חשב את נפח גוף המהפכה. חישוב נפחים של גופי מהפכה באמצעות אינטגרל מוגדר

ניתן לחשב את נפח גוף המהפכה באמצעות הנוסחה:

בנוסחה, המספר חייב להיות קיים לפני האינטגרל. אז זה קרה - כל מה שמסתובב בחיים קשור בקבוע הזה.

אני חושב שקל לנחש איך להגדיר את גבולות האינטגרציה "a" ו-"be" מהציור שהושלם.

פונקציה... מה זאת הפונקציה הזו? בואו נסתכל על הציור. דמות המישור תחומה על ידי גרף הפרבולה בחלק העליון. זו הפונקציה שמשתמעת בנוסחה.

במשימות מעשיות, דמות שטוחה יכולה לפעמים להיות ממוקמת מתחת לציר. זה לא משנה כלום - הפונקציה בנוסחה בריבוע: , כך הנפח של גוף מהפכה הוא תמיד לא שלילי, וזה מאוד הגיוני.

בואו נחשב את נפח גוף הסיבוב באמצעות הנוסחה הזו:

כפי שכבר ציינתי, האינטגרל כמעט תמיד מתברר כפשוט, העיקר להיזהר.

תשובה:

בתשובתך עליך לציין את הממד - יחידות מעוקבות. כלומר, בגוף הסיבוב שלנו יש בערך 3.35 "קוביות". למה מעוקב יחידות? כי הניסוח האוניברסלי ביותר. יכול להיות סנטימטר מעוקב, יכול להיות קוב, יכול להיות קילומטר מעוקב וכו', זה כמה גברים ירוקים הדמיון שלך יכול להכניס לצלחת מעופפת.

דוגמה 2

מצא את הנפח של גוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר הדמות התחום בקווים , ,

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

הבה נבחן עוד שתי בעיות מורכבות, שגם נתקלות בהן לעתים קרובות בפועל.

דוגמה 3

חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב סביב ציר האבססיס של הדמות התחום בקווים , , ו

פִּתָרוֹן:בואו נתאר את זה בציור דמות שטוחה, תחום בקווים , , , , מבלי לשכוח שהמשוואה מגדירה את הציר:

הדמות הרצויה מוצללת בכחול. כשהיא מסתובבת סביב צירו, מתברר שזו סופגניה סוריאליסטית עם ארבע פינות.

הבה נחשב את נפח גוף המהפכה כ הבדל בנפחים של גופים.

ראשית, בואו נסתכל על הדמות המוקפת באדום. כאשר הוא מסתובב סביב ציר, מתקבל חרוט קטום. הבה נסמן את נפח החרוט הקטום הזה ב- .

קחו בחשבון את הדמות שמוקפת בירוק. אם תסובב את הדמות הזו סביב הציר, תקבל גם חרוט קטום, רק קצת יותר קטן. נסמן את נפחו ב-.

וכמובן, ההבדל בנפחים הוא בדיוק הנפח של ה"סופגנייה" שלנו.

אנו משתמשים בנוסחה הסטנדרטית כדי למצוא את הנפח של גוף סיבוב:

1) הדמות המוקפת באדום תחומה למעלה על ידי קו ישר, לכן:

2) הדמות המוקפת בירוק תחומה למעלה על ידי קו ישר, לכן:

3) נפח גוף הסיבוב הרצוי:

תשובה:

זה מוזר שבמקרה זה ניתן לבדוק את הפתרון באמצעות נוסחת בית הספר לחישוב נפח של חרוט קטום.

ההחלטה עצמה נכתבת לעתים קרובות יותר, בערך כך:

עכשיו בואו ננוח קצת ונספר לכם על אשליות גיאומטריות.

לאנשים יש לעתים קרובות אשליות הקשורות לכרכים, אשר הבחין בהם על ידי פרלמן (לא זה) בספר גיאומטריה משעשעת. תסתכל על הדמות השטוחה בבעיה שנפתרה - נראה שהוא קטן בשטחו, ונפח גוף המהפכה הוא קצת יותר מ-50 יחידות מעוקבות, מה שנראה גדול מדי. אגב, אדם ממוצע שותה בכל חייו את המקבילה לחדר של 18 מ"ר של נוזל, שלהפך, נראה נפח קטן מדי.

באופן כללי, מערכת החינוך בברית המועצות הייתה באמת הטובה ביותר. אותו ספר של פרלמן, שנכתב על ידו עוד ב-1950, מפתח היטב, כפי שאמר ההומוריסט, חשיבה ומלמד לחפש פתרונות מקוריים, לא סטנדרטיים לבעיות. לאחרונה קראתי מחדש כמה מהפרקים בעניין רב, אני ממליץ על זה, זה נגיש אפילו להומניסטים. לא, אתה לא צריך לחייך שהצעתי זמן פנוי, למדנות ואופקים רחבים בתקשורת הם דבר נהדר.

לאחר סטייה לירית, זה בדיוק מתאים לפתור משימה יצירתית:

דוגמה 4

חשב את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר של דמות שטוחה התחום בקווים , , שבו .

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. שימו לב שכל הדברים קורים בלהקה, במילים אחרות, ניתנות גבולות כמעט מוכנים של אינטגרציה. נסה גם לצייר בצורה נכונה גרפים של פונקציות טריגונומטריות; אם הארגומנט מחולק בשניים: אז הגרפים נמתחים פעמיים לאורך הציר. נסו למצוא לפחות 3-4 נקודות לפי טבלאות טריגונומטריותובאופן מדויק יותר להשלים את הציור. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור. אגב, את המשימה אפשר לפתור בצורה רציונלית ולא מאוד רציונלית.

חישוב נפח הגוף שנוצר בסיבוב
דמות שטוחה סביב ציר

הפסקה השנייה תהיה אפילו יותר מעניינת מהראשונה. גם המשימה של חישוב נפח של גוף מהפכה סביב ציר הקודקוד היא אורח נפוץ למדי בעבודת מבחן. על הדרך זה יישקל בעיה של מציאת השטח של דמותהשיטה השנייה היא אינטגרציה לאורך הציר, זה יאפשר לך לא רק לשפר את הכישורים שלך, אלא גם ללמד אותך למצוא את נתיב הפתרון הרווחי ביותר. יש בזה גם משמעות לחיים מעשית! כפי שזכרה המורה שלי לשיטות הוראת מתמטיקה בחיוך, בוגרים רבים הודו לה במילים: "המקצוע שלך עזר לנו מאוד, עכשיו אנחנו מנהלים אפקטיביים ומנהלים את הצוות בצורה מיטבית". בהזדמנות זו אני גם מביע לה את תודתי הרבה, במיוחד שאני משתמש בידע הנרכש למטרה המיועדת לו =).

דוגמה 5

נתון דמות שטוחה תחום בקווים , , .

1) מצא את השטח של דמות שטוחה התחום בקווים אלה.
2) מצא את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב של דמות שטוחה התחום בקווים אלו סביב הציר.

תשומת הלב!גם אם אתה רוצה לקרוא רק את הנקודה השנייה, ראשית בהכרחקרא את הראשון!

פִּתָרוֹן:המשימה מורכבת משני חלקים. נתחיל בריבוע.

1) בואו נעשה ציור:

קל לראות שהפונקציה מציינת את הענף העליון של הפרבולה, והפונקציה מציינת את הענף התחתון של הפרבולה. לפנינו פרבולה טריוויאלית ש"שוכבת על צדה".

הדמות הרצויה, ששטחה נמצא, מוצללת בכחול.

איך למצוא את השטח של דמות? ניתן למצוא את זה בצורה ה"רגילה", אשר נדונה בכיתה אינטגרל מובהק. כיצד לחשב שטח של דמות. יתר על כן, שטח הדמות נמצא כסכום השטחים:
- על הקטע;
- על הקטע.

זו הסיבה:

מדוע הפתרון הרגיל גרוע במקרה זה? ראשית, קיבלנו שני אינטגרלים. שנית, אינטגרלים הם שורשים, ושורשים באינטגרלים אינם מתנה, וחוץ מזה, אתה יכול להתבלבל בהחלפת גבולות האינטגרציה. למעשה, האינטגרלים, כמובן, אינם קטלניים, אבל בפועל הכל יכול להיות הרבה יותר עצוב, פשוט בחרתי פונקציות "טובות יותר" לבעיה.

יש פתרון רציונלי יותר: הוא מורכב ממעבר לפונקציות הפוכות ושילוב לאורך הציר.

איך מגיעים לפונקציות הפוכות? באופן גס, אתה צריך להביע "x" עד "y". ראשית, בואו נסתכל על הפרבולה:

זה מספיק, אבל בואו נוודא שאפשר לגזור את אותה פונקציה מהענף התחתון:

זה קל יותר עם קו ישר:

עכשיו תסתכל על הציר: אנא הטה מעת לעת את ראשך ל-90 מעלות ימינה כפי שאתה מסביר (זו לא בדיחה!). הדמות שאנו צריכים נמצאת על הקטע, המסומן על ידי הקו המקווקו האדום. במקרה זה, על הקטע הקו הישר ממוקם מעל הפרבולה, מה שאומר שצריך למצוא את שטח הדמות באמצעות הנוסחה שכבר מוכרת לך:. מה השתנה בנוסחה? רק מכתב ותו לא.

! הערה: יש להגדיר את גבולות האינטגרציה לאורך הציר אך ורק מלמטה למעלה!

מציאת האזור:

על הקטע, לפיכך:

שימו לב איך ביצעתי את האינטגרציה, זו הדרך הרציונלית ביותר, ובפסקה הבאה של המשימה יתברר מדוע.

לקוראים המפקפקים בנכונות האינטגרציה, אמצא נגזרות:

מתקבלת פונקציית ה-integrand המקורית, כלומר האינטגרציה בוצעה כהלכה.

תשובה:

2) הבה נחשב את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב הדמות הזו סביב הציר.

אני אצייר מחדש את הציור בעיצוב קצת שונה:

אז, הדמות המוצללת בכחול מסתובבת סביב הציר. התוצאה היא "פרפר מרחף" שמסתובב סביב צירו.

כדי למצוא את הנפח של גוף סיבוב, נשלב לאורך הציר. ראשית עלינו ללכת לפונקציות הפוכות. זה כבר נעשה ותואר בפירוט בפסקה הקודמת.

כעת אנו מטים שוב את ראשנו ימינה ולומדים את הדמות שלנו. ברור שנפח גוף הסיבוב צריך להימצא כהבדל בנפחים.

אנו מסובבים את הדמות המעוגלת באדום סביב הציר, וכתוצאה מכך נוצר חרוט קטום. הבה נסמן כרך זה ב-.

אנו מסובבים את הדמות המוקפת בירוק סביב הציר ומציינים אותה בנפח גוף הסיבוב שנוצר.

נפח הפרפר שלנו שווה להפרש הנפחים.

אנו משתמשים בנוסחה כדי למצוא את הנפח של גוף מהפכה:

מה ההבדל מהנוסחה בפסקה הקודמת? רק במכתב.

אבל את היתרון באינטגרציה, עליו דיברתי לאחרונה, הרבה יותר קל למצוא מאשר להעלות לראשונה את האינטגרנד לחזקה 4.

תשובה:

עם זאת, לא פרפר חולני.

שימו לב שאם אותה דמות שטוחה מסובבת סביב הציר, תקבלו גוף סיבוב שונה לחלוטין, עם נפח שונה, באופן טבעי.

דוגמה 6

נתון דמות שטוחה תחומה בקווים ובציר.

1) עבור לפונקציות הפוכות ומצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים אלה על ידי אינטגרציה מעל המשתנה.
2) חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב דמות שטוחה התחום בקווים אלו סביב הציר.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. המעוניינים יכולים גם למצוא את השטח של דמות בצורה ה"רגילה", ובכך לבדוק את נקודה 1). אבל אם, אני חוזר, תסובב דמות שטוחה סביב הציר, תקבל גוף סיבוב אחר לגמרי בנפח אחר, אגב, התשובה הנכונה (גם למי שאוהב לפתור בעיות).

הפתרון המלא לשתי הנקודות המוצעות של המשימה נמצא בסוף השיעור.

כן, ואל תשכחו להטות את הראש ימינה כדי להבין את גופי הסיבוב ואת גבולות האינטגרציה!

עמדתי לסיים את המאמר, אבל היום הם הביאו דוגמה מעניינת רק בשביל למצוא את הנפח של גוף מהפכה סביב ציר הסמיכה. טָרִי:

דוגמה 7

חשב את הנפח של גוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר של דמות התחום על ידי עקומות ו. הענף השמאלי שאינו בשימוש של הפרבולה מתאים לפונקציה ההפוכה - גרף הפונקציה ממוקם על הקטע שמעל הציר;

הגיוני להניח שיש לחפש את נפח גוף המהפכה כסכום נפחי גופי הסיבוב!

אנו משתמשים בנוסחה:

במקרה הזה:

תשובה:

IN בעיה של מציאת השטח של דמותלעתים קרובות נעשה שימוש בסיכום אזורים, אך סיכום של נפחים של גופי סיבוב הוא כנראה נדיר, מכיוון שמגוון כזה כמעט נפל משדה הראייה שלי. ובכל זאת, טוב שהדוגמה שדיברנו עלתה בזמן - הצלחנו להוציא הרבה מידע שימושי.

קידום מוצלח של דמויות!

ניתן לחשב את נפח גוף המהפכה באמצעות הנוסחה:

בנוסחה, המספר חייב להיות קיים לפני האינטגרל. אז זה קרה - כל מה שמסתובב בחיים קשור בקבוע הזה.

אני חושב שקל לנחש איך להגדיר את גבולות האינטגרציה "a" ו-"be" מהציור שהושלם.

פונקציה... מה זאת הפונקציה הזו? בואו נסתכל על הציור. הדמות השטוחה תחומה על ידי גרף הפרבולות בחלק העליון. זו הפונקציה שמשתמעת בנוסחה.

במשימות מעשיות, דמות שטוחה יכולה לפעמים להיות ממוקמת מתחת לציר. זה לא משנה כלום - האינטגרנד בנוסחה בריבוע: כך האינטגרל הוא תמיד לא שלילי , וזה מאוד הגיוני.

בואו נחשב את נפח גוף הסיבוב באמצעות הנוסחה הזו:

כפי שכבר ציינתי, האינטגרל כמעט תמיד מתברר כפשוט, העיקר להיזהר.

תשובה:

בתשובתך עליך לציין את הממד - יחידות מעוקבות. כלומר, בגוף הסיבוב שלנו יש בערך 3.35 "קוביות". למה מעוקב יחידות? כי הניסוח האוניברסלי ביותר. יכול להיות סנטימטר מעוקב, יכול להיות קוב, יכול להיות קילומטר מעוקב וכו', זה כמה גברים ירוקים הדמיון שלך יכול להכניס לצלחת מעופפת.

דוגמה 2

מצא את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר הדמות התחום בקווים,

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

הבה נבחן עוד שתי בעיות מורכבות, שגם נתקלות בהן לעתים קרובות בפועל.

דוגמה 3

חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב סביב ציר האבשיסה של הדמות התחום בקווים ,, ו

פִּתָרוֹן: הבה נצייר בשרטוט דמות שטוחה תחומה בקווים ,,,, מבלי לשכוח שהמשוואה מגדירה את הציר:

הדמות הרצויה מוצללת בכחול. כשהיא מסתובבת סביב צירו, מתברר שזו סופגניה סוריאליסטית עם ארבע פינות.

הבה נחשב את נפח גוף הסיבוב כ הבדל בנפחים של גופים.

ראשית, בואו נסתכל על הדמות המוקפת באדום. כאשר הוא מסתובב סביב ציר, מתקבל חרוט קטום. הבה נסמן את נפח החרוט הקטום הזה ב.

קחו בחשבון את הדמות שמוקפת בירוק. אם תסובב את הדמות הזו סביב הציר, תקבל גם חרוט קטום, רק קצת יותר קטן. בואו נסמן את נפחו ב.

וכמובן, ההבדל בנפחים הוא בדיוק הנפח של ה"סופגנייה" שלנו.

אנו משתמשים בנוסחה הסטנדרטית כדי למצוא את הנפח של גוף סיבוב:

1) הדמות המוקפת באדום תחומה למעלה על ידי קו ישר, לכן:

2) הדמות המוקפת בירוק תחומה למעלה על ידי קו ישר, לכן:

3) נפח גוף המהפכה הרצוי:

תשובה:

זה מוזר שבמקרה זה ניתן לבדוק את הפתרון באמצעות נוסחת בית הספר לחישוב נפח של חרוט קטום.

ההחלטה עצמה נכתבת לעתים קרובות יותר, בערך כך:

עכשיו בואו ננוח קצת ונספר לכם על אשליות גיאומטריות.

לעתים קרובות יש לאנשים אשליות הקשורות לכרכים, שאליהם הבחין פרלמן (אחר) בספר גיאומטריה משעשעת. תסתכל על הדמות השטוחה בבעיה שנפתרה - נראה שהוא קטן בשטחו, ונפח גוף המהפכה הוא קצת יותר מ-50 יחידות מעוקבות, מה שנראה גדול מדי. אגב, אדם ממוצע שותה בכל חייו את המקבילה לחדר של 18 מ"ר של נוזל, שלהפך, נראה נפח קטן מדי.

באופן כללי, מערכת החינוך בברית המועצות הייתה באמת הטובה ביותר. אותו ספר של פרלמן, שיצא לאור ב-1950, מפתח היטב, כפי שאמר ההומוריסט, חשיבה ומלמד אותך לחפש פתרונות מקוריים, לא סטנדרטיים לבעיות. לאחרונה קראתי מחדש כמה מהפרקים בעניין רב, אני ממליץ על זה, זה נגיש אפילו להומניסטים. לא, אתה לא צריך לחייך שהצעתי זמן פנוי, למדנות ואופקים רחבים בתקשורת הם דבר נהדר.

לאחר סטייה לירית, זה בדיוק מתאים לפתור משימה יצירתית:

דוגמה 4

חשב את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר של דמות שטוחה התחום בקווים,, שבו.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. שימו לב שכל המקרים מתרחשים בלהקה, במילים אחרות, גבולות מוכנים של אינטגרציה ניתנים למעשה. צייר את הגרפים של פונקציות טריגונומטריות בצורה נכונה, הרשה לי להזכיר לך את חומר השיעור על טרנספורמציות גיאומטריות של גרפים : אם הארגומנט מחולק לשניים: , אז הגרפים נמתחים לאורך הציר פעמיים. רצוי למצוא לפחות 3-4 נקודות לפי טבלאות טריגונומטריות להשלמת הציור בצורה מדויקת יותר. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור. אגב, את המשימה אפשר לפתור בצורה רציונלית ולא מאוד רציונלית.

תן לקו להיות מוגבל. דמות מישור מוגדרת במערכת קואורדינטות קוטבית.

דוגמא: חשב את ההיקף: x 2 +y 2 =R 2

חשב את אורך החלק הרביעי של המעגל שנמצא ברביע הראשון (x≥0, y≥0):

אם משוואת העקומה מצוינת בצורת פרמטר:
, הפונקציות x(t), y(t) מוגדרות ורציפות יחד עם הנגזרות שלהן על המרווח [α,β]. נגזרת, ואז מחליפה לנוסחה:
ובהתחשב בכך

אנחנו מקבלים
להוסיף מכפיל
תחת סימן השורש וסוף סוף נקבל

הערה: בהינתן עקומת מישור, אתה יכול גם לשקול פונקציה שניתנת לפרמטר במרחב, ואז להוסיף את הפונקציה z=z(t) ואת הנוסחה

דוגמה: חשב את אורך האסטרואיד, שניתן במשוואה: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

חשב את אורך החלק הרביעי:

לפי הנוסחה

אורך קשת של עקומת מישור המצוינת במערכת קואורדינטות קוטבית:

תן את משוואת העקומה במערכת הקואורדינטות הקוטבית:
- פונקציה רציפה, יחד עם הנגזרת שלה על המרווח [α,β].

נוסחאות למעבר מקואורדינטות קוטביות:

שקול כפרמטרי:

ϕ - פרמטר, לפי f-le

2

לדוגמה: חשב את אורך העקומה:
>0

מושג: בוא נחשב חצי מההיקף:

נפח הגוף, מחושב משטח החתך של הגוף.

תן גוף, תחום על ידי משטח סגור, ותנו לשטח של כל קטע של הגוף הזה להיות ידוע על ידי מישור מאונך לציר השור. אזור זה יהיה תלוי במיקום מישור החיתוך.

תן לכל הגוף להיות מוקף בין 2 מישורים מאונכים לציר השור, חותכים אותו בנקודות x=a, x=b (a

כדי לקבוע את נפחו של גוף כזה, אנו מחלקים אותו לשכבות באמצעות מישורי חיתוך מאונכים לציר השור וחוצים אותו בנקודות. בכל מרווח חלקי
. בואו לבחור

ולכל ערך i=1,…., נבנה גוף גלילי, שהגנרטיקס שלו מקביל ל-Ox, והמנחה הוא קו המתאר של חתך הגוף במישור x=C i, נפחו של גליל אלמנטרי כזה עם שטח בסיס S=C i וגובה ∆x i. V i =S(C i)∆x i . הנפח של כל הצילינדרים היסודיים האלה יהיה
. הגבול של סכום זה, אם הוא קיים והוא סופי במקסימום ∆х  0, נקרא נפח הגוף הנתון.

. מכיוון ש-V n הוא הסכום האינטגרלי של פונקציה S(x) רציפה על מרווח, אזי הגבול המצוין קיים (תנאי הקיום) והוא מבוטא ב-def. בלתי נפרד.

- נפח הגוף, מחושב משטח החתך.

נפח גוף המהפכה:

תנו לגוף להיווצר על ידי סיבוב סביב ציר השור של טרפז עקום מוגבל על ידי גרף הפונקציה y=f(x), ציר השור והקווים הישרים x=a, x=b.

תן לפונקציה y=f(x) להיות מוגדרת ורציפה על הקטע ולא שלילית עליו, אז החתך של הגוף הזה במישור מאונך ל-Ox הוא מעגל עם רדיוס R=y(x)=f(x) ). שטח המעגל S(x)=Пy 2 (x)=П 2. החלפת הנוסחה
אנו מקבלים נוסחה לחישוב נפח גוף הסיבוב סביב ציר השור:

אם טרפז עקום, מוגבל על ידי גרף של פונקציה רציפה, מסתובב סביב ציר Oy, אז הנפח של גוף סיבוב כזה הוא:

ניתן לחשב את אותו נפח באמצעות הנוסחה:
. אם הישר ניתן במשוואות פרמטריות:

על ידי החלפת המשתנה נקבל:

אם הישר ניתן במשוואות פרמטריות:

y (α)= c , y (β)= d . ביצוע ההחלפה y = y (t) נקבל:

חשב את גופי המהפכה סביב ציר הפרבולה, .

2) חשב את V של גוף סיבוב סביב ציר OX של טרפז מעוקל התחום על ידי קו ישר y=0, קשת (עם מרכז בנקודה(1;0), ורדיוס=1), עם .

שטח פנים של גוף סיבוב

תנו למשטח נתון להיווצר על ידי סיבוב העקומה y =f(x) סביב ציר השור. יש צורך לקבוע את S של משטח זה ב.

תן לפונקציה y =f(x) להיות מוגדרת ורציפה, בעלת ערך לא טבעי ולא שלילי בכל נקודות הקטע [a;b]

הבה נצייר אקורדים באורך שאותם נסמן בהתאמה (n-אקורדים)

לפי משפט לגרנז':

שטח הפנים של כל הקו השבור המתואר יהיה שווה ל

הגדרה: הגבול של סכום זה, אם הוא סופי, כאשר הקישור הגדול ביותר של הקו השבור מקסימום, נקרא שטח פני השטח של המהפכה הנחשבת.

ניתן להוכיח שמאה הגבול של הסכום שווה לגבול הסכום המשולב עבור p-th

נוסחה למשטח S של גוף מהפכה =

S של המשטח שנוצר על ידי סיבוב של קשת העקומה x=g(x) סביב ציר Oy ב

מתמשך עם הנגזרת שלו

אם העקומה ניתנת באופן פרמטרי על ידי ur-miאיקס=x(t) ,y= ט(ט) f-iiאיקס’(ט), y’(ט), איקס(ט), y(ט) מוגדרים על המרווח [א; ב], איקס(א)= א, איקס(ב)= בואז לבצע את ההחלפה בשינויאיקס= איקס(ט)

אם העקומה ניתנת באופן פרמטרי, ביצוע שינוי בנוסחה נקבל:

אם משוואת העקומה ניתנת במערכת קואורדינטות קוטבית

סמשטח הסיבוב סביב הציר יהיה שווה ל

כמו בבעיה של מציאת השטח, אתה צריך כישורי ציור בטוחים - זה כמעט הדבר החשוב ביותר (מכיוון שהאינטגרלים עצמם לרוב יהיו קלים). אתה יכול לשלוט בטכניקות גרפים מוכשרות ומהירות בעזרת חומרי הוראה ושינויים גיאומטריים של גרפים. אבל, למעשה, כבר דיברתי על החשיבות של ציורים כמה פעמים בכיתה.

באופן כללי, יש הרבה יישומים מעניינים בחשבון אינטגרלי; באמצעות אינטגרל מוגדר, אתה יכול לחשב את שטח הדמות, נפח גוף הסיבוב, אורך הקשת, שטח הפנים של הסיבוב ועוד הרבה. יותר. אז יהיה כיף, בבקשה תישארו אופטימיים!

דמיינו איזו דמות שטוחה במישור הקואורדינטות. הוצג? ... מעניין מי הציג מה... =))) כבר מצאנו את השטח שלו. אבל, בנוסף, ניתן לסובב את הדמות הזו ולסובב אותה בשתי דרכים:

– סביב ציר האבססיס;
– סביב ציר הסמין.

מאמר זה יבחן את שני המקרים. שיטת הסיבוב השנייה מעניינת במיוחד, היא מעוררת את מירב הקשיים, אך למעשה הפתרון כמעט זהה לסיבוב הנפוץ יותר סביב ציר ה-X. כבונוס אחזור אליו בעיה של מציאת השטח של דמות, ואני אגיד לך איך למצוא את השטח בדרך השנייה - לאורך הציר. זה לא כל כך בונוס שכן החומר מתאים היטב לנושא.

נתחיל עם סוג הסיבוב הפופולרי ביותר.

דמות שטוחה סביב ציר

דוגמה 1

חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב של דמות התחום בקווים סביב ציר.

פִּתָרוֹן: כמו בבעיה של מציאת האזור, הפתרון מתחיל בציור של דמות שטוחה. כלומר, במישור יש צורך לבנות דמות תחומה בקווים, ואל תשכח שהמשוואה מציינת את הציר. כיצד להשלים ציור בצורה יעילה ומהירה יותר ניתן למצוא בדפים גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיותו אינטגרל מובהק. כיצד לחשב שטח של דמות. זוהי תזכורת סינית, ובשלב זה לא אתעכב יותר.

הציור כאן הוא די פשוט:

הדמות השטוחה הרצויה מוצללת בכחול, היא זו שמסתובבת סביב הציר, כתוצאה מהסיבוב התוצאה היא צלוחית מעופפת מעט ביצית שסימטרית על הציר. למעשה, לגוף יש שם מתמטי, אבל אני עצלן מכדי להבהיר משהו בספר העיון, אז נמשיך הלאה.

כיצד לחשב נפח של גוף סיבוב?

ניתן לחשב את נפח גוף המהפכה באמצעות הנוסחה:

בנוסחה, המספר חייב להיות קיים לפני האינטגרל. אז זה קרה - כל מה שמסתובב בחיים קשור בקבוע הזה.

אני חושב שקל לנחש איך להגדיר את גבולות האינטגרציה "a" ו-"be" מהציור שהושלם.

פונקציה... מה זאת הפונקציה הזו? בואו נסתכל על הציור. דמות המישור תחומה על ידי גרף הפרבולה בחלק העליון. זו הפונקציה שמשתמעת בנוסחה.

במשימות מעשיות, דמות שטוחה יכולה לפעמים להיות ממוקמת מתחת לציר. זה לא משנה כלום - האינטגרנד בנוסחה בריבוע: , כך האינטגרל הוא תמיד לא שלילי, וזה מאוד הגיוני.

בואו נחשב את נפח גוף הסיבוב באמצעות הנוסחה הזו:

כפי שכבר ציינתי, האינטגרל כמעט תמיד מתברר כפשוט, העיקר להיזהר.

תשובה:

בתשובתך עליך לציין את הממד - יחידות מעוקבות. כלומר, בגוף הסיבוב שלנו יש בערך 3.35 "קוביות". למה מעוקב יחידות? כי הניסוח האוניברסלי ביותר. יכול להיות סנטימטר מעוקב, יכול להיות קוב, יכול להיות קילומטר מעוקב וכו', זה כמה גברים ירוקים הדמיון שלך יכול להכניס לצלחת מעופפת.

דוגמה 2

מצא את הנפח של גוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר הדמות התחום בקווים , ,

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

הבה נבחן עוד שתי בעיות מורכבות, שגם נתקלות בהן לעתים קרובות בפועל.

דוגמה 3

חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב סביב ציר האבססיס של הדמות התחום בקווים , , ו

פִּתָרוֹן: הבה נצייר בשרטוט דמות שטוחה תחומה בקווים , , , , מבלי לשכוח שהמשוואה מגדירה את הציר:

הדמות הרצויה מוצללת בכחול. כשהיא מסתובבת סביב צירו, מתברר שזו סופגניה סוריאליסטית עם ארבע פינות.

הבה נחשב את נפח גוף המהפכה כ הבדל בנפחים של גופים.

ראשית, בואו נסתכל על הדמות המוקפת באדום. כאשר הוא מסתובב סביב ציר, מתקבל חרוט קטום. הבה נסמן את נפח החרוט הקטום הזה ב- .

קחו בחשבון את הדמות שמוקפת בירוק. אם תסובב את הדמות הזו סביב הציר, תקבל גם חרוט קטום, רק קצת יותר קטן. נסמן את נפחו ב-.

וכמובן, ההבדל בנפחים הוא בדיוק הנפח של ה"סופגנייה" שלנו.

אנו משתמשים בנוסחה הסטנדרטית כדי למצוא את הנפח של גוף סיבוב:

1) הדמות המוקפת באדום תחומה למעלה על ידי קו ישר, לכן:

2) הדמות המוקפת בירוק תחומה למעלה על ידי קו ישר, לכן:

3) נפח גוף הסיבוב הרצוי:

תשובה:

זה מוזר שבמקרה זה ניתן לבדוק את הפתרון באמצעות נוסחת בית הספר לחישוב נפח של חרוט קטום.

ההחלטה עצמה נכתבת לעתים קרובות יותר, בערך כך:

עכשיו בואו ננוח קצת ונספר לכם על אשליות גיאומטריות.

לעתים קרובות יש לאנשים אשליות הקשורות לכרכים, שאליהם הבחין פרלמן (אחר) בספר גיאומטריה משעשעת. תסתכל על הדמות השטוחה בבעיה שנפתרה - נראה שהוא קטן בשטחו, ונפח גוף המהפכה הוא קצת יותר מ-50 יחידות מעוקבות, מה שנראה גדול מדי. אגב, אדם ממוצע שותה בכל חייו את המקבילה לחדר של 18 מ"ר של נוזל, שלהפך, נראה נפח קטן מדי.

באופן כללי, מערכת החינוך בברית המועצות הייתה באמת הטובה ביותר. אותו ספר של פרלמן, שיצא לאור ב-1950, מפתח היטב, כפי שאמר ההומוריסט, חשיבה ומלמד אותך לחפש פתרונות מקוריים, לא סטנדרטיים לבעיות. לאחרונה קראתי מחדש כמה מהפרקים בעניין רב, אני ממליץ על זה, זה נגיש אפילו להומניסטים. לא, אתה לא צריך לחייך שהצעתי זמן פנוי, למדנות ואופקים רחבים בתקשורת הם דבר נהדר.

לאחר סטייה לירית, זה בדיוק מתאים לפתור משימה יצירתית:

דוגמה 4

חשב את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר של דמות שטוחה התחום בקווים , , שבו .

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. שימו לב שכל המקרים מתרחשים בלהקה, במילים אחרות, גבולות מוכנים של אינטגרציה ניתנים למעשה. צייר את הגרפים של פונקציות טריגונומטריות בצורה נכונה, הרשה לי להזכיר לך את חומר השיעור על טרנספורמציות גיאומטריות של גרפים: אם הארגומנט מחולק לשניים: , אז הגרפים נמתחים פעמיים לאורך הציר. רצוי למצוא לפחות 3-4 נקודות לפי טבלאות טריגונומטריותלהשלמת הציור בצורה מדויקת יותר. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור. אגב, את המשימה אפשר לפתור בצורה רציונלית ולא מאוד רציונלית.

חישוב נפח הגוף שנוצר בסיבוב
דמות שטוחה סביב ציר

הפסקה השנייה תהיה אפילו יותר מעניינת מהראשונה. גם המשימה של חישוב נפח של גוף מהפכה סביב ציר הקודקוד היא אורח נפוץ למדי בעבודת מבחן. על הדרך זה יישקל בעיה של מציאת השטח של דמותהשיטה השנייה היא אינטגרציה לאורך הציר, זה יאפשר לך לא רק לשפר את הכישורים שלך, אלא גם ללמד אותך למצוא את נתיב הפתרון הרווחי ביותר. יש בזה גם משמעות לחיים מעשית! כפי שזכרה המורה שלי לשיטות הוראת מתמטיקה בחיוך, בוגרים רבים הודו לה במילים: "המקצוע שלך עזר לנו מאוד, עכשיו אנחנו מנהלים אפקטיביים ומנהלים את הצוות בצורה מיטבית". בהזדמנות זו אני גם מביע לה את תודתי הרבה, במיוחד שאני משתמש בידע הנרכש למטרה המיועדת לו =).

אני ממליץ על זה לכולם, אפילו לבובות שלמות. יתרה מכך, החומר הנלמד בפסקה השנייה יעניק סיוע רב ערך בחישוב אינטגרלים כפולים.

דוגמה 5

נתון דמות שטוחה תחום בקווים , , .

1) מצא את השטח של דמות שטוחה התחום בקווים אלה.
2) מצא את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב של דמות שטוחה התחום בקווים אלו סביב הציר.

תשומת הלב!גם אם אתה רוצה לקרוא רק את הנקודה השנייה, ראשית בהכרחקרא את הראשון!

פִּתָרוֹן: המשימה מורכבת משני חלקים. נתחיל בריבוע.

1) בואו נעשה ציור:

קל לראות שהפונקציה מציינת את הענף העליון של הפרבולה, והפונקציה מציינת את הענף התחתון של הפרבולה. לפנינו פרבולה טריוויאלית ש"שוכבת על צדה".

הדמות הרצויה, ששטחה נמצא, מוצללת בכחול.

איך למצוא את השטח של דמות? ניתן למצוא את זה בצורה ה"רגילה", אשר נדונה בכיתה אינטגרל מובהק. כיצד לחשב שטח של דמות. יתר על כן, שטח הדמות נמצא כסכום השטחים:
- על הקטע ;
- על הקטע.

זו הסיבה:

מדוע הפתרון הרגיל גרוע במקרה זה? ראשית, קיבלנו שני אינטגרלים. שנית, אינטגרלים הם שורשים, ושורשים באינטגרלים אינם מתנה, וחוץ מזה, אתה יכול להתבלבל בהחלפת גבולות האינטגרציה. למעשה, האינטגרלים, כמובן, אינם קטלניים, אבל בפועל הכל יכול להיות הרבה יותר עצוב, פשוט בחרתי פונקציות "טובות יותר" לבעיה.

יש פתרון רציונלי יותר: הוא מורכב ממעבר לפונקציות הפוכות ושילוב לאורך הציר.

איך מגיעים לפונקציות הפוכות? באופן גס, אתה צריך להביע "x" עד "y". ראשית, בואו נסתכל על הפרבולה:

זה מספיק, אבל בואו נוודא שאפשר לגזור את אותה פונקציה מהענף התחתון:

זה קל יותר עם קו ישר:

עכשיו תסתכל על הציר: אנא הטה מעת לעת את ראשך ל-90 מעלות ימינה כפי שאתה מסביר (זו לא בדיחה!). הדמות שאנו צריכים נמצאת על הקטע, המסומן על ידי הקו המקווקו האדום. במקרה זה, על הקטע הקו הישר ממוקם מעל הפרבולה, מה שאומר שיש למצוא את שטח הדמות באמצעות הנוסחה שכבר מוכרת לך: . מה השתנה בנוסחה? רק מכתב ותו לא.

! הערה: יש להגדיר את גבולות האינטגרציה לאורך הציר אך ורק מלמטה למעלה!

מציאת האזור:

על הקטע, לפיכך:

שימו לב איך ביצעתי את האינטגרציה, זו הדרך הרציונלית ביותר, ובפסקה הבאה של המשימה יתברר מדוע.

לקוראים המפקפקים בנכונות האינטגרציה, אמצא נגזרות:

מתקבלת פונקציית ה-integrand המקורית, כלומר האינטגרציה בוצעה כהלכה.

תשובה:

2) הבה נחשב את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב הדמות הזו סביב הציר.

אני אצייר מחדש את הציור בעיצוב קצת שונה:

אז, הדמות המוצללת בכחול מסתובבת סביב הציר. התוצאה היא "פרפר מרחף" שמסתובב סביב צירו.

כדי למצוא את הנפח של גוף סיבוב, נשלב לאורך הציר. ראשית עלינו ללכת לפונקציות הפוכות. זה כבר נעשה ותואר בפירוט בפסקה הקודמת.

כעת אנו מטים שוב את ראשנו ימינה ולומדים את הדמות שלנו. ברור שנפח גוף הסיבוב צריך להימצא כהבדל בנפחים.

אנו מסובבים את הדמות המעוגלת באדום סביב הציר, וכתוצאה מכך נוצר חרוט קטום. הבה נסמן כרך זה ב-.

אנו מסובבים את הדמות המוקפת בירוק סביב הציר ומציינים אותה בנפח גוף הסיבוב שנוצר.

נפח הפרפר שלנו שווה להפרש הנפחים.

אנו משתמשים בנוסחה כדי למצוא את הנפח של גוף מהפכה:

מה ההבדל מהנוסחה בפסקה הקודמת? רק במכתב.

אבל את היתרון באינטגרציה, עליו דיברתי לאחרונה, הרבה יותר קל למצוא , במקום להעלות תחילה את האינטגרנד לחזקה 4.

תשובה:

עם זאת, לא פרפר חולני.

שימו לב שאם אותה דמות שטוחה מסובבת סביב הציר, תקבלו גוף סיבוב שונה לחלוטין, עם נפח שונה, באופן טבעי.

דוגמה 6

נתון דמות שטוחה תחומה בקווים ובציר.

1) עבור לפונקציות הפוכות ומצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים אלה על ידי אינטגרציה מעל המשתנה.
2) חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב דמות שטוחה התחום בקווים אלו סביב הציר.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. המעוניינים יכולים גם למצוא את השטח של דמות בצורה ה"רגילה", ובכך לבדוק את נקודה 1). אבל אם, אני חוזר, תסובב דמות שטוחה סביב הציר, תקבל גוף סיבוב אחר לגמרי בנפח אחר, אגב, התשובה הנכונה (גם למי שאוהב לפתור בעיות).

הפתרון המלא לשתי הנקודות המוצעות של המשימה נמצא בסוף השיעור.

כן, ואל תשכחו להטות את הראש ימינה כדי להבין את גופי הסיבוב ואת גבולות האינטגרציה!