Ruang vektor linier: definisi, properti. Ruang linier: pengertian dan contoh Panjang dan sudut

Linier (vektor) Ruang adalah himpunan V elemen sembarang yang disebut vektor, yang di dalamnya didefinisikan operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan suatu bilangan, yaitu. dua vektor \mathbf(u) dan (\mathbf(v)) diberi sebuah vektor \mathbf(u)+\mathbf(v), disebut jumlah vektor \mathbf(u) dan (\mathbf(v)), vektor apa pun (\mathbf(v)) dan bilangan apa pun \lambda dari bidang bilangan real \mathbb(R) dikaitkan dengan sebuah vektor \lambda\mathbf(v), disebut hasil kali vektor \mathbf(v) dengan bilangan \lambda ; maka syarat berikut ini terpenuhi:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\dalam V(komutatifitas penjumlahan);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\dalam V(asosiasi penjumlahan);
3. terdapat elemen \mathbf(o)\in V , yang disebut vektor nol, sedemikian rupa sehingga \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. untuk setiap vektor (\mathbf(v)) terdapat sebuah vektor yang berlawanan dengan vektor \mathbf(v) sehingga \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\untuk semua \lambda\di \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ di\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \untuk semua \mathbf(v)\dalam V,~\untuk semua \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

Kondisi 1-8 disebut aksioma ruang linier. Tanda sama dengan yang ditempatkan di antara vektor-vektor berarti bahwa ruas kiri dan kanan persamaan mewakili elemen yang sama dari himpunan V; vektor-vektor tersebut disebut sama.

Dalam definisi ruang linier, operasi perkalian vektor dengan bilangan diperkenalkan untuk bilangan real. Ruang seperti ini disebut ruang linier di atas bidang bilangan real, atau, singkatnya, ruang linier nyata. Jika dalam definisinya, alih-alih bidang \mathbb(R) bilangan real, kita mengambil bidang bilangan kompleks \mathbb(C) , maka kita peroleh ruang linier di atas bidang bilangan kompleks, atau, singkatnya, ruang linier yang kompleks. Sebagai bidang bilangan, kita juga dapat memilih bidang \mathbb(Q) dari bilangan rasional, dan dalam hal ini kita memperoleh ruang linier di atas bidang bilangan rasional. Berikut ini, kecuali dinyatakan lain, ruang linier nyata akan dipertimbangkan. Dalam beberapa kasus, untuk singkatnya, kita akan berbicara tentang ruang, menghilangkan kata linier, karena semua ruang yang dibahas di bawah ini adalah linier.

Catatan 8.1

1. Aksioma 1-4 menunjukkan bahwa ruang linier merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.

2. Aksioma 5 dan 6 menentukan distributifitas operasi perkalian suatu vektor dengan bilangan terhadap operasi penjumlahan vektor (aksioma 5) atau operasi penjumlahan bilangan (aksioma 6). Aksioma 7, kadang-kadang disebut hukum asosiatif perkalian dengan suatu bilangan, menyatakan hubungan antara dua operasi yang berbeda: mengalikan vektor dengan suatu bilangan dan mengalikan bilangan. Sifat yang ditentukan oleh Aksioma 8 disebut kesatuan operasi perkalian suatu vektor dengan suatu bilangan.

3. Ruang linier adalah himpunan tak kosong karena harus memuat vektor nol.

4. Operasi penjumlahan vektor dan perkalian suatu vektor dengan suatu bilangan disebut operasi linier pada vektor.

5. Selisih antara vektor \mathbf(u) dan \mathbf(v) adalah jumlah vektor \mathbf(u) dengan vektor lawannya (-\mathbf(v)) dan dilambangkan dengan: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Dua buah vektor bukan nol \mathbf(u) dan \mathbf(v) disebut segaris (proporsional) jika terdapat bilangan \lambda sedemikian rupa sehingga \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Konsep kolinearitas berlaku untuk sejumlah vektor yang terbatas. Vektor nol \mathbf(o) dianggap segaris dengan vektor apa pun.

Akibat wajar dari aksioma ruang linier

1. Hanya ada satu vektor nol dalam ruang linier.

2. Dalam ruang linier, untuk sembarang vektor \mathbf(v)\in V terdapat vektor unik yang berlawanan (-\mathbf(v))\dalam V.

3. Hasil kali vektor ruang sembarang dan bilangan nol sama dengan vektor nol, yaitu. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Hasil kali vektor nol dengan bilangan apa pun sama dengan vektor nol, yaitu untuk bilangan apa pun \lambda.

5. Vektor yang berlawanan dengan vektor tertentu sama dengan hasil kali vektor tersebut dengan bilangan (-1), yaitu. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. Dalam ekspresi bentuk \mathbf(a+b+\ltitik+z)(jumlah sejumlah vektor berhingga) atau \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(hasil kali suatu vektor dan sejumlah faktor berhingga) Anda dapat menempatkan tanda kurung dalam urutan apa pun atau tidak menentukannya sama sekali.

Mari kita buktikan, misalnya, dua sifat pertama. Keunikan vektor nol. Jika \mathbf(o) dan \mathbf(o)" adalah dua vektor nol, maka berdasarkan Aksioma 3 kita memperoleh dua persamaan: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" atau \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), sisi kirinya sama menurut Aksioma 1. Akibatnya, sisi kanannya juga sama, yaitu. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Keunikan vektor kebalikannya. Jika vektor \mathbf(v)\in V memiliki dua vektor yang berlawanan (-\mathbf(v)) dan (-\mathbf(v))", maka dengan aksioma 2, 3,4 kita peroleh persamaannya:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Sifat-sifat lainnya dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh ruang linier

1. Mari kita nyatakan \(\mathbf(o)\) - himpunan yang memuat satu vektor nol, dengan operasi \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) Dan \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Untuk operasi ini, aksioma 1-8 terpenuhi. Oleh karena itu, himpunan \(\mathbf(o)\) adalah ruang linier pada bidang bilangan apa pun. Ruang linier ini disebut nol.

2. Mari kita nyatakan V_1,\,V_2,\,V_3 - himpunan vektor (segmen berarah) masing-masing pada garis lurus, pada bidang, dalam ruang, dengan operasi biasa menjumlahkan vektor dan mengalikan vektor dengan suatu bilangan. Pemenuhan aksioma 1-8 ruang linier mengikuti mata kuliah geometri dasar. Akibatnya, himpunan V_1,\,V_2,\,V_3 adalah ruang linier nyata. Alih-alih vektor bebas, kita dapat mempertimbangkan himpunan vektor radius yang bersesuaian. Misalnya himpunan vektor pada suatu bidang yang mempunyai titik asal yang sama, yaitu. diplot dari satu titik tetap pada bidang tersebut adalah ruang linier nyata. Himpunan vektor jari-jari dengan satuan panjang tidak membentuk ruang linier, karena untuk salah satu vektor tersebut merupakan penjumlahan \mathbf(v)+\mathbf(v) tidak termasuk dalam himpunan yang sedang dipertimbangkan.

3. Mari kita nyatakan \mathbb(R)^n - himpunan kolom matriks berukuran n\kali1 dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan suatu angka. Aksioma 1-8 ruang linier dipenuhi untuk himpunan ini. Vektor nol pada himpunan ini adalah kolom nol o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Oleh karena itu, himpunan \mathbb(R)^n adalah ruang linier nyata. Demikian pula, himpunan \mathbb(C)^n kolom berukuran n\times1 dengan elemen kompleks adalah ruang linier kompleks. Sebaliknya, himpunan matriks kolom dengan elemen real non-negatif bukanlah ruang linier karena tidak memuat vektor-vektor yang berlawanan.

4. Mari kita nyatakan \(Ax=o\) - himpunan solusi sistem homogen Ax=o dari persamaan aljabar linier dengan dan tidak diketahui (di mana A adalah matriks real dari sistem), dianggap sebagai himpunan kolom dari ukuran n\times1 dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan angka. Perhatikan bahwa operasi ini memang didefinisikan pada himpunan \(Ax=o\) . Dari Sifat 1 solusi sistem homogen (lihat Bagian 5.5) dapat disimpulkan bahwa jumlah dua solusi sistem homogen dan hasil kali solusinya dengan suatu bilangan juga merupakan solusi sistem homogen, yaitu. termasuk dalam himpunan \(Ax=o\) . Aksioma ruang linier untuk kolom terpenuhi (lihat poin 3 pada contoh ruang linier). Oleh karena itu, himpunan solusi sistem homogen adalah ruang linier nyata.

Himpunan \(Ax=b\) solusi sistem tak homogen Ax=b,~b\ne o , sebaliknya, bukanlah ruang linier, jika hanya karena tidak mengandung elemen nol (x=o adalah bukan solusi untuk sistem tidak homogen).

5. Mari kita nyatakan M_(m\times n) - himpunan matriks berukuran m\times n dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan suatu angka. Aksioma 1-8 ruang linier dipenuhi untuk himpunan ini. Vektor nol adalah matriks nol O dengan ukuran yang sesuai. Oleh karena itu, himpunan M_(m\times n) adalah ruang linier.

6. Mari kita nyatakan P(\mathbb(C)) - himpunan polinomial dari satu variabel dengan koefisien kompleks. Operasi penjumlahan banyak suku dan mengalikan polinomial dengan bilangan yang dianggap sebagai polinomial berderajat nol didefinisikan dan memenuhi aksioma 1-8 (khususnya, vektor nol adalah polinomial yang identik dengan nol). Oleh karena itu, himpunan P(\mathbb(C)) adalah ruang linier pada bidang bilangan kompleks. Himpunan P(\mathbb(R)) dari polinomial dengan koefisien riil juga merupakan ruang linier (tetapi, tentu saja, di atas bidang bilangan real). Himpunan P_n(\mathbb(R)) dari polinomial berderajat paling banyak n dengan koefisien riil juga merupakan ruang linier nyata. Perhatikan bahwa operasi penjumlahan banyak suku didefinisikan pada himpunan ini, karena derajat jumlah polinomial tidak melebihi derajat suku-suku tersebut.

Himpunan polinomial berderajat n bukanlah ruang linier, karena jumlah polinomial tersebut bisa saja merupakan polinomial berderajat lebih rendah yang tidak termasuk dalam himpunan yang ditinjau. Himpunan semua polinomial yang berderajat tidak lebih tinggi dari n dengan koefisien positif juga bukan merupakan ruang linier, karena mengalikan polinomial tersebut dengan bilangan negatif akan menghasilkan polinomial yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

7. Mari kita nyatakan C(\mathbb(R)) - himpunan fungsi nyata terdefinisi dan kontinu pada \mathbb(R) . Jumlah (f+g) dari fungsi f,g dan hasil kali \lambda f dari fungsi f dan bilangan real \lambda ditentukan oleh persamaan:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) untuk semua x\in \mathbb(R)

Operasi ini memang didefinisikan pada C(\mathbb(R)) karena jumlah fungsi kontinu dan hasil kali fungsi kontinu dan bilangan adalah fungsi kontinu, yaitu elemen C(\mathbb(R)) . Mari kita periksa pemenuhan aksioma ruang linier. Karena penjumlahan bilangan real bersifat komutatif, maka terjadi persamaan f(x)+g(x)=g(x)+f(x) untuk setiap x\in \mathbb(R) . Oleh karena itu f+g=g+f, yaitu aksioma 1 terpenuhi. Aksioma 2 mengikuti hal serupa dari asosiatif penjumlahan. Vektor nol adalah fungsi o(x), yang identik dengan nol, yang tentu saja kontinu. Untuk fungsi apa pun f persamaan f(x)+o(x)=f(x) berlaku, yaitu Benar aksioma 3. Vektor kebalikan dari vektor f adalah fungsi (-f)(x)=-f(x) . Maka f+(-f)=o (aksioma 4 benar). Aksioma 5, 6 mengikuti distribusi operasi penjumlahan dan perkalian bilangan real, dan aksioma 7 mengikuti asosiatif perkalian bilangan. Aksioma terakhir terpenuhi, karena perkalian dengan satu tidak mengubah fungsi: 1\cdot f(x)=f(x) untuk sembarang x\in \mathbb(R), yaitu 1\cdot f=f . Jadi, himpunan C(\mathbb(R)) yang dipertimbangkan dengan operasi yang diperkenalkan adalah ruang linier nyata. Demikian pula terbukti C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ltitik, C^m(\mathbb(R))- himpunan fungsi yang mempunyai turunan kontinu dari fungsi pertama, kedua, dan seterusnya. pesanan, masing-masing, juga merupakan ruang linier.

Mari kita nyatakan himpunan binomial trigonometri (seringkali \omega\ne0 ) dengan koefisien real, yaitu banyak fungsi formulir f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, Di mana a\dalam \mathbb(R),~b\dalam \mathbb(R). Jumlah binomial tersebut dan hasil kali binomial dengan bilangan real adalah binomial trigonometri. Aksioma ruang linier untuk himpunan yang dipertimbangkan terpenuhi (sejak T_(\omega)(\mathbb(R))\subset C(\mathbb(R))). Oleh karena itu, banyak T_(\omega)(\mathbb(R)) dengan operasi biasa penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan untuk fungsi, itu adalah ruang linier nyata. Elemen nol adalah binomial o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, sama dengan nol.

Himpunan fungsi nyata terdefinisi dan monoton pada \mathbb(R) bukanlah ruang linier, karena selisih dua fungsi monoton dapat berubah menjadi fungsi nonmonoton.

8. Mari kita nyatakan \mathbb(R)^X - himpunan fungsi nyata yang didefinisikan pada himpunan X dengan operasi:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \untuk semua x\di X

Ini adalah ruang linier nyata (pembuktiannya sama seperti pada contoh sebelumnya). Dalam hal ini, himpunan X dapat dipilih secara sembarang. Khususnya, jika X=\(1,2,\ltitik,n\), maka f(X) adalah himpunan bilangan terurut f_1,f_2,\ltitik,f_n, Di mana f_i=f(i),~i=1,\ltitik,n Himpunan seperti itu dapat dianggap sebagai kolom matriks berdimensi n\times1 , yaitu. sekelompok \mathbb(R)^(\(1,2,\ltitik,n\)) bertepatan dengan himpunan \mathbb(R)^n (lihat poin 3 untuk contoh ruang linier). Jika X=\mathbb(N) (ingat bahwa \mathbb(N) adalah himpunan bilangan asli), maka kita memperoleh ruang linier \mathbb(R)^(\mathbb(N))- banyak urutan angka \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Secara khusus, himpunan barisan bilangan konvergen juga membentuk ruang linier, karena jumlah dua barisan konvergen bertemu, dan jika semua suku barisan konvergen dikalikan dengan suatu bilangan, kita memperoleh barisan konvergen. Sebaliknya, himpunan barisan divergen bukanlah ruang linier, karena, misalnya, jumlah barisan divergen mungkin mempunyai batas.

9. Mari kita menyatakan \mathbb(R)^(+) - himpunan bilangan real positif yang jumlah a\oplus b dan hasil kali \lambda\ast a (notasi dalam contoh ini berbeda dari notasi biasanya) adalah ditentukan oleh persamaan: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), dengan kata lain, penjumlahan unsur-unsur dipahami sebagai hasil kali bilangan, dan perkalian suatu unsur dengan suatu bilangan dipahami sebagai pangkat. Kedua operasi tersebut memang terdefinisi pada himpunan \mathbb(R)^(+) karena hasil kali bilangan positif adalah bilangan positif dan pangkat real apa pun dari bilangan positif adalah bilangan positif. Mari kita periksa validitas aksioma tersebut. Kesetaraan

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

Tunjukkan bahwa aksioma 1 dan 2 terpenuhi. Vektor nol dari himpunan ini adalah satu, karena a\oplus1=a\cdot1=a, yaitu. o=1 . Vektor kebalikan dari a adalah vektor \frac(1)(a) , yang didefinisikan sejak a\ne o . Memang, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Mari kita periksa pemenuhan aksioma 5, 6,7,8:

\begin(berkumpul) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hisi \end(berkumpul)

Semua aksioma terpenuhi. Oleh karena itu, himpunan yang ditinjau adalah ruang linier nyata.

10. Misalkan V adalah ruang linier nyata. Mari kita perhatikan himpunan fungsi skalar linier yang didefinisikan pada V, yaitu. fungsi f\titik dua V\ke \mathbb(R), mengambil nilai nyata dan memenuhi syarat:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \untuk semua u,v\dalam V(aditivitas);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \untuk semua v\dalam V,~ \untuk semua \lambda\in \mathbb(R)(Homogenitas).

Operasi linier pada fungsi linier ditentukan dengan cara yang sama seperti pada paragraf 8 contoh ruang linier. Jumlah f+g dan hasil kali \lambda\cdot f ditentukan oleh persamaan:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \untuk semua v\dalam V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \untuk semua v\ di V,~ \untuk semua \lambda\di \mathbb(R).

Pemenuhan aksioma ruang linier ditegaskan dengan cara yang sama seperti pada paragraf 8. Oleh karena itu, himpunan fungsi linier yang didefinisikan pada ruang linier V adalah ruang linier. Ruang ini disebut konjugasi ke ruang V dan dilambangkan dengan V^(\ast) . Elemen-elemennya disebut covectors.

Misalnya, himpunan bentuk linier dari n variabel, yang dianggap sebagai himpunan fungsi skalar dari argumen vektor, adalah ruang linier yang terkonjugasi dengan ruang \mathbb(R)^n.

Jika Anda melihat ada kesalahan, salah ketik, atau punya saran, tulis di komentar.

Bahan dari Wikipedia - ensiklopedia gratis

Vektor(atau linier) ruang angkasa- struktur matematika, yang merupakan sekumpulan elemen yang disebut vektor, yang operasi penjumlahannya satu sama lain dan perkaliannya dengan suatu bilangan ditentukan - skalar. Operasi ini tunduk pada delapan aksioma. Skalar dapat berupa elemen bidang bilangan real, kompleks, atau bidang bilangan lainnya. Kasus khusus dari ruang seperti itu adalah ruang Euclidean tiga dimensi biasa, yang vektornya digunakan, misalnya, untuk merepresentasikan gaya fisik. Perlu diperhatikan bahwa vektor sebagai elemen ruang vektor tidak serta merta harus dispesifikasikan dalam bentuk segmen berarah. Menggeneralisasikan konsep “vektor” ke suatu elemen ruang vektor dalam bentuk apa pun tidak hanya tidak menyebabkan kebingungan istilah, tetapi juga memungkinkan untuk memahami atau bahkan memprediksi sejumlah hasil yang valid untuk ruang yang sifatnya sewenang-wenang.

Ruang vektor adalah pokok bahasan aljabar linier. Salah satu ciri utama ruang vektor adalah dimensinya. Dimensi mewakili jumlah maksimum elemen ruang yang bebas linier, yaitu menggunakan deskripsi geometris kasar, jumlah arah yang tidak dapat dinyatakan satu sama lain hanya melalui operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Ruang vektor dapat dilengkapi dengan struktur tambahan, seperti norma atau hasil kali dalam. Ruang seperti itu muncul secara alami dalam analisis matematis, terutama dalam bentuk ruang fungsi berdimensi tak hingga ( Bahasa inggris), dimana fungsinya . Banyak masalah analisis yang memerlukan pencarian apakah suatu barisan vektor konvergen terhadap suatu vektor tertentu. Pertimbangan pertanyaan seperti itu dimungkinkan dalam ruang vektor dengan struktur tambahan, dalam banyak kasus topologi yang sesuai, yang memungkinkan kita untuk mendefinisikan konsep kedekatan dan kontinuitas. Ruang vektor topologi seperti itu, khususnya ruang Banach dan Hilbert, memungkinkan kajian lebih mendalam.

Selain vektor, aljabar linier juga mempelajari tensor dengan pangkat lebih tinggi (skalar dianggap sebagai tensor peringkat 0, vektor dianggap sebagai tensor peringkat 1).

Karya pertama yang mengantisipasi pengenalan konsep ruang vektor dimulai pada abad ke-17. Saat itulah geometri analitik, doktrin matriks, sistem persamaan linier, dan vektor Euclidean mulai berkembang.

Definisi

Linier, atau ruang vektor $V\backslash kiri(F\backslash kanan)$ di atas lapangan $F$- ini adalah pesanan empat $(V,F,+,\backslash cdot)$, Di mana

• $V$- sekumpulan elemen tak kosong yang bersifat arbitrer, yang disebut vektor;
• $F$- Bidang (aljabar) yang elemennya dipanggil skalar;
• Operasi ditentukan tambahan vektor $V\backslash kali\; V\backslash ke\; V$, yang mengaitkan setiap pasangan elemen $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ set $V$ $V$ memanggil mereka jumlah dan ditunjuk $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operasi ditentukan mengalikan vektor dengan skalar $F\backslash kali\; V\backslash ke\; V$, mencocokkan setiap elemen $\backslash lambda$ bidang $F$ dan setiap elemen $\backslash mathbf(x)$ set $V$ satu-satunya elemen himpunan $V$, dilambangkan $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ atau $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Ruang vektor yang didefinisikan pada himpunan elemen yang sama, tetapi pada bidang yang berbeda, akan merupakan ruang vektor yang berbeda (misalnya, himpunan pasangan bilangan real $\backslash mathbb(R)^2$ dapat berupa ruang vektor dua dimensi di atas bidang bilangan real atau satu dimensi - di atas bidang bilangan kompleks).

Properti paling sederhana

1. Ruang vektor adalah grup Abelian yang dijumlahkan.
2. Elemen netral $\backslash mathbf(0)\; \backslash dalam\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ untuk siapa pun $\backslash mathbf(x)\; \backslash dalam\; V$.
4. Untuk siapa pun $\backslash mathbf(x)\; \backslash dalam\; V$ elemen yang berlawanan $-\backslash mathbf(x)\backslash dalam\; V$ adalah satu-satunya hal yang mengikuti dari properti grup.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ untuk siapa pun $\backslash mathbf(x)\; \backslash dalam\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ untuk apa pun $\backslash alfa\; \backslash di\; F$ Dan $\backslash mathbf(x)\; \backslash dalam\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ untuk siapa pun $\backslash alfa\; \backslash di\; F$.

Definisi dan properti terkait

Subruang

Definisi aljabar: Subruang linier atau subruang vektor- subset yang tidak kosong $K$ ruang linier $V$ seperti yang $K$ itu sendiri merupakan ruang linier terhadap ruang yang didefinisikan dalam $V$ operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Himpunan semua subruang biasanya dinotasikan sebagai $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Agar subset menjadi subruang, hal itu perlu dan cukup

1. untuk vektor apa pun $\backslash mathbf(x)\backslash dalam\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ juga milik $K$, untuk apa pun $\backslash alfa\backslash di\; F$;
2. untuk semua vektor $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash di\; K$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ juga milik $K$.

Dua pernyataan terakhir setara dengan berikut ini:

Untuk semua vektor $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash di\; K$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ juga milik $K$ untuk apa pun $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash di\; F$.

Secara khusus, ruang vektor yang hanya terdiri dari satu vektor nol adalah subruang dari sembarang ruang; setiap ruang adalah subruang dari dirinya sendiri. Subruang yang tidak berhimpitan dengan keduanya disebut memiliki atau tidak sepele.

Properti subruang

• Perpotongan keluarga subruang juga merupakan subruang;
• Jumlah subruang $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash dalam\; 1\backslash ltitik\; N\backslash )$ didefinisikan sebagai himpunan yang memuat semua kemungkinan jumlah elemen $K\_i$: $\backslash jumlah\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash di\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ltitik\; N)\backslash )$.
  • Jumlah dari keluarga subruang yang terbatas juga merupakan subruang.

Kombinasi linier

Jumlah akhir formulir

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Kombinasi linier tersebut disebut:

Dasar. Dimensi

vektor $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ disebut bergantung secara linear, jika terdapat kombinasi linier nontrivial yang sama dengan nol:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alfa\_2|\; +\; \backslash ltitik\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Jika tidak, vektor-vektor ini disebut independen linier.

Definisi ini memungkinkan generalisasi berikut: himpunan vektor tak terhingga dari $V$ ditelepon bergantung secara linear, jika ada yang bergantung linier terakhir sebagian darinya, dan independen linier, jika ada terakhir subsetnya bebas linier.

Properti dasar:

• Setiap $N$ elemen bebas linier $N$ bentuk ruang -dimensi dasar ruang ini.
• Vektor apa pun $\backslash mathbf(x)\; \backslash dalam\; V$ dapat direpresentasikan (secara unik) sebagai kombinasi linier terbatas dari elemen basis:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Cangkang linier

Cangkang linier $\backslash matematika\; V(X)$ himpunan bagian $X$ ruang linier $V$- perpotongan semua subruang $V$ mengandung $X$.

Rentang linier adalah subruang $V$.

Cangkang linier disebut juga subruang yang dihasilkan $X$. Dikatakan juga bahwa cangkang linier $\backslash matematika\; V(X)$- ruang angkasa, membentang sekelompok $X$.

Cangkang linier $\backslash matematika\; V(X)$ terdiri dari semua kemungkinan kombinasi linier dari berbagai subsistem elemen hingga $X$. Khususnya, jika $X$ adalah himpunan berhingga $\backslash matematika\; V(X)$ terdiri dari semua kombinasi linear elemen $X$. Jadi, vektor nol selalu menjadi milik lambung linier.

Jika $X$ adalah himpunan bebas linier, maka himpunan tersebut adalah basis $\backslash matematika\; V(X)$ dan dengan demikian menentukan dimensinya.

Contoh

• Ruang kosong yang elemennya hanya nol.
• Ruang semua fungsi $X\backslash ke\; F$ dengan dukungan terbatas membentuk ruang vektor berdimensi sama dengan kardinalitas $X$.
• Bidang bilangan real dapat dianggap sebagai ruang vektor berdimensi kontinum di atas bidang bilangan rasional.
• Bidang apa pun adalah ruang satu dimensi di atasnya.

Struktur tambahan

Lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Ruang vektor"

Catatan

literatur

• Gelfand I.M. Kuliah tentang aljabar linier. - tanggal 5. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 hal. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I.M. Kuliah tentang aljabar linier. edisi ke-5. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 hal. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Aljabar linier dan geometri. edisi ke-2. - M.: Nauka, 1986. - 304 hal.
• Kostrikin A.I. Pengantar aljabar. Bagian 2: Aljabar linier. - ke-3. - M.: Nauka., 2004. - 368 hal. - (Buku teks universitas).
• Maltsev A.I. Dasar-dasar aljabar linier. - ke-3. - M.: Nauka, 1970. - 400 hal.

• Postnikov M.M. Aljabar Linier (Perkuliahan Geometri. Semester II). - ke-2. - M.: Nauka, 1986. - 400 hal.
• Aneh G. Aljabar Linier dan Penerapannya. - M.: Mir, 1980. - 454 hal.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Aljabar linier. edisi ke-6. - M.: Fizmatlit, 2010 .-- 280 hal. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Ruang Vektor Dimensi Terbatas. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 hal.
• Faddeev D.K. Kuliah tentang aljabar. - tanggal 5. - Sankt Peterburg. : Lan, 2007. - 416 hal.
• Shafarevich I.R., Remizov A.O. Aljabar linier dan geometri. - 1. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 hal.
• Schreyer O., Sperner G. Pengantar aljabar linier dalam presentasi geometri = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (terjemahan dari bahasa Jerman). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 hal.

Vektor dan matriks vektor Konsep dasar Jenis vektor Operasi pada vektor Jenis ruang Matriks Konsep dasar Lainnya

Kutipan yang mencirikan Ruang Vektor

Kutuzov berjalan melewati barisan, sesekali berhenti dan mengucapkan beberapa kata baik kepada para perwira yang dia kenal dari perang Turki, dan terkadang kepada para prajurit. Melihat sepatu itu, dia dengan sedih menggelengkan kepalanya beberapa kali dan menunjukkannya kepada jenderal Austria dengan ekspresi sedemikian rupa sehingga dia sepertinya tidak menyalahkan siapa pun atas hal itu, tetapi dia tidak bisa tidak melihat betapa buruknya sepatu itu. Setiap kali komandan resimen berlari ke depan, takut melewatkan perkataan Panglima tentang resimen. Di belakang Kutuzov, pada jarak yang sedemikian jauh sehingga kata-kata yang diucapkan samar-samar dapat terdengar, ada sekitar 20 orang dalam pengiringnya. Tuan-tuan rombongan berbicara satu sama lain dan terkadang tertawa. Ajudan tampan itu berjalan paling dekat dengan Panglima. Itu adalah Pangeran Bolkonsky. Di sebelahnya berjalan rekannya Nesvitsky, seorang perwira staf tinggi, sangat gemuk, dengan wajah tampan yang baik hati dan tersenyum serta mata basah; Nesvitsky hampir tidak bisa menahan diri untuk tidak tertawa, gembira dengan petugas prajurit berkuda berkulit hitam yang berjalan di sampingnya. Perwira prajurit berkuda itu, tanpa tersenyum, tanpa mengubah ekspresi matanya yang terpaku, memandang dengan wajah serius ke belakang komandan resimen dan menirukan setiap gerakannya. Setiap kali komandan resimen tersentak dan membungkuk ke depan, dengan cara yang persis sama, dengan cara yang persis sama, perwira prajurit berkuda itu tersentak dan membungkuk ke depan. Nesvitsky tertawa dan mendorong orang lain untuk melihat pria lucu itu.
Kutuzov berjalan perlahan dan lamban melewati ribuan mata yang keluar dari rongganya, memperhatikan bos mereka. Setelah berhasil menyusul kompi ke-3, dia tiba-tiba berhenti. Pengiringnya, yang tidak mengantisipasi pemberhentian ini, tanpa sadar bergerak ke arahnya.
- Ah, Timokhin! - kata panglima tertinggi, mengenali kapten berhidung merah, yang menderita karena mantel birunya.
Tampaknya tidak mungkin untuk melakukan peregangan lebih dari yang dilakukan Timokhin, sementara komandan resimen menegurnya. Tetapi pada saat itu panglima itu menyapanya, sang kapten berdiri tegak sehingga seolah-olah jika panglima memandangnya lebih lama, sang kapten tidak akan tahan; dan oleh karena itu Kutuzov, yang tampaknya memahami posisinya dan, sebaliknya, mengharapkan yang terbaik untuk sang kapten, buru-buru berbalik. Senyuman yang nyaris tak terlihat terlihat di wajah Kutuzov yang montok dan penuh luka.
“Kawan Izmailovo lainnya,” katanya. - Petugas pemberani! Apakah kamu senang dengan itu? – Kutuzov bertanya kepada komandan resimen.
Dan komandan resimen, yang terpantul seperti di cermin, tidak terlihat oleh dirinya sendiri, dalam diri seorang perwira prajurit berkuda, bergidik, maju ke depan dan menjawab:
- Saya sangat senang, Yang Mulia.
“Kita semua bukannya tanpa kelemahan,” kata Kutuzov sambil tersenyum dan menjauh darinya. “Dia memiliki pengabdian pada Bacchus.
Komandan resimen takut dialah yang harus disalahkan, dan tidak menjawab apa pun. Petugas pada saat itu memperhatikan wajah kapten dengan hidung merah dan perut buncit dan meniru wajah serta posenya begitu dekat sehingga Nesvitsky tidak bisa berhenti tertawa.
Kutuzov berbalik. Jelas bahwa petugas tersebut dapat mengontrol wajahnya sesuai keinginannya: begitu Kutuzov berbalik, petugas tersebut berhasil meringis, dan setelah itu menunjukkan ekspresi yang paling serius, penuh hormat, dan polos.
Rombongan ketiga adalah yang terakhir, dan Kutuzov memikirkannya, sepertinya mengingat sesuatu. Pangeran Andrei keluar dari pengiringnya dan berkata pelan dalam bahasa Prancis:
– Anda memesan pengingat tentang Dolokhov, yang diturunkan pangkatnya, di resimen ini.
-Di mana Dolokhov? – tanya Kutuzov.
Dolokhov, yang sudah mengenakan mantel abu-abu tentara, tidak menunggu untuk dipanggil. Sosok langsing prajurit berambut pirang dengan mata biru jernih melangkah keluar dari depan. Dia mendekati panglima tertinggi dan memberinya penjagaan.
- Mengeklaim? – Kutuzov bertanya, sedikit mengernyit.
“Ini Dolokhov,” kata Pangeran Andrei.
- A! - kata Kutuzov. “Saya harap pelajaran ini akan mengoreksi Anda, layani dengan baik.” Tuhan itu penuh belas kasihan. Dan aku tidak akan melupakanmu jika kamu pantas mendapatkannya.
Mata biru jernih memandang panglima dengan menantang seperti pada komandan resimen, seolah-olah dengan ekspresi mereka merobek tabir konvensi yang sejauh ini memisahkan panglima dari prajurit.
“Saya menanyakan satu hal, Yang Mulia,” katanya dengan suaranya yang nyaring, tegas, dan tidak tergesa-gesa. “Tolong beri saya kesempatan untuk menebus kesalahan saya dan membuktikan pengabdian saya kepada Kaisar dan Rusia.”
Kutuzov berbalik. Senyuman yang sama di matanya terlihat di wajahnya seperti saat dia berpaling dari Kapten Timokhin. Dia berbalik dan meringis, seolah ingin mengungkapkan bahwa semua yang dikatakan Dolokhov kepadanya, dan semua yang bisa dia katakan kepadanya, telah dia ketahui sejak lama, bahwa semua ini telah membuatnya bosan dan bahwa semua ini tidak. sama sekali apa yang dia butuhkan. Dia berbalik dan menuju kereta dorong.
Resimen tersebut dibubarkan dalam beberapa kompi dan menuju ke tempat yang ditentukan tidak jauh dari Braunau, di mana mereka berharap untuk mengenakan sepatu, pakaian, dan istirahat setelah perjalanan yang sulit.
– Anda tidak mengklaim saya, Prokhor Ignatyich? - kata komandan resimen sambil mengitari kompi ke-3 bergerak menuju tempat itu dan mendekati Kapten Timokhin yang berjalan di depannya. Wajah komandan resimen menunjukkan kegembiraan yang tak terkendali setelah peninjauan yang selesai dengan gembira. - Pelayanan kerajaan... tidak mungkin... lain kali kamu akan mengakhirinya di depan... Aku minta maaf dulu, kamu kenal aku... Aku berterima kasih banyak! - Dan dia mengulurkan tangannya ke komandan kompi.
- Demi ampun, Jenderal, apakah saya berani! - jawab sang kapten, hidungnya memerah, tersenyum dan memperlihatkan dengan senyuman kekurangan dua gigi depan, yang copot di pantat di bawah Ismael.
- Ya, beri tahu Tuan Dolokhov bahwa saya tidak akan melupakannya, agar dia bisa tenang. Ya tolong beritahu saya, saya terus ingin bertanya bagaimana kabarnya, bagaimana sikapnya? Dan itu saja...
“Dia sangat berguna dalam pelayanannya, Yang Mulia… tapi penyewa…” kata Timokhin.
- Apa, karakter apa? – tanya komandan resimen.
“Yang Mulia menyadari, selama berhari-hari,” kata sang kapten, “bahwa dia cerdas, terpelajar, dan baik hati.” Itu binatang buas. Dia membunuh seorang Yahudi di Polandia, jika Anda berkenan...
“Ya, baiklah,” kata komandan resimen, “kita masih perlu merasa kasihan pada pemuda yang malang itu.” Lagi pula, koneksi yang bagus... Jadi Anda...
“Saya mendengarkan, Yang Mulia,” kata Timokhin sambil tersenyum, membuatnya merasa memahami keinginan bosnya.
- Ya ya.
Komandan resimen menemukan Dolokhov di barisan dan mengekang kudanya.
“Sebelum tugas pertama, tanda pangkat,” katanya padanya.
Dolokhov melihat sekeliling, tidak berkata apa-apa dan tidak mengubah ekspresi mulutnya yang tersenyum mengejek.
“Yah, itu bagus,” lanjut komandan resimen. “Masing-masing orang mendapat segelas vodka dari saya,” tambahnya agar tentara dapat mendengarnya. - Terima kasih semuanya! Tuhan memberkati! - Dan dia, menyusul kompi itu, pergi ke kompi lain.
“Yah, dia benar-benar pria yang baik; “Anda bisa bertugas bersamanya,” kata Timokhin bawahan kepada petugas yang berjalan di sebelahnya.
“Satu kata, raja hati!… (komandan resimen dijuluki raja hati),” kata perwira bawahan itu sambil tertawa.
Suasana gembira pihak berwenang setelah peninjauan itu menyebar ke para prajurit. Rombongan berjalan dengan riang. Suara tentara terdengar dari semua sisi.
- Apa yang mereka katakan, Kutuzov bengkok, tentang satu mata?
- Kalau tidak, tidak! Benar-benar bengkok.
- Tidak... Saudaraku, dia memiliki mata yang lebih besar darimu. Sepatu bot dan celana dalam - Saya melihat semuanya...
- Bagaimana dia, saudaraku, bisa melihat kakiku... yah! Memikirkan…
- Dan orang Austria lainnya, bersamanya, seolah-olah diolesi kapur. Seperti tepung, berwarna putih. Saya teh, bagaimana mereka membersihkan amunisi!
- Apa, Fedeshow!... apakah dia mengatakan bahwa ketika pertempuran dimulai, kamu berdiri lebih dekat? Mereka semua mengatakan bahwa Bunaparte sendiri berdiri di Brunovo.
- Bunaparte sangat berharga! dia berbohong, bodoh! Apa yang dia tidak tahu! Sekarang orang Prusia memberontak. Oleh karena itu, orang Austria itu menenangkannya. Begitu dia berdamai, maka perang akan terbuka dengan Bunaparte. Kalau tidak, katanya, Bunaparte berdiri di Brunovo! Itu yang menunjukkan bahwa dia bodoh. Dengarkan lebih banyak.
- Lihat, para penghuni penginapan sialan itu! Kompi kelima, lihat, sudah berubah menjadi desa, mereka akan memasak bubur, dan kita masih belum sampai ke tempat itu.
- Beri aku biskuit, sialan.
- Apakah kamu memberiku tembakau kemarin? Itu saja, saudara. Baiklah, ini dia, Tuhan menyertaimu.
“Setidaknya mereka berhenti, kalau tidak kita tidak akan makan sejauh lima mil lagi.”
– Sangat menyenangkan bagaimana Jerman memberi kami kereta bayi. Saat Anda pergi, ketahuilah: ini penting!
“Dan di sini, Saudaraku, orang-orang sudah menjadi gila.” Segala sesuatu di sana tampak seperti orang Polandia, semuanya berasal dari mahkota Rusia; dan sekarang, saudaraku, dia sudah sepenuhnya menjadi orang Jerman.
– Penulis lagu maju! – teriakan kapten terdengar.
Dan dua puluh orang berlari dari barisan berbeda di depan kompi. Penabuh genderang mulai bernyanyi dan memalingkan wajahnya ke arah penulis lagu, dan sambil melambaikan tangannya, memulai lagu prajurit yang berlarut-larut, yang dimulai: "Bukankah ini fajar, matahari telah terbit..." dan diakhiri dengan kata-kata : “Jadi, saudara-saudara, akan ada kemuliaan bagi kami dan ayah Kamensky…” Lagu ini dibuat di Turki dan sekarang dinyanyikan di Austria, hanya dengan perubahan di tempat “ayah Kamensky” disisipkan kata-kata: “ ayah Kutuzov.”
Setelah merobek kata-kata terakhir ini seperti seorang prajurit dan melambaikan tangannya, seolah-olah dia sedang melemparkan sesuatu ke tanah, sang penabuh genderang, seorang prajurit kering dan tampan berusia sekitar empat puluh tahun, menatap tajam ke arah prajurit penulis lagu dan menutup matanya. Kemudian, memastikan semua mata tertuju padanya, dia tampak dengan hati-hati mengangkat dengan kedua tangannya sesuatu yang tak terlihat dan berharga di atas kepalanya, memegangnya seperti itu selama beberapa detik dan tiba-tiba dengan putus asa melemparkannya:
Oh, kamu, kanopiku, kanopiku!
“Kanopi baruku…”, dua puluh suara bergema, dan pemegang sendok, meskipun amunisinya berat, dengan cepat melompat ke depan dan berjalan mundur di depan rombongan, menggerakkan bahunya dan mengancam seseorang dengan sendoknya. Para prajurit, sambil melambaikan tangan mengikuti irama lagu, berjalan dengan langkah panjang, tanpa sadar membenturkan kaki mereka. Dari belakang rombongan terdengar suara roda, derak mata air, dan derap kaki kuda.
Kutuzov dan pengiringnya kembali ke kota. Panglima memberi tanda agar rakyat terus berjalan dengan leluasa, dan rasa senang terpancar di wajahnya dan di seluruh wajah pengiringnya saat mendengar lagu, saat melihat prajurit yang menari dan para prajurit. rombongan berjalan riang dan lincah. Di baris kedua, dari sayap kanan, tempat kereta menyusul kompi, seseorang tanpa sadar menarik perhatian seorang prajurit bermata biru, Dolokhov, yang dengan sangat cepat dan anggun berjalan mengikuti irama lagu dan menatap wajah-wajah itu. mereka yang lewat dengan ekspresi seperti itu, seolah-olah dia merasa kasihan pada semua orang yang tidak ikut bersama rombongan saat ini. Seorang prajurit berkuda cornet dari rombongan Kutuzov, meniru komandan resimen, tertinggal di belakang kereta dan melaju ke Dolokhov.
Hussar cornet Zherkov pada suatu waktu di St. Petersburg termasuk dalam masyarakat kekerasan yang dipimpin oleh Dolokhov. Di luar negeri, Zherkov bertemu Dolokhov sebagai seorang prajurit, tetapi tidak menganggap perlu untuk mengenalinya. Sekarang, setelah percakapan Kutuzov dengan pria yang diturunkan pangkatnya, dia menoleh ke arahnya dengan gembira seperti seorang teman lama:
- Teman, apa kabarmu? - katanya saat mendengar lagu itu, seraya mencocokkan langkah kudanya dengan langkah rombongan.
- Saya seperti? - Dolokhov menjawab dengan dingin, - seperti yang kamu lihat.
Lagu yang hidup ini memberikan makna khusus pada nada keriangan nakal yang diucapkan Zherkov dan jawaban Dolokhov yang dingin dan disengaja.
- Nah, bagaimana caramu bergaul dengan atasanmu? – tanya Zherkov.
- Tidak ada, orang baik. Bagaimana Anda bisa masuk ke markas?
- Diperbantukan, bertugas.
Mereka diam.
“Dia melepaskan seekor elang dari lengan kanannya,” ucap lagu itu, tanpa sadar membangkitkan perasaan ceria dan ceria. Percakapan mereka mungkin akan berbeda jika mereka tidak berbicara dengan suara sebuah lagu.
– Benarkah Austria dikalahkan? – tanya Dolokhov.
“Iblis mengenal mereka,” kata mereka.
“Saya senang,” jawab Dolokhov singkat dan jelas, sesuai tuntutan lagunya.
“Baiklah, datanglah kepada kami pada malam hari, kamu akan menggadaikan Firaun,” kata Zherkov.
– Atau kamu punya banyak uang?
- Datang.
- Itu dilarang. Saya bersumpah. Saya tidak minum atau berjudi sampai mereka berhasil.
- Baiklah, langsung ke hal pertama...
- Kita lihat saja di sana.
Sekali lagi mereka diam.
“Kamu masuklah jika kamu butuh sesuatu, semua orang di markas besar akan membantu…” kata Zherkov.
Dolokhov menyeringai.
- Sebaiknya kamu tidak khawatir. Saya tidak akan meminta apa pun yang saya butuhkan, saya akan mengambilnya sendiri.
- Yah, aku sangat...
- Ya, aku juga.
- Selamat tinggal.
- Jadilah sehat…
... dan tinggi dan jauh,
Di pihak tuan rumah...
Zherkov menyentuhkan tajinya ke kuda itu, yang, karena bersemangat, menendang tiga kali, tidak tahu harus mulai dari mana, mengatur dan berlari, menyalip rombongan dan mengejar kereta, juga mengikuti irama lagu.

Sekembalinya dari peninjauan, Kutuzov, ditemani oleh jenderal Austria, pergi ke kantornya dan, memanggil ajudan, memerintahkan untuk diberikan beberapa surat terkait keadaan pasukan yang datang, dan surat-surat yang diterima dari Adipati Agung Ferdinand, yang memimpin pasukan maju. . Pangeran Andrei Bolkonsky memasuki kantor panglima dengan membawa surat-surat yang diperlukan. Kutuzov dan seorang anggota Gofkriegsrat dari Austria duduk di depan rencana yang diletakkan di atas meja.
“Ah…” kata Kutuzov sambil kembali menatap Bolkonsky, seolah dengan kata ini dia mengundang ajudan untuk menunggu, dan melanjutkan percakapan yang dia mulai dalam bahasa Prancis.
“Saya hanya mengatakan satu hal, Jenderal,” kata Kutuzov dengan ekspresi dan intonasi yang anggun, yang memaksa Anda untuk mendengarkan dengan cermat setiap kata yang diucapkan dengan santai. Jelas bahwa Kutuzov sendiri senang mendengarkan dirinya sendiri. “Saya hanya mengatakan satu hal, Jenderal, bahwa jika masalah ini bergantung pada keinginan pribadi saya, maka keinginan Yang Mulia Kaisar Franz akan terpenuhi sejak lama.” Saya pasti sudah bergabung dengan Archduke sejak lama. Dan percayalah, yang terhormat, akan menjadi kebahagiaan bagi saya secara pribadi untuk menyerahkan komando tertinggi angkatan bersenjata kepada seorang jenderal yang lebih berpengetahuan dan terampil daripada saya, yang sangat banyak di Austria, dan melepaskan semua tanggung jawab yang berat ini. Tapi keadaan lebih kuat dari kita, Jenderal.
Dan Kutuzov tersenyum dengan ekspresi seolah-olah dia berkata: “Kamu berhak untuk tidak mempercayaiku, dan bahkan aku tidak peduli sama sekali apakah kamu percaya padaku atau tidak, tetapi kamu tidak punya alasan untuk memberitahuku hal ini. Dan itulah inti permasalahannya.”
Jenderal Austria itu tampak tidak puas, tetapi mau tidak mau menanggapi Kutuzov dengan nada yang sama.
“Sebaliknya,” katanya dengan nada kesal dan marah, sangat bertentangan dengan arti menyanjung dari kata-katanya, “sebaliknya, partisipasi Yang Mulia dalam tujuan bersama sangat dihargai oleh Yang Mulia; namun kami percaya bahwa perlambatan yang terjadi saat ini membuat pasukan Rusia dan panglima tertinggi mereka kehilangan pencapaian yang biasa mereka peroleh dalam pertempuran,” ia mengakhiri kalimatnya yang tampaknya sudah disiapkan.
Kutuzov membungkuk tanpa mengubah senyumnya.
“Dan saya sangat yakin dan, berdasarkan surat terakhir yang diberikan kepada saya oleh Yang Mulia Adipati Agung Ferdinand, saya berasumsi bahwa pasukan Austria, di bawah komando asisten yang terampil seperti Jenderal Mack, kini telah meraih kemenangan yang menentukan dan tidak lagi membutuhkan bantuan kami,” kata Kutuzov.
Jenderal itu mengerutkan kening. Meskipun tidak ada berita positif tentang kekalahan Austria, ada terlalu banyak keadaan yang membenarkan rumor umum yang tidak menguntungkan tersebut; Oleh karena itu, asumsi Kutuzov tentang kemenangan Austria sangat mirip dengan ejekan. Namun Kutuzov tersenyum lemah lembut, masih dengan ekspresi yang sama, yang mengatakan bahwa dia berhak berasumsi demikian. Memang benar, surat terakhir yang diterimanya dari pasukan Mac memberitahukan kepadanya tentang kemenangan dan posisi strategis yang paling menguntungkan bagi tentara.
“Berikan aku surat ini di sini,” kata Kutuzov sambil menoleh ke Pangeran Andrei. - Silakan lihat. - Dan Kutuzov, dengan senyum mengejek di ujung bibirnya, membacakan dalam bahasa Jerman kepada jenderal Austria bagian berikut dari surat dari Archduke Ferdinand: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen dan Schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien . Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.” [Kami memiliki kekuatan yang cukup terkonsentrasi, sekitar 70.000 orang, sehingga kami dapat menyerang dan mengalahkan musuh jika dia melintasi Lech. Karena kita sudah memiliki Ulm, kita dapat mempertahankan keuntungan dari komando kedua tepi sungai Danube, oleh karena itu, setiap menit, jika musuh tidak menyeberangi Lech, menyeberangi Danube, bergegas ke jalur komunikasinya, dan di bawah menyeberangi Danube kembali kepada musuh, jika dia memutuskan untuk mengerahkan seluruh kekuatannya pada sekutu setia kita, cegah niatnya untuk terpenuhi. Oleh karena itu, kita akan dengan gembira menunggu saat ketika tentara kekaisaran Rusia benar-benar siap, dan kemudian bersama-sama kita akan dengan mudah menemukan kesempatan untuk mempersiapkan nasib yang pantas bagi musuh.”]

Kuliah 6. Ruang vektor.

Pertanyaan utama.

1. Ruang linier vektor.

2. Dasar dan dimensi ruang.

3. Orientasi ruang.

4. Penguraian suatu vektor berdasarkan basis.

5. Koordinat vektor.

1. Ruang linier vektor.

Himpunan yang terdiri dari unsur-unsur apa pun yang operasi liniernya didefinisikan: penjumlahan dua unsur dan perkalian suatu unsur dengan suatu bilangan disebut spasi, dan elemennya adalah vektor ruang ini dan dilambangkan dengan cara yang sama seperti besaran vektor dalam geometri: . vektor Ruang abstrak seperti itu, pada umumnya, tidak memiliki kesamaan dengan vektor geometris biasa. Elemen ruang abstrak dapat berupa fungsi, sistem bilangan, matriks, dll., dan dalam kasus tertentu, vektor biasa. Oleh karena itu, ruang seperti itu biasa disebut ruang vektor .

Ruang vektor adalah, Misalnya, satu set vektor collinear, dilambangkan V1 , himpunan vektor koplanar V2 , himpunan vektor-vektor biasa (ruang nyata) V3 .

Untuk kasus khusus ini, kita dapat memberikan definisi ruang vektor sebagai berikut.

Definisi 1. Himpunan vektor disebut ruang vektor, jika kombinasi linier dari sembarang vektor suatu himpunan juga merupakan vektor himpunan tersebut. Vektor itu sendiri disebut elemen ruang vektor.

Yang lebih penting, baik secara teoritis maupun terapan, adalah konsep umum (abstrak) ruang vektor.

Definisi 2. Sekelompok R elemen yang jumlahnya ditentukan untuk dua elemen apa pun dan untuk elemen apa pun https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> disebut vektor(atau linier) ruang angkasa, dan elemen-elemennya adalah vektor, jika operasi penjumlahan vektor dan perkalian suatu vektor dengan suatu bilangan memenuhi syarat berikut ( aksioma) :

1) penjumlahan bersifat komutatif, yaitu..gif" width="184" height="25">;

3) ada elemen (vektor nol) sehingga untuk https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" tinggi="27">;

5) untuk sembarang vektor dan dan sembarang bilangan λ persamaan berlaku;

6) untuk vektor apa pun dan bilangan apa pun λ Dan µ persamaannya benar: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> dan nomor apa pun λ Dan µ adil ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Aksioma paling sederhana yang mendefinisikan ruang vektor adalah sebagai berikut: konsekuensi :

1. Dalam ruang vektor hanya ada satu nol - elemen - vektor nol.

2. Dalam ruang vektor, setiap vektor mempunyai satu vektor yang berlawanan.

3. Untuk setiap elemen persamaan terpenuhi.

4. Untuk sembarang bilangan real λ dan vektor nol https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" lebar = "145" tinggi = "28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> adalah vektor yang memenuhi persamaan https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Jadi, memang himpunan semua vektor geometri adalah ruang linier (vektor), karena untuk elemen-elemen himpunan ini ditentukan tindakan penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan yang memenuhi aksioma yang dirumuskan.

2. Dasar dan dimensi ruang.

Konsep esensial ruang vektor adalah konsep basis dan dimensi.

Definisi. Himpunan vektor-vektor bebas linier, yang diambil dalam urutan tertentu, yang melaluinya setiap vektor ruang dapat dinyatakan secara linier, disebut dasar ruang ini. vektor. Komponen dasar ruang disebut dasar .

Basis dari himpunan vektor-vektor yang terletak pada suatu garis sembarang dapat dianggap sebagai satu vektor yang segaris terhadap garis tersebut.

Dasar di pesawat sebut saja dua vektor non-kolinier pada bidang ini, diambil dalam urutan tertentu https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Jika vektor-vektor basisnya berpasangan tegak lurus (ortogonal), maka basisnya disebut ortogonal, dan jika vektor-vektor tersebut mempunyai panjang sama dengan satu, maka basisnya disebut ortonormal .

Jumlah terbesar vektor-vektor bebas linier dalam ruang disebut dimensi ruang ini, yaitu dimensi ruang tersebut bertepatan dengan jumlah vektor basis ruang tersebut.

Jadi, menurut definisi berikut:

1. Ruang satu dimensi V1 adalah garis lurus, dan alasnya terdiri dari satu kolinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Ruang biasa adalah ruang tiga dimensi V3 , yang dasarnya terdiri dari tiga non-coplanar vektor

Dari sini kita melihat bahwa banyaknya vektor basis pada suatu garis lurus, pada suatu bidang, dalam ruang nyata sama dengan apa yang dalam geometri biasa disebut dengan banyaknya dimensi (dimensi) suatu garis lurus, bidang, ruang. Oleh karena itu, wajar jika kita memperkenalkan definisi yang lebih umum.

Definisi. Ruang vektor R ditelepon N– dimensi jika tidak lebih dari N vektor bebas linier dan dilambangkan R N. Nomor N ditelepon dimensi ruang angkasa.

Sesuai dengan dimensinya ruang dibagi menjadi berdimensi terbatas Dan berdimensi tak terbatas. Dimensi ruang nol dianggap sama dengan nol menurut definisi.

Catatan 1. Di setiap ruang Anda dapat menentukan basis sebanyak yang Anda suka, tetapi semua basis dari ruang tertentu terdiri dari jumlah vektor yang sama.

Catatan 2. DI DALAM N– dalam ruang vektor berdimensi, basis adalah kumpulan terurut N vektor bebas linier.

3. Orientasi ruang.

Biarkan vektor basis berada dalam ruang V3 memiliki awal yang umum Dan dipesan, yaitu ditunjukkan vektor mana yang dianggap pertama, mana yang dianggap kedua, dan mana yang dianggap ketiga. Misalnya, pada basis, vektor-vektor diurutkan berdasarkan indeksasi.

Untuk itu untuk mengorientasikan ruang, perlu menetapkan suatu dasar dan menyatakannya positif .

Dapat ditunjukkan bahwa himpunan semua basis ruang terbagi dalam dua kelas, yaitu menjadi dua himpunan bagian yang saling lepas.

a) semua basa yang termasuk dalam satu subset (kelas) memiliki sama orientasi (basis dengan nama yang sama);

b) dua basa apa pun yang termasuk dalam bermacam-macam himpunan bagian (kelas), miliki sebaliknya orientasi, ( nama yang berbeda pangkalan).

Jika salah satu dari dua kelas alas suatu ruang dinyatakan positif dan yang lainnya negatif, maka dikatakan ruang tersebut berorientasi .

Seringkali, ketika mengorientasikan ruang, beberapa pangkalan dipanggil Kanan, dan lain-lain - kiri .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> dipanggil Kanan, jika jika diamati dari ujung vektor ketiga, putaran terpendek dari vektor pertama https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > dilaksanakan berlawanan arah jarum jam(Gbr. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Beras. 1.8. Basis kanan (a) dan basis kiri (b)

Biasanya basis ruang yang tepat dinyatakan sebagai basis positif

Basis ruang kanan (kiri) juga dapat ditentukan dengan menggunakan aturan sekrup atau gimlet “kanan” (“kiri”).

Dengan analogi ini, konsep kanan dan kiri diperkenalkan bertiga vektor non-coplanar yang harus diurutkan (Gbr. 1.8).

Jadi, dalam kasus umum, dua rangkap tiga dari vektor non-coplanar memiliki orientasi yang sama (nama yang sama) dalam ruang V3 jika keduanya kanan atau keduanya kiri, dan - orientasinya berlawanan (berlawanan) jika salah satunya kanan dan yang lain kiri.

Hal serupa juga dilakukan pada ruang V2 (pesawat).

4. Penguraian suatu vektor berdasarkan basis.

Untuk menyederhanakan penalaran, mari kita pertimbangkan pertanyaan ini dengan menggunakan contoh ruang vektor tiga dimensi R3 .

Misalkan https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> menjadi vektor sembarang dari ruang ini.

Ruang vektor (linier) adalah himpunan vektor (elemen) dengan komponen real, yang di dalamnya didefinisikan operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan bilangan yang memenuhi aksioma (properti) tertentu.

1)x+pada=pada+X(komutabilitas penambahan);

2)(X+pada)+z=X+(kamu+z) (asosiasi penjumlahan);

3) ada vektor nol 0 (atau vektor nol) memenuhi kondisi X+ 0 =X: untuk vektor apa pun X;

4) untuk vektor apa pun X ada vektor yang berlawanan pada seperti yang X+pada = 0 ,

5) 1x=X,

6) A(bx)=(ab)X(asosiasi perkalian);

7) (A+B)X=ah+bx(properti distributif relatif terhadap faktor numerik);

8) A(X+pada)=ah+ay(properti distributif relatif terhadap pengali vektor).

Ruang linier (vektor) V(P) di atas bidang P adalah himpunan tak kosong V. Unsur-unsur himpunan V disebut vektor, dan unsur-unsur bidang P disebut skalar.

Properti paling sederhana.

1. Ruang vektor adalah grup Abelian (grup yang operasi grupnya bersifat komutatif. Operasi grup pada grup Abelian biasa disebut “penjumlahan” dan dilambangkan dengan tanda +)

2. Unsur netral adalah satu-satunya unsur yang mengikuti sifat golongan untuk sembarang .

3. Untuk sembarang unsur, unsur yang berlawanan adalah satu-satunya unsur yang muncul dari sifat-sifat golongan.

4.(–1) x = – x untuk sembarang x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) untuk sembarang α є P dan x є V.

Ekspresi sebuah 1 e 1+sebuah 2 e 2+ … +sebuah n e n(1) disebut kombinasi linear vektor e 1 , e 2 ,..., e n dengan peluang sebuah 1 , sebuah 2,..., sebuah . Kombinasi linier (1) disebut nontrivial jika paling sedikit salah satu koefisiennya sebuah 1 , sebuah 2 ,..., sebuah n berbeda dari nol. vektor e 1 , e 2 ,..., e n disebut bergantung linier jika terdapat kombinasi non-trivial (1) yang merupakan vektor nol. Sebaliknya (yaitu, jika hanya kombinasi vektor yang sepele e 1 , e 2 ,..., e n sama dengan vektor nol) vektor e 1 , e 2 ,..., e n disebut bebas linier.

Dimensi ruang adalah jumlah maksimum vektor LZ yang terdapat di dalamnya.

Ruang vektor disebut n-dimensi (atau memiliki “dimensi N"), jika itu ada N elemen bebas linier e 1 , e 2 ,..., e n , dan apa pun N+ 1 elemen bergantung linier (kondisi umum B). Ruang vektor disebut berdimensi tak hingga jika di dalamnya terdapat alam N ada N vektor bebas linier. Setiap N vektor n-dimensi bebas linier Ruang vektor membentuk dasar ruang ini. Jika e 1 , e 2 ,..., e n- dasar Ruang vektor, maka vektor apa pun X ruang ini dapat direpresentasikan secara unik sebagai kombinasi linier dari vektor basis: X=sebuah 1 e 1+sebuah 2 e 2+... +sebuah n e n.
Pada saat yang sama, angkanya sebuah 1 , sebuah 2, ..., sebuah n disebut koordinat vektor X dalam dasar ini.

Golovizin V.V. Kuliah tentang aljabar dan geometri. 4

Kuliah tentang aljabar dan geometri. Semester 2.

Kuliah 22. Ruang vektor.

Rangkuman: pengertian ruang vektor, sifat-sifatnya yang paling sederhana, sistem vektor, kombinasi linier suatu sistem vektor, kombinasi linier sepele dan non-trivial, sistem vektor bergantung linier dan bebas, syarat-syarat ketergantungan linier atau kemandirian suatu sistem vektor, subsistem dari sistem vektor, sistem kolom ruang vektor aritmatika.

ayat 1. Pengertian ruang vektor dan sifat-sifatnya yang paling sederhana.

Di sini, demi kenyamanan pembaca, kami ulangi isi paragraf 13 kuliah 1.

Definisi. Misalkan himpunan tak kosong sembarang, yang elemen-elemennya kita sebut vektor, K – sebuah medan, yang elemen-elemennya kita sebut skalar. Biarkan operasi aljabar biner internal didefinisikan pada suatu himpunan, yang akan kita nyatakan dengan tanda + dan sebut penjumlahan vektor. Misalkan juga suatu operasi aljabar biner eksternal didefinisikan pada himpunan, yang kita sebut perkalian suatu vektor dengan skalar dan dilambangkan dengan tanda perkalian. Dengan kata lain, dua pemetaan didefinisikan:

Suatu himpunan dengan dua operasi aljabar ini disebut ruang vektor di atas lapangan K jika aksioma berikut ini berlaku:

1. Penjumlahan bersifat asosiatif, yaitu.

2. Ada vektor nol, mis.

3. Untuk sembarang vektor, terdapat kebalikannya:

Vektor y yang berlawanan dengan vektor x biasanya dilambangkan dengan -x, jadi

4. Penjumlahan bersifat komutatif, yaitu. .

5. Perkalian vektor dengan skalar mengikuti hukum asosiatif, yaitu.

dimana hasil kali adalah hasil kali skalar yang didefinisikan dalam bidang K.

6. , dimana 1 adalah satuan bidang K.

7. Perkalian vektor dengan skalar bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor:

8. Perkalian suatu vektor dengan skalar bersifat distributif terhadap penjumlahan skalar: .

Definisi. Ruang vektor di atas bidang bilangan real disebut ruang vektor real.

Dalil. (Sifat paling sederhana dari ruang vektor.)

1. Hanya ada satu vektor nol dalam ruang vektor.

2. Dalam ruang vektor, setiap vektor mempunyai kebalikannya.

3. atau
.

4. .

Bukti. 1) Keunikan vektor nol dibuktikan dengan cara yang sama seperti keunikan matriks identitas dan, secara umum, keunikan elemen netral dari setiap operasi aljabar biner internal.

Misalkan 0 adalah vektor nol dari ruang vektor V. Maka . Membiarkan
– vektor nol lainnya. Kemudian . Mari kita lihat kasus pertama
, dan yang kedua –
. Kemudian
Dan
, dari situlah berikut ini
, dll.

2a) Pertama kita buktikan bahwa hasil kali skalar nol dan vektor apa pun sama dengan vektor nol.

Membiarkan
. Kemudian, dengan menerapkan aksioma ruang vektor, kita memperoleh:

Sehubungan dengan penjumlahan, ruang vektor merupakan grup Abelian, dan hukum pembatalan berlaku pada grup mana pun. Menerapkan hukum pembatalan mengikuti persamaan terakhir

.

2b) Sekarang kita buktikan pernyataan 4). Membiarkan
– vektor sewenang-wenang. Kemudian

Segera setelah itu vektor
berlawanan dengan vektor x.

2c) Biarkan sekarang
. Kemudian, dengan menggunakan aksioma ruang vektor,
Dan
kita mendapatkan:

2d) Biarkan
dan mari kita asumsikan itu
. Karena
, dimana K adalah bidang, maka ada
. Mari kalikan persamaannya
tersisa
:
, yang berikut ini
atau
atau
.

Teorema tersebut telah terbukti.

ayat 2. Contoh ruang vektor.

1) Himpunan fungsi nyata numerik dari satu variabel, kontinu pada interval (0; 1) terhadap operasi biasa penjumlahan fungsi dan perkalian suatu fungsi dengan suatu bilangan.

2) Himpunan polinomial dari satu huruf dengan koefisien dari bidang K terhadap penjumlahan polinomial dan perkalian polinomial dengan skalar.

3) Himpunan bilangan kompleks terhadap penjumlahan bilangan kompleks dan perkaliannya dengan bilangan real.

4) Himpunan matriks yang berukuran sama dengan elemen-elemen dari bidang K terhadap penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar.

Contoh berikut adalah kasus khusus yang penting dari Contoh 4.

5) Misalkan bilangan asli sembarang. Mari kita nyatakan dengan himpunan semua kolom dengan tinggi n, yaitu. himpunan matriks pada bidang berukuran K
.

Himpunan tersebut merupakan ruang vektor di atas lapangan K dan disebut ruang vektor aritmatika dari kolom-kolom yang tingginya n di atas lapangan K.

Khususnya, jika alih-alih bidang sembarang K kita mengambil bidang bilangan real, maka ruang vektor
disebut ruang vektor aritmatika real dari kolom-kolom yang tingginya n.

Demikian pula, ruang vektor juga merupakan himpunan matriks pada bidang berukuran K
atau, dengan kata lain, string dengan panjang n. Dilambangkan juga dengan dan disebut juga ruang vektor aritmatika dari string yang panjangnya n di atas bidang K.

ayat 3. Sistem vektor ruang vektor.

Definisi. Sistem vektor dalam ruang vektor adalah himpunan vektor tak kosong berhingga dalam ruang tersebut.

Penamaan:
.

Definisi. Ekspresi

, (1)

dimana adalah skalar bidang K, adalah vektor-vektor dari ruang vektor V, disebut kombinasi linier suatu sistem vektor
. Skalar disebut koefisien dari kombinasi linier ini.

Definisi. Jika semua koefisien kombinasi linier (1) sama dengan nol, maka kombinasi linier tersebut disebut sepele, sebaliknya – non-trivial.

Contoh. Membiarkan
sistem tiga vektor dalam ruang vektor V. Kemudian

– kombinasi linier sepele dari sistem vektor tertentu;

adalah kombinasi linier non-trivial dari sistem vektor tertentu, karena koefisien pertama dari kombinasi ini
.

Definisi. Jika ada vektor x dari ruang vektor V dapat direpresentasikan sebagai:

kemudian mereka mengatakan bahwa vektor x dinyatakan secara linier melalui vektor-vektor sistem
. Dalam hal ini dikatakan pula sistem
mewakili vektor x secara linear.

Komentar. Dalam definisi ini dan definisi sebelumnya, kata “linier” sering dilewati dan dikatakan bahwa sistem mewakili suatu vektor atau vektor dinyatakan dalam vektor sistem, dll.

Contoh. Membiarkan
adalah sistem dua kolom ruang vektor real aritmatika dari kolom yang tingginya 2. Kemudian kolom
dinyatakan secara linier melalui kolom-kolom sistem atau sistem kolom tertentu secara linier mewakili kolom x. Benar-benar,

ayat 4. Sistem vektor-vektor yang bergantung linier dan bebas linier dalam ruang vektor.

Karena hasil kali skalar nol dengan vektor apa pun adalah vektor nol dan jumlah vektor nol sama dengan vektor nol, maka untuk sistem vektor apa pun persamaannya

Oleh karena itu, vektor nol dinyatakan secara linier melalui vektor-vektor dari sistem vektor apa pun, atau, dengan kata lain, sistem vektor apa pun secara linier mewakili vektor nol.

Contoh. Membiarkan
. Dalam hal ini kolom null dapat dinyatakan secara linier melalui kolom-kolom sistem dengan lebih dari satu cara:

atau

Untuk membedakan antara metode representasi linier dari vektor nol, kami memperkenalkan definisi berikut.

Definisi. Jika kesetaraan berlaku

dan pada saat yang sama semua koefisien , maka mereka mengatakan bahwa sistem
mewakili vektor nol dengan mudah. Jika dalam persamaan (3) paling sedikit salah satu koefisiennya
tidak sama dengan nol, maka dikatakan sistem vektor
mewakili vektor nol secara non-sepele.

Dari contoh terakhir kita melihat bahwa ada sistem vektor yang dapat mewakili vektor nol dengan cara yang tidak sepele. Dari contoh berikut kita akan melihat bahwa ada sistem vektor yang tidak dapat merepresentasikan vektor nol dengan cara yang non-trivial.

Contoh. Membiarkan
– sistem dua kolom dari ruang vektor. Pertimbangkan persamaannya:

,

Di mana
koefisien yang belum diketahui. Dengan menggunakan aturan mengalikan kolom dengan skalar (angka) dan menjumlahkan kolom, kita memperoleh persamaan:

.

Dari definisi persamaan matriks dapat disimpulkan bahwa
Dan
.

Dengan demikian, sistem ini tidak dapat merepresentasikan kolom nol dengan cara yang tidak sepele.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa ada dua jenis sistem vektor. Beberapa sistem merepresentasikan vektor nol secara non-sepele, sementara sistem lainnya tidak. Perhatikan lagi bahwa setiap sistem vektor merepresentasikan vektor nol dengan mudah.

Definisi. Suatu sistem vektor dalam ruang vektor yang HANYA mewakili vektor nol disebut bebas linier.

Definisi. Suatu sistem vektor dalam ruang vektor yang dapat merepresentasikan vektor nol secara nontrivial disebut bergantung linier.

Definisi terakhir dapat diberikan dalam bentuk yang lebih rinci.

Definisi. Sistem vektor
ruang vektor V disebut bergantung linier jika terdapat himpunan skalar bidang K yang bukan nol

Komentar. Sistem vektor apa pun
dapat mewakili vektor nol dengan mudah:

Namun hal ini tidak cukup untuk mengetahui apakah suatu sistem vektor bergantung linier atau bebas linier. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa sistem vektor bebas linier tidak dapat merepresentasikan vektor nol secara non-sepele, tetapi hanya secara sepele. Oleh karena itu, untuk memverifikasi independensi linier suatu sistem vektor tertentu, kita perlu mempertimbangkan representasi nol dengan kombinasi linier sembarang dari sistem vektor ini:

Jika persamaan ini tidak mungkin terjadi asalkan setidaknya satu koefisien dari kombinasi linier ini bukan nol, maka sistem ini, menurut definisi, bebas linier.

Jadi pada contoh paragraf sebelumnya sistem kolom
bebas linier, dan sistem kolom
bergantung linier.

Kemandirian linier sistem kolom dibuktikan dengan cara yang sama , , ... ,

dari ruang di mana K adalah bidang sembarang, n adalah bilangan asli sembarang.

Teorema berikut memberikan beberapa kriteria untuk ketergantungan linier dan, karenanya, independensi linier sistem vektor.

Dalil. (Kondisi perlu dan cukup untuk ketergantungan linier suatu sistem vektor.)

Suatu sistem vektor dalam ruang vektor bergantung linier jika dan hanya jika salah satu vektor sistem dinyatakan linier dalam vektor-vektor lain dari sistem ini.

Bukti. Kebutuhan. Biarkan sistem
bergantung secara linier. Kemudian, menurut definisi, ini mewakili vektor nol secara non-sepele, yaitu. ada kombinasi linier non-trivial dari sistem vektor yang sama dengan vektor nol:

di mana setidaknya salah satu koefisien kombinasi linier ini tidak sama dengan nol. Membiarkan
,
.

Mari kita bagi kedua ruas persamaan sebelumnya dengan koefisien bukan nol ini (yaitu, kalikan dengan :

Mari kita nyatakan:
, Di mana .

itu. salah satu vektor sistem dinyatakan secara linier dalam vektor lain dari sistem ini, dan seterusnya.

Kecukupan. Misalkan salah satu vektor sistem dinyatakan secara linier melalui vektor-vektor lain dari sistem ini:

Mari kita pindahkan vektornya di sisi kanan persamaan ini:

Karena koefisien vektor sama
, maka kita mempunyai representasi nontrivial dari nol dengan sistem vektor
, yang berarti sistem vektor ini bergantung linier, dan seterusnya.

Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi.

1. Suatu sistem vektor dalam ruang vektor bebas linier jika dan hanya jika tidak ada satupun vektor dari sistem tersebut yang dinyatakan linier dalam vektor-vektor lain dari sistem tersebut.

2. Suatu sistem vektor yang memuat satu vektor nol atau dua vektor yang sama besar adalah bergantung linier.

Bukti.

1) Kebutuhan. Biarkan sistem menjadi independen linier. Mari kita asumsikan sebaliknya dan terdapat vektor sistem yang dinyatakan secara linier melalui vektor lain dari sistem ini. Kemudian, menurut teorema, sistem tersebut bergantung linier dan kita sampai pada suatu kontradiksi.

Kecukupan. Jangan biarkan satu pun vektor sistem dinyatakan dalam vektor yang lain. Anggap saja sebaliknya. Misalkan sistem tersebut bergantung linier, tetapi berdasarkan teorema bahwa ada vektor dari sistem yang dinyatakan secara linier melalui vektor-vektor lain dari sistem ini, dan kita kembali menemui kontradiksi.

2a) Misalkan sistem mempunyai vektor nol. Mari kita asumsikan dengan pasti bahwa vektor
:. Maka kesetaraan menjadi jelas

itu. salah satu vektor sistem dinyatakan secara linier melalui vektor-vektor lain dari sistem ini. Berdasarkan teorema bahwa sistem vektor seperti itu bergantung linier, dan seterusnya.

Perhatikan bahwa fakta ini dapat dibuktikan langsung dari definisi sistem vektor yang bergantung linier.

Karena
, maka persamaan berikut terlihat jelas

Ini adalah representasi nontrivial dari vektor nol, yang berarti sistem
bergantung linier.

2b) Misalkan sistem mempunyai dua vektor yang sama besar. Biarkan untuk kepastian
. Maka kesetaraan menjadi jelas

Itu. vektor pertama dinyatakan secara linier melalui vektor-vektor yang tersisa dari sistem yang sama. Berdasarkan teorema bahwa sistem ini bergantung linier, dan seterusnya.

Mirip dengan pernyataan sebelumnya, pernyataan ini dapat dibuktikan secara langsung dengan mendefinisikan sistem bergantung linier.

Memang sejak itu
, maka persamaan tersebut benar

itu. kami memiliki representasi nontrivial dari vektor nol.

Investigasi telah terbukti.

Teorema (Tentang ketergantungan linier suatu sistem dengan satu vektor.

Suatu sistem yang terdiri dari satu vektor bergantung linier jika dan hanya jika vektor tersebut nol.

Bukti.

Kebutuhan. Biarkan sistem
bergantung linier, yaitu ada representasi non-trivial dari vektor nol

,

Di mana
Dan
. Dari sifat paling sederhana dari ruang vektor maka berikut ini
.

Kecukupan. Biarkan sistem terdiri dari satu vektor nol
. Maka sistem ini merepresentasikan vektor nol secara non-sepele

,

dari situlah ketergantungan linier sistem
.

Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi. Suatu sistem yang terdiri dari satu vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor tersebut bukan nol.

Buktinya diserahkan sebagai latihan kepada pembaca.