Rastgele bir değişkenin olasılık yoğunluğu eşittir. Olasılık Dağılım Fonksiyonu ve Olasılık Yoğunluğu

Sürekli rasgele değişkenler, değerlerinin keyfi olarak birbirinden çok az farklılık gösterebilmesi ile karakterize edilir.

Olay Olasılığı X < X(Nerede X değerdir ve X keyfi olarak ayarlanmış bir değerdir), bir fonksiyonu olarak kabul edilir X, denir olasılık dağılım fonksiyonu:

F(X) = R(X <X).

Olasılık dağılım fonksiyonunun türevi denir olasılık yoğunluk fonksiyonu veya olasılık yoğunluğu:

F(X) = F"(X).

Olasılık dağılım işlevi, olasılık yoğunluğu açısından bir integral olarak ifade edilir:

X 1 , X 2) olasılık dağılım fonksiyonunun bu aralıktaki artışına eşittir:

P(X 1 <X<X 2) = F(X 2) – F(X 1). (4)

3.1. rastgele değer X olasılık dağılım fonksiyonu tarafından verilir:

Olasılık yoğunluğunu bulun F(X) ve X rastgele değişkeninin (1; 2.5), (2.5; 3.5) aralıklarına düşme olasılığı.

Çözüm. Olasılık yoğunluğu formülle bulunur. F(X) = F"(X):

Rastgele bir değişkene ulaşma olasılıkları X aralıklarla, formül (3.1) ile hesaplıyoruz:

R(1 < X < 2,5) = F(2,5) – F(1) = 0,5 2 – 0 = 0,25;

R(2,5 < X < 3,5) = F(3,5) – F(2,5) = 1 – 0,25= 0,75.

3.2. Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğu X:

Dağıtım işlevini bulun F(X) ve grafiğini oluşturun.

Çözüm.

Eğer ,

Eğer X > 2.

Fonksiyonun grafiği şekilde gösterilmiştir. 3.1.

Pirinç. 3.1

3.3. Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğu Xşeklinde verilmiş

C parametresini bulun.

Çözüm. Eşitliğe dayalı

Matematiksel beklenti ve dağılım. Mod ve medyan

Ortalama değer veya matematiksel beklenti sürekli rastgele değişken X

M(X) = M x = ,

Nerede F(X) olasılık yoğunluğudur.

dağılım sürekli rastgele değişken X integralin değeri denir

D(X) = dx= .

Formül, dağılımı belirlemek için de kullanılabilir.

x = .

Moda M 0 (X X olasılık yoğunluğu maksimum olan bu miktarın değeri denir.

medyan ben(X) sürekli rastgele değişken X değeri, eşitlik olacak şekilde adlandırılır

R(X < Ben) = R(X > Ben).

3.4. rastgele değer X F(X) = X/2 aralığında (0; 2), bu aralığın dışında F(X) = 0. Miktarın matematiksel beklentisini bulun X.

Çözüm. Formüle göre

3.5. rastgele değer X olasılık yoğunluğu tarafından verilir F(X) = X/8 aralığında (0; 4). Bu aralığın dışında F(X) = 0. Matematiksel beklentiyi bulun.

3.6. rastgele değer X olasılık yoğunluğu tarafından verilir F(X) = . Matematiksel beklentiyi bulun.

3.7. rastgele değer X olasılık yoğunluğu tarafından verilir F(X) = İLE(X 2 + 2X) aralığında (0; 1). Bu aralığın dışında F(X) = 0. Parametreyi bulun İLE.

Çözüm. Çünkü

Nerede İLE = .

Üniforma dağıtımı

Sürekli rastgele değişken denir aynı oranda paylaştırılmış segmentte [ A, B] olasılık yoğunluğu şu şekildeyse:

Düzgün dağılmış bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı, ifadelerle tanımlanır.

3.8. rastgele değer X segmente eşit olarak dağıtılır. Dağıtım işlevini bulun F(X), matematiksel beklenti, değerin varyansı ve standart sapması.

Çözüm. Miktar için olasılık yoğunluğu Xşuna benziyor:

Bu nedenle, aşağıdaki formülle hesaplanan dağıtım işlevi:

,

aşağıdaki gibi yazılacaktır:

Matematiksel beklenti olacak M x= (1 + 6)/2 = 3,5. Varyansı ve standart sapmayı bulun:

dx = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

Normal dağılım

rastgele değer X olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildeyse normal olarak dağılır:

Nerede M x- beklenen değer;

standart sapmadır.

Aralığa düşen rastgele bir değişkenin olasılığı ( A, B) formülle bulunur

R(A < X < B) = F – F = F( z 2) – F( z 1), (5)

F( z) = Laplace işlevidir.

Çeşitli değerler için Laplace fonksiyonunun değerleri z Ek 2'de verilmiştir.

3.9. Normal dağılımlı bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi X eşittir M x= 5, varyans dx= 9. Olasılık yoğunluğu için bir ifade yazın.

3.10. Normal dağılımlı bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapması X sırasıyla 12 ve 2 Rastgele değişkenin (14; 16) aralığında yer alan değeri alma olasılığını bulun.

Çözüm. Bunu dikkate alarak formül (21.2) kullanıyoruz. M x = 12, = 2:

R(14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

Laplace fonksiyonunun değerler tablosuna göre, Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772 buluyoruz. Değiştirmeden sonra, istenen olasılığın değerini elde ederiz:

R(14 <X < 16) = 0,1359.

3.11. Rastgele bir değişken var X, matematiksel beklentisi 20'ye eşit olan normal yasaya göre dağıtılmış, standart sapması 3'e eşittir. Olasılıkla matematiksel beklentiye göre simetrik bir aralık bulun R= 0.9972 rastgele bir değişken alacak.

Çözüm. Çünkü R(X 1 < X < X 2) = R= 2Ф(( X 2 – M x)/ ), ardından Ф( z) = R/2 = 0,4986. Laplace fonksiyonunun tablosuna göre değeri buluyoruz z, fonksiyonun elde edilen değerine karşılık gelen Ф( z) = 0,4986: z= 2.98. Gerçeği göz önüne alındığında z = (X 2 – M x)/ , tanımlıyoruz = X 2 – M x = z= 3 2,98 = 8,94. İstenen aralık (11.06; 28.94) gibi görünecektir.

dikkate alıyoruz F(X) = F"(X). Sonra şunu elde ederiz:

Matematiksel beklenti ifadesinde yerine koyun

.

Parçalara göre integral alırsak, M x= 1/ veya M x = 1/0,1.

Dağılımı belirlemek için, ilk terimi parça parça entegre ederiz. Sonuç olarak, şunu elde ederiz:

.

için bulunan ifadeyi dikkate alalım. M x. Nerede

.

Bu durumda M x = 10, dx = 100.

RASTGELE DEĞİŞKENLİ SİSTEMLER

Dağıtım Yoğunluğu Özellikleri

İlk olarak, dağıtım yoğunluğunun ne olduğunu hatırlayalım:

Dağıtım yoğunluğunun özelliklerini göz önünde bulundurun:

Mülk 1:$\varphi (x)$ dağılım yoğunluğu işlevi negatif değildir:

Kanıt.

$F(x)$ dağılım fonksiyonunun azalmayan bir fonksiyon olduğunu biliyoruz. $\varphi \left(x\right)=F"(x)$ ve azalmayan bir fonksiyonun türevinin -- negatif olmayan bir fonksiyon olduğu tanımdan çıkar.

Geometrik olarak, bu özellik $\varphi \left(x\right)$ dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiğinin $Ox$ ekseninin üzerinde veya üzerinde olduğu anlamına gelir (Şekil 1)

Şekil 1. $\varphi (x)\ge 0$ eşitsizliğinin gösterimi.

Mülk 2: Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun $-\infty $ ile $+\infty $ arasındaki uygun olmayan integrali 1'e eşittir:

Kanıt.

Rastgele bir değişkenin $(\alpha ,\beta)$ aralığına düşme olasılığını bulma formülünü hatırlayın:

Şekil 2.

Rastgele değişkenin $(-\infty ,+\infty $) aralığına düşme olasılığını bulalım:

Figür 3

Açıkçası, rastgele değişken her zaman $(-\infty ,+\infty $) aralığına düşecektir, bu nedenle böyle bir isabet olasılığı bire eşittir. Biz:

Geometrik olarak, ikinci özellik, $\varphi (x)$ dağılım yoğunluk fonksiyonunun grafiği ve apsis ekseni tarafından sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanının sayısal olarak bire eşit olduğu anlamına gelir.

Ters özelliği de formüle edebilirsiniz:

Mülk 3:$\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ eşitliğini sağlayan negatif olmayan herhangi bir $f(x)\ge 0$ işlevi bir dağılım yoğunluğu fonksiyonu bazı sürekli rasgele değişken.

Dağılım yoğunluğunun olasılıksal anlamı

$x$ değişkenine bir $\üçgen x$ artışı verelim.

Dağılım yoğunluğunun olasılıksal anlamı: Sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin $(x,x+\triangle x)$ aralığından değerler alma olasılığı, $x noktasındaki olasılık dağılım yoğunluğunun çarpımına yaklaşık olarak eşittir $ ve $\üçgen x$ artışı:

Şekil 4. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunun olasılıksal anlamının geometrik gösterimi.

Dağılım yoğunluğu özelliklerini kullanarak problem çözme örnekleri

örnek 1

Olasılık dağılım yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

Şekil 5

1. $\alpha $ katsayısını bulun.
2. Dağılım yoğunluğunun bir grafiğini oluşturun.

1. $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)$ uygun olmayan integrali ele alalım, şunu elde ederiz:

Şekil 6

Özellik 2'yi kullanarak şunu elde ederiz:

\[-2\alfa =1,\] \[\alfa =-\frac(1)(2).\]

Yani, dağıtım yoğunluğu işlevi şu şekildedir:

Şekil 7

1. Çizelim:

Şekil 8

Örnek 2

Dağılım yoğunluğu işlevi $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$ biçimindedir.

($chx$'in hiperbolik bir kosinüs olduğunu hatırlayın).

$\alpha $ katsayısının değerini bulun.

Çözüm. İkinci özelliği kullanıyoruz:

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \limits^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\]

$chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$ olduğundan, o zaman

\[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x)))=2yay^x+C\]

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \]

Buradan:

\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]

Tanım . sürekli bazı sonlu veya sonsuz aralıklardan tüm değerleri alabilen rastgele değişken denir.

Sürekli bir rasgele değişken için, bir dağılım fonksiyonu kavramı tanıtılır.

Tanım. dağıtım işlevi X rasgele değişkeninin olasılıkları, her x değeri için X rasgele değişkeninin x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen F(x) işlevi olarak adlandırılır, yani:

F(x) = P(X)< x)

Genellikle "dağıtım fonksiyonu" terimi yerine "integral dağılım fonksiyonu" terimi kullanılır.

Dağıtım işlevi özellikleri:

1. Dağılım fonksiyonunun değerleri segmente aittir:

0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. Dağılım fonksiyonu azalmayan bir fonksiyondur, yani:

x > x ise,

sonra F(x) ≥ F(x).

3. Rastgele bir değişkenin aralıkta yer alan bir değeri alma olasılığı:

sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığı X[ aralığından herhangi bir değer alacaktır. A; B], aralığındaki olasılık yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir. Aönce B:

.

Bu durumda fonksiyonun genel formülü F(X) yoğunluk fonksiyonu biliniyorsa kullanılabilen sürekli bir rasgele değişkenin olasılık dağılımı F(X) :

.

Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğunun grafiğine dağılım eğrisi denir (aşağıdaki şekil).

Şeklin alanı (şekilde gölgeli), bir eğri ile sınırlanmış, noktalardan çizilen düz çizgiler A Ve B apsis eksenine dik ve eksen Ah, sürekli bir rasgele değişkenin değerinin olma olasılığını grafiksel olarak gösterir. X aralığı içinde Aönce B.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri

1. Rastgele bir değişkenin aralıktan (ve fonksiyonun grafiğiyle sınırlı olan şeklin alanından) herhangi bir değer alma olasılığı F(X) ve eksen Ah) bire eşittir:

2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif değerler alamaz:

ve dağılımın varlığı dışında değeri sıfırdır

dağıtım yoğunluğu F(X) ve dağıtım işlevi F(X), dağıtım yasasının biçimlerinden biridir, ancak dağıtım işlevinin aksine evrensel değildir: dağıtım yoğunluğu yalnızca sürekli rasgele değişkenler için mevcuttur.

Sürekli bir rasgele değişkenin pratikte en önemli iki dağılım türünden bahsedelim.

Dağılım yoğunluğu fonksiyonu ise F(X) bazı sonlu aralıklarda sürekli bir rasgele değişken [ A; B] sabit bir değer alır C ve aralığın dışında sıfıra eşit bir değer alır, o zaman bu dağılıma üniform denir .

Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiği merkeze göre simetrik ise, ortalama değerler merkeze yakın yerlerde yoğunlaşır ve merkezden uzaklaştıkça ortalamalardan daha farklı toplanır (fonksiyonun grafiği bir kesite benzer) bir zil), sonra bu dağılıma normal denir .

örnek 1 Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu şu şekilde bilinir:

Bir özellik bul F(X) sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğu. Her iki fonksiyon için grafikler çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ila 8 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. Olasılık dağılım fonksiyonunun türevini bularak olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ederiz:

Fonksiyon Grafiği F(X) - parabol:

Fonksiyon Grafiği F(X) - düz:

Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ile 8 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 2 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:

faktörü hesapla C. Bir özellik bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı. Her iki fonksiyon için grafikler çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. katsayı C olasılık yoğunluk fonksiyonunun 1. özelliğini kullanarak şunu buluruz:

Dolayısıyla, sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluk işlevi şu şekildedir:

Entegre ederek işlevi buluyoruz F(X) olasılık dağılımları. Eğer X < 0 , то F(X) = 0 0 ise< X < 10 , то

.

X> 10 , sonra F(X) = 1 .

Böylece, olasılık dağılım fonksiyonunun tam kaydı şöyledir:

Fonksiyon Grafiği F(X) :

Fonksiyon Grafiği F(X) :

Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 3 Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğu X eşitlikle verilirken . katsayı bul A, sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığı X sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olan ]0, 5[ aralığından bir değer alır X.

Çözüm. Koşullu olarak, eşitliğe varıyoruz

Bu nedenle, nereden . Bu yüzden,

.

Şimdi sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığını buluyoruz. X]0, 5[ aralığından herhangi bir değer alır:

Şimdi bu rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunu elde ediyoruz:

Örnek 4 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu bulun X yalnızca negatif olmayan değerleri alan ve dağıtım işlevi .

Beklenen değer

Dağılım olası değerleri tüm Ox eksenine ait olan sürekli rasgele değişken X, eşitlikle belirlenir:

hizmet ataması. Çevrim içi hesaplayıcı, aşağıdaki sorunları çözmek için tasarlanmıştır: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağıtım fonksiyonu F(x) (örneğe bakın). Genellikle bu tür görevlerde bulmak gerekir matematiksel beklenti, standart sapma, f(x) ve F(x) fonksiyonlarını çizin.

Talimat. Giriş verilerinin tipini seçin: dağılım yoğunluğu f(x) veya dağılım fonksiyonu F(x) .

Dağılım yoğunluğu f(x) şu şekilde verilir:

Dağılım fonksiyonu F(x) verilir:

Sürekli bir rasgele değişken, bir olasılık yoğunluğu ile tanımlanır
(Rayleigh dağıtım yasası - radyo mühendisliğinde kullanılır). M(x) , D(x)'i bulun.

Rastgele değişken X denir sürekli , eğer dağılım fonksiyonu F(X)=P(X) ise< x) непрерывна и имеет производную.
Sürekli bir rasgele değişkenin dağılım işlevi, bir rasgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamak için kullanılır:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
ayrıca sürekli bir rastgele değişken için sınırlarının bu aralığa dahil olup olmamasının bir önemi yoktur:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
dağıtım yoğunluğu sürekli rasgele değişkene fonksiyon denir
f(x)=F'(x) , dağılım fonksiyonunun türevi.

Dağıtım Yoğunluğu Özellikleri

1. Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu, x'in tüm değerleri için negatif değildir (f(x) ≥ 0).
2. Normalleştirme koşulu:

Normalleştirme koşulunun geometrik anlamı: dağılım yoğunluk eğrisinin altındaki alan bire eşittir.
3. α ile β arasındaki aralıkta rastgele bir X değişkenine ulaşma olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Geometrik olarak, sürekli bir rasgele değişken X'in (α, β) aralığına düşme olasılığı, bu aralığa dayalı dağılım yoğunluk eğrisi altındaki eğrisel yamuğun alanına eşittir.
4. Dağılım fonksiyonu, yoğunluk cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir:

x noktasındaki dağılım yoğunluğu değeri, bu değeri alma olasılığına eşit değildir, sürekli bir rastgele değişken için sadece belirli bir aralığa düşme olasılığından söz edebiliriz. İzin vermek )