Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости:

1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени;

2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины;

3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества.

Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.

1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?

(Рассуждаем так:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше деталей, тем больше металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):

12:10=х:3,5

Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:

Значит, потребуется 4,2 кг металла.

Ответ: 4,2 кг.

2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани?

(1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой).

Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):

15:12=1680:х

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции:

Значит, 12 метров стоят 1344 рубля.

Ответ: 1344 рубля.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Учебный предмет: математика; 6 класс (учебник «Математика 6» Н.Я.Виленкин и др.)

Тема: Прямая и обратная пропорциональные зависимости.

Тип урока: изучение нового материала с применением информационных технологий

Цели и задачи:

• Образовательные :
  • закрепить основные понятия: пропорция, основное свойство пропорции;
  • сформировать у учащихся понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости;
  • сформировать умение решать задачи с помощью пропорции;
• Развивающие :
  • логически мыслить при определении зависимости в соответствии с условием задачи;
  • развивать грамотную математическую речь; память, внимание, делать выводы, основанные на рассуждениях;
  • содействовать развитию познавательного интереса, творческих способностей, умению сравнивать, анализировать;
• Воспитательные:
  • прививать интерес к математике;
  • развивать навыки устойчивого внимания.

Методы обучения: коммуникативный, дифференцированный, исследовательско-поисковый.

Формы организации урока: фронтальный опрос, индивидуальная работа, самопроверка.

Оборудование: м/м проектор, экран, компьютер, монитор, презентация.

ХОД УРОКА

1. Организационный этап

Приветствие;

Проверка готовности учащихся к уроку.

– Сегодня мы с вами познакомимся с новыми понятиями: прямая и обратная пропорциональные зависимости, и будем учиться решать задачи, опираясь на новые знания.

2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (слайд 2)

1. Что такое пропорция?
2. Сформулируйте основное свойство пропорции.
3. Какие перестановки членов пропорции снова приводят к верным пропорциям?
4. Составьте три новые верные пропорции из пропорции: 5: 15 = 4: 12
5. Какие перестановки членов этой пропорции снова приводят к верным пропорциям?
6. Составьте три новые верные пропорции из пропорции: (слайд 3)

а) 135: __ = 90: 2
б) 18: 3 = __ : __

– Какое из этих заданий имеет единственное решение, а какое – много решений? Почему?

Постановка перед учащимися учебной проблемы

– А помогут ли нам полученные знания в решении практических задач?

3. Формирование новых знаний

Устное обсуждение (поиск решения) (слайд 4)

1. За 2 кг овощей заплатили 10 рублей. Сколько стоят 8 кг овощей?

• Во сколько раз купили больше овощей?
• Если больше купили, то меньше или больше должны заплатить?

Вывод: если количество товара увеличивается в несколько раз, то и увеличивается стоимость покупки во столько же раз.

В ходе устного осуждения учащиеся определяют, как изменяются зависимые между собой величины в данной задаче.

Определение: две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

2. Два трактора вспахали поле за 6 дней. За сколько дней вспашут это поле 4 трактора, если будут работать с той же производительностью?

• Если количество тракторов будет больше, то чтобы вспахать то же самое поле потребуется больше или меньше дней?
• Во сколько раз увеличилось количество тракторов? Во сколько раз меньше дней потребуется, чтобы выполнить ту же работу?

В ходе устного осуждения учащиеся определяют, как в этой задаче изменяются зависимые между собой величины.

Определение: две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз

Тестовая работа – проверь себя

Теоретический тест позволяет скорректировать дальнейшую подачу материала (слайды 6; 7; 8)

«Да» и «нет» не говорите, знаком их изобразите: (слайд 5)

«да» – знаком «+» ,
«нет» – знаком «–» .

1. Зависимость между количеством товара и стоимостью покупки является прямой пропорциональностью.
2. Рост ребенка и его возраст прямо пропорциональны.
3. При постоянной ширине прямоугольника его длина и площадь прямо пропорциональны.
4. Скорость автомобиля и время его движения обратно пропорциональны.
5. Скорость автомобиля и его пройденный путь обратно пропорциональны.
6. Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в два раза другая в два раза уменьшается.
7. Грузоподъемность машин и их количество прямо пропорциональны.
8. Периметр квадрата и длина его стороны прямо пропорциональны.

Проверим ответы: взаимопроверка с использованием м/м проектора (слайд 9): + – + + – + – +

Поставь себе оценку: (слайд 10)

8 правильных ответов – «5»
7-6 правильных ответов – «4»
5-4 правильных ответов – «3»

4. Физкультминутка

5. Формирование умений и навыков

Решение задач уровня обязательной подготовки(слайды 11; 12)

6. Этап первичной проверки

Учащиеся выполняют самостоятельную работу по вариантам с взаимопроверкой в парах.

1 вариант – № 785;
2 вариант – № 836;

Проверяем решение: 1 вариант – слайд 14; 2 вариант – слайд 16)

7. Подведение итогов урока. Рефлексия

Проверь себя: (слайд 17)

• Какие величины называются прямо пропорциональными? Приведите примеры прямо пропорциональных величин.
• Какие величины называют обратно пропорциональными? Приведите примеры обратно пропорциональных величин.
• Приведите примеры величин, у которых зависимость не является ни прямо, ни обратно пропорциональной.

8. Постановка домашнего задания (слайд 18)

• изучить п.22, № 805; 811; 812;
• составить текст двух задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости (решение на следующем уроке выполнит сосед по парте).

Проще всего понять прямо пропорциональную зависимость на примере станка, изготавливающего детали с постоянной скоростью. Если за два часа он делает 25 деталей, то за 4 часа он изготовит деталей вдвое больше — 50 . Во сколько раз дольше времени он будет работать, во столько же раз больше деталей он изготовит.

Математически это выглядит так:

4: 2 = 50: 25 или так: 2: 4 = 25: 50

Прямо пропорциональными величинами тут являются время работы станка и число изготовленных деталей.

Говорят: Число деталей прямо пропорционально времени работы станка.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих величин равны. (В нашем примере — это отношение времени 1 к времени 2 = отношению количества деталей за время 1 к количеству деталей за время 2)

Обратная пропорциональность

Обратно пропорциональная зависимость часто встречается в задачах на скорость. Скорость и время являются обратно пропорциональными величинами. Действительно, чем быстрее движется объект, тем меньше времени у него уйдет на путь.

Например:

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины (скорости в нашем примере) равно обратному отношению другой величины (времени в нашем примере). (В нашем примере — отношение первой скорости к второй скорости равно отношению второго времени к первому времени .

Примеры задач

Задача 1:

Решение:

Запишем краткое условие задачи:

Задача 2:

Решение:

Краткая запись: