Cara mencari penyebut pada contoh barisan geometri. Kemajuan geometris

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Kemajuan geometris dilambangkan b1,b2,b3, …, bn, … .

Perbandingan suatu suku suatu galat geometri dengan suku sebelumnya sama dengan bilangan yang sama, yaitu b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ini mengikuti langsung dari definisi barisan aritmatika. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri. Biasanya penyebut suatu barisan geometri dilambangkan dengan huruf q.

Urutan monoton dan konstan

Salah satu cara untuk menyatakan suatu barisan geometri adalah dengan menentukan suku pertamanya b1 dan penyebut kesalahan geometri q. Misalnya, b1=4, q=-2. Kedua kondisi ini menentukan barisan geometri 4, -8, 16, -32, ….

Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka perkembangannya adalah urutan monoton. Misalnya barisan 2, 4,8,16,32, ... adalah barisan naik monoton (b1=2, q=2).

Jika penyebut suatu galat geometri adalah q=1, maka semua suku barisan geometri tersebut akan sama satu sama lain. Dalam kasus seperti itu, mereka mengatakan bahwa kemajuan adalah hal yang wajar urutan konstan.

Rumus suku ke-n suatu barisan geometri

Agar suatu barisan bilangan (bn) menjadi suatu barisan geometri, setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, harus merupakan rata-rata geometri dari anggota-anggota yang berdekatan. Artinya, persamaan berikut harus dipenuhi
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sembarang n>0, dimana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.

Rumus suku ke-n suatu barisan geometri adalah:

bn=b1*q^(n-1),

dimana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.

Rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri

Rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri berbentuk:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), dimana q tidak sama dengan 1.

Mari kita lihat contoh sederhana:

Pada barisan geometri b1=6, q=3, n=8 carilah Sn.

Untuk mencari S8, kita menggunakan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19.680.

Kemajuan geometris adalah jenis baru urutan numerik yang akan kita kenali. Agar kencan sukses, tidak ada salahnya setidaknya mengetahui dan memahami. Maka tidak akan ada masalah dengan perkembangan geometri.)

Apa itu perkembangan geometri? Konsep perkembangan geometri.

Kami memulai tur, seperti biasa, dengan dasar-dasarnya. Saya menulis urutan angka yang belum selesai:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Dapatkah Anda melihat polanya dan mengetahui angka mana yang akan muncul berikutnya? Ladanya bening, lalu menyusul angka 100.000, 1.000.000 dan seterusnya. Bahkan tanpa banyak usaha mental, semuanya jelas, bukan?)

OKE. Contoh lain. Saya menulis urutan ini:

1, 2, 4, 8, 16, …

Bisakah Anda mengetahui nomor mana yang akan muncul berikutnya, mengikuti nomor 16, dan namanya kedelapan anggota urutan? Jika Anda mengetahui bahwa itu adalah angka 128, maka bagus sekali. Jadi, setengah dari perjuangannya adalah pemahaman arti Dan poin-poin penting perkembangan geometri telah dilakukan. Anda bisa berkembang lebih jauh.)

Dan sekarang kita beralih lagi dari sensasi ke matematika yang ketat.

Poin-poin penting dari perkembangan geometri.

Poin Penting #1

Kemajuan geometris adalah urutan angka. Begitu pula kemajuan. Tidak ada yang mewah. Hanya urutan ini yang diatur berbeda. Makanya tentu saja mempunyai nama yang berbeda ya...

Poin Penting #2

Dengan poin kunci kedua, pertanyaannya akan menjadi lebih rumit. Mari kita kembali sedikit dan mengingat sifat utama perkembangan aritmatika. Ini dia: setiap anggota berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Apakah mungkin untuk merumuskan sifat kunci serupa untuk suatu barisan geometri? Pikirkan sedikit... Perhatikan lebih dekat contoh yang diberikan. Apakah Anda dapat menebaknya? Ya! Dalam deret geometri (apa saja!), masing-masing anggotanya berbeda dengan anggota sebelumnya beberapa kali yang sama. Selalu!

Pada contoh pertama, angkanya adalah sepuluh. Anggota urutan mana pun yang Anda ambil, itu lebih besar dari yang sebelumnya sepuluh kali.

Pada contoh kedua, hasilnya adalah dua: setiap suku lebih besar dari suku sebelumnya dua kali.

Poin kunci inilah yang membedakan barisan geometri dengan barisan aritmatika. Dalam perkembangan aritmatika, setiap suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan nilai yang sama dengan suku sebelumnya. Dan di sini - perkalian periode sebelumnya dengan jumlah yang sama. Itulah perbedaannya.)

Poin Penting #3

Poin kunci ini benar-benar identik dengan perkembangan aritmatika. Yaitu: Setiap anggota barisan geometri berdiri pada tempatnya. Semuanya persis sama seperti pada perkembangan aritmatika dan komentar, menurut saya, tidak diperlukan. Ada suku pertama, ada suku pertama, dan seterusnya. Mari kita tukar setidaknya dua suku – polanya (dan bersamaan dengan itu perkembangan geometrinya) akan hilang. Yang tersisa hanyalah rangkaian angka tanpa logika apa pun.

Itu saja. Itulah inti dari perkembangan geometri.

Syarat dan sebutan.

Namun sekarang, setelah memahami arti dan poin-poin penting dari perkembangan geometri, kita dapat beralih ke teorinya. Kalau tidak, apalah artinya teori tanpa memahami maknanya, bukan?

Bagaimana cara menyatakan barisan geometri?

Bagaimana barisan geometri ditulis dalam bentuk umum? Tidak masalah! Setiap istilah perkembangan juga ditulis sebagai surat. Hanya untuk perkembangan aritmatika biasanya menggunakan huruf "A", untuk geometris – huruf "B". Nomor anggota, seperti biasa, ditunjukkan indeks di kanan bawah. Kami hanya mencantumkan anggota perkembangan itu sendiri, dipisahkan dengan koma atau titik koma.

Seperti ini:

b 1,B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 , …

Secara singkat, perkembangan ini ditulis seperti ini: (bn) .

Atau seperti ini, untuk perkembangan terbatas:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

Atau, singkatnya:

(bn), N=30 .

Faktanya, itulah sebutannya. Semua sama, hanya hurufnya saja yang berbeda ya.) Dan sekarang kita langsung ke definisinya.

Pengertian barisan geometri.

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Itulah definisi keseluruhannya. Sebagian besar kata dan frasa jelas dan familier bagi Anda. Jika tentunya Anda memahami arti barisan geometri “di jari Anda” dan secara umum. Namun ada juga beberapa frasa baru yang ingin saya beri perhatian khusus.

Pertama, kata-kata: "anggota pertama yang mana bukan nol".

Pembatasan pada masa jabatan pertama ini tidak terjadi secara kebetulan. Menurut Anda apa yang akan terjadi jika anggota pertama B 1 akan sama dengan nol? Berapakah suku kedua jika masing-masing suku lebih besar dari suku sebelumnya? berapa kali sama? Katakanlah tiga kali? Mari kita lihat... Kalikan suku pertama (yaitu 0) dengan 3 dan dapatkan... nol! Bagaimana dengan anggota ketiga? Juga nol! Dan suku keempat juga nol! Dan seterusnya…

Kami baru saja mendapatkan sekantong bagel, urutan angka nol:

0, 0, 0, 0, …

Tentu saja, urutan seperti itu mempunyai hak untuk hidup, tetapi tidak ada kepentingan praktisnya. Semuanya sudah jelas. Setiap anggotanya adalah nol. Jumlah sejumlah suku juga nol... Hal menarik apa yang dapat Anda lakukan dengannya? Tidak ada apa-apa…

Kata kunci berikut: "dikalikan dengan angka bukan nol yang sama."

Nomor yang sama ini juga memiliki nama khusus - penyebut barisan geometri. Mari kita mulai berkenalan.)

Penyebut suatu barisan geometri.

Semuanya sesederhana mengupas buah pir.

Penyebut suatu barisan geometri adalah bilangan (atau besaran) bukan nol yang menunjukkan berapa kalisetiap periode kemajuan lebih dari yang sebelumnya.

Sekali lagi, mirip dengan perkembangan aritmatika, kata kunci yang harus dicari dalam definisi ini adalah kata "lagi". Artinya setiap suku barisan geometri tersebut diperoleh perkalian ke penyebut ini anggota sebelumnya.

Biar saya jelaskan.

Untuk menghitung, katakanlah Kedua kontol, perlu mengambil Pertama anggota dan berkembang biak itu ke penyebutnya. Untuk perhitungan kesepuluh kontol, perlu mengambil kesembilan anggota dan berkembang biak itu ke penyebutnya.

Penyebut barisan geometri itu sendiri bisa berupa apa saja. Benar-benar siapa saja! Utuh, pecahan, positif, negatif, irasional - semuanya. Kecuali nol. Inilah yang disampaikan oleh kata “bukan nol” dalam definisi tersebut. Mengapa kata ini diperlukan di sini - lebih lanjut tentang itu nanti.

Penyebut barisan geometri paling sering ditunjukkan dengan surat itu Q.

Bagaimana menemukannya Q? Tidak masalah! Kita harus mengambil segala bentuk kemajuan dan dibagi dengan suku sebelumnya. Divisi adalah pecahan. Oleh karena itu namanya - "penyebut perkembangan". Penyebutnya, biasanya di pecahan ya...) Padahal, secara logika, nilainya Q harus dipanggil pribadi perkembangan geometri, mirip dengan perbedaan untuk perkembangan aritmatika. Tapi kami sepakat untuk menelepon penyebut. Dan kami juga tidak akan menemukan kembali rodanya.)

Mari kita tentukan, misalnya, kuantitasnya Q untuk perkembangan geometri ini:

2, 6, 18, 54, …

Semuanya dasar. Mari kita ambil setiap nomor urut. Kami mengambil apa pun yang kami inginkan. Kecuali yang pertama. Misalnya 18. Dan bagilah nomor sebelumnya. Artinya, jam 6.

Kita mendapatkan:

Q = 18/6 = 3

Itu saja. Ini adalah jawaban yang benar. Untuk barisan geometri ini, penyebutnya adalah tiga.

Sekarang mari kita cari penyebutnya Q untuk perkembangan geometri lainnya. Misalnya yang ini:

1, -2, 4, -8, 16, …

Semua sama. Apapun tanda yang dimiliki anggotanya, kami tetap ambil setiap nomor barisan (misalnya 16) dan bagi dengan nomor sebelumnya(yaitu -8).

Kita mendapatkan:

D = 16/(-8) = -2

Dan itu saja.) Kali ini penyebut perkembangannya ternyata negatif. dikurangi dua. Terjadi.)

Sekarang mari kita ambil kemajuan ini:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Dan sekali lagi, terlepas dari jenis bilangan dalam barisan tersebut (baik bilangan bulat, pecahan genap, genap negatif, genap irasional), kita ambil bilangan apa saja (misalnya 1/9) dan membaginya dengan bilangan sebelumnya (1/3). Sesuai aturan bekerja dengan pecahan tentunya.

Kita mendapatkan:

Itu saja.) Di sini penyebutnya ternyata pecahan: Q = 1/3.

Apa pendapat Anda tentang “kemajuan” ini?

3, 3, 3, 3, 3, …

Jelas di sini Q = 1 . Secara formal, ini juga merupakan barisan geometri, hanya dengan anggota yang identik.) Tapi kemajuan seperti itu untuk dipelajari dan aplikasi praktis tidak menarik. Sama seperti perkembangan dengan angka nol padat. Oleh karena itu, kami tidak akan mempertimbangkannya.

Seperti yang Anda lihat, penyebut suatu perkembangan bisa berupa apa saja - bilangan bulat, pecahan, positif, negatif - apa saja! Tidak mungkin hanya nol. Tidak bisa menebak alasannya?

Baiklah, mari kita gunakan beberapa contoh spesifik untuk melihat apa yang akan terjadi jika kita mengambil penyebutnya Q nol.) Mari kita, misalnya, punya B 1 = 2 , A Q = 0 . Lalu suku kedua akan sama dengan apa?

Kita menghitung:

B 2 = B 1 · Q= 2 0 = 0

Bagaimana dengan anggota ketiga?

B 3 = B 2 · Q= 0 0 = 0

Jenis dan perilaku barisan geometri.

Semuanya kurang lebih jelas: apakah perkembangannya berbeda D positif, maka perkembangannya meningkat. Jika selisihnya negatif, maka perkembangannya menurun. Hanya ada dua pilihan. Tidak ada yang ketiga.)

Namun dengan perilaku deret geometri, semuanya akan jauh lebih menarik dan bervariasi!)

Tidak peduli bagaimana suku-suku tersebut berperilaku di sini: suku-suku tersebut bertambah, berkurang, dan mendekati nol tanpa batas, dan bahkan mengubah tanda, secara bergantian melemparkan dirinya ke “plus” dan kemudian ke “minus”! Dan dalam segala keberagaman ini kamu harus bisa memahaminya dengan baik ya...

Mari kita cari tahu?) Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana.

Penyebutnya positif ( Q >0)

Dengan penyebut positif, pertama-tama, suku-suku suatu barisan geometri dapat berubah menjadi ditambah tak terhingga(yaitu meningkat tanpa batas) dan bisa masuk ke dikurangi tak terhingga(yaitu, berkurang tanpa batas). Kita sudah terbiasa dengan perilaku progresif ini.

Misalnya:

(bn): 1, 2, 4, 8, 16, …

Semuanya sederhana di sini. Setiap suku perkembangan diperoleh lebih dari sebelumnya. Apalagi setiap istilahnya ternyata perkalian anggota sebelumnya pada positif angka +2 (yaitu. Q = 2 ). Perilaku perkembangan seperti itu jelas: semua anggota perkembangan tumbuh tanpa batas, menuju ruang angkasa. Ditambah tak terbatas...

Dan sekarang inilah perkembangannya:

(bn): -1, -2, -4, -8, -16, …

Di sini juga, setiap suku perkembangan diperoleh perkalian anggota sebelumnya pada positif nomor +2. Namun perilaku deret tersebut justru sebaliknya: setiap suku dari deret tersebut diperoleh kurang dari sebelumnya, dan semua sukunya berkurang tanpa batas, hingga minus tak terhingga.

Sekarang mari kita berpikir: apa persamaan dari kedua perkembangan ini? Benar, penyebutnya! Di sana-sini Q = +2 . Nomor positif. Dua. Dan di sini perilaku Kedua perkembangan ini pada dasarnya berbeda! Tidak bisa menebak alasannya? Ya! Semua tentang anggota pertama! Dialah, seperti yang mereka katakan, yang menentukan nada.) Lihat sendiri.

Dalam kasus pertama, suku pertama perkembangannya positif(+1) dan, oleh karena itu, semua suku berikutnya diperoleh dengan mengalikannya positif penyebut Q = +2 , juga akan positif.

Namun dalam kasus kedua, istilah pertama negatif(-1). Oleh karena itu, semua suku perkembangan selanjutnya, diperoleh dengan mengalikan dengan positif Q = +2 , juga akan diperoleh negatif. Karena “minus” ke “plus” selalu menghasilkan “minus”, ya.)

Seperti yang Anda lihat, tidak seperti barisan aritmatika, barisan geometri dapat berperilaku sangat berbeda, tidak hanya bergantung dari penyebutnyaQ, tetapi juga tergantung dari anggota pertama, Ya.)

Ingat: perilaku suatu barisan geometri ditentukan secara unik oleh suku pertamanya B 1 dan penyebutQ .

Dan sekarang kita mulai menganalisis kasus-kasus yang kurang familiar, tetapi jauh lebih menarik!

Mari kita ambil contoh urutan ini:

(bn): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Barisan ini juga merupakan barisan geometri! Setiap suku dari perkembangan ini juga berubah perkalian anggota sebelumnya, dengan nomor yang sama. Itu hanya angka - pecahan: Q = +1/2 . Atau +0,5 . Apalagi (penting!) nomornya kurang dari satu:Q = 1/2<1.

Mengapa perkembangan geometri ini menarik? Kemana tujuan para anggotanya? Mari kita lihat:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Hal menarik apa yang bisa kamu perhatikan di sini? Pertama, penurunan kemajuan segera terlihat: masing-masing anggotanya lebih sedikit yang sebelumnya dengan tepat 2 kali. Atau menurut definisi barisan geometri, setiap suku lagi sebelumnya 1/2 kali, Karena penyebut perkembangan Q = 1/2 . Dan kalau dikalikan dengan bilangan positif kurang dari satu biasanya hasilnya berkurang ya...

Apa lagi dapat dilihat dalam perilaku perkembangan ini? Apakah anggotanya berkurang? tak terbatas, menuju minus tak terhingga? TIDAK! Mereka menghilang dengan cara yang khusus. Pada awalnya penurunannya cukup cepat, dan kemudian semakin lambat. Dan sambil tetap tinggal sepanjang waktu positif. Meski sangat, sangat kecil. Dan apa yang mereka perjuangkan? Tidakkah kamu menebaknya? Ya! Mereka berusaha menuju nol!) Terlebih lagi, perhatikan, anggota perkembangan kita berasal dari nol tidak pernah mencapai! Hanya mendekatinya sangat dekat. Ini sangat penting.)

Situasi serupa akan terjadi pada perkembangan berikut:

(bn): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Di Sini B 1 = -1 , A Q = 1/2 . Semuanya sama, hanya sekarang sukunya akan mendekati nol dari sisi lain, dari bawah. Tinggal sepanjang waktu negatif.)

Suatu perkembangan geometri, syarat-syaratnya mendekati nol tanpa batas(tidak peduli dari sisi positif atau negatif), dalam matematika memiliki nama khusus - perkembangan geometri yang menurun tanpa batas. Perkembangan ini sangat menarik dan tidak biasa bahkan akan dibahas pelajaran terpisah .)

Jadi, kami telah mempertimbangkan semua kemungkinan positif penyebutnya ada yang besar dan ada yang lebih kecil. Kami tidak menganggap satuan itu sendiri sebagai penyebut karena alasan yang disebutkan di atas (ingat contoh barisan kembar tiga...)

Mari kita rangkum:

positifDan lebih dari satu (Q>1), maka syarat perkembangannya:

A) meningkat tanpa batas (jikaB 1 >0);

b) berkurang tanpa batas (jikaB 1 <0).

Jika penyebut suatu barisan geometri positif Dan kurang dari satu (0< Q<1), то члены прогрессии:

a) sangat mendekati nol di atas(JikaB 1 >0);

b) mendekati mendekati nol tanpa batas dari bawah(JikaB 1 <0).

Sekarang tinggal mempertimbangkan kasus ini penyebut negatif.

Penyebutnya negatif ( Q <0)

Kami tidak akan mengambil contoh yang jauh. Kenapa, tepatnya, nenek berbulu lebat?!) Misalkan, suku pertama dari perkembangannya adalah B 1 = 1 , dan mari kita ambil penyebutnya q = -2.

Kami mendapatkan urutan berikut:

(bn): 1, -2, 4, -8, 16, …

Dan seterusnya.) Setiap suku perkembangan diperoleh perkalian anggota sebelumnya pada angka negatif-2. Dalam hal ini, semua anggota yang berdiri di tempat ganjil (pertama, ketiga, kelima, dst.) akan menjadi positif, dan di tempat genap (kedua, keempat, dst.) – negatif. Tanda-tandanya bergantian. Plus-minus-plus-minus... Perkembangan geometri ini disebut - tanda naik bergantian.

Kemana tujuan para anggotanya? Tapi tidak kemana-mana.) Ya, dalam nilai absolut (yaitu modulo) anggota kemajuan kami meningkat tanpa batas (karena itu dinamakan “bertambah”). Tetapi pada saat yang sama, setiap anggota perkembangan secara bergantian melemparkan Anda ke dalam panas atau dingin. Entah “plus” atau “minus”. Kemajuan kita goyah... Terlebih lagi, cakupan fluktuasinya berkembang pesat di setiap langkah, ya.) Oleh karena itu, aspirasi para anggota kemajuan menuju ke suatu tempat. secara khusus Di Sini TIDAK. Tidak ke plus tak terhingga, atau ke minus tak terhingga, atau ke nol - tidak ada tempat.

Sekarang mari kita perhatikan beberapa penyebut pecahan antara nol dan minus satu.

Misalnya, biarkan saja B 1 = 1 , A q = -1/2.

Kemudian kita mendapatkan perkembangannya:

(bn): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Dan sekali lagi kita memiliki tanda-tanda yang bergantian! Namun, berbeda dengan contoh sebelumnya, di sini sudah terdapat kecenderungan yang jelas bahwa suku-sukunya mendekati nol.) Hanya saja kali ini suku-suku kami mendekati nol tidak hanya dari atas atau bawah, tetapi sekali lagi ragu-ragu. Secara bergantian mengambil nilai positif dan negatif. Tapi di saat yang sama mereka modul semakin dekat dan semakin dekat ke angka nol yang disayangi.)

Perkembangan geometri ini disebut tanda menurun tak terhingga, bergantian.

Mengapa kedua contoh ini menarik? Dan fakta bahwa dalam kedua kasus itu terjadi pergantian tanda! Trik ini hanya berlaku untuk barisan yang penyebutnya negatif ya.) Oleh karena itu, jika pada suatu tugas kamu melihat barisan geometri yang suku-sukunya berselang-seling, kamu sudah tahu pasti bahwa penyebutnya 100% negatif dan kamu tidak akan membuat kesalahan. dalam tanda.)

Ngomong-ngomong, dalam kasus penyebut negatif, tanda suku pertama sama sekali tidak mempengaruhi perilaku barisan itu sendiri. Terlepas dari tanda suku pertama perkembangannya, bagaimanapun juga, tanda suku tersebut akan diperhatikan. Satu-satunya pertanyaan adalah, di tempat apa(genap atau ganjil) akan ada anggota dengan tanda-tanda tertentu.

Ingat:

Jika penyebut suatu barisan geometri negatif , maka tanda-tanda syarat perkembangannya selalu bergantian.

Pada saat yang sama, para anggotanya sendiri:

a) meningkat tanpa batasmodulo, JikaQ<-1;

b) mendekati nol tanpa batas jika -1< Q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Itu saja. Semua kasus tipikal telah dianalisis.)

Dalam proses menganalisis berbagai contoh barisan geometri, saya secara berkala menggunakan kata-kata: "cenderung nol", "cenderung ditambah tak terhingga", "cenderung minus tak terhingga"... Tidak apa-apa.) Kiasan ini (dan contoh spesifiknya) hanyalah pengenalan awal perilaku berbagai urutan angka. Menggunakan contoh barisan geometri.

Mengapa kita perlu mengetahui perilaku perkembangan? Apa bedanya kemana dia pergi? Menuju nol, ke plus tak terhingga, ke minus tak terhingga… Apa pengaruhnya bagi kita?

Masalahnya adalah bahwa sudah di universitas, dalam mata kuliah matematika yang lebih tinggi, Anda akan memerlukan kemampuan untuk bekerja dengan berbagai macam barisan numerik (dengan apa pun, bukan hanya perkembangan!) dan kemampuan untuk membayangkan dengan tepat bagaimana barisan ini atau itu. berperilaku - apakah bertambah, apakah berkurang tanpa batas, apakah cenderung ke bilangan tertentu (dan belum tentu nol), atau bahkan tidak cenderung ke apa pun sama sekali... Seluruh bagian dikhususkan untuk topik ini dalam kursus matematika analisis - teori batasan. Dan sedikit lebih spesifik - konsepnya batas barisan bilangan. Sebuah topik yang sangat menarik! Masuk akal untuk pergi ke perguruan tinggi dan mencari tahu.)

Beberapa contoh dari bagian ini (deretan yang mempunyai limit) dan khususnya, perkembangan geometri yang menurun tanpa batas Mereka mulai terbiasa di sekolah. Kami mulai terbiasa.)

Selain itu, kemampuan mempelajari dengan baik perilaku barisan akan sangat bermanfaat bagi Anda di kemudian hari dan akan sangat berguna di masa depan penelitian fungsi. Yang paling beragam. Tetapi kemampuan untuk bekerja dengan fungsi secara kompeten (menghitung turunan, mempelajarinya secara lengkap, membuat grafiknya) telah meningkatkan level matematika Anda secara dramatis! Apakah Anda ragu? Tidak dibutuhkan. Ingat juga kata-kataku.)

Mari kita lihat perkembangan geometri dalam kehidupan?

Dalam kehidupan di sekitar kita, kita sangat sering menjumpai perkembangan geometri. Bahkan tanpa menyadarinya.)

Misalnya, berbagai mikroorganisme yang ada di mana-mana di sekitar kita dalam jumlah besar dan yang bahkan tidak dapat kita lihat tanpa mikroskop, berkembang biak secara eksponensial secara eksponensial.

Katakanlah satu bakteri berkembang biak dengan membelah diri menjadi dua, menghasilkan keturunan menjadi 2 bakteri. Pada gilirannya, masing-masing bakteri, ketika berkembang biak, juga membelah menjadi dua, menghasilkan keturunan umum yang terdiri dari 4 bakteri. Generasi selanjutnya akan menghasilkan 8 bakteri, kemudian 16 bakteri, 32, 64 dan seterusnya. Pada setiap generasi berikutnya, jumlah bakteri bertambah dua kali lipat. Contoh khas perkembangan geometri.)

Selain itu, beberapa serangga – kutu daun dan lalat – berkembang biak secara eksponensial. Dan terkadang kelinci juga.)

Contoh lain dari barisan geometri yang lebih dekat dengan kehidupan sehari-hari adalah apa yang disebut bunga majemuk. Fenomena menarik ini sering ditemukan pada deposito bank dan disebut kapitalisasi bunga. Apa itu?

Anda sendiri tentu saja masih muda. Anda belajar di sekolah, Anda tidak pergi ke bank. Tapi orang tuamu sudah dewasa dan mandiri. Mereka pergi bekerja, mencari uang untuk memenuhi kebutuhan sehari-hari, dan menyimpan sebagian uangnya di bank, lalu menabung.)

Misalkan ayah Anda ingin menabung sejumlah uang untuk liburan keluarga di Turki dan menyimpan 50.000 rubel di bank dengan bunga 10% per tahun untuk jangka waktu tiga tahun. dengan kapitalisasi bunga tahunan. Selain itu, selama periode ini tidak ada yang dapat dilakukan dengan deposit tersebut. Anda tidak dapat mengisi kembali deposit atau menarik uang dari akun. Berapa keuntungan yang didapatnya setelah tiga tahun ini?

Pertama-tama, kita perlu mencari tahu apa itu 10% per tahun. Artinya dalam setahun Bank akan menambahkan 10% ke jumlah setoran awal. Dari apa? Tentu saja dari jumlah setoran awal.

Kami menghitung ukuran akun setelah satu tahun. Jika jumlah setoran awal adalah 50.000 rubel (yaitu 100%), maka setelah satu tahun akan ada berapa bunga di akun tersebut? Benar, 110%! Dari 50.000 rubel.

Jadi kami menghitung 110% dari 50.000 rubel:

50.000·1.1 = 55.000 rubel.

Saya harap Anda memahami bahwa mencari 110% suatu nilai berarti mengalikan nilai tersebut dengan angka 1,1? Jika Anda tidak mengerti mengapa demikian, ingatlah kelas lima dan enam. Yaitu – hubungan antara persentase dan pecahan dan bagian.)

Dengan demikian, kenaikan untuk tahun pertama akan berjumlah 5.000 rubel.

Berapa banyak uang yang akan masuk ke rekening dalam dua tahun? 60.000 rubel? Sayangnya (atau lebih tepatnya, untungnya), semuanya tidak sesederhana itu. Seluruh trik kapitalisasi bunga adalah bahwa dengan setiap akrual bunga baru, kepentingan yang sama akan dianggap sudah dari jumlah baru! Dari orang yang sudah ada di akun Saat ini. Dan bunga yang diperoleh untuk periode sebelumnya ditambahkan ke jumlah setoran awal dan, dengan demikian, ikut serta dalam perhitungan bunga baru! Artinya, mereka menjadi bagian penuh dari keseluruhan akun. Atau umum modal. Maka nama - kapitalisasi bunga.

Itu di bidang ekonomi. Dan dalam matematika, persentase seperti itu disebut bunga majemuk. Atau persentase bunga.) Trik mereka adalah ketika menghitung secara berurutan, persentasenya dihitung setiap kali dari nilai baru. Dan bukan dari aslinya...

Oleh karena itu, untuk menghitung jumlahnya melalui dua tahun, kita perlu menghitung 110% dari jumlah yang akan ada di rekening dalam setahun. Artinya, sudah dari 55.000 rubel.

Kami menghitung 110% dari 55.000 rubel:

55000·1,1 = 60500 rubel.

Ini berarti persentase kenaikan untuk tahun kedua adalah 5.500 rubel, dan untuk dua tahun – 10.500 rubel.

Sekarang Anda sudah bisa menebak bahwa setelah tiga tahun jumlah di rekening akan menjadi 110% dari 60.500 rubel. Itu lagi 110% dari sebelumnya (tahun lalu) jumlah.

Di sini kami berpikir:

60500·1,1 = 66550 rubel.

Sekarang kita menyusun jumlah uang kita berdasarkan tahun secara berurutan:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Jadi gimana? Mengapa bukan deret geometri? Anggota pertama B 1 = 50000 , dan penyebutnya Q = 1,1 . Setiap periode 1,1 kali lebih besar dari periode sebelumnya. Semuanya sesuai dengan definisinya.)

Dan berapa banyak bonus bunga tambahan yang akan “diakumulasi” ayah Anda sementara 50.000 rubelnya disimpan di rekening banknya selama tiga tahun?

Kita menghitung:

66550 – 50000 = 16550 rubel

Tentu saja tidak banyak. Namun ini jika jumlah setoran awal kecil. Bagaimana jika ada lebih banyak? Katakanlah, bukan 50, tapi 200 ribu rubel? Maka peningkatannya selama tiga tahun akan menjadi 66.200 rubel (jika Anda menghitungnya). Yang mana sudah sangat bagus.) Bagaimana jika kontribusinya lebih besar lagi? Itu dia...

Kesimpulan: semakin tinggi setoran awal, semakin menguntungkan kapitalisasi bunga. Oleh karena itu simpanan dengan kapitalisasi bunga disediakan oleh bank untuk jangka waktu yang lama. Katakanlah selama lima tahun.

Selain itu, segala jenis penyakit buruk seperti influenza, campak, dan bahkan penyakit yang lebih mengerikan lagi (SARS yang sama di awal tahun 2000an atau wabah di Abad Pertengahan) suka menyebar secara eksponensial. Oleh karena itu skala epideminya, ya...) Dan semua karena fakta bahwa perkembangan geometrik dengan penyebut positif keseluruhan (Q>1) – sesuatu yang tumbuh sangat cepat! Ingat reproduksi bakteri: dari satu bakteri diperoleh dua, dari dua - empat, dari empat - delapan, dan seterusnya... Sama halnya dengan penyebaran infeksi apa pun.)

Masalah paling sederhana pada perkembangan geometri.

Mari kita mulai, seperti biasa, dengan masalah sederhana. Murni untuk memahami maknanya.

1. Diketahui suku kedua suatu barisan geometri sama dengan 6 dan penyebutnya sama dengan -0,5. Temukan suku pertama, ketiga dan keempat.

Jadi kita diberikan tak ada habisnya perkembangan geometri, tetapi diketahui istilah kedua perkembangan ini:

b 2 = 6

Selain itu, kita juga tahu penyebut perkembangan:

q = -0,5

Dan Anda perlu menemukannya pertama, ketiga Dan keempat anggota perkembangan ini.

Jadi kami bertindak. Kita tuliskan urutannya sesuai dengan kondisi soal. Langsung dalam bentuk umum, suku kedua sama dengan enam:

b 1, 6,B 3 , B 4 , …

Sekarang mari kita mulai mencari. Kami memulai, seperti biasa, dengan yang paling sederhana. Anda dapat menghitung, misalnya, suku ketiga b 3? Bisa! Anda dan saya sudah mengetahui (secara langsung dalam pengertian barisan geometri) bahwa suku ketiga (b 3) lebih dari yang kedua (B 2 ) V "Q" sekali!

Jadi kami menulis:

b 3 =B 2 · Q

Kami mengganti enam ke dalam ekspresi ini sebagai gantinya b 2 dan -0,5 sebagai gantinya Q dan kami menghitung. Dan minusnya juga tidak kami abaikan tentunya…

b 3 = 6·(-0,5) = -3

Seperti ini. Suku ketiga ternyata negatif. Tidak heran: penyebut kita Q– negatif. Dan mengalikan plus dengan minus tentu saja akan menjadi minus.)

Sekarang kita menghitung suku keempat perkembangan berikutnya:

b 4 =B 3 · Q

b 4 = -3·(-0,5) = 1,5

Suku keempat lagi-lagi dengan nilai plus. Suku kelima lagi minus, suku keenam plus, dan seterusnya. Tanda-tandanya bergantian!

Jadi, istilah ketiga dan keempat ditemukan. Hasilnya adalah urutan berikut:

b 1 ; 6; -3; 1,5; ...

Sekarang yang tersisa hanyalah mencari suku pertama b 1 menurut yang kedua yang terkenal. Untuk melakukan ini, kita melangkah ke arah lain, ke kiri. Artinya dalam hal ini kita tidak perlu mengalikan suku kedua barisan tersebut dengan penyebutnya, tetapi membagi.

Kami membagi dan mendapatkan:

Itu saja.) Jawaban soalnya adalah seperti ini:

-12; 6; -3; 1,5; …

Seperti yang Anda lihat, prinsip penyelesaiannya sama seperti di . Kita tahu setiap anggota dan penyebut perkembangan geometri - kita dapat menemukan anggota lainnya. Kita cari yang kita mau.) Satu-satunya perbedaan adalah penjumlahan/pengurangan diganti dengan perkalian/pembagian.

Ingat: jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan penyebut suatu barisan geometri, maka kita selalu dapat menemukan anggota lain dari barisan tersebut.

Masalah berikut, menurut tradisi, berasal dari versi OGE yang sebenarnya:

2.

...; 150; X; 6; 1.2; ...

Jadi gimana? Kali ini tidak ada suku pertama, tidak ada penyebut Q, hanya diberi urutan angka saja.. Sudah familiar kan? Ya! Masalah serupa telah diselesaikan dalam perkembangan aritmatika!

Jadi kami tidak takut. Semua sama. Mari kita menoleh dan mengingat makna dasar perkembangan geometri. Kami memperhatikan barisan kami dengan cermat dan mencari tahu parameter barisan geometri mana dari tiga barisan utama (suku pertama, penyebut, nomor suku) yang tersembunyi di dalamnya.

Nomor anggota? Nomor anggotanya tidak ada ya... Tapi ada empat berurutan angka. Saya tidak melihat ada gunanya menjelaskan apa arti kata ini pada tahap ini.) Apakah ada dua nomor tetangga yang diketahui? Makan! Ini adalah 6 dan 1.2. Jadi kita bisa menemukannya penyebut perkembangan. Jadi kita ambil angka 1.2 dan membaginya ke nomor sebelumnya. Ke enam.

Kita mendapatkan:

Kita mendapatkan:

X= 150·0,2 = 30

Menjawab: X = 30 .

Seperti yang Anda lihat, semuanya cukup sederhana. Kesulitan utama hanya pada perhitungannya. Hal ini sangat sulit terutama dalam kasus penyebut negatif dan pecahan. Jadi bagi yang punya masalah, ulangi perhitungannya! Cara mengerjakan pecahan, cara mengerjakan bilangan negatif, dan sebagainya... Jika tidak, Anda akan melambat tanpa ampun di sini.

Sekarang mari kita ubah sedikit masalahnya. Sekarang ini akan menjadi menarik! Mari kita hapus angka terakhir 1.2 darinya. Sekarang mari kita selesaikan masalah ini:

3. Beberapa suku barisan geometri yang berurutan dituliskan:

...; 150; X; 6; ...

Tentukan suku barisan yang dilambangkan dengan huruf x.

Semuanya sama, hanya dua yang berdekatan terkenal Kami sekarang tidak memiliki anggota kemajuan. Ini adalah masalah utama. Karena besarnya Q melalui dua suku yang bertetangga kita dapat dengan mudah menentukannya kita tidak bisa. Apakah kita memiliki kesempatan untuk mengatasi tugas tersebut? Tentu!

Mari kita tuliskan istilah yang tidak diketahui " X"secara langsung dalam arti perkembangan geometri! Secara umum.

Ya ya! Benar dengan penyebut yang tidak diketahui!

Di satu sisi, untuk X kita dapat menulis rasio berikut:

X= 150·Q

Di sisi lain, kami berhak mendeskripsikan X yang sama ini secara menyeluruh Berikutnya anggota, melalui enam! Bagilah enam dengan penyebutnya.

Seperti ini:

X = 6/ Q

Tentunya sekarang kita bisa menyamakan kedua rasio tersebut. Karena kami berekspresi sama besarnya (x), tetapi dua cara yang berbeda.

Kami mendapatkan persamaan:

Mengalikan semuanya dengan Q, menyederhanakan dan memperpendek, kita mendapatkan persamaan:

q2 = 1/25

Kami memecahkan dan mendapatkan:

q = ±1/5 = ±0,2

Ups! Penyebutnya ternyata dua kali lipat! +0,2 dan -0,2. Dan mana yang harus Anda pilih? Jalan buntu?

Tenang! Ya, masalahnya memang ada dua solusi! Tidak ada yang salah dengan itu. Itu terjadi.) Anda tidak terkejut ketika, misalnya, Anda mendapatkan dua akar saat menyelesaikan masalah biasa? Ceritanya sama di sini.)

Untuk q = +0,2 kita akan mendapatkan:

X = 150 0,2 = 30

Dan untuk Q = -0,2 akan:

X = 150·(-0,2) = -30

Kami mendapat jawaban ganda: X = 30; X = -30.

Apa maksud dari fakta menarik ini? Dan apa yang ada dua kemajuan, memenuhi kondisi masalah!

Seperti yang ini:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Keduanya cocok.) Menurut Anda mengapa jawaban kita berbeda? Hanya karena penghapusan anggota perkembangan tertentu (1,2), yang terjadi setelah enam. Dan hanya dengan mengetahui suku-suku sebelumnya (n-1) dan selanjutnya (n+1) dari barisan geometri tersebut, kita tidak dapat lagi mengatakan apa pun dengan jelas tentang suku ke-n yang berada di antara suku-suku tersebut. Ada dua opsi – dengan plus dan minus.

Tapi tidak masalah. Biasanya, dalam soal deret geometri terdapat informasi tambahan yang memberikan jawaban yang jelas. Katakanlah kata-kata: "perkembangan bergantian" atau "perkembangan dengan penyebut positif" dan seterusnya... Kata-kata inilah yang seharusnya menjadi petunjuk tanda plus atau minus mana yang harus dipilih saat mempersiapkan jawaban akhir. Jika tidak ada informasi seperti itu, maka ya, tugas akan ada dua solusi.)

Sekarang kami memutuskan sendiri.

4. Tentukan apakah bilangan 20 merupakan anggota suatu barisan geometri:

4 ; 6; 9; …

5. Tanda barisan geometri bolak-balik diberikan:

…; 5; X ; 45; …

Temukan istilah perkembangan yang ditunjukkan oleh surat itu X .

6. Tentukan suku positif keempat suatu barisan geometri:

625; -250; 100; …

7. Suku kedua suatu barisan geometri sama dengan -360, dan suku kelimanya sama dengan 23,04. Temukan suku pertama dari perkembangan ini.

Jawaban (tidak teratur): -15; 900; TIDAK; 2.56.

Selamat jika semuanya berhasil!

Ada yang tidak cocok? Di suatu tempat ada jawaban ganda? Bacalah ketentuan tugas dengan cermat!

Masalah terakhir tidak berhasil? Tidak ada yang rumit di sana.) Kami bekerja secara langsung sesuai dengan pengertian barisan geometri. Nah, Anda bisa menggambar. Itu membantu.)

Seperti yang Anda lihat, semuanya dasar. Jika perkembangannya singkat. Bagaimana jika itu panjang? Ataukah jumlah anggota yang dibutuhkan sangat banyak? Saya ingin, dengan analogi dengan perkembangan aritmatika, mendapatkan rumus yang mudah digunakan yang membuatnya mudah ditemukan setiap suku suatu barisan geometri dengan nomornya. Tanpa mengalikannya berkali-kali Q. Dan ada rumus seperti itu!) Detailnya ada di pelajaran berikutnya.

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa membedakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.

Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-n.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Jenis barisan yang paling umum adalah aritmatika dan geometri. Dalam topik ini kita akan berbicara tentang tipe kedua - perkembangan geometri.

Mengapa deret geometri diperlukan dan sejarahnya?

Bahkan di zaman kuno, biarawan matematikawan Italia Leonardo dari Pisa (lebih dikenal sebagai Fibonacci) menangani kebutuhan praktis perdagangan. Bhikkhu tersebut dihadapkan pada tugas untuk menentukan berapa jumlah anak timbangan terkecil yang dapat digunakan untuk menimbang suatu produk? Dalam karyanya, Fibonacci membuktikan bahwa sistem bobot seperti itu optimal: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang harus berurusan dengan deret geometri, yang mungkin pernah Anda dengar dan setidaknya Anda pahami secara umum. Setelah Anda benar-benar memahami topiknya, pikirkan mengapa sistem seperti itu optimal?

Saat ini, dalam praktik kehidupan, perkembangan geometris memanifestasikan dirinya ketika menginvestasikan uang di bank, ketika jumlah bunga dibebankan pada jumlah yang terakumulasi dalam rekening untuk periode sebelumnya. Dengan kata lain, jika Anda menaruh uang pada deposito berjangka di bank tabungan, maka setelah satu tahun simpanan tersebut akan bertambah sebesar jumlah aslinya, yaitu. jumlah baru akan sama dengan kontribusi dikalikan. Di tahun berikutnya, jumlah ini akan meningkat sebesar, yaitu. jumlah yang diperoleh saat itu akan dikalikan lagi dan seterusnya. Situasi serupa dijelaskan dalam masalah penghitungan yang disebut bunga majemuk– persentasenya diambil setiap kali dari jumlah yang ada di rekening, dengan memperhitungkan bunga sebelumnya. Kami akan membicarakan tugas-tugas ini nanti.

Masih banyak lagi kasus sederhana yang menerapkan perkembangan geometri. Misalnya, penyebaran influenza: satu orang menulari orang lain, mereka kemudian menulari orang lain, dan dengan demikian gelombang infeksi kedua adalah seseorang, dan mereka, pada gilirannya, menulari orang lain... dan seterusnya.. .

Omong-omong, piramida keuangan, MMM yang sama, adalah perhitungan sederhana dan kering berdasarkan sifat-sifat deret geometri. Menarik? Mari kita cari tahu.

Kemajuan geometris.

Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan:

Anda akan langsung menjawab bahwa ini mudah dan nama barisan tersebut tergantung pada perbedaan anggotanya. Bagaimana dengan ini:

Jika Anda mengurangkan bilangan sebelumnya dari bilangan berikutnya, Anda akan melihat bahwa setiap kali Anda mendapatkan selisih baru (dan seterusnya), namun barisan tersebut pasti ada dan mudah diperhatikan - setiap bilangan berikutnya kali lebih besar dari bilangan sebelumnya!

Urutan bilangan seperti ini disebut perkembangan geometri dan ditunjuk.

Perkembangan geometri () adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

Batasan suku pertama ( ) tidak sama dan tidak acak. Anggap saja tidak ada, dan suku pertamanya masih sama, dan q sama dengan, hmm.. biarlah, maka ternyata:

Setuju bahwa ini bukan lagi sebuah kemajuan.

Seperti yang anda pahami, kita akan mendapatkan hasil yang sama jika ada bilangan selain nol, a. Dalam kasus ini, tidak akan ada perkembangan, karena seluruh rangkaian bilangan akan semuanya nol, atau satu angka, dan sisanya akan menjadi nol.

Sekarang mari kita bahas lebih detail tentang penyebut suatu barisan geometri, yaitu o.

Mari kita ulangi: - ini nomornya berapa kali setiap suku berikutnya berubah? perkembangan geometri.

Menurutmu bisa menjadi apa? Itu benar, positif dan negatif, tetapi bukan nol (kita membicarakannya sedikit lebih tinggi).

Mari kita asumsikan bahwa kita positif. Misalkan dalam kasus kita, a. Berapakah nilai suku kedua dan? Anda dapat dengan mudah menjawabnya:

Itu benar. Oleh karena itu, jika, maka semua suku-suku perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif.

Bagaimana jika hasilnya negatif? Misalnya, a. Berapakah nilai suku kedua dan?

Ini adalah cerita yang sangat berbeda

Coba hitung syarat-syarat perkembangan ini. Berapa banyak yang kamu dapat? Saya memiliki. Jadi, jika, maka tanda-tanda suku-suku barisan geometri itu berselang-seling. Artinya, jika Anda melihat suatu barisan yang anggota-anggotanya berganti tanda, maka penyebutnya negatif. Pengetahuan ini dapat membantu Anda menguji diri sendiri ketika memecahkan masalah pada topik ini.

Sekarang mari kita berlatih sedikit: coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan geometri dan mana yang merupakan barisan aritmatika:

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:

• Perkembangan geometri – 3, 6.
• Perkembangan aritmatika – 2, 4.
• Ini bukan barisan aritmatika atau geometri - 1, 5, 7.

Mari kita kembali ke perkembangan terakhir kita dan mencoba mencari anggotanya, seperti pada bilangan aritmatika. Seperti yang sudah Anda duga, ada dua cara untuk menemukannya.

Kami secara berturut-turut mengalikan setiap suku dengan.

Jadi, suku ke-th barisan geometri yang dijelaskan adalah sama dengan.

Seperti yang sudah Anda duga, sekarang Anda sendiri akan mendapatkan rumus yang akan membantu Anda menemukan anggota barisan geometri mana pun. Atau apakah Anda sudah mengembangkannya sendiri, menjelaskan cara menemukan anggota ke-th langkah demi langkah? Jika ya, periksa kebenaran alasan Anda.

Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh mencari suku ke-th dari barisan ini:

Dengan kata lain:

Temukan sendiri nilai suku barisan geometri yang diberikan.

Telah terjadi? Mari kita bandingkan jawaban kita:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kita mengalikan secara berurutan dengan setiap suku sebelumnya dari barisan geometri.
Mari kita coba untuk “mendepersonalisasikan” rumus ini - mari kita letakkan dalam bentuk umum dan dapatkan:

Rumus turunannya berlaku untuk semua nilai - baik positif maupun negatif. Periksa sendiri dengan menghitung suku-suku barisan geometri dengan ketentuan sebagai berikut: , a.

Apakah kamu menghitung? Mari kita bandingkan hasilnya:

Setuju bahwa suku suatu perkembangan dapat ditemukan dengan cara yang sama seperti suku, namun ada kemungkinan perhitungannya salah. Dan jika kita telah menemukan suku ke-th dari barisan geometri tersebut, lalu apa yang lebih sederhana daripada menggunakan bagian rumus yang “terpotong”.

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas.

Baru-baru ini, kita berbicara tentang fakta bahwa itu bisa lebih besar atau lebih kecil dari nol, namun ada nilai khusus yang disebut deret geometri. menurun tanpa batas.

Menurut Anda mengapa nama ini diberikan?
Pertama, mari kita tuliskan beberapa barisan geometri yang terdiri dari suku-suku.
Katakanlah:

Kita melihat bahwa setiap suku berikutnya lebih kecil satu faktor dari suku sebelumnya, tetapi apakah akan ada bilangan? Anda akan langsung menjawab “tidak”. Itulah sebabnya ia terus berkurang tanpa batas - ia berkurang dan berkurang, tetapi tidak pernah menjadi nol.

Untuk memahami dengan jelas tampilannya secara visual, mari kita coba menggambar grafik perkembangan kita. Jadi, untuk kasus kita, rumusnya berbentuk sebagai berikut:

Pada grafik kita terbiasa memplot ketergantungan, oleh karena itu:

Inti dari ekspresi tersebut tidak berubah: pada entri pertama kami menunjukkan ketergantungan nilai anggota barisan geometri pada bilangan urutnya, dan pada entri kedua kami hanya mengambil nilai anggota barisan geometri sebagai , dan menetapkan nomor urut bukan sebagai, tetapi sebagai. Yang perlu dilakukan hanyalah membuat grafik.
Mari kita lihat apa yang Anda punya. Berikut grafik yang saya buat:

Apakah kamu lihat? Fungsinya mengecil, cenderung nol, tetapi tidak pernah melewatinya, sehingga menurun tak terhingga. Mari kita tandai titik-titik kita pada grafik, sekaligus koordinat dan artinya:

Cobalah untuk menggambarkan secara skematis grafik suatu barisan geometri jika suku pertamanya juga sama. Analisa apa bedanya dengan grafik kita sebelumnya?

Apakah Anda berhasil? Berikut grafik yang saya buat:

Sekarang setelah Anda memahami sepenuhnya dasar-dasar topik barisan geometri: Anda tahu apa itu barisan geometri, Anda tahu cara mencari sukunya, dan Anda juga tahu apa itu barisan geometri yang menurun tak terhingga, mari kita beralih ke sifat utamanya.

Sifat perkembangan geometri.

Apakah Anda ingat sifat-sifat suku-suku suatu barisan aritmatika? Ya, ya, bagaimana cara mencari nilai suatu bilangan suatu perkembangan jika ada nilai sebelumnya dan selanjutnya dari suku-suku perkembangan tersebut. Apakah kamu ingat? Ini:

Sekarang kita dihadapkan pada pertanyaan yang persis sama tentang suku-suku barisan geometri. Untuk mendapatkan rumus seperti itu, mari kita mulai menggambar dan menalar. Soalnya, caranya sangat mudah, dan jika lupa, Anda bisa mengeluarkannya sendiri.

Mari kita ambil barisan geometri sederhana lainnya yang kita ketahui dan. Bagaimana cara menemukannya? Dengan perkembangan aritmatika itu mudah dan sederhana, tapi bagaimana dengan disini? Sebenarnya, tidak ada yang rumit dalam geometri juga - Anda hanya perlu menuliskan setiap nilai yang diberikan kepada kita sesuai rumus.

Anda mungkin bertanya, apa yang harus kita lakukan sekarang? Ya, sangat sederhana. Pertama, mari kita gambarkan rumus-rumus ini dalam sebuah gambar dan coba lakukan berbagai manipulasi dengannya untuk mendapatkan nilainya.

Mari kita abstrak dari angka-angka yang diberikan kepada kita, mari kita fokus hanya pada ekspresi mereka melalui rumus. Kita perlu menemukan nilai yang disorot dengan warna oranye, mengetahui suku-suku yang berdekatan dengannya. Mari kita coba melakukan berbagai tindakan dengan mereka, yang hasilnya bisa kita peroleh.

Tambahan.
Mari kita coba menambahkan dua ekspresi dan kita mendapatkan:

Dari ungkapan ini, seperti yang Anda lihat, kami tidak dapat mengungkapkannya dengan cara apa pun, oleh karena itu, kami akan mencoba opsi lain - pengurangan.

Pengurangan.

Seperti yang Anda lihat, kami juga tidak dapat mengungkapkannya, oleh karena itu, mari kita coba mengalikan ekspresi ini satu sama lain.

Perkalian.

Sekarang perhatikan baik-baik apa yang kita miliki dengan mengalikan suku-suku barisan geometri yang diberikan kepada kita dibandingkan dengan apa yang perlu dicari:

Coba tebak apa yang saya bicarakan? Benar, untuk mencarinya kita perlu mengalikan akar kuadrat dari bilangan deret geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan:

Ini dia. Anda sendiri yang memperoleh properti perkembangan geometri. Cobalah untuk menulis rumus ini dalam bentuk umum. Telah terjadi?

Lupa syaratnya? Pikirkan mengapa itu penting, misalnya coba hitung sendiri. Apa yang akan terjadi dalam kasus ini? Benar sekali, benar-benar tidak masuk akal karena rumusnya terlihat seperti ini:

Oleh karena itu, jangan lupakan batasan ini.

Sekarang mari kita hitung apa persamaannya

Jawaban yang benar - ! Jika Anda tidak lupa kemungkinan nilai kedua saat perhitungan, maka Anda hebat dan dapat segera melanjutkan ke pelatihan, dan jika Anda lupa, bacalah apa yang dibahas di bawah ini dan perhatikan mengapa kedua akar harus dituliskan di menjawab.

Mari kita menggambar kedua barisan geometri kita - yang satu memiliki nilai dan yang lainnya memiliki nilai dan memeriksa apakah keduanya berhak untuk ada:

Untuk memeriksa apakah barisan geometri tersebut ada atau tidak, perlu dilihat apakah semua suku-sukunya sama? Hitung q untuk kasus pertama dan kedua.

Lihat mengapa kita harus menulis dua jawaban? Karena tanda istilah yang dicari tergantung positif atau negatifnya! Dan karena kita tidak tahu apa itu, kita perlu menuliskan kedua jawaban tersebut dengan plus dan minus.

Sekarang setelah Anda menguasai poin-poin utama dan memperoleh rumus sifat-sifat barisan geometri, temukan, ketahui dan

Bandingkan jawaban Anda dengan jawaban yang benar:

Bagaimana menurut anda, bagaimana jika kita tidak diberi nilai suku-suku barisan geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan, tetapi berjarak sama dari bilangan tersebut. Misalnya, kita perlu mencari, dan diberikan dan. Bisakah kita menggunakan rumus yang kita peroleh dalam kasus ini? Cobalah untuk mengkonfirmasi atau menyangkal kemungkinan ini dengan cara yang sama, dengan menjelaskan isi setiap nilai, seperti yang Anda lakukan saat pertama kali menurunkan rumus, di.
Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang perhatikan baik-baik lagi.
dan dengan demikian:

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa rumus tersebut berhasil tidak hanya dengan tetangga dengan suku-suku barisan geometri yang diinginkan, tetapi juga dengan sama jauh dari apa yang dicari anggotanya.

Jadi, rumus awal kita berbentuk:

Artinya, jika pada kasus pertama kita mengatakan demikian, sekarang kita mengatakan bahwa bilangan tersebut dapat sama dengan bilangan asli apa pun yang lebih kecil. Yang utama adalah angkanya sama untuk kedua angka yang diberikan.

Berlatihlah dengan contoh spesifik, berhati-hatilah!

1. , . Menemukan.
2. , . Menemukan.
3. , . Menemukan.

Diputuskan? Saya harap Anda sangat perhatian dan memperhatikan tangkapan kecil.

Mari kita bandingkan hasilnya.

Dalam dua kasus pertama, kami dengan tenang menerapkan rumus di atas dan mendapatkan nilai berikut:

Dalam kasus ketiga, setelah memeriksa dengan cermat nomor seri dari nomor-nomor yang diberikan kepada kami, kami memahami bahwa nomor-nomor tersebut tidak berjarak sama dari nomor yang kami cari: ini adalah nomor sebelumnya, tetapi dihilangkan pada suatu posisi, jadi itu adalah tidak mungkin menerapkan rumus tersebut.

Bagaimana cara mengatasinya? Ini sebenarnya tidak sesulit kelihatannya! Mari kita tuliskan terdiri dari apa setiap nomor yang diberikan kepada kita dan nomor yang kita cari.

Jadi kita punya dan. Mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan dengan mereka? Saya sarankan membaginya dengan. Kita mendapatkan:

Kami mengganti data kami ke dalam rumus:

Langkah selanjutnya yang bisa kita temukan adalah - untuk ini kita perlu mengambil akar pangkat tiga dari bilangan yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat lagi apa yang kita miliki. Kita memilikinya, tetapi kita perlu menemukannya, dan pada gilirannya, sama dengan:

Kami menemukan semua data yang diperlukan untuk perhitungan. Substitusikan ke dalam rumus:

Jawaban kami: .

Coba selesaikan sendiri masalah serupa lainnya:
Diberikan: ,
Menemukan:

Berapa banyak yang kamu dapat? Saya memiliki - .

Seperti yang Anda lihat, pada dasarnya Anda membutuhkannya ingat satu rumus saja- . Anda dapat menarik sendiri sisanya tanpa kesulitan apa pun kapan saja. Untuk melakukan ini, cukup tuliskan barisan geometri paling sederhana di selembar kertas dan tuliskan berapa masing-masing bilangannya, sesuai dengan rumus yang dijelaskan di atas.

Jumlah suku-suku suatu barisan geometri.

Sekarang mari kita lihat rumus yang memungkinkan kita menghitung dengan cepat jumlah suku suatu barisan geometri dalam interval tertentu:

Untuk mendapatkan rumus jumlah suku suatu barisan geometri berhingga, kalikan semua bagian persamaan di atas dengan. Kita mendapatkan:

Perhatikan baik-baik: apa persamaan dari dua rumus terakhir? Benar, anggota biasa misalnya, dan seterusnya, kecuali anggota pertama dan terakhir. Mari kita coba kurangi persamaan ke-1 dari persamaan ke-2. Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang nyatakan suku barisan geometri melalui rumus dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus terakhir kita:

Kelompokkan ekspresi tersebut. Anda harus mendapatkan:

Yang perlu dilakukan hanyalah mengungkapkan:

Oleh karena itu, dalam hal ini.

Bagaimana jika? Rumus apa yang berhasil? Bayangkan suatu barisan geometri di. Apa yang dia suka? Rangkaian angka yang identik sudah benar, sehingga rumusnya akan terlihat seperti ini:

Ada banyak legenda tentang perkembangan aritmatika dan geometri. Salah satunya adalah legenda Set, pencipta catur.

Banyak orang mengetahui bahwa permainan catur ditemukan di India. Ketika raja Hindu bertemu dengannya, dia senang dengan kecerdasannya dan berbagai posisi yang mungkin ada dalam dirinya. Setelah mengetahui bahwa itu ditemukan oleh salah satu rakyatnya, raja memutuskan untuk memberinya hadiah secara pribadi. Dia memanggil penemunya dan memerintahkannya untuk meminta semua yang dia inginkan, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling terampil sekalipun.

Seta meminta waktu untuk berpikir, dan ketika keesokan harinya Seta muncul di hadapan raja, dia mengejutkan raja dengan permintaannya yang rendah hati dan belum pernah terjadi sebelumnya. Dia meminta untuk memberikan sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, sebutir gandum untuk kotak kedua, sebutir gandum untuk kotak ketiga, keempat, dan seterusnya.

Raja marah dan mengusir Seth, mengatakan bahwa permintaan pelayan itu tidak sesuai dengan kemurahan hati raja, tetapi berjanji bahwa pelayan itu akan menerima gandumnya untuk semua kotak papan.

Dan sekarang pertanyaannya: dengan menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri, hitung berapa banyak butir yang harus diterima Seth?

Mari kita mulai berpikir. Karena menurut syarat Seth meminta sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, untuk kotak kedua, untuk kotak ketiga, untuk kotak keempat, dan seterusnya, maka kita melihat bahwa masalahnya adalah tentang barisan geometri. Apa persamaannya dalam kasus ini?
Benar.

Jumlah luas papan catur. Masing-masing, . Kami memiliki semua datanya, yang tersisa hanyalah memasukkannya ke dalam rumus dan menghitungnya.

Untuk membayangkan setidaknya kira-kira “skala” suatu bilangan tertentu, kita mentransformasikannya menggunakan sifat-sifat derajat:

Tentu saja, jika mau, Anda dapat mengambil kalkulator dan menghitung angka yang Anda dapatkan, dan jika tidak, Anda harus percaya pada kata-kata saya: nilai akhir dari ekspresi tersebut adalah.
Itu adalah:

triliun kuadriliun triliun miliar juta ribu.

Fiuh) Jika Anda ingin membayangkan besarnya jumlah ini, maka perkirakan berapa luas sebuah gudang yang dibutuhkan untuk menampung seluruh jumlah gandum.
Jika gudang itu tingginya m dan lebarnya m, maka panjangnya harus diperpanjang hingga km, yaitu. dua kali jarak Bumi ke Matahari.

Jika raja kuat dalam matematika, dia bisa saja mengundang ilmuwan itu sendiri untuk menghitung butir, karena untuk menghitung satu juta butir, dia memerlukan setidaknya satu hari penghitungan yang tak kenal lelah, dan mengingat menghitung triliunan butir itu perlu. harus dihitung sepanjang hidupnya.

Sekarang mari kita selesaikan soal sederhana yang melibatkan jumlah suku suatu barisan geometri.
Seorang siswa kelas 5A Vasya terserang flu, namun tetap bersekolah. Setiap hari Vasya menulari dua orang, yang kemudian menulari dua orang lagi, dan seterusnya. Hanya ada orang di kelas. Dalam berapa hari seluruh kelas akan terkena flu?

Jadi, suku pertama barisan geometri adalah Vasya, yaitu seseorang. Suku ke-tiga dari deret geometri tersebut adalah dua orang yang tertular pada hari pertama kedatangannya. Jumlah total suku-suku perkembangan sama dengan jumlah siswa 5A. Oleh karena itu, kita berbicara tentang kemajuan di mana:

Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus jumlah suku-suku suatu barisan geometri:

Seluruh kelas akan sakit dalam beberapa hari. Tidak percaya rumus dan angka? Cobalah untuk menggambarkan sendiri “penularan” siswa. Telah terjadi? Lihat tampilannya bagi saya:

Hitung sendiri berapa hari yang dibutuhkan siswa untuk terserang flu jika masing-masing menulari satu orang, dan hanya ada satu orang di kelas.

Nilai apa yang Anda dapatkan? Ternyata semua orang mulai sakit setelah satu hari.

Seperti yang Anda lihat, tugas dan gambar seperti itu menyerupai piramida, di mana setiap tugas berikutnya “membawa” orang baru. Namun, cepat atau lambat akan tiba saatnya ketika yang terakhir tidak dapat menarik perhatian siapa pun. Dalam kasus kita, jika kita membayangkan kelas tersebut terisolasi, orang dari menutup rantai (). Jadi, jika seseorang terlibat dalam piramida keuangan di mana uang diberikan, jika Anda membawa dua peserta lainnya, maka orang tersebut (atau secara umum) tidak akan membawa siapa pun, dan karenanya, mereka akan kehilangan semua yang mereka investasikan dalam penipuan keuangan ini.

Segala sesuatu yang dikatakan di atas mengacu pada barisan geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang Anda ingat, kami memiliki tipe khusus - barisan geometri yang menurun tanpa batas. Bagaimana cara menghitung jumlah anggotanya? Dan mengapa perkembangan jenis ini memiliki ciri-ciri tertentu? Mari kita cari tahu bersama.

Jadi, pertama-tama, mari kita lihat kembali gambar barisan geometri yang menurun tak terhingga dari contoh kita:

Sekarang mari kita lihat rumus jumlah suatu barisan geometri, yang diturunkan sedikit sebelumnya:
atau

Apa yang kita perjuangkan? Betul, grafiknya cenderung nol. Artinya, pada, akan hampir sama, masing-masing, saat menghitung ekspresi yang akan kita dapatkan hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahwa ketika menghitung jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, tanda kurung ini dapat diabaikan, karena akan sama.

- rumus adalah jumlah suku-suku barisan geometri yang menurun tak terhingga.

PENTING! Kita menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kita perlu mencari jumlah tersebut tak terbatas jumlah anggota.

Jika bilangan tertentu n ditentukan, maka kita menggunakan rumus jumlah n suku, meskipun atau.

Sekarang mari kita berlatih.

1. Tentukan jumlah suku pertama barisan geometri dengan dan.
2. Tentukan jumlah suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan dan.

Saya harap Anda sangat berhati-hati. Mari kita bandingkan jawaban kita:

Sekarang Anda tahu segalanya tentang perkembangan geometri, dan inilah saatnya beralih dari teori ke praktik. Soal barisan geometri yang paling banyak ditemui dalam ujian adalah soal menghitung bunga majemuk. Inilah yang akan kita bicarakan.

Masalah dalam menghitung bunga majemuk.

Anda mungkin pernah mendengar apa yang disebut rumus bunga majemuk. Apakah Anda mengerti maksudnya? Jika belum, mari kita cari tahu, karena begitu Anda memahami proses itu sendiri, Anda akan langsung memahami apa hubungannya deret geometri dengan proses tersebut.

Kita semua pergi ke bank dan mengetahui bahwa ada ketentuan yang berbeda untuk simpanan: ini termasuk jangka waktu, layanan tambahan, dan bunga dengan dua cara penghitungan yang berbeda - sederhana dan kompleks.

DENGAN bunga sederhana semuanya kurang lebih jelas: bunga dibebankan satu kali pada akhir jangka waktu simpanan. Artinya, jika kita mengatakan bahwa kita menyetor 100 rubel selama setahun, maka mereka hanya akan dikreditkan pada akhir tahun. Oleh karena itu, pada akhir setoran kami akan menerima rubel.

Bunga majemuk- ini adalah opsi di mana hal itu terjadi kapitalisasi bunga, yaitu. penambahannya pada jumlah simpanan dan perhitungan pendapatan selanjutnya bukan dari awal, tetapi dari akumulasi jumlah simpanan. Kapitalisasi tidak terjadi terus-menerus, namun dengan frekuensi tertentu. Biasanya, periode tersebut sama dan paling sering bank menggunakan bulan, kuartal, atau tahun.

Misalkan kita menyetorkan rubel yang sama setiap tahunnya, namun dengan kapitalisasi setoran bulanan. Apa yang kita lakukan?

Apakah Anda memahami semuanya di sini? Jika belum, mari kita cari tahu langkah demi langkah.

Kami membawa rubel ke bank. Pada akhir bulan, kita akan memiliki jumlah di rekening kita yang terdiri dari rubel ditambah bunganya, yaitu:

Setuju?

Kita bisa mengeluarkannya dari tanda kurung dan kemudian kita mendapatkan:

Setuju, rumus ini sudah lebih mirip dengan yang kami tulis di awal. Yang tersisa hanyalah mencari tahu persentasenya

Dalam rumusan masalah kita diberitahu tentang tarif tahunan. Seperti yang Anda ketahui, kami tidak mengalikan dengan - kami mengubah persentase menjadi pecahan desimal, yaitu:

Benar? Sekarang Anda mungkin bertanya, dari mana nomor tersebut berasal? Sangat sederhana!
Saya ulangi: pernyataan masalah mengatakan tentang TAHUNAN bunga yang timbul BULANAN. Seperti yang Anda ketahui, dalam satu tahun bulan, bank akan membebankan kepada kita sebagian dari bunga tahunan per bulan:

Menyadarinya? Sekarang coba tuliskan seperti apa bagian rumus ini jika saya mengatakan bahwa bunga dihitung setiap hari.
Apakah Anda berhasil? Mari kita bandingkan hasilnya:

Bagus sekali! Mari kita kembali ke tugas kita: tulis berapa banyak yang akan dikreditkan ke rekening kita pada bulan kedua, dengan mempertimbangkan bunga yang dikenakan pada jumlah akumulasi deposit.
Inilah yang saya dapatkan:

Atau dengan kata lain:

Saya pikir Anda telah memperhatikan sebuah pola dan melihat perkembangan geometris dalam semua ini. Tuliskan berapa jumlah anggotanya, atau dengan kata lain berapa jumlah uang yang akan kita terima pada akhir bulan.
Telah melakukan? Mari kita periksa!

Seperti yang Anda lihat, jika Anda menaruh uang di bank selama setahun dengan tingkat bunga sederhana, Anda akan menerima rubel, dan jika dengan tingkat bunga majemuk, Anda akan menerima rubel. Keuntungannya kecil, tetapi ini hanya terjadi pada tahun ke-th, tetapi untuk jangka waktu yang lebih lama, kapitalisasi jauh lebih menguntungkan:

Mari kita lihat jenis permasalahan lain yang melibatkan bunga majemuk. Setelah apa yang Anda ketahui, itu akan menjadi dasar bagi Anda. Jadi, tugasnya:

Perusahaan Zvezda mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2000, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2001 memperoleh keuntungan sebesar modal tahun sebelumnya. Berapa keuntungan yang diperoleh perusahaan Zvezda pada akhir tahun 2003 jika keuntungan tidak ditarik dari peredaran?

Ibukota perusahaan Zvezda pada tahun 2000.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2001.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2002.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2003.

Atau kita bisa menulis secara singkat:

Untuk kasus kami:

2000, 2001, 2002 dan 2003.

Masing-masing:
rubel
Perlu diketahui bahwa dalam soal ini kami tidak melakukan pembagian dengan atau dengan, karena persentasenya diberikan SETIAP TAHUN dan dihitung SETIAP TAHUN. Artinya, ketika membaca soal bunga majemuk, perhatikan berapa persentase yang diberikan dan pada periode berapa dihitung, baru kemudian dilanjutkan ke perhitungan.
Sekarang Anda tahu segalanya tentang perkembangan geometri.

Pelatihan.

1. Tentukan suku barisan geometri jika diketahui, dan
2. Tentukan jumlah suku pertama barisan geometri jika diketahui, dan
3. Perusahaan MDM Capital mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2003, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2004 memperoleh keuntungan sebesar modal tahun sebelumnya. Perusahaan Arus Kas MSK mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2005 sebesar $10.000, dan mulai menghasilkan keuntungan pada tahun 2006 sebesar. Berapa dolar modal suatu perusahaan lebih besar dari perusahaan lain pada akhir tahun 2007, jika laba tidak ditarik dari peredaran?

Jawaban:

1. Karena rumusan masalah tidak menyatakan bahwa perkembangannya tidak terbatas dan diperlukan untuk mencari jumlah sejumlah suku tertentu, maka perhitungannya dilakukan sesuai dengan rumus:
2. 
   Perusahaan Modal MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - meningkat 100%, yaitu 2 kali lipat.
   Masing-masing:
   rubel
   Perusahaan Arus Kas MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - bertambah, yaitu berkali-kali lipat.
   Masing-masing:
   rubel
   rubel

Mari kita rangkum.

1) Barisan geometri ( ) adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

2) Persamaan suku-suku barisan geometri adalah .

3) dapat mengambil nilai apa pun kecuali dan.

• jika, maka semua suku perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif;
• jika, maka semua suku perkembangan berikutnya tanda-tanda alternatif;
• kapan – perkembangannya disebut menurun tak terhingga.

4) , di – sifat barisan geometri (suku-suku yang berdekatan)

atau
, di (istilah yang berjarak sama)

Ketika Anda menemukannya, jangan lupakan itu seharusnya ada dua jawaban.

Misalnya,

5) Jumlah suku-suku barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau

atau

PENTING! Kita menggunakan rumus jumlah suku-suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kita perlu mencari jumlah suku-suku yang tak terhingga banyaknya.

6) Masalah bunga majemuk dihitung juga dengan rumus suku ke-th suatu barisan geometri, dengan ketentuan dana belum ditarik dari peredaran:

PROGRESI GEOMETRIS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Kemajuan geometris( ) adalah suatu barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Nomor ini dipanggil penyebut barisan geometri.

Penyebut barisan geometri dapat mengambil nilai apa pun kecuali dan.

• Jika, maka semua suku perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - positif;
• jika, maka semua anggota perkembangan selanjutnya berganti tanda;
• kapan – perkembangannya disebut menurun tak terhingga.

Persamaan suku-suku barisan geometri - .

Jumlah suku suatu barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau

Jika perkembangannya menurun tak terhingga, maka:

2/3 ARTIKEL SISANYA HANYA TERSEDIA UNTUK SISWA YANG CERDAS!

Menjadi siswa YouClever,

Mempersiapkan Ujian Negara Terpadu atau Unified State Exam matematika dengan harga “secangkir kopi per bulan”,

Dan juga dapatkan akses tak terbatas ke buku teks “YouClever”, program persiapan “100gia” (buku pemecah), uji coba tak terbatas Ujian Negara Terpadu dan Ujian Negara Terpadu, 6000 soal dengan analisis solusi, dan layanan YouClever dan 100gia lainnya.

22.09.2018 22:00

Perkembangan geometri, bersama dengan perkembangan aritmatika, merupakan deret bilangan penting yang dipelajari dalam mata pelajaran aljabar sekolah di kelas 9. Pada artikel ini kita akan melihat penyebut suatu barisan geometri dan bagaimana nilainya mempengaruhi sifat-sifatnya.

Pengertian barisan geometri

Pertama, mari kita berikan definisi deret bilangan ini. Perkembangan geometri adalah barisan bilangan rasional yang dibentuk dengan mengalikan unsur pertamanya secara berurutan dengan bilangan tetap yang disebut penyebut.

Misalnya bilangan pada deret 3, 6, 12, 24, ... adalah barisan geometri, karena jika 3 (elemen pertama) dikalikan dengan 2, diperoleh 6. Jika 6 dikalikan dengan 2, diperoleh 12, dan seterusnya.

Anggota barisan yang ditinjau biasanya dilambangkan dengan simbol ai, dimana i adalah bilangan bulat yang menunjukkan banyaknya elemen dalam deret tersebut.

Pengertian barisan di atas dapat ditulis dalam bahasa matematika sebagai berikut: an = bn-1 * a1, dimana b adalah penyebutnya. Sangat mudah untuk memeriksa rumus ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapatkan a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita kembali sampai pada definisi deret bilangan yang dimaksud. Alasan serupa dapat dilanjutkan untuk nilai n yang besar.

Penyebut barisan geometri

Angka b sepenuhnya menentukan karakter apa yang akan dimiliki seluruh rangkaian angka. Penyebut b bisa positif, negatif, atau lebih besar atau kurang dari satu. Semua opsi di atas mengarah ke urutan yang berbeda:

• b > 1. Terdapat deret bilangan rasional yang bertambah. Misalnya 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 negatif, maka seluruh barisan hanya akan bertambah nilai absolutnya, tetapi berkurang tergantung pada tanda bilangannya.
• b = 1. Seringkali kasus ini tidak disebut perkembangan, karena terdapat deret biasa dari bilangan rasional yang identik. Misalnya -4, -4, -4.

Rumus jumlah

Sebelum beralih ke pertimbangan masalah tertentu dengan menggunakan penyebut jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, rumus penting untuk jumlah n elemen pertamanya harus diberikan. Rumusnya seperti ini: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda dapat memperoleh ekspresi ini sendiri jika Anda mempertimbangkan urutan suku-suku perkembangan yang rekursif. Perhatikan juga bahwa dalam rumus di atas, cukup mengetahui elemen pertama dan penyebutnya saja untuk menemukan jumlah sejumlah suku yang berubah-ubah.

Urutan menurun tanpa batas

Penjelasan telah diberikan di atas tentang apa itu. Sekarang, setelah mengetahui rumus Sn, mari kita terapkan pada deret bilangan ini. Karena bilangan apa pun yang modulusnya tidak melebihi 1 cenderung nol jika dipangkatkan besar, yaitu b∞ => 0 jika -1

Karena selisih (1 - b) akan selalu positif, berapa pun nilai penyebutnya, tanda jumlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga S∞ ditentukan secara unik oleh tanda elemen pertamanya a1.

Sekarang mari kita lihat beberapa soal di mana kami akan menunjukkan bagaimana menerapkan pengetahuan yang diperoleh pada bilangan tertentu.

Tugas No. 1. Perhitungan elemen perkembangan dan jumlah yang tidak diketahui

Diketahui suatu barisan geometri, penyebut barisan tersebut adalah 2, dan unsur pertamanya adalah 3. Berapa suku ke-7 dan ke-10nya, dan berapa jumlah ketujuh unsur awalnya?

Kondisi soalnya cukup sederhana dan melibatkan penggunaan langsung rumus-rumus di atas. Jadi, untuk menghitung nomor elemen n, kita menggunakan ekspresi an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 = b6 * a1, dengan mensubstitusi data yang diketahui, kita mendapatkan: a7 = 26 * 3 = 192. Kita melakukan hal yang sama untuk suku ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Mari kita gunakan rumus penjumlahan yang terkenal dan tentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama deret tersebut. Kita mempunyai: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Soal No. 2. Menentukan jumlah elemen sembarang suatu barisan

Misalkan -2 sama dengan penyebut barisan geometri bn-1 * 4, dengan n adalah bilangan bulat. Penting untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 dari deret ini, inklusif.

Masalah yang diajukan tidak dapat diselesaikan secara langsung dengan menggunakan rumus-rumus yang diketahui. Itu dapat diselesaikan dengan menggunakan 2 metode berbeda. Untuk kelengkapan penyajian topik, kami hadirkan keduanya.

Metode 1. Idenya sederhana: Anda perlu menghitung dua jumlah suku pertama yang bersesuaian, lalu mengurangkan suku lainnya dari satu suku. Kita hitung jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita menghitung jumlah yang lebih besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahwa dalam ekspresi terakhir hanya 4 suku yang dijumlahkan, karena suku ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dihitung sesuai dengan kondisi soal. Terakhir kita ambil selisihnya: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metode 2. Sebelum mensubstitusi bilangan dan berhitung, Anda dapat memperoleh rumus jumlah antara m dan n suku deret yang bersangkutan. Kami melakukan hal yang persis sama seperti pada metode 1, hanya saja kami terlebih dahulu bekerja dengan representasi simbolis dari jumlah tersebut. Kita mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda dapat mengganti angka-angka yang diketahui ke dalam ekspresi yang dihasilkan dan menghitung hasil akhirnya: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Soal No. 3. Berapakah penyebutnya?

Misalkan a1 = 2, tentukan penyebut barisan geometri tersebut, asalkan jumlah tak terhingganya adalah 3, dan diketahui bahwa barisan bilangan tersebut adalah barisan bilangan menurun.

Berdasarkan kondisi permasalahannya, tidak sulit untuk menebak rumus mana yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Tentu saja, jumlah perkembangannya semakin berkurang. Kita mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebutnya: b = 1 - a1 / S∞. Tetap mengganti nilai yang diketahui dan mendapatkan nomor yang diperlukan: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 atau -0,333(3). Kita dapat memeriksa hasil ini secara kualitatif jika kita ingat bahwa untuk jenis barisan ini modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang dapat dilihat, |-1 / 3|

Tugas No. 4. Memulihkan serangkaian angka

Misalkan diberikan 2 elemen suatu deret bilangan, misalnya deret ke-5 sama dengan 30 dan deret ke-10 sama dengan 60. Seluruh deret perlu direkonstruksi dari data ini, karena mengetahui bahwa deret tersebut memenuhi sifat-sifat barisan geometri.

Untuk menyelesaikan soal, pertama-tama Anda harus menuliskan ekspresi yang sesuai untuk setiap suku yang diketahui. Kita mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang bagi ekspresi kedua dengan ekspresi pertama, kita mendapatkan: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebutnya dengan mengambil akar kelima dari perbandingan suku-suku yang diketahui dari rumusan masalah, b = 1,148698. Kita substitusikan bilangan yang dihasilkan ke dalam salah satu ekspresi unsur yang diketahui, kita peroleh: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Jadi, kita menemukan penyebut barisan bn, dan barisan geometri bn-1 * 17.2304966 = an, di mana b = 1.148698.

Di mana perkembangan geometri digunakan?

Jika tidak ada penerapan praktis dari deret bilangan ini, maka kajiannya akan direduksi menjadi kepentingan teoretis belaka. Tapi aplikasi seperti itu ada.

Di bawah ini adalah 3 contoh paling terkenal:

• Paradoks Zeno, di mana Achilles yang gesit tidak dapat mengejar kura-kura yang lambat, diselesaikan dengan menggunakan konsep barisan bilangan yang semakin berkurang.
• Jika Anda meletakkan butiran gandum pada setiap kotak papan catur sehingga pada kotak pertama Anda menaruh 1 butir, pada kotak ke-2 - 2, pada kotak ke-3 - 3, dan seterusnya, maka untuk mengisi semua kotak di papan tersebut Anda perlu 18446744073709551615 butir!
• Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk memindahkan disk dari satu batang ke batang lainnya, perlu melakukan operasi 2n - 1, yaitu jumlahnya bertambah secara eksponensial dengan jumlah n disk yang digunakan.

Jalan Kievyan, 16 0016 Armenia, Yerevan +374 11 233 255

Perkembangan aritmatika dan geometri

Informasi teoretis

Informasi teoretis

	Kemajuan aritmatika	Kemajuan geometris
Definisi	Kemajuan aritmatika sebuah adalah barisan yang tiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama D (D- perbedaan perkembangan)	Kemajuan geometris bn adalah barisan bilangan bukan nol yang tiap sukunya dimulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan bilangan yang sama Q (Q- penyebut perkembangan)
Rumus kekambuhan	Untuk alam apa pun N sebuah + 1 = sebuah n + d	Untuk alam apa pun N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Rumus suku ke-n	sebuah = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Properti karakteristik
Jumlah n suku pertama

Contoh tugas dengan komentar

Latihan 1

Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah) sebuah 1 = -6, sebuah 2

Menurut rumus suku ke-n:

sebuah 22 = sebuah 1+ d (22 - 1) = sebuah 1+ 21 d

Dengan syarat:

sebuah 1= -6, lalu sebuah 22= -6 + 21 d .

Penting untuk menemukan perbedaan perkembangan:

d = sebuah 2 – sebuah 1 = -8 – (-6) = -2

sebuah 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Menjawab : sebuah 22 = -48.

Tugas 2

Tentukan suku kelima barisan geometri: -3; 6;....

Metode 1 (menggunakan rumus suku n)

Berdasarkan rumus suku ke-n suatu barisan geometri:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Karena b 1 = -3,

Metode ke-2 (menggunakan rumus berulang)

Karena penyebut barisan tersebut adalah -2 (q = -2), maka:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Menjawab : b 5 = -48.

Tugas 3

Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah ) sebuah 74 = 34; sebuah 76= 156. Tentukan suku ketujuh puluh lima barisan ini.

Untuk barisan aritmatika, sifat karakteristiknya berbentuk .

Karena itu:

.

Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

Jawaban: 95.

Tugas 4

Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah ) sebuah n= 3n - 4. Tentukan jumlah tujuh belas suku pertama.

Untuk mencari jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika, digunakan dua rumus:

.

Manakah yang lebih nyaman digunakan dalam kasus ini?

Dengan syarat, diketahui rumus suku ke-n barisan asal ( sebuah) sebuah= 3n - 4. Anda dapat segera menemukan dan sebuah 1, Dan sebuah 16 tanpa menemukan d. Oleh karena itu, kita akan menggunakan rumus pertama.

Jawaban: 368.

Tugas 5

Dalam perkembangan aritmatika( sebuah) sebuah 1 = -6; sebuah 2= -8. Temukan suku kedua puluh dua dari perkembangan tersebut.

Menurut rumus suku ke-n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = sebuah 1+ 21d.

Dengan syarat, jika sebuah 1= -6, lalu sebuah 22= -6 + 21d . Penting untuk menemukan perbedaan perkembangan:

d = sebuah 2 – sebuah 1 = -8 – (-6) = -2

sebuah 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Menjawab : sebuah 22 = -48.

Tugas 6

Beberapa suku barisan geometri yang berurutan dapat dituliskan:

Tentukan suku barisan yang berlabel x.

Saat menyelesaikannya, kita akan menggunakan rumus suku ke-n b n = b 1 ∙ q n - 1 untuk perkembangan geometri. Istilah pertama dari perkembangan. Untuk mencari penyebut barisan q, Anda perlu mengambil salah satu suku barisan tertentu dan membaginya dengan suku sebelumnya. Dalam contoh kita, kita dapat mengambil dan membaginya. Kita peroleh bahwa q = 3. Alih-alih n, kita substitusikan 3 ke dalam rumus, karena kita perlu mencari suku ketiga suatu barisan geometri tertentu.

Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus, kita mendapatkan:

.

Menjawab : .

Tugas 7

Dari barisan aritmatika yang diberikan oleh rumus suku ke-n, pilihlah barisan yang kondisinya terpenuhi sebuah 27 > 9:

Karena kondisi yang diberikan harus dipenuhi untuk suku ke-27 dari perkembangan tersebut, kita substitusikan 27 sebagai ganti n pada masing-masing dari empat perkembangan tersebut. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapatkan:

.

Jawaban: 4.

Tugas 8

Dalam perkembangan aritmatika sebuah 1= 3, d = -1,5. Tentukan nilai n terbesar yang dimiliki pertidaksamaan tersebut sebuah > -6.