Geometrik ilerlemenin azaltılması b1. Geometrik ilerlemenin paydası: formüller ve özellikler

>>Matematik: Geometrik ilerleme

Okuyucuya kolaylık sağlamak amacıyla bu paragraf, bir önceki paragrafta izlediğimiz planın aynısına göre oluşturulmuştur.

1. Temel kavramlar.

Tanım. Tüm üyeleri 0'dan farklı olan ve her üyesi ikinciden başlayarak bir önceki üyeden aynı sayı ile çarpılarak elde edilen sayısal diziye geometrik ilerleme denir. Bu durumda 5 sayısına geometrik ilerlemenin paydası denir.

Dolayısıyla geometrik bir ilerleme, ilişkilerle tekrar tekrar tanımlanan bir sayısal dizidir (b n)

Bir sayı dizisine bakıp bunun geometrik bir ilerleme olup olmadığını belirlemek mümkün müdür? Olabilmek. Dizinin herhangi bir üyesinin önceki üyeye oranının sabit olduğuna ikna olursanız, geometrik ilerleme elde edersiniz.
Örnek 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Örnek 2.

Bu geometrik bir ilerlemedir
Örnek 3.

Bu geometrik bir ilerlemedir
Örnek 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Bu, b 1 - 8, q = 1 olan geometrik bir ilerlemedir.

Bu dizinin aynı zamanda aritmetik bir ilerleme olduğuna dikkat edin (bkz. § 15'teki örnek 3).

Örnek 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Bu, b 1 = 2, q = -1 olan geometrik bir ilerlemedir.

Açıkçası, b 1 > 0, q > 1 ise geometrik ilerleme artan bir dizidir (bkz. örnek 1), b 1 > 0, 0 ise azalan bir dizidir.< q < 1 (см. пример 2).

(bn) dizisinin geometrik bir ilerleme olduğunu belirtmek için bazen aşağıdaki gösterim uygundur:

Simge “geometrik ilerleme” ifadesinin yerini alır.
Geometrik ilerlemenin ilginç ve aynı zamanda oldukça açık bir özelliğine dikkat çekelim:
Eğer sıra geometrik bir ilerlemedir, ardından kareler dizisi, yani geometrik bir ilerlemedir.
İkinci geometrik dizide birinci terim q 2'ye eşit ve eşittir.
Geometrik bir ilerlemede b n'den sonraki tüm terimleri atarsak, sonlu bir geometrik ilerleme elde ederiz
Bu bölümün ileriki paragraflarında geometrik ilerlemenin en önemli özelliklerini ele alacağız.

2. Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül.

Geometrik bir ilerleme düşünün payda q. Sahibiz:

Herhangi bir n sayısı için eşitliğin doğru olduğunu tahmin etmek zor değil

Bu geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülüdür.

Yorum.

Önceki paragraftaki önemli açıklamayı okuduysanız ve anladıysanız, o zaman formül (1)'i, tıpkı aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülde yapıldığı gibi, matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak kanıtlamaya çalışın.

Geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yeniden yazalım.

ve gösterimi tanıtalım: y = mq 2 elde ederiz, veya daha detaylı olarak,
x argümanı üssün içinde yer aldığından bu fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir. Bu, geometrik bir ilerlemenin, doğal sayılar kümesi N'de tanımlanan üstel bir fonksiyon olarak düşünülebileceği anlamına gelir. İncirde. Şekil 96a, Şekil 96'daki fonksiyonun grafiğini göstermektedir. 966 - fonksiyon grafiği Her iki durumda da, belirli bir eğri üzerinde yer alan izole edilmiş noktalarımız (apsis x = 1, x = 2, x = 3, vb.) var (her iki şekil de aynı eğriyi gösteriyor, yalnızca farklı konumlarda ve farklı ölçeklerde tasvir edilmiş). Bu eğriye üstel eğri denir. Üstel fonksiyon ve grafiği hakkında daha fazla ayrıntı 11. sınıf cebir dersinde tartışılacaktır.

Önceki paragraftaki 1-5 arasındaki örneklere dönelim.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Bu b 1 = 1, q = 3 olan geometrik bir ilerlemedir. n'inci terimin formülünü oluşturalım.
2) Bu geometrik bir ilerlemedir. Bunun için n'inci terim için bir formül oluşturalım.

Bu geometrik bir ilerlemedir N'inci terimin formülünü oluşturalım
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Bu b 1 = 8, q = 1 olan geometrik bir ilerlemedir. n'inci terimin formülünü oluşturalım.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Bu b 1 = 2, q = -1 olan geometrik bir ilerlemedir. N'inci terimin formülünü oluşturalım

Örnek 6.

Geometrik bir ilerleme verildiğinde

Her durumda çözüm, geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülüne dayanmaktadır.

a) Geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülüne n = 6 koyarsak şunu elde ederiz:

b) elimizde

512 = 2 9 olduğundan n - 1 = 9, n = 10 elde ederiz.

d) Bizde var

Örnek 7.

Geometrik ilerlemenin yedinci ve beşinci terimleri arasındaki fark 48, beşinci ve altıncı terimlerin toplamı da 48'dir. Bu ilerlemenin onikinci terimini bulun.

İlk aşama. Matematiksel bir modelin hazırlanması.

Problemin koşulları kısaca şu şekilde yazılabilir:

Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formülü kullanarak şunu elde ederiz:
O halde problemin ikinci koşulu (b 7 - b 5 = 48) şu şekilde yazılabilir:

Problemin üçüncü koşulu (b 5 + b 6 = 48) şu şekilde yazılabilir:

Sonuç olarak, iki değişken b 1 ve q olan iki denklemden oluşan bir sistem elde ederiz:

yukarıda yazılan koşul 1) ile birlikte, matematiksel model görevler.

İkinci aşama.

Derlenmiş modelle çalışma. Sistemin her iki denkleminin sol taraflarını eşitleyerek şunu elde ederiz:

(denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan b 1 q 4 ifadesine böldük).

q 2 - q - 2 = 0 denkleminden q 1 = 2, q 2 = -1'i buluruz. Sistemin ikinci denkleminde q = 2 değerini yerine koyarsak şunu elde ederiz:
Sistemin ikinci denkleminde q = -1 değerini yerine koyarsak b 1 1 0 = 48 elde ederiz; bu denklemin çözümü yoktur.

Yani b 1 =1, q = 2 - bu çift derlenmiş denklem sisteminin çözümüdür.

Artık problemde tartışılan geometrik ilerlemeyi yazabiliriz: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Üçüncü sahne.

Sorun sorusunun cevabı. B 12'yi hesaplamanız gerekiyor. Sahibiz

Cevap: b 12 = 2048.

3. Sonlu bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formül.

Sonlu bir geometrik ilerleme verilsin

Terimlerinin toplamını S n ile gösterelim;

Bu miktarı bulmak için bir formül türetelim.

q = 1 olan en basit durumla başlayalım. O zaman b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn geometrik ilerlemesi b 1'e eşit n sayıdan oluşur, yani. ilerleme b 1, b 2, b 3, ..., b 4 gibi görünüyor. Bu sayıların toplamı nb 1'dir.

Şimdi q = 1 olsun S n'yi bulmak için yapay bir teknik uyguluyoruz: S n q ifadesinde bazı dönüşümler gerçekleştiriyoruz. Sahibiz:

Dönüşümleri gerçekleştirirken öncelikle geometrik ilerlemenin tanımını kullandık, buna göre (üçüncü akıl yürütme çizgisine bakın); ikincisi, eklediler ve çıkardılar, bu yüzden ifadenin anlamı elbette değişmedi (dördüncü akıl yürütme çizgisine bakın); üçüncü olarak geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formülü kullandık:

Formül (1)'den şunları buluyoruz:

Bu, geometrik ilerlemenin n teriminin toplamına ilişkin formüldür (q = 1 durumu için).

Örnek 8.

Sonlu bir geometrik ilerleme verildiğinde

a) ilerleme koşullarının toplamı; b) terimlerinin karelerinin toplamı.

b) Yukarıda (bkz. s. 132), bir geometrik ilerlemenin tüm terimlerinin karesi alınırsa, o zaman ilk terim b 2 ve paydası q 2 olan bir geometrik ilerleme elde ettiğimizi zaten belirtmiştik. Daha sonra yeni ilerlemenin altı teriminin toplamı şu şekilde hesaplanacaktır:

Örnek 9.

Geometrik ilerlemenin 8. terimini bulun.

Aslında aşağıdaki teoremi kanıtladık.

Sayısal bir dizi, geometrik bir ilerlemedir ancak ve ancak, ilk Teorem (ve sonlu bir dizi durumunda sonuncusu) dışında, terimlerinin her birinin karesi önceki ve sonraki terimlerin çarpımına eşitse (a geometrik ilerlemenin karakteristik özelliği).

Geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü çok basittir. Hem anlam olarak hem de genel görünüm olarak. Ancak n'inci terimin formülünde çok ilkelden oldukça ciddiye kadar her türlü sorun var. Ve tanışma sürecinde kesinlikle ikisini de dikkate alacağız. Peki tanışalım mı?)

Yani başlangıçta aslında formülN

İşte burada:

bn = B 1 · qn -1

Formül yalnızca bir formüldür, doğaüstü bir şey değildir. Benzer bir formülden daha basit ve daha kompakt görünüyor. Formülün anlamı da keçe çizme kadar basittir.

Bu formül, geometrik ilerlemenin HERHANGİ bir üyesini SAYISINA GÖRE bulmanızı sağlar " N".

Gördüğünüz gibi anlam, aritmetik ilerlemeyle tam bir benzetmedir. N sayısını biliyoruz - bu sayının altındaki terimi de sayabiliriz. Hangisini istersek. "q" ile defalarca çarpmadan. Bütün mesele bu.)

İlerlemelerle bu seviyede çalışırken, formülde yer alan tüm miktarların sizin için zaten açık olması gerektiğini anlıyorum, ancak yine de her birini deşifre etmenin görevim olduğunu düşünüyorum. Her ihtimale karşı.

İşte başlıyoruz:

B 1 – Birinci geometrik ilerleme terimi;

Q – ;

N- üye numarası;

bn – n'inci (Nth) geometrik ilerleme terimi.

Bu formül herhangi bir geometrik ilerlemenin dört ana parametresini birbirine bağlar: BN, B 1 , Q Ve N. Ve tüm ilerleme sorunları bu dört temel figürün etrafında dönüyor.

"Nasıl kaldırılır?"– Meraklı bir soru duyuyorum... İlköğretim! Bakmak!

Neye eşittir ikinci ilerlemenin üyesi? Sorun değil! Doğrudan yazıyoruz:

b 2 = b 1 ·q

Peki ya üçüncü üye? Sorun da değil! İkinci terimi çarpıyoruz bir kez dahaQ.

Bunun gibi:

B3 = b2q

Şimdi ikinci terimin de b 1 ·q'ye eşit olduğunu hatırlayalım ve bu ifadeyi eşitliğimizde yerine koyalım:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Şunu elde ederiz:

B 3 = b 1 ·q 2

Şimdi yazımızı Rusça olarak okuyalım: üçüncü terim ilk terimin q ile çarpımına eşittir ikinci derece. Anladın mı? Henüz değil? Tamam, bir adım daha.

Dördüncü terim nedir? Hepsi aynı! Çarpmak öncesi(yani üçüncü terim) q'da:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Toplam:

B 4 = b 1 ·q 3

Ve yine Rusçaya çeviriyoruz: dördüncü terim ilk terimin q ile çarpımına eşittir üçüncü derece.

Ve benzeri. Peki nasıl? Deseni yakaladınız mı? Evet! Herhangi bir sayıya sahip herhangi bir terim için, aynı q çarpanlarının sayısı (yani paydanın derecesi) her zaman şu olacaktır: İstenilen üye sayısından bir eksikN.

Bu nedenle formülümüz seçenekler olmadan şöyle olacaktır:

bn =B 1 · qn -1

Bu kadar.)

Peki, sorunları çözelim sanırım?)

Formül problemlerini çözmeNgeometrik ilerlemenin üçüncü terimi.

Her zamanki gibi formülün doğrudan uygulanmasıyla başlayalım. İşte tipik bir sorun:

Geometrik ilerlemede, bilinmektedir ki B 1 = 512 ve Q = -1/2. İlerlemenin onuncu terimini bulun.

Elbette bu sorun hiçbir formüle ihtiyaç duymadan da çözülebilir. Doğrudan geometrik ilerleme anlamında. Ama n'inci dönemin formülüne ısınmamız gerekiyor, değil mi? Burada ısınıyoruz.

Formülü uygulamak için verilerimiz aşağıdaki gibidir.

İlk üye belli. Bu 512.

B 1 = 512.

İlerlemenin paydası da bilinmektedir: Q = -1/2.

Geriye kalan tek şey n'nin üye sayısının ne olduğunu bulmak. Sorun değil! Onuncu dönemle ilgileniyor muyuz? Yani genel formülde n yerine on koyuyoruz.

Ve aritmetiği dikkatlice hesaplayın:

Cevap 1

Gördüğünüz gibi ilerlemenin onuncu dönemi eksi çıktı. Şaşırtıcı bir şey yok: ilerleme paydamız -1/2, yani. olumsuz sayı. Bu da bize ilerleyişimizin işaretlerinin değiştiğini gösteriyor, evet.)

Burada her şey basit. Burada da benzer bir problem var ama hesaplamalar açısından biraz daha karmaşık.

Geometrik ilerlemede şunu bilinmektedir:

B 1 = 3

İlerlemenin on üçüncü terimini bulun.

Her şey aynı, ancak bu sefer ilerlemenin paydası mantıksız. İkinin kökü. Tamam, sorun değil. Formül evrensel bir şeydir; her sayıyı işleyebilir.

Doğrudan aşağıdaki formüle göre çalışıyoruz:

Formül elbette olması gerektiği gibi çalıştı, ancak... bazı insanların takıldığı nokta burası. Kök ile bundan sonra ne yapmalı? Bir kökün on ikinci kuvvetine nasıl yükseltilir?

Nasıl-nasıl... Elbette herhangi bir formülün iyi bir şey olduğunu anlamalısınız, ancak önceki tüm matematik bilgileri iptal edilmez! Nasıl inşa edilir? Evet, derecelerin özelliklerini unutmayın! Kökü dönüştürelim kesirli derece ve – bir dereceyi bir dereceye yükseltme formülüne göre.

Bunun gibi:

Cevap: 192

Ve hepsi bu.)

N'inci terim formülünü doğrudan uygulamanın temel zorluğu nedir? Evet! Asıl zorluk derecelerle çalışmak! Yani negatif sayıları, kesirleri, kökleri ve benzeri yapıları kuvvetlere yükseltmek. O yüzden bu konuda sorun yaşayanlar lütfen dereceleri ve özelliklerini tekrarlasın! Yoksa bu konuyu da yavaşlatırsınız, evet...)

Şimdi tipik arama problemlerini çözelim formülün unsurlarından biri, eğer diğerleri verilirse. Bu tür sorunları başarıyla çözmek için tarif tek tip ve son derece basittir - formülü yazNgenel olarak -th üye! Durumun yanındaki not defterinde. Ve sonra bu durumdan bize neyin verildiğini ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz. Ve istediğimiz değeri formülden ifade ediyoruz. Tüm!

Örneğin, çok zararsız bir sorun.

Paydası 3 olan bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 567'dir. Bu ilerlemenin ilk terimini bulun.

Karmaşık bir şey yok. Doğrudan büyüye göre çalışıyoruz.

n'inci terimin formülünü yazalım!

bn = B 1 · qn -1

Bize ne verildi? İlk olarak ilerlemenin paydası verilir: Q = 3.

Üstelik bize verilen beşinci üye: B 5 = 567 .

Tüm? HAYIR! Ayrıca bize n numarası da verildi! Bu beş: n = 5.

Umarım kayıtta ne olduğunu zaten anlamışsındır B 5 = 567 aynı anda iki parametre gizlenir - bu beşinci terimin kendisi (567) ve numarasıdır (5). Benzer bir derste bundan bahsetmiştim ama burada da bahsetmeye değer diye düşünüyorum.)

Şimdi verilerimizi formülde yerine koyuyoruz:

567 = B 1 ·3 5-1

Aritmetik yapıyoruz, basitleştiriyoruz ve basit bir doğrusal denklem elde ediyoruz:

81 B 1 = 567

Çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:

B 1 = 7

Gördüğünüz gibi ilk terimi bulmada herhangi bir sorun yok. Ancak paydayı ararken Q ve sayılar N Ayrıca sürprizler de olabilir. Bir de bunlara (sürprizlere) hazırlıklı olmak lazım, evet.)

Örneğin, bu sorun:

Paydası pozitif olan bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 162 ve bu ilerlemenin ilk terimi 2'dir. Bu ilerlemenin paydasını bulun.

Bu kez bize birinci ve beşinci terimler veriliyor ve ilerlemenin paydasını bulmamız isteniyor. İşte başlıyoruz.

Formülü yazıyoruzNüye!

bn = B 1 · qn -1

İlk verilerimiz aşağıdaki gibi olacaktır:

B 5 = 162

B 1 = 2

N = 5

Eksik değer Q. Sorun değil! Şimdi bulalım.) Bildiğimiz her şeyi formülde yerine koyarız.

Şunu elde ederiz:

162 = 2Q 5-1

2 Q 4 = 162

Q 4 = 81

Dördüncü derecenin basit bir denklemi. Ve şimdi - dikkatlice!Çözümün bu aşamasında, birçok öğrenci hemen sevinçle (dördüncü derecenin) kökünü çıkarır ve cevaba ulaşır. Q=3 .

Bunun gibi:

q4 = 81

Q = 3

Ama aslında bu tamamlanmamış bir cevaptır. Daha doğrusu eksik. Neden? Mesele şu ki cevap Q = -3 ayrıca uygun: (-3) 4 de 81 olacak!

Bunun nedeni güç denkleminin xn = A her zaman vardır iki zıt kök en eşitN . Artı ve eksi ile:

Her ikisi de uygundur.

Örneğin, karar verirken (örn. ikinci derece)

x 2 = 9

Nedense görünüşüne şaşırmıyorsun iki kökler x=±3? Burada da durum aynı. Ve başka herhangi biriyle eşit derece (dördüncü, altıncı, onuncu vb.) aynı olacaktır. Detaylar konu başlığındadır

Bu nedenle doğru çözüm şöyle olacaktır:

Q 4 = 81

Q= ±3

Tamam, işaretleri sıraladık. Hangisi doğru; artı mı eksi mi? Peki, sorunu bulmak için problem açıklamasını tekrar okuyalım. Ek Bilgiler. Elbette mevcut olmayabilir ama bu problemde bu tür bilgiler mevcut. Durumumuz düz metinde bir ilerlemenin verildiğini belirtiyor pozitif payda.

Bu nedenle cevap açıktır:

Q = 3

Burada her şey basit. Sorun cümlesi şu şekilde olsaydı ne olurdu sizce?

Bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 162 ve bu ilerlemenin ilk terimi 2'dir. Bu ilerlemenin paydasını bulun.

Fark ne? Evet! Durumda Hiç bir şey paydanın işaretinden bahsedilmez. Ne doğrudan ne de dolaylı olarak. Ve burada sorun zaten olurdu iki çözüm!

Q = 3 Ve Q = -3

Evet evet! Hem artı hem de eksi ile.) Matematiksel olarak bu gerçek şu anlama gelir: iki ilerleme, problemin koşullarına uyan. Ve her birinin kendi paydası vardır. Sırf eğlence olsun diye pratik yapın ve her birinin ilk beş terimini yazın.)

Şimdi üye numarasını bulma alıştırması yapalım. Bu sorun en zoru, evet. Ama aynı zamanda daha yaratıcı.)

Geometrik bir ilerleme verildiğinde:

3; 6; 12; 24; …

Bu ilerlemede 768 sayısı hangi sayıdır?

İlk adım hala aynı: formülü yazNüye!

bn = B 1 · qn -1

Ve şimdi her zamanki gibi bildiğimiz verileri onun yerine koyuyoruz. Hım... işe yaramıyor! İlk terim nerede, payda nerede, diğer her şey nerede?!

Nerede, nerede... Neden gözlere ihtiyacımız var? Kirpiklerini mi çırpıyorsun? Bu sefer ilerleme bize doğrudan formda veriliyor. diziler.İlk üyeyi görebilir miyiz? Görürüz! Bu bir üçlüdür (b 1 = 3). Payda ne olacak? Henüz göremiyoruz ama saymak çok kolay. Tabii eğer anlarsan...

Yani sayıyoruz. Doğrudan geometrik ilerlemenin anlamına göre: terimlerinden herhangi birini (birinci hariç) alıp bir öncekine böleriz.

En azından şu şekilde:

Q = 24/12 = 2

Başka ne biliyoruz? Ayrıca bu ilerlemenin 768'e eşit bir terimini de biliyoruz. Bir n sayısı altında:

bn = 768

Numarasını bilmiyoruz ama bizim görevimiz tam olarak onu bulmak.) O yüzden arıyoruz. Formüle ikame için gerekli tüm verileri zaten indirdik. Kendinizden habersiz.)

Burada yerine şunu koyuyoruz:

768 = 3 2N -1

Temel olanları yapalım - her iki tarafı da üçe bölelim ve denklemi olağan biçimde yeniden yazalım: bilinmeyen solda, bilinen sağda.

Şunu elde ederiz:

2 N -1 = 256

Bu ilginç bir denklem. "n"yi bulmamız gerekiyor. Ne, sıradışı mı? Evet tartışmıyorum. Aslında bu en basit şey. Bilinmediği için böyle adlandırılmıştır (bu durumda bu sayıdır) N) maliyetler gösterge derece.

Geometrik ilerlemeyi öğrenme aşamasında (bu dokuzuncu sınıf), üstel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğretmiyorlar, evet... Bu lise için bir konu. Ama korkutucu bir şey yok. Bu tür denklemlerin nasıl çözüldüğünü bilmiyorsanız bile, hadi bulmaya çalışalım. N, basit mantık ve sağduyunun rehberliğinde.

Hadi konuşmaya başlayalım. Sol tarafta bir ikilimiz var belli bir dereceye kadar. Bu derecenin tam olarak ne olduğunu henüz bilmiyoruz ama bu korkutucu değil. Ancak bu derecenin 256'ya eşit olduğundan eminiz! Yani ikinin bize ne kadar 256 verdiğini hatırlıyoruz. Hatırlıyor musun? Evet! İÇİNDE sekizinci derece!

256 = 2 8

Dereceleri hatırlamıyorsanız veya tanımakta sorun yaşıyorsanız bunda da sorun yok: art arda ikinin karesi, küp, dördüncü, beşinci vb. Aslında seçim ancak bu düzeyde oldukça işe yarayacaktır.

Öyle ya da böyle şunu elde ederiz:

2 N -1 = 2 8

N-1 = 8

N = 9

Yani 768 dokuzuncu ilerlememizin bir üyesi. İşte bu, sorun çözüldü.)

Cevap: 9

Ne? Sıkıcı? Temel şeylerden bıktınız mı? Kabul etmek. Ve ben de. Bir sonraki seviyeye geçelim.)

Daha karmaşık görevler.

Şimdi daha zorlu problemleri çözelim. Tam olarak süper havalı değil ama cevaba ulaşmak için biraz çalışma gerektirenler.

Mesela bu.

Dördüncü terimi -24 ve yedinci terimi 192 ise geometrik ilerlemenin ikinci terimini bulun.

Bu türün bir klasiğidir. Progresyonun iki farklı terimi biliniyor ancak başka bir terimin bulunması gerekiyor. Üstelik tüm üyeler komşu DEĞİLDİR. İlk başta kafa karıştırıcı, evet...

Olduğu gibi, bu tür sorunları çözmek için iki yöntemi ele alacağız. İlk yöntem evrenseldir. Cebirsel. Her türlü kaynak veriyle kusursuz çalışır. İşte buradan başlayacağız.)

Her terimi formüle göre açıklıyoruz Nüye!

Her şey aritmetik ilerlemeyle tamamen aynıdır. Sadece bu sefer birlikte çalışıyoruz bir diğer Genel formül. Hepsi bu.) Ama özü aynı: alıyoruz ve birer birer Başlangıç ​​verilerimizi n'inci terimin formülüne koyarız. Her üye için - kendilerine ait.

Dördüncü dönem için şunu yazıyoruz:

B 4 = B 1 · Q 3

-24 = B 1 · Q 3

Yemek yemek. Bir denklem hazır.

Yedinci dönem için şunu yazıyoruz:

B 7 = B 1 · Q 6

192 = B 1 · Q 6

Toplamda iki denklemimiz var aynı ilerleme .

Onlardan bir sistem oluşturuyoruz:

Tehditkar görünümüne rağmen sistem oldukça basittir. En bariz çözüm basit ikamedir. ifade ediyoruz B 1 üstteki denklemden alıp alttaki denklemle değiştirin:

Alt denklemle biraz uğraştıktan sonra (üsleri azaltıp -24'e bölerek), şunu elde ederiz:

Q 3 = -8

Bu arada, aynı denkleme daha basit bir şekilde de ulaşılabilir! Hangisi? Şimdi size bu tür sistemleri çözmenin başka bir sırrını ama çok güzel, güçlü ve kullanışlı bir yolunu göstereceğim. Denklemleri aşağıdakileri içeren bu tür sistemler sadece çalışıyor. En azından birinde. İsminde bölme yöntemi bir denklem diğerine.

Yani önümüzde bir sistem var:

Soldaki her iki denklemde de - iş ve sağda sadece bir sayı var. Bu çok iyi bir işaret.) Hadi bunu alalım ve... diyelim ki alt denklemi üstteki denkleme bölelim! Ne demek, bir denklemi diğerine bölelim mi?Çok basit. Hadi alalım Sol Taraf bir denklem (alt) ve bölmek onun üzerinde Sol Taraf başka bir denklem (üst). Sağ taraf da benzer: Sağ Taraf bir denklem bölmek Açık Sağ Taraf bir diğer.

Tüm bölme işlemi şuna benzer:

Şimdi azaltılabilecek her şeyi azaltarak şunu elde ederiz:

Q 3 = -8

Bu yöntemin iyi tarafı nedir? Evet, çünkü böyle bir bölünme sürecinde kötü ve uygunsuz olan her şey güvenli bir şekilde azaltılabilir ve geriye tamamen zararsız bir denklem kalır! Bu yüzden sahip olmak çok önemli yalnızca çarpma Sistemin denklemlerinden en az birinde. Çarpma yok, azaltılacak bir şey yok, evet...

Genel olarak, bu yöntem (sistem çözmenin diğer pek çok önemsiz olmayan yöntemi gibi) ayrı bir dersi bile hak ediyor. Kesinlikle daha detaylı inceleyeceğim. Bir gün…

Ancak sistemi tam olarak nasıl çözdüğünüz önemli değil, her halükarda şimdi ortaya çıkan denklemi çözmemiz gerekiyor:

Q 3 = -8

Sorun değil: küp kökünü çıkarın ve işiniz bitti!

Çıkarma işlemi sırasında buraya artı/eksi koymanıza gerek olmadığını lütfen unutmayın. Kökümüz tek (üçüncü) derecedendir. Cevap da aynı, evet.)

Böylece ilerlemenin paydası bulunmuştur. Eksi iki. Harika! Süreç devam ediyor.)

İlk terim için (örneğin üst denklemden) şunu elde ederiz:

Harika! Birinci terimi biliyoruz, paydayı biliyoruz. Ve şimdi ilerlemenin herhangi bir üyesini bulma fırsatımız var. İkincisi de dahil.)

İkinci dönem için her şey oldukça basit:

B 2 = B 1 · Q= 3·(-2) = -6

Cevap: -6

Böylece problemi çözmek için cebirsel yöntemi parçaladık. Zor? Pek değil, katılıyorum. Uzun ve sıkıcı mı? Evet kesinlikle. Ancak bazen iş miktarını önemli ölçüde azaltabilirsiniz. Bunun için var grafik yöntemi. Eski ve bize tanıdık geliyor.)

Hadi bir problem çizelim!

Evet! Kesinlikle. Yine ilerlememizi sayı ekseninde gösteriyoruz. Bir cetveli takip etmek gerekli değildir, terimler arasında eşit aralıkları korumak gerekli değildir (bu arada, ilerleme geometrik olduğu için aynı olmayacaktır!), Sadece basitçe şematik olarak Sıramızı çizelim.

Bunu şu şekilde anladım:

Şimdi resme bakın ve anlayın. Kaç tane özdeş faktör "q" ayrılır dördüncü Ve yedinciüyeler? Doğru, üç!

Bu nedenle şunu yazmaya hakkımız var:

-24·Q 3 = 192

Buradan q'yu bulmak artık çok kolay:

Q 3 = -8

Q = -2

Bu harika, payda zaten cebimizde. Şimdi resme tekrar bakalım: bu tür paydaların arasında kaç tane var? ikinci Ve dördüncüüyeler? İki! Bu nedenle, bu terimler arasındaki bağlantıyı kaydetmek için paydayı oluşturacağız karesi.

O halde şunu yazıyoruz:

B 2 · Q 2 = -24 , Neresi B 2 = -24/ Q 2

Bulduğumuz paydayı b 2 ifadesinin yerine koyarız, sayarız ve şunu elde ederiz:

Cevap: -6

Gördüğünüz gibi her şey sistemden çok daha basit ve hızlı. Üstelik burada ilk terimi saymamıza bile gerek yoktu! Kesinlikle.)

İşte bu kadar basit ve görsel bir yol-ışık. Ama aynı zamanda ciddi bir dezavantajı da var. Tahmin ettin mi? Evet! Yalnızca çok kısa ilerleme parçaları için iyidir. Bizi ilgilendiren üyeler arasındaki mesafelerin çok büyük olmadığı yerler. Ama diğer tüm durumlarda bir resim çizmek zaten zor, evet... O zaman sorunu sistem aracılığıyla analitik olarak çözüyoruz.) Ve sistemler evrensel şeylerdir. Her türlü sayıyı yönetebilirler.

Başka bir destansı meydan okuma:

Geometrik ilerlemenin ikinci terimi birinciden 10, üçüncü terim ise ikinciden 30 fazladır. İlerlemenin paydasını bulun.

Ne, güzel mi? Hiç de bile! Hepsi aynı. Yine problem ifadesini saf cebire çeviriyoruz.

1) Her terimi aşağıdaki formüle göre açıklıyoruz Nüye!

İkinci terim: b 2 = b 1 q

Üçüncü terim: b 3 = b 1 q 2

2) Üyeler arasındaki bağlantıyı problem bildiriminden yazıyoruz.

Şartı okuyoruz: "Geometrik ilerlemenin ikinci terimi birincisinden 10 daha büyüktür." Dur, bu çok değerli!

O halde şunu yazıyoruz:

B 2 = B 1 +10

Ve bu cümleyi saf matematiğe çeviriyoruz:

B 3 = B 2 +30

İki denklemimiz var. Bunları bir sistemde birleştirelim:

Sistem basit görünüyor. Ancak harfler için çok fazla farklı indeks var. İkinci ve üçüncü terimlerin ifadelerini birinci terim ve payda yerine koyalım! Bunları boyamamız boşuna mıydı?

Şunu elde ederiz:

Ama böyle bir sistem artık hediye değil, evet... Bunu nasıl çözebiliriz? Ne yazık ki, karmaşık sorunları çözmek için evrensel bir gizli büyü yoktur. doğrusal olmayan Matematikte sistem yoktur ve olamaz. Fantastik! Ancak bu kadar sert bir cevizi kırmaya çalışırken aklınıza gelmesi gereken ilk şey, Ancak sistemin denklemlerinden biri, örneğin değişkenlerden birini diğerine göre kolayca ifade etmeye olanak tanıyan güzel bir forma indirgenmiş değil mi?

Hadi çözelim. Sistemin ilk denklemi açıkça ikincisinden daha basittir. Ona işkence edeceğiz.) İlk denklemden denememiz gerekmez mi? bir şey aracılığıyla ifade etmek bir şey? Paydayı bulmak istediğimiz için Q o zaman ifade etmemiz bizim için en avantajlı olacaktır. B 1 başından sonuna kadar Q.

O halde bu işlemi ilk denklemle, eski güzel denklemleri kullanarak yapmaya çalışalım:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Tüm! Yani ifade ettik gereksiz bize (b 1) değişkenini verin gerekli(Q). Evet, elimizdeki en basit ifade bu değil. Bir çeşit kesir... Ama sistemimiz makul bir seviyede, evet.)

Tipik. Ne yapacağımızı biliyoruz.

ODZ yazıyoruz (Mutlaka!) :

q ≠ 1

Her şeyi paydayla (q-1) çarpıyoruz ve tüm kesirleri iptal ediyoruz:

10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)

Her şeyi ona bölüyoruz, parantezleri açıyoruz ve her şeyi soldan topluyoruz:

Q 2 – 4 Q + 3 = 0

Sonucu çözüyoruz ve iki kök alıyoruz:

Q 1 = 1

Q 2 = 3

Son bir cevap var: Q = 3 .

Cevap: 3

Gördüğünüz gibi geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü içeren çoğu problemi çözmenin yolu her zaman aynıdır: oku dikkatle problemin durumunu ve n'inci terimin formülünü kullanarak tüm yararlı bilgileri saf cebire çeviriyoruz.

Yani:

1) Problemde verilen her terimi formüle göre ayrı ayrı açıklıyoruzNüye.

2) Problemin koşullarından üyeler arasındaki bağlantıyı matematiksel forma çeviriyoruz. Bir denklem veya denklem sistemi oluşturuyoruz.

3) Ortaya çıkan denklemi veya denklem sistemini çözeriz, ilerlemenin bilinmeyen parametrelerini buluruz.

4) Belirsiz bir cevap olması durumunda, (varsa) ek bilgi aramak için görev koşullarını dikkatlice okuyun. Ayrıca alınan yanıtı DL'nin şartlarıyla (varsa) kontrol ederiz.

Şimdi geometrik ilerleme problemlerini çözme sürecinde en sık hataya yol açan ana problemleri listeleyelim.

1. Temel aritmetik. Kesirlerle ve negatif sayılarla işlemler.

2. Bu üç noktadan en az birinde sorun varsa bu konuda hata yapmanız kaçınılmazdır. Ne yazık ki... O yüzden tembel olmayın ve yukarıda anlatılanları tekrarlayın. Ve bağlantıları takip edin - gidin. Bazen yardımcı olur.)

Değiştirilmiş ve tekrarlanan formüller.

Şimdi bu durumun daha az tanıdık bir sunumuyla birkaç tipik sınav problemine bakalım. Evet evet tahmin ettiniz! Bu değiştirilmiş Ve tekrarlayan n'inci terim formülleri. Bu tür formüllerle zaten karşılaştık ve aritmetik ilerleme üzerinde çalıştık. Burada her şey benzer. İşin özü aynıdır.

Örneğin, OGE'den gelen bu sorun:

Geometrik ilerleme formülle verilir bn = 3 2 N . Birinci ve dördüncü terimlerinin toplamını bulun.

Bu sefer ilerleme bizim için pek de alışılagelmiş gibi değil. Bir çeşit formül şeklinde. Ne olmuş? Bu formül aynı zamanda bir formülNüye! Sen ve ben, n'inci terimin formülünün hem genel biçimde, harfler kullanılarak hem de yazılabileceğini biliyoruz. spesifik ilerleme. İLE özel birinci terim ve payda.

Bizim durumumuzda, aslında bize aşağıdaki parametrelerle geometrik ilerleme için genel bir terim formülü veriliyor:

B 1 = 6

Q = 2

Kontrol edelim mi?) n'inci terimin formülünü genel formda yazalım ve yerine koyalım. B 1 Ve Q. Şunu elde ederiz:

bn = B 1 · qn -1

bn= 6 2N -1

Çarpanlara ayırmayı ve kuvvetlerin özelliklerini kullanmayı basitleştiririz ve şunu elde ederiz:

bn= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N

Gördüğünüz gibi her şey adil. Ancak amacımız belirli bir formülün türetilmesini göstermek değil. Bu böyle, lirik bir ara söz. Tamamen anlama amaçlıdır.) Amacımız, durumda bize verilen formüle göre sorunu çözmektir. Anladınız mı?) Yani doğrudan değiştirilmiş formülle çalışıyoruz.

İlk dönemi sayıyoruz. Hadi değiştirelim N=1 genel formüle:

B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Bunun gibi. Bu arada tembellik etmeyeceğim ve ilk dönemin hesaplanmasında yapılan tipik bir hataya bir kez daha dikkatinizi çekeceğim. YAPMAYIN, formüle bakarak bn= 3 2N, hemen ilk terimin üç olduğunu yazmak için acele edin! Bu çok büyük bir hata, evet...)

Devam edelim. Hadi değiştirelim N=4 ve dördüncü terimi sayın:

B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Ve son olarak gerekli miktarı hesaplıyoruz:

B 1 + B 4 = 6+48 = 54

Cevap: 54

Başka bir problem.

Geometrik ilerleme koşullarla belirlenir:

B 1 = -7;

bn +1 = 3 bn

İlerlemenin dördüncü terimini bulun.

Burada ilerleme yinelenen bir formülle verilmektedir. İyi tamam.) Bu formülle nasıl çalışılır – biz de biliyoruz.

Biz de öyle davranıyoruz. Adım adım.

1) İkiyi sayın ardışık ilerlemenin üyesi.

İlk dönem zaten bize verildi. Eksi yedi. Ancak bir sonraki ikinci terim yineleme formülü kullanılarak kolayca hesaplanabilir. Tabii ki çalışma prensibini anlarsanız.)

Yani ikinci terimi sayıyoruz bilinen ilkine göre:

B 2 = 3 B 1 = 3·(-7) = -21

2) İlerlemenin paydasını hesaplayın

Sorun da değil. Düz, hadi bölelim ikinciçük üzerinde Birinci.

Şunu elde ederiz:

Q = -21/(-7) = 3

3) Formülü yazınNolağan formdaki üyeyi girin ve gerekli üyeyi hesaplayın.

Yani ilk terimi biliyoruz ve paydayı da biliyoruz. O halde şunu yazıyoruz:

bn= -7·3N -1

B 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Cevap: -189

Gördüğünüz gibi geometrik bir ilerleme için bu tür formüllerle çalışmak aslında aritmetik bir ilerlemeden farklı değildir. Bu formüllerin yalnızca genel özünü ve anlamını anlamak önemlidir. Ayrıca geometrik ilerlemenin anlamını da anlamalısınız, evet.) Ve o zaman aptalca hatalar olmayacak.

Peki, kendi başımıza karar verelim mi?)

Isınma için çok temel görevler:

1. Geometrik bir ilerleme verildiğinde B 1 = 243, a Q = -2/3. İlerlemenin altıncı terimini bulun.

2. Geometrik ilerlemenin genel terimi formülle verilir bn = 5∙2 N +1 . Bu ilerlemenin son üç basamaklı teriminin sayısını bulun.

3. Geometrik ilerleme şu koşullarla verilir:

B 1 = -3;

bn +1 = 6 bn

İlerlemenin beşinci terimini bulun.

Biraz daha karmaşık:

4. Geometrik bir ilerleme verildiğinde:

B 1 =2048; Q =-0,5

Altıncı negatif terim neye eşittir?

Süper zor görünen şey nedir? Hiç de bile. Mantık ve geometrik ilerlemenin anlamını kavramak sizi kurtaracaktır. Tabii ki n'inci dönemin formülü.

5. Geometrik ilerlemenin üçüncü terimi -14, sekizinci terim ise 112'dir. İlerlemenin paydasını bulun.

6. Geometrik ilerlemenin birinci ve ikinci terimlerinin toplamı 75, ikinci ve üçüncü terimlerin toplamı 150'dir. Dizinin altıncı terimini bulun.

Cevaplar (karışıklık içinde): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Neredeyse hepsi bu. Tek yapmamız gereken saymayı öğrenmek geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı evet keşfet sonsuz azalan geometrik ilerleme ve miktarı. Bu arada çok ilginç ve sıradışı bir şey! Sonraki derslerde bu konu hakkında daha fazla bilgi edinin.)

Geometrik ilerleme yeni tür tanımak üzere olduğumuz sayısal dizi. Başarılı bir flört için en azından bilmek ve anlamaktan zarar gelmez. O zaman geometrik ilerlemede herhangi bir sorun olmayacaktır.)

Geometrik ilerleme nedir? Geometrik ilerleme kavramı.

Turumuza her zamanki gibi temel bilgilerle başlıyoruz. Bitmemiş bir sayı dizisi yazıyorum:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Deseni tespit edip bundan sonra hangi sayıların geleceğini söyleyebilir misiniz? Biber temiz, ardından 100.000, 1.000.000 ve benzeri sayılar gelecek. Çok fazla zihinsel çaba harcamadan bile her şey net, değil mi?)

TAMAM. Başka bir örnek. Bu sırayı yazıyorum:

1, 2, 4, 8, 16, …

16 rakamından sonra hangi rakamın geleceğini söyleyebilir misiniz? sekizinci dizi üyesi? Eğer bunun 128 sayısı olacağını anladıysanız, o zaman çok iyi. Yani savaşın yarısı anlamakta Anlam Ve anahtar noktaları geometrik ilerleme zaten yapılmıştır. Daha da büyüyebilirsin.)

Ve şimdi tekrar duyulardan katı matematiğe geçiyoruz.

Geometrik ilerlemenin kilit noktaları.

Anahtar Nokta #1

Geometrik ilerleme sayıların sırası.İlerleme de öyle. Süslü bir şey yok. Sadece bu sıra düzenlenmiştir farklı. Dolayısıyla doğal olarak farklı bir adı var, evet...

Anahtar Nokta #2

İkinci kilit noktayla birlikte soru daha da çetrefilli hale gelecektir. Biraz geriye gidelim ve aritmetik ilerlemenin temel özelliğini hatırlayalım. İşte burada: her üye bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.

Geometrik ilerleme için benzer bir anahtar özelliği formüle etmek mümkün müdür? Biraz düşünün... Verilen örneklere daha yakından bakın. Tahmin ettin mi? Evet! Geometrik ilerlemede (herhangi bir!) üyelerinin her biri bir öncekinden farklıdır aynı sayıda. Her zaman!

İlk örnekte bu sayı ondur. Dizinin hangi üyesini alırsanız alın, bir öncekinden daha büyüktür on kere.

İkinci örnekte bu ikidir: her terim bir öncekinden büyüktür iki kere.

Geometrik ilerlemenin aritmetik ilerlemeden farklı olduğu temel nokta budur. Aritmetik bir ilerlemede, takip eden her terim elde edilir toplayarakönceki terimle aynı değer. Ve burada - çarpma işlemiönceki dönemde aynı miktarda. Bütün fark bu.)

Anahtar Nokta #3

Bu anahtar nokta aritmetik ilerlemedekiyle tamamen aynıdır. Yani: Geometrik ilerlemenin her bir üyesi kendi yerinde durur. Her şey aritmetik ilerlemedekiyle tamamen aynı ve yorumların gereksiz olduğunu düşünüyorum. İlk terim var, yüz birinci terim var vb. En az iki terimi değiştirelim; desen (ve onunla birlikte geometrik ilerleme) kaybolacaktır. Geriye hiçbir mantığı olmayan bir sayı dizisi kalacak.

Bu kadar. Geometrik ilerlemenin asıl amacı budur.

Terimler ve tanımlar.

Ancak artık geometrik ilerlemenin anlamını ve kilit noktalarını anladıktan sonra teoriye geçebiliriz. Aksi takdirde anlamı anlaşılmadan teori nedir ki, değil mi?

Geometrik ilerleme nasıl gösterilir?

Geometrik ilerleme genel biçimde nasıl yazılır? Sorun değil! İlerlemenin her dönemi de harf olarak yazılır. Yalnızca aritmetik ilerleme için genellikle harf kullanılır "A", geometrik için – harf "B". Üye numarası her zamanki gibi belirtilir sağ alttaki indeks. İlerlemenin üyelerini virgül veya noktalı virgülle ayırarak listeleriz.

Bunun gibi:

b1,B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 , …

Kısaca bu ilerleme şu şekilde yazılır: (bn) .

Veya bunun gibi, sonlu ilerlemeler için:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

Veya kısaca:

(bn), N=30 .

Aslında tüm atama budur. Her şey aynı, sadece harf farklı evet.) Ve şimdi doğrudan tanıma geçiyoruz.

Geometrik ilerlemenin tanımı.

Geometrik ilerleme, ilk terimin sıfır olmadığı ve sonraki her terimin bir önceki terimin aynı sıfır olmayan sayıyla çarpımına eşit olduğu bir sayı dizisidir.

Bütün tanım bu. Çoğu kelime ve ifade size açık ve tanıdık geliyor. Tabii ki, geometrik ilerlemenin "parmaklarınızda" ve genel olarak anlamını anlarsanız. Ancak özellikle dikkat etmek istediğim birkaç yeni ifade de var.

İlk olarak şu sözler: "ilk üyesi sıfır olmayan".

İlk dönemle ilgili bu kısıtlama tesadüfen getirilmemiştir. İlk üye olursa ne olur sizce? B 1 sıfıra eşit olacak mı? Her terim bir öncekinden büyükse ikinci terim neye eşit olacaktır? aynı sayıda mı?Üç kere mi diyelim? Bakalım... İlk terimi (yani 0) 3 ile çarpın ve... sıfır elde edin! Peki ya üçüncü üye? Ayrıca sıfır! Ve dördüncü terim de sıfırdır! Ve benzeri…

Sadece bir torba simit alıyoruz, bir dizi sıfır:

0, 0, 0, 0, …

Elbette böyle bir dizilimin yaşam hakkı vardır, ancak pratikte hiçbir önemi yoktur. Herşey temiz. Herhangi bir üyesi sıfırdır. Herhangi bir sayıda terimin toplamı da sıfırdır... Bununla ne gibi ilginç şeyler yapabilirsiniz? Hiç bir şey…

Aşağıdaki anahtar kelimeler: "sıfır olmayan aynı sayıyla çarpılır."

Bu aynı numaranın kendi özel adı da vardır - geometrik ilerlemenin paydası. Hadi tanışmaya başlayalım.)

Geometrik ilerlemenin paydası.

Her şey armut bombardımanı kadar basittir.

Geometrik ilerlemenin paydası sıfırdan farklı bir sayıdır (veya miktardır) kaç seferilerlemenin her dönemi öncekinden daha fazla.

Yine aritmetik ilerlemeye benzer şekilde bu tanımda aranacak anahtar kelime kelimedir. "Daha". Bu, geometrik ilerlemenin her teriminin elde edildiği anlamına gelir çarpma işlemi tam da bu paydaya önceki üye

Açıklamama izin ver.

Hesaplamak için diyelim ki ikinci sik, almam gerek Birinciüye ve çarpmak paydaya. Hesaplama için onuncu sik, almam gerek dokuzuncuüye ve çarpmak paydaya.

Geometrik ilerlemenin paydası herhangi bir şey olabilir. Kesinlikle herkes! Bütün, kesirli, pozitif, negatif, irrasyonel; her şey. Sıfır hariç. Tanımdaki “sıfır olmayan” kelimesinin bize anlattığı şey budur. Bu kelimeye neden burada ihtiyaç duyuldu - buna daha sonra değineceğim.

Geometrik ilerlemenin paydasıçoğunlukla harfle gösterilir Q.

Nasıl bulunur? Q? Sorun değil! İlerlemenin herhangi bir dönemini almalıyız ve önceki döneme böl. Bölme: kesir. Bu nedenle adı - “ilerleme paydası”. Payda genellikle kesir halinde bulunur, evet...) Mantıksal olarak değer olmasına rağmen Q aranmalı özel geometrik ilerleme, benzer fark Aritmetik ilerleme için. Ama aramayı kabul ettik payda. Ve tekerleği de yeniden icat etmeyeceğiz.)

Örneğin miktarı tanımlayalım Q bu geometrik ilerleme için:

2, 6, 18, 54, …

Her şey temeldir. Hadi alalım herhangi Sıra numarası. Ne istersek onu alıyoruz. İlki hariç. Örneğin, 18. Ve şuna böl: önceki numara. Yani saat 6'da.

Şunu elde ederiz:

Q = 18/6 = 3

Bu kadar. Bu doğru cevap. Bu geometrik ilerlemenin paydası üçtür.

Şimdi paydayı bulalım Q başka bir geometrik ilerleme için. Örneğin, bu:

1, -2, 4, -8, 16, …

Hepsi aynı. Üyelerin kendi işaretleri ne olursa olsun, yine de alıyoruz herhangi dizinin numarası (örneğin, 16) ve şuna bölün: önceki numara(yani -8).

Şunu elde ederiz:

D = 16/(-8) = -2

İşte bu kadar.) Bu sefer ilerlemenin paydası negatif çıktı. Eksi iki. Olur.)

Şimdi bu ilerlemeyi ele alalım:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Ve yine dizideki sayıların türü ne olursa olsun (tamsayı, çift kesir, hatta negatif, hatta irrasyonel olsun), herhangi bir sayıyı (örneğin 1/9) alıp bir önceki sayıya (1/3) bölüyoruz. Elbette kesirlerle çalışma kurallarına göre.

Şunu elde ederiz:

Hepsi bu.) Burada paydanın kesirli olduğu ortaya çıktı: Q = 1/3.

Bu “ilerleme” hakkında ne düşünüyorsunuz?

3, 3, 3, 3, 3, …

Açıkçası burada Q = 1 . Biçimsel olarak bu aynı zamanda geometrik bir ilerlemedir, ancak özdeş üyeler.) Ancak bu tür ilerlemeler çalışma içindir ve pratik uygulama ilgi çekici değil. Katı sıfırlarla ilerlemelerle aynı. Bu nedenle onları dikkate almayacağız.

Gördüğünüz gibi ilerlemenin paydası herhangi bir şey olabilir - tam sayı, kesirli, pozitif, negatif - herhangi bir şey! Sadece sıfır olamaz. Nedenini tahmin edemiyor musun?

Peki, payda olarak alırsak ne olacağını görmek için bazı özel örnekler kullanalım Q sıfır.) Örneğin şunu alalım: B 1 = 2 , A Q = 0 . O zaman ikinci terim neye eşit olacak?

Sayarız:

B 2 = B 1 · Q= 2 0 = 0

Peki ya üçüncü üye?

B 3 = B 2 · Q= 0 0 = 0

Geometrik ilerlemelerin türleri ve davranışları.

Her şey az çok açıktı: eğer ilerleme farkı D pozitifse ilerleme artar. Fark negatifse ilerleme azalır. Yalnızca iki seçenek var. Üçüncüsü yok.)

Ancak geometrik ilerleme davranışıyla her şey çok daha ilginç ve çeşitli olacak!)

Terimler burada nasıl davranırsa davransın: artar, azalır ve süresiz olarak sıfıra yaklaşırlar ve hatta işaretleri değiştirirler, kendilerini dönüşümlü olarak "artı" ve sonra "eksi" ye atarlar! Ve tüm bu çeşitliliği iyi anlayabilmek gerekiyor, evet...

Hadi çözelim mi?) En basit durumla başlayalım.

Payda pozitiftir ( Q >0)

Pozitif bir payda ile öncelikle geometrik ilerlemenin terimleri şu şekilde ifade edilebilir: artı sonsuzluk(yani sınırsız artış) ve içine girebilir eksi sonsuzluk(yani sınırsız azalma). İlerlemelerin bu davranışına zaten alışığız.

Örneğin:

(bn): 1, 2, 4, 8, 16, …

Burada her şey basit. İlerlemenin her dönemi elde edilir öncekinden daha fazla. Üstelik her terim ortaya çıkıyor çarpma işlemiönceki üye pozitif sayı +2 (ör. Q = 2 ). Böyle bir ilerlemenin davranışı açıktır: İlerlemenin tüm üyeleri uzaya giderek sınırsız bir şekilde büyür. Üstelik sonsuzluk...

Ve şimdi ilerleme şöyle:

(bn): -1, -2, -4, -8, -16, …

Burada da ilerlemenin her terimi elde edilir çarpma işlemiönceki üye pozitif+2 numara. Ancak böyle bir ilerlemenin davranışı tam tersidir: ilerlemenin her terimi elde edilir öncekinden daha az ve tüm terimleri sınırsız olarak eksi sonsuza kadar azalır.

Şimdi düşünelim: Bu iki ilerlemenin ortak noktası nedir? Bu doğru, payda! Burada ve orada Q = +2 . Pozitif sayı.İki. Ve burada davranış Bu iki ilerleme temelde farklıdır! Nedenini tahmin edemiyor musun? Evet! Her şey bununla ilgili ilk üye! Dedikleri gibi melodiyi çalan odur.) Kendiniz görün.

İlk durumda, ilerlemenin ilk terimi pozitif(+1) ve dolayısıyla aşağıdaki terimlerle çarpılarak elde edilen tüm sonraki terimler pozitif payda Q = +2 , ayrıca olacak pozitif.

Ancak ikinci durumda, ilk terim olumsuz(-1). Bu nedenle, ilerlemenin sonraki tüm terimleri, ile çarpılarak elde edilir. pozitif Q = +2 ayrıca elde edilecek olumsuz.Çünkü “eksi”, “artı”ya her zaman “eksi” verir, evet.)

Gördüğünüz gibi, aritmetik ilerlemenin aksine, geometrik ilerleme yalnızca bağlı olmakla kalmayıp tamamen farklı davranabilir. paydadanQ, ama aynı zamanda bağlı olarak ilk üyeden, Evet.)

Unutmayın: geometrik ilerlemenin davranışı benzersiz bir şekilde ilk terimiyle belirlenir B 1 ve paydaQ .

Ve şimdi daha az tanıdık ama çok daha ilginç vakaları analiz etmeye başlıyoruz!

Örneğin şu sırayı ele alalım:

(bn): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Bu dizi aynı zamanda geometrik bir ilerlemedir! Bu ilerlemenin her dönemi de ortaya çıkıyor çarpma işlemiönceki üye, aynı numarayla. Bu sadece bir sayı - kesirli: Q = +1/2 . Veya +0,5 . Üstelik (önemli!) sayı birden az:Q = 1/2<1.

Bu geometrik ilerleme neden ilginç? Üyeleri nereye gidiyor? Bir göz atalım:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Burada ne gibi ilginç şeyler fark edebilirsiniz? İlk olarak, ilerleme açısından azalma hemen fark edilir: üyelerinin her biri az bir önceki tam olarak 2 kez. Veya geometrik ilerlemenin tanımına göre her terim Dahaöncesi 1/2 kez, Çünkü ilerleme paydası Q = 1/2 . Ve birden küçük bir pozitif sayıyla çarpıldığında sonuç genellikle azalır, evet...

Ne Daha Bu ilerlemenin davranışında görülebilir mi? Üyeleri azalıyor mu? sınırsız, eksi sonsuza mı gideceğiz? HAYIR! Özel bir şekilde ortadan kayboluyorlar. İlk başta oldukça hızlı bir şekilde azalırlar, sonra giderek daha yavaş bir şekilde azalırlar. Ve her zaman kalırken pozitif. Çok çok küçük de olsa. Peki kendileri ne için çabalıyorlar? Tahmin etmedin mi? Evet! Sıfıra doğru çabalıyorlar!) Üstelik dikkat edin, ilerlememizin üyeleri sıfırdan asla ulaşmayın! Sadece ona sonsuz yaklaşmak. Bu çok önemli.)

Aşağıdaki ilerlemede de benzer bir durum ortaya çıkacaktır:

(bn): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Burada B 1 = -1 , A Q = 1/2 . Her şey aynı, ancak artık terimler diğer taraftan, aşağıdan sıfıra yaklaşacak. Her zaman kalmak olumsuz.)

Böyle bir geometrik ilerlemenin şartları sıfıra sınırsız yaklaş(olumlu ya da olumsuz yönü ne olursa olsun), matematikte özel bir adı vardır - sonsuz azalan geometrik ilerleme. Bu ilerleme o kadar ilginç ve sıra dışı ki tartışılacak bile. ayrı ders .)

Bu yüzden mümkün olan her şeyi düşündük pozitif paydalar hem büyük hem de küçüktür. Yukarıda belirtilen nedenlerden dolayı birimin kendisini payda olarak düşünmüyoruz (üçlü dizili örneği hatırlayın...)

Özetleyelim:

pozitifVe birden fazla (Q>1), ardından ilerlemenin şartları:

A) sınırsız artış (eğerB 1 >0);

b) sınırsız azalma (eğerB 1 <0).

Geometrik ilerlemenin paydası ise pozitif Ve birden az (0< Q<1), то члены прогрессии:

a) sıfıra sonsuz yakın üstünde(EğerB 1 >0);

b) sıfıra sonsuz yaklaşmak aşağıdan(EğerB 1 <0).

Şimdi davayı değerlendirmeye devam ediyor Negatif payda.

Payda negatiftir ( Q <0)

Örnek vermek için çok uzağa gitmeyeceğiz. Neden tam olarak tüylü büyükanne?!) Örneğin ilerlemenin ilk terimi şöyle olsun: B 1 = 1 ve paydayı alalım q = -2.

Aşağıdaki sırayı elde ederiz:

(bn): 1, -2, 4, -8, 16, …

Ve böyle devam eder.) İlerlemenin her terimi elde edilir çarpma işlemiönceki üye negatif bir sayı-2. Bu durumda, tek sıralarda duran tüm üyeler (birinci, üçüncü, beşinci vb.) pozitif, ve çift yerlerde (ikinci, dördüncü vb.) – olumsuz.İşaretler kesinlikle değişiyor. Artı-eksi-artı-eksi... Bu geometrik diziye - denir artan işaret değişiyor.

Üyeleri nereye gidiyor? Ama hiçbir yerde.) Evet, mutlak değerde (yani modulo) ilerleyişimizin üyeleri sınırsız olarak artar (bundan dolayı “artan” adı verilir). Ancak aynı zamanda ilerlemenin her üyesi sizi dönüşümlü olarak sıcağa, sonra soğuğa atar. Ya “artı” ya da “eksi”. İlerlememiz yalpalıyor... Üstelik dalgalanmaların kapsamı her adımda hızla artıyor, evet.) Dolayısıyla ilerleme üyelerinin özlemleri bir yere gidiyor. özellikle Burada HAYIR. Ne artı sonsuza, ne eksi sonsuza, ne de sıfıra - hiçbir yere.

Şimdi sıfır ile eksi bir arasındaki kesirli bir paydayı ele alalım.

Mesela öyle olsun B 1 = 1 , A q = -1/2.

Sonra ilerlemeyi elde ederiz:

(bn): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Ve yine bir işaret değişimimiz var! Ancak önceki örnekten farklı olarak burada terimlerin sıfıra yaklaşması yönünde açık bir eğilim zaten var.) Ancak bu sefer terimlerimiz sıfıra tam olarak yukarıdan veya aşağıdan değil, yine yaklaşıyor. tereddüt. Dönüşümlü olarak pozitif ve negatif değerler alıyor. Ama aynı zamanda onlar modüller aziz sıfıra giderek yaklaşıyoruz.)

Bu geometrik ilerlemeye denir sonsuz azalan işaret, dönüşümlü.

Bu iki örnek neden ilginç? Ve her iki durumda da gerçekleşmesi gerçeği işaretlerin değişimi! Bu numara yalnızca negatif paydalı ilerlemeler için tipiktir, evet.) Bu nedenle, bir görevde alternatif terimlerle geometrik bir ilerleme görürseniz, paydasının% 100 negatif olduğundan zaten emin olacaksınız ve hata yapmayacaksınız tabelada.)

Bu arada, paydanın negatif olması durumunda, ilk terimin işareti ilerlemenin davranışını hiçbir şekilde etkilemez. İlerlemenin ilk döneminin işareti ne olursa olsun, her durumda terimlerin işareti dikkate alınacaktır. Tek soru şu; hangi yerlerde(çift veya tek) belirli işaretlere sahip üyeler olacaktır.

Hatırlamak:

Geometrik ilerlemenin paydası ise olumsuz , o zaman ilerleme terimlerinin işaretleri her zaman alternatif.

Aynı zamanda üyelerin kendileri:

a) sınırsız artışmodulo, EğerQ<-1;

b) -1 ise sıfıra sonsuza kadar yaklaşın< Q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Bu kadar. Tüm tipik vakalar analiz edilmiştir.)

Çeşitli geometrik ilerleme örneklerini analiz etme sürecinde periyodik olarak şu kelimeleri kullandım: "sıfıra doğru gidiyor", "artı sonsuza eğilimlidir", "eksi sonsuza doğru eğilim gösterir"... Sorun değil.) Bu mecazlar (ve spesifik örnekler) sadece bir başlangıçtır. davranışçeşitli sayı dizileri. Geometrik ilerleme örneğini kullanma.

İlerleme davranışını neden bilmemiz gerekiyor? Nereye gittiği ne fark eder? Sıfıra doğru, artı sonsuza, eksi sonsuza... Bunun bize ne faydası var?

Mesele şu ki, zaten üniversitede, yüksek matematik dersinde, çok çeşitli sayısal dizilerle (sadece ilerlemelerle değil, herhangi biriyle) çalışma yeteneğine ve şu veya bu dizinin tam olarak nasıl olduğunu hayal etme yeteneğine ihtiyacınız olacak. davranır - ister artar ister sınırsız azalır, ister belirli bir sayıya yönelir (ve sıfıra olması gerekmez), hatta hiçbir şeye yönelmez... Matematik dersinde bu konuya bütün bir bölüm ayrılmıştır. analiz - limit teorisi. Ve biraz daha spesifik olarak - konsept sayı dizisinin sınırı.Çok ilginç bir konu! Üniversiteye gidip bunu çözmek mantıklıdır.)

Bu bölümden bazı örnekler (limitli diziler) ve özellikle, sonsuz azalan geometrik ilerleme Okulda alışmaya başlıyorlar. alışmaya başladık.)

Dahası, dizilerin davranışını iyi inceleme yeteneği size gelecekte büyük fayda sağlayacaktır. fonksiyon araştırması. En çeşitli. Ancak işlevlerle yetkin bir şekilde çalışma yeteneği (türevleri hesaplama, bunları tam olarak inceleme, grafiklerini oluşturma) zaten matematik seviyenizi önemli ölçüde artırıyor! Herhangi bir şüpheniz var mı? Gerek yok. Ayrıca sözlerimi de unutmayın.)

Hayattaki geometrik ilerlemeye bakalım mı?

Çevremizdeki yaşamda geometrik ilerlemeyle çok ama çok sık karşılaşıyoruz. Hatta farkında bile olmadan.)

Örneğin, etrafımızı çok büyük miktarlarda saran ve mikroskop olmadan bile göremediğimiz çeşitli mikroorganizmalar, geometrik ilerlemeyle tam olarak çoğalırlar.

Diyelim ki bir bakteri ikiye bölünerek çoğalıyor ve 2 bakteriye yavru veriyor. Buna karşılık, çoğalırken her biri de ikiye bölünerek 4 bakteriden oluşan ortak bir yavru verir. Bir sonraki nesil 8 bakteri, ardından 16 bakteri, 32, 64 vb. üretecek. Sonraki her nesilde bakteri sayısı iki katına çıkar. Geometrik ilerlemenin tipik bir örneği.)

Ayrıca bazı böcekler (yaprak bitleri ve sinekler) katlanarak çoğalır. Ve bazen tavşanlar da oluyor bu arada.)

Günlük hayata daha yakın olan geometrik ilerlemenin bir başka örneği de sözde bileşik faiz. Bu ilginç olguya genellikle banka mevduatlarında rastlanır ve buna denir. faizin aktifleştirilmesi. Ne olduğunu?

Elbette sen de hâlâ gençsin. Okulda okuyorsun, bankalara gitmiyorsun. Ancak ebeveynleriniz zaten yetişkin ve bağımsız insanlar. İşe giderler, günlük ekmekleri için para kazanırlar ve paranın bir kısmını bankaya yatırarak tasarruf yaparlar.)

Diyelim ki babanız Türkiye'de geçireceği bir aile tatili için belli bir miktar para biriktirmek istiyor ve üç yıl süreyle bankaya yıllık %10 faizle 50.000 ruble yatırıyor. yıllık faiz kapitalizasyonu ile.Üstelik tüm bu süre boyunca depozitoyla ilgili hiçbir şey yapılamaz. Depozitoyu yenileyemez veya hesaptan para çekemezsiniz. Bu üç yılın sonunda ne kadar kar elde edecek?

Öncelikle yıllık %10'un ne olduğunu bulmamız gerekiyor. Bu demektir bir yıl içinde Banka ilk yatırılan tutara %10 oranında ekleyecektir. Neyden? Tabii ki, ilk depozito tutarı.

Hesabın büyüklüğünü bir yıl sonra hesaplıyoruz. İlk depozito tutarı 50.000 ruble (yani% 100) ise, bir yıl sonra hesaba ne kadar faiz gelecektir? Bu doğru, %110! 50.000 ruble'den.

Yani 50.000 rublenin% 110'unu hesaplıyoruz:

50000·1,1 = 55000 ruble.

Umarım bir değerin %110'unu bulmanın o değeri 1,1 sayısıyla çarpmak anlamına geldiğini anlıyorsunuzdur? Bunun neden böyle olduğunu anlamıyorsanız beşinci ve altıncı sınıfları hatırlayın. Yani – yüzdeler, kesirler ve parçalar arasındaki bağlantı.)

Böylece ilk yıldaki artış 5.000 ruble olacak.

İki yıl içinde hesabınızda ne kadar para olacak? 60.000 ruble mi? Ne yazık ki (ya da daha doğrusu, neyse ki), her şey o kadar basit değil. Faiz kapitalizasyonunun tüm püf noktası, her yeni faiz tahakkukunda aynı faizlerin zaten dikkate alınmasıdır. yeni miktardan! Olan kişiden çoktan hesapta Şu anda. Ve bir önceki döneme ait tahakkuk eden faiz, orijinal mevduat tutarına eklenerek yeni faiz hesaplamasına kendisi de katılıyor! Yani genel hesabın tam bir parçası haline gelirler. Veya genel başkent. Dolayısıyla adı - faizin aktifleştirilmesi.

Ekonomide var. Ve matematikte bu tür yüzdelere denir bileşik faiz. Veya faiz yüzdesi.) İşin püf noktası, sıralı hesaplama yaparken yüzdelerin her seferinde hesaplanmasıdır. yeni değerden. Ve orijinalinden değil...

Bu nedenle tutarı hesaplamak için iki yıl hesapta kalacak tutarın %110'unu hesaplamamız gerekiyor bir yıl içinde. Yani zaten 55.000 ruble'den.

55.000 rublenin% 110'unu sayıyoruz:

55000·1,1 = 60500 ruble.

Bu, yüzde artışın ikinci yıl için 5.500 ruble, iki yıl için ise 10.500 ruble olacağı anlamına geliyor.

Artık üç yıl sonra hesaptaki tutarın 60.500 rublenin% 110'u olacağını zaten tahmin edebilirsiniz. Bu yine %110 öncekinden (geçen yıl) miktarlar.

Burada şunu düşünüyoruz:

60500·1,1 = 66550 ruble.

Şimdi parasal tutarlarımızı yıllara göre sırayla düzenliyoruz:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Peki nasıl? Neden geometrik bir ilerleme olmasın? İlk üye B 1 = 50000 ve payda Q = 1,1 . Her terim bir öncekinden kesinlikle 1,1 kat daha büyüktür. Her şey tanıma tam olarak uygundur.)

Peki 50.000 rublesi üç yıldır banka hesabında dururken babanız kaç ek faiz ikramiyesi "biriktirecek"?

Sayarız:

66550 – 50000 = 16550 ruble

Çok değil elbette. Ancak bu, ilk depozito miktarının küçük olması durumunda geçerlidir. Ya daha fazlası varsa? Diyelim ki 50 değil 200 bin ruble? O zaman üç yıldaki artış 66.200 ruble olacak (matematik yaparsanız). Bu zaten çok iyi.) Ya katkı daha da büyükse? Bu kadar...

Sonuç: İlk mevduat ne kadar yüksek olursa, faiz kapitalizasyonu da o kadar karlı olur. Bu nedenle faiz kapitalizasyonlu mevduatlar bankalar tarafından uzun vadeli olarak sağlanmaktadır. Beş yıl diyelim.

Ayrıca grip, kızamık gibi her türlü kötü hastalık ve daha da korkunç hastalıklar (2000'li yılların başındaki aynı SARS veya Orta Çağ'daki veba) katlanarak yayılmayı seviyor. Salgınların ölçeği de buradan geliyor, evet…) Ve bunların hepsi geometrik ilerlemeden kaynaklanıyor. tam pozitif payda (Q>1) – çok hızlı büyüyen bir şey! Bakterilerin üremesini hatırlayın: bir bakteriden iki tane elde edilir, ikiden dörte, dörtten sekize vb.... Herhangi bir enfeksiyonun yayılmasında da durum aynıdır.)

Geometrik ilerlemeyle ilgili en basit problemler.

Her zaman olduğu gibi basit bir problemle başlayalım. Tamamen anlamını anlamak için.

1. Geometrik ilerlemenin ikinci teriminin 6, paydanın -0,5 olduğu bilinmektedir. Birinci, üçüncü ve dördüncü terimleri bulun.

Yani bize verildi sonsuz geometrik ilerleme, ancak biliniyor ikinci dönem bu ilerleme:

b2 = 6

Ayrıca şunu da biliyoruz ilerleme paydası:

q = -0,5

Ve bulman gerekiyor Ilk üçüncüsü Ve dördüncü bu ilerlemenin üyeleri.

Biz de öyle davranıyoruz. Sorunun koşullarına göre sırayı yazıyoruz. İkinci terimin altı olduğu doğrudan genel biçimde:

b1, 6,B 3 , B 4 , …

Şimdi aramaya başlayalım. Her zaman olduğu gibi en basitinden başlıyoruz. Örneğin üçüncü terimi hesaplayabilirsiniz. b3? Olabilmek! Sen ve ben zaten biliyoruz (doğrudan geometrik ilerleme anlamında) üçüncü terim (b3) ikinciden daha fazla (B 2 ) V "Q" bir kere!

O halde şunu yazıyoruz:

b3 =B 2 · Q

Bu ifadeye altı yerine altı koyarız b2 ve bunun yerine -0,5 Q ve sayıyoruz. Eksileri de göz ardı etmiyoruz elbette...

b 3 = 6·(-0,5) = -3

Bunun gibi. Üçüncü dönem negatif çıktı. Hiç şüphe yok: paydamız Q- olumsuz. Ve bir artıyı bir eksi ile çarpmak elbette eksi olacaktır.)

Şimdi ilerlemenin bir sonraki dördüncü dönemini sayıyoruz:

b4 =B 3 · Q

b 4 = -3·(-0,5) = 1,5

Dördüncü terim yine artıdır. Beşinci terim yine eksi, altıncı terim artı vb. olacaktır. İşaretler değişiyor!

Böylece üçüncü ve dördüncü terimler bulundu. Sonuç aşağıdaki sıradır:

b1; 6; -3; 1.5; ...

Şimdi geriye kalan tek şey ilk terimi bulmak b 1 iyi bilinen ikinciye göre. Bunu yapmak için diğer yöne, sola doğru adım atıyoruz. Bu, bu durumda ilerlemenin ikinci terimini paydayla çarpmamıza gerek olmadığı anlamına gelir, ancak bölmek.

Bölüyoruz ve elde ediyoruz:

Hepsi bu kadar.) Sorunun cevabı şu şekilde olacaktır:

-12; 6; -3; 1,5; …

Gördüğünüz gibi çözüm prensibi . Biliyoruz herhangiüye ve payda geometrik ilerleme - onun herhangi bir üyesini bulabiliriz. İstediğimizi bulacağız.) Tek fark, toplama/çıkarmanın yerini çarpma/bölmenin almasıdır.

Unutmayın: Eğer bir geometrik ilerlemenin en az bir üyesini ve paydasını biliyorsak, o zaman bu ilerlemenin başka herhangi bir üyesini her zaman bulabiliriz.

Geleneğe göre aşağıdaki sorun OGE'nin gerçek bir versiyonundan kaynaklanmaktadır:

2.

...; 150; X; 6; 1.2; ...

Peki nasıl? Bu sefer ilk terim yok, payda yok Q, sadece bir sayı dizisi veriliyor... Zaten tanıdık bir şey, değil mi? Evet! Benzer bir problem aritmetik ilerlemede zaten çözüldü!

Yani korkmuyoruz. Hepsi aynı. Başlarımızı çevirelim ve geometrik ilerlemenin temel anlamını hatırlayalım. Dizimize dikkatlice bakıyoruz ve üç ana olanın (birinci terim, payda, terim numarası) geometrik ilerlemesinin hangi parametrelerinin içinde saklı olduğunu anlıyoruz.

Üye numaraları? Üyelik numarası yok evet... Ama dört tane var ardışık sayılar. Bu kelimenin ne anlama geldiğini şu aşamada açıklamanın bir manasını göremiyorum.) İki tane var mı? komşu bilinen numaralar? Yemek yemek! Bunlar 6 ve 1.2'dir. Böylece bulabiliriz ilerleme paydası. 1,2 sayısını alıp bölüyoruz önceki numaraya. Altıya.

Şunu elde ederiz:

Şunu elde ederiz:

X= 150·0,2 = 30

Cevap: X = 30 .

Gördüğünüz gibi her şey oldukça basit. Asıl zorluk sadece hesaplamalardadır. Negatif ve kesirli paydalar söz konusu olduğunda bu özellikle zordur. Yani sorun yaşayanlar aritmetiği tekrarlasın! Kesirlerle nasıl çalışılır, negatif sayılarla nasıl çalışılır vs... Aksi takdirde burada acımasızca yavaşlarsınız.

Şimdi problemi biraz değiştirelim. Şimdi işler ilginçleşecek! Sondaki 1.2 sayısını kaldıralım. Şimdi bu sorunu çözelim:

3. Geometrik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:

...; 150; X; 6; ...

İlerlemenin x harfiyle gösterilen terimini bulun.

Her şey aynı, yalnızca iki bitişik ünlü Artık ilerlemenin hiçbir üyesi yok. Bu asıl sorundur. Çünkü büyüklük Q iki komşu terim aracılığıyla kolayca belirleyebiliriz yapamayız. Görevle başa çıkma şansımız var mı? Kesinlikle!

Bilinmeyen terimi yazalım" X"doğrudan geometrik ilerlemenin anlamı dahilinde! Genel anlamda.

Evet evet! Bilinmeyen bir paydayla doğru!

Bir yandan X için aşağıdaki oranı yazabiliriz:

X= 150·Q

Öte yandan, aynı X'i şöyle tanımlamaya her türlü hakkımız var: Sonrakiüye, altı aracılığıyla! Altıyı paydaya bölün.

Bunun gibi:

X = 6/ Q

Açıkçası, şimdi bu oranların her ikisini de eşitleyebiliriz. ifade ettiğimiz için aynısı büyüklük (x), ancak iki Farklı yollar.

Denklemi elde ederiz:

Herşeyi çarpmak Q basitleştirip kısaltırsak şu denklemi elde ederiz:

q2 = 1/25

Çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:

q = ±1/5 = ±0,2

Hata! Paydanın çift olduğu ortaya çıktı! +0,2 ve -0,2. Peki hangisini seçmelisiniz? Çıkmaz sokak?

Sakinlik! evet sorun gerçekten var iki çözüm! Bunda yanlış bir şey yok. Bu olur.) Örneğin, alışılagelmiş bir problemi çözerken iki kök elde ettiğinizde şaşırmadınız mı? Burada da aynı hikaye var.)

İçin q = +0,2 alacağız:

X = 150 0,2 = 30

Ve için Q = -0,2 irade:

X = 150·(-0,2) = -30

İkili bir cevap alıyoruz: X = 30; X = -30.

Bu ilginç gerçek ne anlama geliyor? Ve var olan iki ilerleme, problemin koşullarını karşılıyor!

Bunlar gibi:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Her ikisi de uygundur.) Sizce neden cevaplarda bir ayrılık yaşadık? Sırf ilerlemenin belirli bir üyesinin ortadan kaldırılması nedeniyle (1,2), altıdan sonra geliyor. Ve geometrik ilerlemenin yalnızca önceki (n-1)'inci ve sonraki (n+1)'inci terimlerini bildiğimizden, aralarında duran n'inci terim hakkında artık kesin olarak hiçbir şey söyleyemeyiz. Artı ve eksi olmak üzere iki seçenek var.

Ama sorun yok. Kural olarak, geometrik ilerleme görevlerinde kesin bir cevap veren ek bilgiler vardır. Şu sözleri söyleyelim: "alternatif ilerleme" veya "Pozitif paydalı ilerleme" ve benzeri... Nihai cevabı hazırlarken artı veya eksi işaretinin hangi işaretin seçilmesi gerektiğine dair ipucu görevi görmesi gereken bu kelimelerdir. Böyle bir bilgi yoksa, o zaman evet, görev iki çözüm.)

Artık kendimiz karar veriyoruz.

4. 20 sayısının geometrik ilerlemenin bir üyesi olup olmadığını belirleyin:

4 ; 6; 9; …

5. Alternatif geometrik ilerlemenin işareti verilmiştir:

…; 5; X ; 45; …

Harfle gösterilen ilerlemenin süresini bulun X .

6. Geometrik ilerlemenin dördüncü pozitif terimini bulun:

625; -250; 100; …

7. Geometrik ilerlemenin ikinci terimi -360'a, beşinci terimi ise 23.04'e eşittir. Bu ilerlemenin ilk terimini bulun.

Cevaplar (düzensiz): -15; 900; HAYIR; 2.56.

Her şey yolunda gittiyse tebrikler!

Bir şey uymuyor mu? Bir yerlerde çift cevap mı vardı? Görev şartlarını dikkatlice okuyun!

Son sorun çözülmedi mi? Orada karmaşık bir şey yok.) Doğrudan geometrik ilerlemenin anlamına göre çalışıyoruz. Peki, bir resim çizebilirsin. Yardımcı olur.)

Gördüğünüz gibi her şey basit. İlerleme kısa ise. Peki ya uzunsa? Yoksa gerekli üye sayısı çok mu fazla? Aritmetik ilerlemeye benzeterek, bir şekilde bulmayı kolaylaştıran uygun bir formül elde etmek istiyorum. herhangi herhangi bir geometrik ilerlemenin terimi numarasına göre. Pek çok kez çarpmadan Q. Ve böyle bir formül var!) Detaylar bir sonraki derste.

Geometrik ilerleme, ilk terimi sıfır olmayan ve sonraki her terim bir önceki terimin aynı sıfır olmayan sayıyla çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir.

Geometrik ilerleme gösterilir b1,b2,b3, …, bn, … .

Geometrik hatanın herhangi bir teriminin bir önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Bu doğrudan aritmetik ilerlemenin tanımından kaynaklanır. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik ilerlemenin paydası q harfiyle gösterilir.

Monoton ve sabit dizi

Bir geometrik ilerlemeyi belirlemenin yollarından biri, onun ilk terimini b1 ve geometrik hata q'nun paydasını belirtmektir. Örneğin b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32,… geometrik ilerlemesini tanımlar.

Eğer q>0 ise (q, 1'e eşit değildir), o zaman ilerleme şu şekildedir: monoton dizi.Örneğin 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton olarak artan bir dizidir (b1=2, q=2).

Geometrik hatanın paydası q=1 ise geometrik ilerlemenin tüm terimleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda ilerlemenin olduğunu söylüyorlar sabit sıra.

Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül

Bir sayı dizisinin (bn) geometrik dizi olabilmesi için ikinciden başlayarak her bir üyesinin komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani aşağıdaki denklemin yerine getirilmesi gerekir
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), herhangi bir n>0 için; burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.

Geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü:

bn=b1*q^(n-1),

burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı için formül

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formül şu şekildedir:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), burada q, 1'e eşit değildir.

Basit bir örneğe bakalım:

Geometrik ilerlemede b1=6, q=3, n=8 Sn'yi bulun.

S8'i bulmak için geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı formülünü kullanırız.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19.680.

Geometrik ilerleme, ilk terimi sıfır olmayan ve sonraki her terim bir önceki terimin aynı sıfır olmayan sayıyla çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir. Geometrik ilerleme b1,b2,b3, …, bn, … ile gösterilir.

Geometrik ilerlemenin özellikleri

Geometrik hatanın herhangi bir teriminin bir önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Bu doğrudan aritmetik ilerlemenin tanımından kaynaklanır. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik ilerlemenin paydası q harfiyle gösterilir.

Bir geometrik ilerlemeyi belirlemenin yollarından biri, onun ilk terimini b1 ve geometrik hata q'nun paydasını belirtmektir. Örneğin b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32,… geometrik ilerlemesini tanımlar.

Eğer q>0 ise (q, 1'e eşit değildir), bu durumda ilerleme monoton bir dizidir. Örneğin 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton olarak artan bir dizidir (b1=2, q=2).

Geometrik hatanın paydası q=1 ise geometrik ilerlemenin tüm terimleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda ilerlemenin sabit bir sıra olduğu söylenir.

İlerlemenin n'inci terimi için formül

Bir sayı dizisinin (bn) geometrik dizi olabilmesi için ikinciden başlayarak her bir üyesinin komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani, n'nin N doğal sayılar kümesine ait olduğu herhangi bir n>0 için aşağıdaki - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2) denkleminin yerine getirilmesi gerekir.

Geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü:

bn=b1*q^(n-1), burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.

Basit bir örneğe bakalım:

Geometrik ilerlemede b1=6, q=3, n=8 bn'yi bulun.

Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formülü kullanalım.