exemple 3. Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue X est donné par l'égalité , et . Trouver le coefficient UN, la probabilité qu'une variable aléatoire continue X prendra n'importe quelle valeur de l'intervalle ]0, 5[, la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue X.

Solution. Par condition on arrive à l'égalité

Par conséquent, d'où . Donc,

.

Nous trouvons maintenant la probabilité qu'une variable aléatoire continue X prendra n'importe quelle valeur de l'intervalle ]0, 5[ :

Nous obtenons maintenant la fonction de distribution de cette variable aléatoire :

Exemple 4. Trouver la densité de probabilité d'une variable aléatoire continue X, qui ne prend que des valeurs non négatives, et sa fonction de distribution .

Valeur attendue

Dispersion La variable aléatoire continue X, dont les valeurs possibles appartiennent à tout l'axe Ox, est déterminée par l'égalité :

Objet de la prestation. Calculateur en ligne conçu pour résoudre des problèmes dans lesquels soit densité de distribution f(x) ou fonction de distribution F(x) (voir exemple). Habituellement, dans de telles tâches, vous devez trouver espérance mathématique, écart type, fonctions de tracé f(x) et F(x).

Instructions. Sélectionnez le type de données source : densité de distribution f(x) ou fonction de distribution F(x).

La densité de distribution f(x) est donnée :

La fonction de distribution F(x) est donnée :

Une variable aléatoire continue est spécifiée par une densité de probabilité
(Loi de distribution de Rayleigh - utilisée en ingénierie radio). Trouvez M(x) , D(x) .

La variable aléatoire X est appelée continu , si sa fonction de distribution F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est utilisée pour calculer la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans un intervalle donné :
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
De plus, pour une variable aléatoire continue, peu importe que ses limites soient incluses ou non dans cet intervalle :
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densité de distribution une variable aléatoire continue s'appelle une fonction
f(x)=F’(x) , dérivée de la fonction de distribution.

Propriétés de la densité de distribution

1. La densité de distribution de la variable aléatoire est non négative (f(x) ≥ 0) pour toutes les valeurs de x.
2. Condition de normalisation :

La signification géométrique de la condition de normalisation : l'aire sous la courbe de densité de distribution est égale à l'unité.
3. La probabilité qu'une variable aléatoire X tombe dans l'intervalle de α à β peut être calculée à l'aide de la formule

Géométriquement, la probabilité qu'une variable aléatoire continue X tombe dans l'intervalle (α, β) est égale à l'aire du trapèze curviligne sous la courbe de densité de distribution basée sur cet intervalle.
4. La fonction de distribution est exprimée en termes de densité comme suit :

La valeur de la densité de distribution au point x n'est pas égale à la probabilité d'accepter cette valeur ; pour une variable aléatoire continue on ne peut parler que de la probabilité de tomber dans un intervalle donné. Laisser )