Что такое геометрическая модель. Геометрическая модель

Подсистемы графического и геометрического моделирования (ГГМ) занимают центральное место в САПП. Конструирование изделий в них, как правило, проводится в интерактивном режиме при оперировании геометрическими моделями, т.е. математическими объектами, отображающими форму изделия, состав сборочных узлов и возможно некоторые дополнительные параметры (масса, цвета поверхности и т.п.).

В подсистемах ГГМ типичный маршрут обработки данных включает в себя получение проектного решения в прикладной программе, его представление в виде геометрической модели (геометрическое моделирование), подготовку проектного решения к визуализации, собственно визуализацию при помощи ПК при необходимости корректировку решения в интерактивном режиме.

Две последние операции реализуются на базе вычислительных средств ГГМ. Когда говорят о математическом обеспечении ГГМ, имеют в виду, прежде всего модели, методы и алгоритмы для геометрического моделирования и подготовки к визуализации.

Различают математическое обеспечение двумерного (2D) и трехмерного (3D) ГГМ.

Основные применения 2D ГГМ подготовка чертежной документации в САПП, топологическое проектирование печатных плат и кристаллов БИС в САПП электронной промышленности.

В процессе 3D моделирования создаются геометрические модели, т.е. модели, отражающие геометрические свойства изделий. Различают геометрические модели каркасные (проволочные), поверхностные, объемные (твердотельные).

Каркасная модель представляет форму изделия в виде конечного множества линий, лежащих на поверхностях изделия. Для каждой линии известны координаты концевых точек и указана их инцидентность ребрам или поверхностям. Оперировать каркасной моделью на дальнейших операциях САПП неудобно, и поэтому каркасные модели в настоящее время используют редко.

Поверхностная модель отображает форму изделия с помощью задания ограничивающих ее поверхностей, например, в виде совокупности данных о гранях, ребрах и вершинах.

Особое место занимают модели изделий с поверхностями сложной формы, так называемыми скульптурными поверхностями . К таким изделиям относятся, например, корпуса микросхем, компьютеров, рабочих станций) и др.

Объемные модели отличаются тем, что в них в явной форме содержатся сведения о принадлежности элементов внутреннему или внешнему по отношению к изделию пространству.

Рассмотренные модели отображают тела с замкнутыми объемами, являющиеся так называемыми многообразиями (manifold). Некоторые системы геометрического моделирования допускают оперирование немногообразными моделями (nonmanifold ), примерами которых могут быть модели тел, касающихся друг друга в одной точке или вдоль прямой. Немногообразные модели удобны в процессе конструирования, когда на промежуточных этапах полезно работать одновременно с трехмерными и двумерными моделями, не задавая толщины стенок конструкции, и т.п.

Систематизация геометрических моделей

Сгеометрическими моделями приходится иметь дело матема­тику и физику, инженеру и конструктору, ученому и рабочему, врачу и художнику, космонавту и фотографу. Однако до сих пор не существует какого-либо систематического руководства по геометрические моделям и их применению. Объясняется это прежде всего тем, что слишком широк и разнообразен круг геометри­ческих моделей.

Геометрические модели могут являться воплощением замысла проектировщика и служат для создания нового объекта. Име­ет место и обратная схема, когда по объекту делается модель, например, при реставрации или ремонте.

Геометрические модели классифицируют на предметные (чер­тежи, карты, фотографии, макеты, телевизионные изображения и т.п.), расчетные и познавательные. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Информация, получаемая с предметных моделей, включает в себя сведения о форме и разме­рах объекта, о его расположении относительно других.

Чертежи машин, сооружений, технических приспособлений и их деталей выполняют с соблюдением ряда условных обозначе­ний, особых правил и определенного масштаба. Различают черте­жи деталей, монтажные, общего вида, сборочные, табличные, га­баритные, наружных видов, пооперационные и т.д. В зависимости от стадии проектирования чертежи различают на чертежи тех­нического предложения, эскизного и технического проектов, ра­бочие чертежи. Чертежи также различают по отраслям производс­тва: машиностроительные, приборостроительные, строительные, горно-геологические, топографические и т.п. Чертежи земной поверхности называются картами. Чертежи различают по методу изображений: ортогональный чертеж, аксонометрия, перспектива, числовые отметки, аффинные проекции, стереографические проек­ции, киноперспектива и т.д.

Геометрические модели существенно различаются по способу исполнения: чертежи подлинники, оригиналы, копии, рисунки, картины, фотографии, киноленты, рентгенограммы, кардиограммы, макеты, модели, скульптуры и т.д. Среди геометрических моделей можно выделить плоские и объемные.

Графические построения могут служить для получения чи­сленных решений различных задач. При вычислении алгебраи­ческих выражений числа изображаются направленными отрезка­ми. Для нахождения разности или суммы чисел соответствую­щие им отрезка откладываются на прямой. Умножение и деле­ние осуществляется построением пропорциональных отрезков, которые отсекаются на сторонах угла параллельными прямыми. Комбинация действий умножения и сложения позволяет вычис­лять суммы произведений и взвешенное среднее. Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения. Графическим решением уравнений явля­ется значение абсциссы точки пересечения кривых. Графичес­ки можно вычислять определенный интеграл, строить график производной, т.е. дифференцировать, и интегрировать диффе­ренциальные уравнения. Геометрические модели для графичес­ких вычислений необходимо отличать от номограмм и расчет­ных геометрических моделей (РГМ). Графические вычисления требуют каждый раз последовательности построений. Номограм­мы и РГМ представляют собой геометрические изображения фун­кциональных зависимостей и не требуют для нахождения чис­ленных значений новых построений. Номограммы и РГМ исполь­зуются для вычислений и исследований функциональных зави­симостей. Вычисления на РГМ и номограммах заменяется счи­тыванием ответов с помощью элементарных операций, указан­ных в ключе номограммы. Основными элементами номограмм яв­ляются шкалы и бинарные поля. Номограммы подразделяют на элементарные и составные. Номограммы также различают по операции в ключе. Принципиальное различие РГМ и номограм­мы состоит в том, что для построения РГМ используются гео­метрические методы, а для построения номограмм – аналити­ческие методы.

Геометрические модели, изображающие отношения между элементами множества называются графами . Графы – модели порядка и образа действия. На этих моделях нет расстояний, углов, безразлично соединение точек прямой или кривой линией. В графах различаются только вершины, ребра и дуги. Впервые графы использовались в ходе решения головоломок. В настоящее время графы эффективно используются в теории планиро­вания и управления, теории расписаний, социологии, биоло­гии, электронике, в решений вероятностных и комбинаторных задач и т.п.

Графическая модель функциональной зависимости называет­ся графиком. Графики функций можно строить по заданной его части или по графику другой функции, используя геометрические преобразования.

Графическое изображение, наглядно показывающее соотно­шение каких-либо величин, является диаграммой. Например, ди­аграмма состояния (фазовая диаграмма), графически изобража­ет соотношение между параметрами состояния термодинамической равновесной системы. Столбчатая диаграмма, представляющая собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой и представляющих распределение каких-либо вели­чин по количественному признаку, называется гистограммой.

Особо важное значение имеют теоретические геометричес­кие модели. В аналитической геометрии геометрические образы исследуются средствами алгебры на основе метода координат. В проективной геометрии изучаются проективные преобразова­ния и неизменные свойства фигур, независящие от них. В на­чертательной геометрии изучаются пространственные фигуры и методы решения пространственных задач при помощи построения их изображений на плоскости. Свойства плоских фигур рассмат­риваются в планиметрии, свойства пространственных фигур – в стереометрии. В сферической тригонометрии изучаются за­висимости между углами и сторонами сферических треугольни­ков. Теория фотограмметрии и стереофотограмметрии позволя­ет определять формы, размеры и положения объектов по их фо­тографическим изобра

Под геометрической моделью объекта понимается совокупность сведений, однозначно определяющих его конфигурацию и геометрические параметры.

В настоящее время существует два подхода к автоматизированному созданию геометрических моделей с использованием компью­терных технологий.

Первый подход, представляющий традиционную технологию создания графических изображений, базируется на двухмерной геометрической модели и фактическом использовании компьютера как электронного кульмана, позволяющего ускорить процесс вычерчивания объекта и улучшить качество оформления конструкторской документации. Центральное место при этом занимает чер­теж, который служит средством представления изделия на плоскости в виде ортогональных проекций, видов, разрезов и сечений и содержит всю необходимую информацию для разработки технологического процесса изготовления изделия. В двухмерной модели геометрия изделия отображается в компьютере как плоский объект, каждая точка которого представляется с помощью двух координат: X и Y.

Очевидны основные недостатки использования двухмерных моделей при автоматизированном проектировании:

Создаваемую конструкцию объекта приходится мысленно представлять в виде отдельных элементов чертежа (ортогональных проекций, видов, разрезов и сечений), что является сложным процессом даже для опытных разработчиков и зачастую приводит к ошибкам проектирования конструкций изделий;

Все графические изображения на чертеже (ортогональные проекции, виды, разрезы, сечения) создаются независимо друг от друга и поэтому ассоциативно не связаны, то есть каждое изменение объекта проектирования ведет за собой необходимость выполнения изменений (редактирования) в каждом соответствующем графическом изображении чертежа, что является трудоемким процессом и причиной значительного количества ошибок при модификации конструкций изделий;

Невозможность использования полученных чертежей для создания компьютерных моделей контрольных сборок объектов из составляющих компонентов (агрегатов, узлов и деталей);

Сложность и высокая трудоемкость создания аксонометрических изображений сборочных единиц изделий, их каталогов и руководств по их эксплуатации;

Двухмерные модели неэффективно использовать на последующих (после создания конструкции изделия) этапах производственного цикла.

Второй подход к разработке графических изображений объектов проектирования основан на использовании трехмерных геометрических моделей объектов, которые создаются в автоматизированных системах трехмерного моделирования. Такие компьютерные модели являются наглядным спо­собом представления объектов проектирования, что позволяет исключить перечисленные недостатки двухмерного моделирования и значительно расширить эффективность и области применения трехмерных моделей на различных этапах производственного цикла изготовления изделий.

Трехмерные модели служат для компьютерного представления моделей изделий в трех измерениях, то есть геометрия объекта представляется в компьютере с помощью трех координат: X, Y и Z. Это позволяет перестраивать аксонометрические проекции моделей объектов в различных пользовательских системах координат, а также получать их аксонометрические виды с любой точки зрения или визуализировать их в виде перспективы. Поэтому трехмерные геометрические модели обладают значительными преимуществами по сравнению с двухмерными моделями и позволяют значительно повысить эффективность проектирования.

Основные достоинства трехмерных моделей:

Изображение наглядно и просто воспринимается проектировщиком;

Чертежи деталей создаются с помощью автоматически получаемых проекций, видов, разрезов и сечений трехмерной модели объекта, что значительно повышает производительность разработки чертежей;

Изменения в трехмерной модели автоматически вызывают соответствующие изменения в ассоциативно связанных графических изображениях чертежа объекта, что позволяет быстро модифицировать чертежи;

Возможно создание трехмерных моделей виртуальных контрольных сборок и каталогов изделий;

Трехмерные модели используются для создания операционных эскизов технологических процессов изготовления деталей и формообразующих элементов технологической оснастки: штампов, прессформ, литейных форм;

С помощью трёхмерных моделей можно проводить имитирование работы изделий с целью определения их работоспособности до изготовления;

Трехмерные модели используются в системах автоматизированной подготовки программ для автоматического программирования траекторий перемещения рабочих органов многокоординатных станков с числовым программным управлением;

Эти достоинства позволяют эффективно использовать трехмерные модели в системах автоматизированного управления жизненным циклом изделий.

Различают три основных вида трехмерных моделей:

- каркасные (проволочные), в которых изображения представляются координатами вершин и соединяющими их ребрами;

- поверхностные , представляемые поверхностями, ограничивающими создаваемую модель объекта;

- твердотельные , которые формируется из моделей сплошных тел;

- гибридные .

Трехмерные графические модели содержат информацию обо всех графических примитивах объекта, расположенного в трехмерном пространстве, то есть строится числовая модель трехмерного объекта, каждая точка которого имеет три координаты (X,Y,Z).

Каркасная модель представляет объемное изображение объекта в виде линий пересечения граней объекта. В качестве примера на рис.10.1 показана каркасная модель и структура данных компьютерной модели внутренних вычислений тетраэдра.

Рис. 10.1. Структура данных каркасной модели тетраэдра

Основные недостатки каркасных моделей:

Невозможно автоматическое удаление скрытых линий;

Возможность неоднозначного представления объекта;

В сечении объекта плоскостями будут только точки пересечения ребер объекта;

Однако каркасные модели не требуют большого количества вычислений, то есть высокого быстродействия и большой компьютерной памяти. Поэтому они экономичны с точки зрения использования их при создании компьютерных изображений.

В поверхностных моделях объемное изображение объекта представляется в виде совокупности отдельных поверхностей.

При создании трехмерных поверхностных моделей используются аналитические и сплайн-поверхности.

Аналитические поверхности (плоскость, цилиндр, конус, сфера и др.) описываются математическими уравнениями.

Сплайн-поверхности представляются массивами точек, между которыми положения остальных точек определяются с помощью математической аппроксимации. На рис. 10.2б показан пример сплайн-поверхности, созданной перемещением плоского эскиза (рис.10.2а) в выбранном направлении.

Рис. 10.2. Пример сплайн-поверхности

Недостатки поверхностных моделей:

В сечении объекта плоскостями будут только линии пересечения поверхностей объекта с секущими плоскостями;

Невозможно выполнение логических операций сложения, вычитания и пересечения объектов.

Достоинства поверхностных моделей:

Однозначное представление объекта;

Возможность создания моделей объектов, имеющих сложные по конфигурации поверхности.

Трехмерные поверхностные модели нашли широкое применение при создании моделей сложных объектов, состоящих из поверхностей, относительная толщина которых намного меньше размеров создаваемых моделей объектов (корпус судна, фюзеляж самолета, кузов автомобиля и др.).

Кроме того, поверхностные модели используются при создании гибридных твердотельных моделей с использованием поверхностно-ограниченных моделей, когда создание твердотельной модели очень сложно или невозможно вследствие сложных поверхностей объекта.

Твердотельная модель является реальным представлением объекта, так как структура компьютерных данных включает координаты точек всего тела объекта. Это позволяет осуществлять логические операции над объектами: объединение, вычитание и пересечение.

Существует две разновидности твердотельных моделей: поверхностно-ограниченная и объемная.

В поверхностно-ограниченной твердотельной модели границы объекта формируются с помощью поверхностей.

Для объемной твердотельной модели модель внутренних вычислений представляет координаты точек всего твердого тела. Очевидно, что твердотельные модели объектов требуют выполнения большого количества вычислений по сравнению с каркасными и поверхностными моделями, так как в процессе их преобразований требуется пересчет координат всех точек тела объекта и в связи с этим – больших вычислительных мощностей компьютеров (быстродействия и оперативной памяти). Однако эти модели обладают достоинствами, позволяющими эффективно использовать их в процессе автоматизированного проектирования:

Возможно автоматическое удаление скрытых линий;

Наглядность и невозможность неоднозначного представления объекта;

В сечении объекта плоскостями будут получаться разрезы, используемые при создании чертежей;

Возможно выполнение логических операций сложения, вычитания и пересечения объектов.

На рис.10.3 в качестве иллюстрации показаны результаты сечения плоскостью различных типов трехмерных моделей параллелепипеда: каркасной, поверхностной и твердотельной.

Рис. 10.3. Сечения плоскостью различных типов трехмерных моделей

Эта иллюстрация показывает, что с помощью трехмерных моделей возможно получение разрезов и сечений, что требуется выполнять при создании чертежей изделий.

Принцип создания сложной модели объекта основан на последовательном выполнении трех логических (булевых) операций с твердотельными моделями(рис.10.4): гибридная модель , представляющая собой комбинацию поверхностно-ограниченной модели и объемной твёрдотельной модели, что позволяет использовать преимущества обеих моделей.

Достоинства твердотельных и гибридных моделей являются основной причиной их широкого использования при создании трехмерных моделей объектов, несмотря на необходимость выполнения большого количества вычислений и, соответственно, применения компьютеров, имеющих большую память и высокое быстродействие.

Геометрическая модель Модель – такое представление данных, которое наиболее адекватно отражает свойства реального объекта, существенные для процесса проектирования. Геометрические модели описывают объекты, обладающие геометрическими свойствами. Таким образом, геометрическое моделирование – это моделирование объектов различной природы с помощью геометрических типов данных.

Основные вехи в создании математических основ современных геометрических моделей Изобретение станка с ЧПУ – начало 50 -х годов (Массачусетский технологический институт MIT) – необходимость создания цифровой модели детали Создание «скульптурных поверхностей» (потребности авиа и автомобилестроения) – для Citroen математик Поль де Кастельжо предложил построить гладкие кривые и поверхности по набору контрольных точек – будущие кривые и поверхности Безье – 1959 г. Результаты работы опубликованы в 1974 г.

Билинейный лоскут (bilinear patch) – гладкая поверхность, построенная по 4 -м точкам. Билинейный лоскут Кунса (поверхность Кунса –Coons patch) – гладкая поверхность, построенная по 4 -м граничным кривым – автор Стивен Кунс – профессор MIT – 1967 г. Кунс предложил использовать рациональный полином для описания конических сечений Сазерленд – ученик Кунса разработал структуры данных для будущих геометрических моделей, предложил ряд алгоритмов, решающих задачу визуализации

Создание поверхности, контролирующей гладкость между граничными кривыми, поверхность Безье – автор Пьер Безье – инженер компании Renault – 1962 г. Основой для разработки таких поверхностей были кривые и поверхности Эрмита, описанные французским математиком - Шарлем Эрмитом (середина 19 века)

Использование сплайнов (кривые, степень которых не определяется числом опорных точек, по которым она строится) в геометрическом моделировании. Исаак Шенберг(1946 г.) дал их теоретическое описание. Карл де Бур и Кокс рассмотрели эти кривые применительно к геометрическому моделированию – их название В-сплайны – 1972 г.

Использование NURBS (рациональные В-сплайны на неравномерной сетке параметризации) в геометрическом моделировании – Кен Версприл (Сиракузский Университет), затем сотрудник Computervision -1975 г. NURBS впервые использовал Розенфельд в системе моделирования Alpha 1 и Geomod – 1983 г. Возможность описания всех типов конических сечений с помощью рациональных В-сплайнов – Юджин Ли – 1981 г. Данное решение найдены при разработке САПР TIGER, используемой в авиастроительной компании Boeing. Этой компанией было предложено включить NURBS в формат IGES Разработка принципов параметризации в геометрическом моделировании, введение понятия фичерc (future) – С. Гейзберг. Первопроходцы – PTC (Parametric Technology Corporation), первая система, поддерживающая параметрическое моделирование – Pro/E -1989 г.

Математические знания, необходимые для изучения геометрических моделей Векторная алгебра Матричные операции Формы математического представления кривых и поверхностей Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей Аппроксимация и интерполяция кривых и поверхностей Сведения из элементарной геометрии на плоскости и в пространстве

Классификация геометрических моделей по информационной насыщенности По информационной насыщенности Каркасная (проволочная) Каркасноповерхностная Модель сплошных тел или твердотельная модель

Классификация геометрических моделей по внутреннему представлению По внутреннему представлению Граничное –Boundary representation –B-rep -аналитическое описание - оболочка Структурная модель – дерево построения Структура + границы

Классификация по способу формирования По способу формирования Жестко-размерное моделирование или с явным заданием геометрии – задание оболочки Параметрическая модель Кинематическая модель(lofting, sweep, Extrude, revolve, протянутая, заметающая) Модель конструктивной геометрии (использование базовых элементов формы и булевых операций над ними – пересечение, вычитание, объединение) Гибридная модель

Способы построения кривых в Геометрическом моделировании Основой создания трехмерной поверхностной модели являются кривые. Способы построения кривых в геометрическом моделировании: Интерполяция – кривые Эрмита и кубические сплайны Аппроксимация – кривые Безье, Всплайновые кривые, NURBS кривые

Основные способы построения поверхностных моделей Аналитические поверхности Плоскостиполигональные сетки Квадратичные поверхности – конические сечения Поверхности, построенные по точкам Полигональные сетки Билинейная поверхность Линейная и бикубическая поверхность Кунса Поверхность Безье В-сплайновые поверхности NURBS поверхности Треугольные поверхности Поверхности, построенные по кинематическому принципу Поверхность вращения Поверхность соединения Заметающая поверхность Сложные sweep и lofting поверхности

Твердотельная модель При моделировании твердых тел используются топологические объекты, несущие в себе топологическую и геометрическую информацию: Грань; Ребро; Вершина; Цикл; Оболочка Основа твердого тела – его оболочка, которая строится на основе поверхностей

Способы твердотельного моделирования: явное (прямое) моделирование, параметрическое моделирование. Явное моделирование 1. Модель конструктивной геометрии – использование БЭФ и булевых операций. 2. Кинематический принцип построения. 3. Моделирование оболочки в явном виде. 4. Объектно-ориентированное моделирование – использование фичерсов.

Геометрия, базирующаяся на конструктивно-технологических элементах (фичерсах) (объектноориентированное моделирование) ФИЧЕРСЫ – одиночные или составные конструктивные геометрические объекты, содержащие информацию о своем составе и легко изменяемые в процессе проектирования (фаски, ребра и т. п.) зависимо от в внесенных в геометрическую модель изменений. ФИЧЕРСЫ – параметризованные объекты, привязанные к другим элементам геометрической модели.

Поверхностные и твердотельные модели, построенные по кинематическому принципу Вращение Простое перемещение – выдавливание Смешивание двух профилей Простое перемещение профиля вдоль кривой Перемещение профиля вдоль кривой с его изменением в плоскости сечения

Примеры твердых тел, построенных по кинематическому принципу 1. Смешивание профилей по определенному закону (квадратичный, кубический и т. д.)

Параметрические модели Параметрическая модель – это модель, представленная с помощью совокупности параметров, устанавливающих соотношение между геометрическими и размерными характеристиками моделируемого объекта. Типы параметризациии Иерархическая параметризация вариационная Параметризация Геометрическая или размерная параметризация Табличная параметризация

Иерархическая параметризация Параметризация на основе истории построений первая параметрическая модель. История превращается в параметрическую модель, если с каждой операцией ассоциировать определенные параметры. В ходе построения модели вся последовательность построения, например, порядок выполненных геометрических преобразований, отображается в виде дерева построения. Внесение изменений на одном из этапов моделирования приводит к изменению всей модели и дерева построения.

Недостатки иерархической параметризации ü Введение циклических зависимостей в модели приведет к отказу системы в создании такой модели. ü Ограничены возможности редактирования такой модели из-за отсутствия достаточной степени свободы (возможность редактирования параметров каждого элемента по очереди) ü Сложность и непрозрачность для пользователя ü Дерево построения может быть очень сложным, пересчет модели потребует много времени ü Решение о том, какие параметры менять происходит только в процессе построения ü Невозможность применения этого подхода при работе с разнородными и унаследованными данными

Иерархическую параметризацию можно отнести к жесткой параметризации. При жесткой параметризации в модели полностью заданы все связи. При создании модели с помощью жесткой параметризации очень важным является порядок определения и характер наложенных связей, которые будут управлять изменением геометрической модели. Такие связи наиболее полно отражает дерево построения. Для жесткой параметризации характерно наличие случаев, когда при изменении параметров геометрической модели решение вообще не м. б. найдено, т. к. часть параметров и установленные связи вступают в противоречие друг с другом. Тоже самое может возникнуть при изменении отдельных с этапов дерева построения Использование дерева построения при создании модели приводит к созданию модели на основе истории, такой подход к моделированию называется процедурным

Отношение Родитель/Потомок. Основной принцип иерархической параметризации –фиксация всех этапов построения модели в дереве построения. Это и есть определение отношений Родитель/Потомок. При создании нового конструктивного элемента, все другие элементы, на которые ссылается создаваемый конструктивный элемент, становятся его Родителями. Изменение родительского конструктивного элемента приводит к изменению всех его потомков.

Вариационная параметризация Создание геометрической модели с использованием ограничений в виде системы алгебраических уравнений, определяющей зависимость между геометрическими параметрами модели. Пример геометрической модели, построенной на основе вариационной параметризации

Пример создание параметрической модели эскиза средствами вариационной параметризации в Pro/E Наличие символьного обозначения каждого размера позволяет задавать соотношения размеров с помощью математических формул.

Геометрическая параметризация основана на пересчете параметрической модели в зависимости от геометрических параметров родительских объектов. Геометрические параметры, влияющие на модель, построенную на основе геометрической параметризации ü Параллельность ü Перпендикулярность ü Касательность ü Концентричность окружностей ü И т. п. В геометрической параметризации используются принципы ассоциативной геометрии

Геометрическую и вариационную параметризацию можно отнести к мягкой параметризации Почему? мягкая параметризация - это метод построения геометрических моделей, в основе которого лежит принцип решения нелинейных уравнений, описывающих связи между геометрическими характеристиками объекта. Связи в свою очередь задаются формулами, как в случае вариационных параметрических моделей, или геометрическими соотношениями параметров, как в случае моделей, созданных на основе геометрической параметризации. Метод построения геометрической модели с помощью вариационной и геометрической параметризации называют - декларативным

Табличная параметризация Создание таблицы параметров типовых деталей. Генерация нового типового объекта производится путем выбора из таблицы типоразмеров. Пример таблицы типоразмеров, создаваемой в Pro/E

Понятие косвенного и прямого редактирования Косвенное редактирование предполагает наличие дерева построения для геометрической модели – редактирование происходит внутри дерева Прямое редактирование предполагает работу с границей твердого тела, т. е. с его оболочкой. Редактирование модели не на основе дерева построения, а в результате изменения составляющих оболочки твердого тела

Ядра геометрического моделирования Ядро геометрического моделирования – совокупность программных средств построения трехмерных геометрических моделей, основанных на математических методах их построения. ACIS – Dassault System – граничное представление Parasolid – Unigraphics Solution – граничное представление Granite – используется в Pro/E и Creo – поддерживает трехмерное параметрическое моделирование

Основные составляющие ядер геометрического моделирования Структура данных для моделирования – конструктивное представление – модель конструктивной геометрии или граничное представление – B-rep модель. Математический аппарат. Средства визуализации. Набор интерфейсов – API (Application Programming Interface)

Методы создания геометрических моделей в современных САПР Методы для создания моделей на основе трехмерных или двухмерных заготовок (базовых элементов формы) –создание примитивов, булевы операции Создание объемного тела или поверхностной модели по кинематическому принципу –заметание, lofting, sweep и т. п. Часто используется принцип параметризации Изменение тел или поверхностей путем плавного сопряжения, скругления, вытягивания Методы редактирования границ – манипулирование составляющими объемных тел (вершинами, ребрами, гранями и т. п.). Используются для добавления, удаления, изменения элементов объемного тела или плоской фигуры. Методы для моделирования тела при помощи свободных форм. Объектно-ориентированное моделирование. Использование конструктивных элементов формы – фичерсов (features) (фаски, отверстия, скругления, пазы, выемки и т. п.) (пример, сделать такое-то отверстие в таком-то месте)

Задачи, решаемые САПР различного уровня 1. Решение задач базового уровня проектирования, параметризация или отсутствует, или реализована на низком самом простом уровне 2. Имеют достаточно сильную параметризацию, ориентированы на индивидуальную работу, невозможна совместная работа разных разработчиков над одним проектом одновременно. 3. Позволяют реализовать параллельную работу проектантов. Системы строятся по модульному принципу. Весь цикл работ производится без потери данных и параметрических связей. Основный принцип – сквозная параметризация. В таких системах допускается изменение модели изделия и самого изделия на любой стадии работ. Поддержка на любом уровне жизненного цикла изделия. 4. Решаются задачи создания моделей узкой области использования. Могут быть реализованы все возможные способы создания моделей

Классификация современных САПР Параметры классификации степень параметризации Функциональная насыщенность Области применения (авиа-, автомобиле- , приборостроение) Современные САПР 1. Низкого уровня (малые, легкие): Auto. CAD, Компас и т. п. 2. Среднего уровня (средние): Pro Desktop, Solid Works, Power Shape и т. п. 3. Высокого уровня (большие, тяжелые): Pro/E , Creo (PTC), Catia, Solid Works (Dassault Systemes), Siemens PLM Software (NX Unigraphics) 4. Специализированные: СПРУТ, Icem Surf, САПР, используемые в конкретных отраслях – MCAD, ACAD, ECAD

Примеры САПР различного уровня Низкого уровня – Auto. CAD, Компас Среднего уровня – Inventor (Autodesk), Solid Edge (Siemens), Solid Works (Dassault System), T-Flex – компания «Топ Системы» Высокого уровня – Pro/E-Creo Parametric(PTC), CATIA(Dassault System), NX(Unigraphics –Siemens PLM Software) Специализированные – СПРУТ, Icem Surf(PTC)

Основные концепции моделирования в настоящее время 1. Flexible engineering (гибкое проектирование): ü ü Параметризация Проектирование поверхностей любой сложности (фристайл поверхности) Наследование других проектов Целезависимое моделирование 2. Поведенческое моделирование ü ü ü Создание интеллектуальных моделей (smart модели) - создание моделей, адаптированных к среде разработки. В геометрическую модель м. б. включены интеллектуальные понятия, например, фичерсы Включение в геометрическую модель требований к изготовлению изделия Создание открытой модели, позволяющей ее оптимизировать 3. Использование идеологии концептуального моделирования при создании больших сборок ü ü Использование ассоциативных связей (набор параметров ассоциативной геометрии) Разделение параметров модели на различных этапах проектирования сборки

При решении большинства задач в области автоматизированного конструирования (К) и технологической подготовки производства (ТПП) надо иметь модель объекта проектирования.

Под моделью объекта понимают его некоторое абстрактное представление, удовлетворяющее условию адекватности этому объекту и позволяющее осуществлять его представление и обработку с помощью компьютера.

Т.о. модель – набор данных, отображающих свойства объекта и совокупность отношений между этими данными.

В модель объекта ПР в зависимости от характера ее исполнения может входить ряд разнообразных характеристик и параметров. Чаще всего модели объектов содержат данные о форме объекта, его размерах, допусках, применяемых материалах, механических, электрических, термодинамических и других характеристиках, способах обработки, стоимости, а также о микрогеометрии (шероховатость, отклонения формы, размеров).

Для обработки модели в графических системах САПР существенным является не весь объем информации об объекте, а та часть, которая определяет его геометрию, т.е. формы, размеры, пространственное размещение объектов.

Описание объекта с точки зрения его геометрии называется геометрической моделью объекта .

Но геометрическая модель может в себя включать еще и некоторую технологическую и вспомогательную информацию.

Информация о геометрических характеристиках объекта используется не только для получения графического изображения, но и для расчетов различных характеристик объекта (например, по МКЭ), для подготовки программ для станков с ЧПУ.

В традиционном процессе конструирования обмен информацией осуществляется на основе эскизных и рабочих чертежей с использованием нормативно-справочной и технической документации. В САПР этот обмен реализуется на основе внутримашинного представления объекта.

Под геометрическим моделированием понимают весь многоступенчатый процесс – от вербального (словесного) описания объекта в соответствии с поставленной задачей до получения внутримашинного представления объекта.

В системах геометрического моделирования могут обрабатываться 2-мерные и 3-хмерные объекты, которые в свою очередь могут быть аналитически описываемыми и неописываемыми. Аналитически неописываемые геометрические элементы, такие как кривые и поверхности произвольной формы, используются преимущественно при описании объектов в автомобиле-, самолето- и судостроении.

Основные виды ГМ

2-мерные модели , которые позволяют формировать и изменять чертежи, были 1-ми моделями, нашедшими применение. Такое моделирование часто применяется и до сих пор, т.к. оно намного дешевле (в отношении алгоритмов, использования) и вполне устраивает промышленные организации при решении разнообразных задач.

В большинстве 2-мерных систем геометрического моделирования описание объекта осуществляется в интерактивном режиме в соответствии с алгоритмами, аналогичными алгоритмам традиционного метода конструирования. Расширением таких систем является то, что контурам или плоским поверхностям ставится в соответствие постоянная или переменная глубина изображения. Системы, работающие по такому принципу, называется 2,5-мерными. Они позволяют получать на чертежах аксонометрические проекции объектов.

Но 2-мерное представление часто не удобно для достаточно сложных изделий. При традиционных способах конструирования (без САПР) пользуются чертежами, где изделие может быть представлено несколькими видами. Если изделие очень сложное, его можно представить в виде макета. 3-хмерная модель служит для того, чтобы создать виртуальное представление изделия во всех 3-х измерениях.

Различают 3 вида 3-хмерных моделей:

· каркасные (проволочные)

· поверхностные (полигональные)

· объемные (модели сплошных тел).

· Исторически 1-ми явились каркасные модели . В них хранятся только координаты вершин (x,y,z ) и соединяющие их ребра.

На рисунке видно, как куб может быть воспринят неоднозначно.

Т.к. известны только ребра и вершины, возможны различные интерпретации одной модели. Каркасная модель проста, но с ее помощью можно представить в пространстве только ограниченный класс деталей, в которых аппроксимирующие поверхности являются плоскостями. На основе каркасной модели можно получать проекции. Но невозможно автоматически удалять невидимые линии и получать различные сечения.

· Поверхностные модели позволяют описывать достаточно сложные поверхности. Поэтому они часто соответствует нуждам промышленности (самолето-, судо-, автомобилестроение) при описании сложных форм и работе с ними.

При построении поверхностной модели предполагается, что объекты ограничены поверхностями, которые отделяют их от окружающей среды. Поверхность объекта тоже становится ограниченной контурами, но эти контуру являются результатом 2-х касающихся или пересекающихся поверхностей. Вершины объекта могут быть заданы пересечением поверхностей, множеством точек, удовлетворяющих какому-то геометрическому свойству, в соответствии с которым определяется контур.

Возможны различные виды задания поверхностей (плоскости, поверхности вращения, линейчатые поверхности). Для сложных поверхностей используются различные математические модели аппроксимации поверхностей (методы Кунса, Безье, Эрмита, В-сплайна). Они позволяют изменять характер поверхности с помощью параметров, смысл которых доступен пользователю, не имеющему специальной математической подготовки.

Аппроксимация поверхностей общего вида плоскими гранями дает преимущество: для обработки таких поверхностей используются простые математические методы. Недостаток: сохранение формы и размеров объекта зависит от числа граней, используемых для аппроксимаций. Чем > число граней, тем < отклонение от действительной формы объекта. Но с увеличением числа граней одновременно увеличивается и объем информации для внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается как время на работу с моделью объекта, так и объем памяти для хранения модели.

· Если для модели объекта существенно разграничение точек на внутренние и внешние, то говорят об объемных моделях . Для получения таких моделей сначала определяются поверхности, окружающие объект, а затем они собираются в объемы.

В настоящее время известны следующие способы построения объемных моделей:

· В граничных моделях объем определяется как совокупность ограничивающих его поверхностей.

Структура может быть усложнена внесением действий переноса, поворота, масштабирования.

Достоинства:

¾ гарантия генерации правильной модели,

¾ большие возможности моделирования форм,

¾ быстрый и эффективный доступ к геометрической информации (например, для прорисовки).

Недостатки :

¾ больший объем исходных данных, чем при CSG способе,

¾ модель логически < устойчива, чем при CSG, т.е. возможны противоречивые конструкции,

¾ сложности построения вариаций форм.

· В CSG-моделях объект определяется комбинацией элементарных объемов с использованием геометрических операций (объединение, пересечение, разность).

Под элементарным объемом понимается множество точек в пространстве.

Моделью такой геометрической структуры является древовидная структура. Узлы (нетерминальные вершины) – операции, а листья – элементарные объемы.

Достоинства:

¾ концептуальная простота,

¾ малый объем памяти,

¾ непротиворечивость конструкции,

¾ возможность усложнения модели,

¾ простота представления частей и сечений.

Недостатки:

¾ ограничение рамками булевых операций,

¾ вычислительноемкие алгоритмы,

¾ невозможность использовать параметрически описанных поверхностей,

¾ сложность при работе с функциями > чем 2-го порядка.

· Ячеечный метод. Ограниченный участок пространства, охватывающий весь моделируемый объект, считается разбитым на большое число дискретных кубических ячеек (обычно единичного размера).

Моделирующая система должна просто записать информацию о принадлежности каждого куба объекту.

Структура данных представляется 3-хмерной матрицей, в которой каждый элемент соответствует пространственной ячейке.

Достоинства:

¾ простота.

Недостатки:

¾ большой объем памяти.

Для преодоления этого недостатка используют принцип разбиения ячеек на подъячейки в особо сложных частях объекта и на границе.

Объемная модель объекта, полученная любым способом, является корректной, т.е. в данной модели нет противоречий между геометрическими элементами, например, отрезок не может состоять из одной точки.

Каркасное представление м.б. использовано не при моделировании, а при отражении моделей (объемных или поверхностных) как один из методов визуализации.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Системы геометрического моделирования

Системы геометрического моделирования позволяют работать с формами в трехмерном пространстве. Они были созданы для того, чтобы преодолеть проблемы, связанные с использованием физических моделей в процессе проектирования, такие как - сложность получения сложных форм с точными размерами, а также сложностью извлечения необходимых сведений из реальных моделей для их точного воспроизведения.

Эти системы создают среду, подобную той, в которой создаются физические модели. Другими словами, в системе геометрического моделирования разработчик изменяет форму модели, добавляет и удаляет ее части, детализируя форму визуальной модели. Визуальная модель может выглядеть также как и физическая, но она нематериальна. Однако трехмерная визуальная модель хранится в компьютере вместе со своим математическим описанием, благодаря чему устраняется главный недостаток физической модели - необходимость выполнения измерений для последующего прототипирования или серийного производства. Системы геометрического моделирования делятся на каркасные, поверхностные, твердотельные и немногообразные.

Системы каркасного моделирования

В системах каркасного моделирования форма представляется в виде набора характеризующих ее линий и конечных точек. Линии и точки используются для предоставления трехмерных объектов на экране, а изменение формы осуществляется путем изменения положения и размеров отрезков и точек. Другими словами, визуальная модель представляет собой каркасный чертеж формы, а соответствующее математическое описание представляет собой набор уравнений кривых, координат точек и сведений о связности кривых и точек. Сведения о связности описывают принадлежность точек к конкретным кривым, а также пересечение кривых друг с другом. Системы каркасного моделирования были популярны в ту пору, когда ГМ только начало зарождаться. Их популярность объяснялась тем, что в системах каркасного моделирования создание форм выполнялось через последовательность простых действий, так что пользователям было достаточно легко создавать формы самостоятельно. Однако визуальная модель, состоящая из одних лишь линий, может быть неоднозначной. Более того, соответствующее математическое описание не содержит сведений о внутренних и внешних поверхностях моделируемого объекта. Без этих сведений невозможно рассчитать массу объекта, определить траектории перемещения или создать сетку для конечноэлементного анализа, несмотря на то, что объект кажется трехмерным. Поскольку эти операции являются неотъемлемой частью процесса проектирования, системы каркасного моделирования были постепенно вытеснены системами поверхностного и твердотельного моделирования.

Системы поверхностного моделирования

В системах поверхностного моделирования математическое описание визуальной модели включает в себя не только сведения о характеристических линиях и их конечных точках, но и данные о поверхностях. При работе с отображаемой на экране моделью изменяются уравнения поверхностей, уравнения кривых и координаты точек. Математическое описание может включать сведения о связности поверхностей - как поверхности соединяются друг с другом и по каким кривым. В некоторых приложениях эти сведения могут оказаться очень полезными.

Существуют три стандартных метода создания поверхностей в системах поверхностного моделирования:

1) Интерполяция входных точек.

2) Интерполяция криволинейных точек.

3) Трансляция или вращение заданной кривой.

Системы поверхностного моделирования используются для создания моделей со сложными поверхностями, потому что визуальная модель позволяет оценить эстетичность проекта, а математическое описание позволяет построить программы с точными расчетами траекторий движения.

Системы твердотельного моделирования

Предназначены для работы с объектами, состоящими из замкнутого объема, или монолита. В системах твердотельного моделирования, в отличии от систем каркасного и поверхностного моделирования, не допускается создание набора поверхностей или характеристических линий, если они не образуют замкнутого объема. Математическое описание объекта, созданного в системе твердотельного моделирования содержит сведения, по которым система может определить, где находится линия либо точка: внутри объема, снаружи него или на его границе. При этом можно получить любую информацию об объеме тела, а значит, могут быть использованы приложения, работающие с объектом на уровне объема, а не на поверхностях.

Однако системы твердотельного моделирования требуют большего количества входных данных по сравнению с количеством данных, дающих математическое описание. Если бы система требовала от пользователя ввода всех данных для полного математического описания, она стала бы слишком сложной для пользователей, и они бы отказались от нее. Поэтому разработчики таких систем стараются представить простые и естественные функции, чтобы пользователи могли работать с объемными формами, не вдаваясь в подробности математического описания.

Функции моделирования, поддерживаемые большинством систем твердотельного моделирования, могут быть разделены на пять основных групп:

1) Функции создания примитивов, а также функции добавления, вычитания объема - булевские операторы. Эти функции позволяют проектировщику быстро создать форму, близкую к окончательной форме детали.

2) Функции создания объемных тел путем перемещения поверхности. Функция заметания позволяет создавать объемное тело трансляцией или вращением области, заданной на плоскости.

3) Функции, предназначенные главным образом для изменения существующей формы. Типичными примерами являются функции скругления или плавного сопряжения и поднятия.

4) Функции позволяющие непосредственно манипулировать составляющими объемных тел, то есть по вершинам, ребрам и граням.

5) Функции, используя которые проектировщик может моделировать твердое тело при помощи свободных форм.

Немногообразные системы моделирования

Системы твердотельного моделирования позволяют пользователю создавать тела с замкнутым объемом, то есть, говоря математическим языком, тела, представляющие собой многообразия. Другими словами, такие системы запрещают создание структур, не являющихся многообразными. Нарушениями условия многообразности являются, например касание двух поверхностей в одной точке, касание двух поверхностей вдоль открытой или замкнутой кривой, два замкнутых объема с общей гранью, ребром или вершиной, а также поверхности, образующие структуры типа сот.

Запрет на создание немногообразных моделей считался одним из достоинств систем твердотельного моделирования, поскольку благодаря этому любую созданную в такой системе модель можно было бы изготовить. Если же пользователь хочет работать с системой геометрического моделирования на протяжении всего процесса разработки, это достоинство оборачивается другой стороной.

Абстрактная модель со смешением измерений удобна тем, что она не стесняет творческую мысль конструктора. Модель со смешанными измерениями может содержать свободные ребра, слоистые поверхности и объемы. Абстрактная модель полезна также тем, что она может служить основой для проведения анализа. На каждом этапе процесса проектирования могут применяться свои аналитические средства. Например, методом конечных элементов, непосредственно на исходном представлении модели, что позволяет автоматизировать обратную связь между этапами проектирования и анализа, которая в настоящий момент реализуется конструктором самостоятельно. Немногообразные модели незаменимы как этап развития проекта от неполного описания на низких уровнях до готового объемного тела. Системы немногообразного моделирования позволяют использовать каркасные, поверхностные, твердотельные и сотовые модели одновременно в одной и той же среде моделирования, расширяя диапазон доступных моделей.

Описание поверхностей

Важной составной частью геометрических моделей является описание поверхностей. Если поверхности детали -- плоские грани, то модель может быть выражена достаточно просто определенной информацией о гранях, ребрах, вершинах детали. При этом обычно используется метод конструктивной геометрии. Представление с помощью плоских граней имеет место и в случае более сложных поверхностей, если эти поверхности аппроксимировать множествами плоских участков -- полигональными сетками. Тогда можно поверхностную модель задать одной из следующих форм:

1) модель есть список граней, каждая грань представлена упорядоченным списком вершин (циклом вершин); эта форма характеризуется значительной избыточностью, так как каждая вершина повторяется в нескольких списках;

2) модель есть список ребер, для каждого ребра заданы инцидентные вершины и грани. Однако аппроксимация полигональными сетками при больших размерах ячеек сетки дает заметные искажения формы, а при малых размерах ячеек оказывается неэффективной по вычислительным затратам. Поэтому более популярны описания неплоских поверхностей кубическими уравнениями в форме Безье или 5-сплайнов.

Знакомство с этими формами удобно выполнить, показав их применение для описания геометрических объектов первого уровня -- пространственных кривых.

Примечание. Геометрическими объектами нулевого, первого и второго уровней называют соответственно точки, кривые, поверхности.

В подсистемах МГиГМ используются параметрически задаваемые кубические кривые

геометрический конструктивный моделирование поверхность

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ;

y(t) = ay t3 +X by t2 + cy t + dy ;

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

где 1 > t > 0. Такими кривыми описывают сегменты аппроксимируемой кривой, т. е. аппроксимируемую кривую разбивают на сегменты и каждый сегмент аппроксимируют уравнениями (3.48).

Применение кубических кривых обеспечивает (соответствующим выбором четырех коэффициентов в каждом из трех уравнений) выполнение четырех условий сопряжения сегментов. В случае кривых Безье этими условиями являются прохождение кривой сегмента через две заданные концевые точки и равенство в этих точках касательных векторов соседних сегментов. В случае 5-сплайнов выполняются условия непрерывности касательного вектора и кривизны (т. е. первой и второй производных) в двух концевых точках, что обеспечивает высокую степень гладкости кривой, хотя прохождение аппроксимирующей кривой через заданные точки здесь не обеспечивается. Применение полиномов выше третьей степени не рекомендуется, так как велика вероятность появления волнистости.

В случае формы Безье коэффициенты в (3.48) определяются, во-первых, подстановкой в (3.48) значений (=0к(=1и координат заданных концевых точек Р, и Р4 соответственно, во-вторых, подстановкой в выражения производных

dx/dt = За t2 + 2b + с, X X х"

dy/dt = За, Г2 + 2byt + с,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + с.

тех же значений / = 0 и / = 1 и координат точек Р2 и Р3, задающих направления касательных векторов (рис. 3.27). В результате для формы Безье получаем

Кривая Безье. (3.27)

для которых матрица М имеет иной вид и представлена в табл. 3.12, а векторы Gx, Gy, G содержат соответствующие координаты точек Р, 1; Р, Р, + 1, Р, + 2.

Покажем, что в точках сопряжения для первой и второй производных аппроксимирующего выражения выполняются условия непрерывности, что требуется по определению В-сплайна. Обозначим участок аппроксимирующего В-сплайна, соответствующий участку [Р, Р +1] исходной кривой, через . Тогда для этого участка и координаты х в точке сопряжения Q/+ , имеем t = 1 и

Для участка в той же точке Qi+| имеем t = 0 и

т. е. равенство производных в точке сопряжения на соседних участках подтверждает непрерывность касательного вектора и кривизны. Естественно, что значение х координаты х точки Qi+1 аппроксимирующей кривой на участке .

равно значению х, подсчитанному для той же точки на участке , но значения координат узловых точек х и х+] аппроксимирующей и аппроксимируемой кривых не совпадают.

Аналогично можно получить выражения для форм Безье и 5-сплайнов применительно к поверхностям с учетом того, что вместо (3.48) используются кубические зависимости от двух переменных.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Статические и динамические модели. Анализ имитационных систем моделирования. Система моделирования "AnyLogic". Основные виды имитационного моделирования. Непрерывные, дискретные и гибридные модели. Построение модели кредитного банка и ее анализ.

дипломная работа , добавлен 24.06.2015


Задачи оптимизации сложных систем и подходы к их решению. Программная реализация анализа сравнительной эффективности метода изменяющихся вероятностей и генетического алгоритма с бинарным представлением решений. Метод решения задачи символьной регрессии.

диссертация , добавлен 02.06.2011


Характеристика основных принципов создания математических моделей гидрологических процессов. Описание процессов дивергенции, трансформации и конвергенции. Ознакомление с базовыми компонентами гидрологической модели. Сущность имитационного моделирования.

презентация , добавлен 16.10.2014


Основной тезис формализации. Моделирование динамических процессов и имитационное моделирование сложных биологических, технических, социальных систем. Анализ моделирования объекта и выделение всех его известных свойств. Выбор формы представления модели.

реферат , добавлен 09.09.2010


Эффективность макроэкономического прогнозирования. История возникновения моделирования экономики в Украине. Особенности моделирования сложных систем, направления и трудности моделирования экономики. Развитие и проблемы современной экономики Украины.

реферат , добавлен 10.01.2011


Основные проблемы эконометрического моделирования. Использование фиктивных переменных и гармонических трендов. Метод наименьших квадратов и выборочная дисперсия. Смысл коэффициента детерминации. Расчет функции эластичности. Свойства линейной модели.

контрольная работа , добавлен 06.11.2009


Теоретические и методологические основы моделирования развития фирм с рентноориентированным управлением. Экономико-математические основы моделирования динамически сложных систем. Функция заимствования: понятие, сущность, свойства, аналитический вид.

дипломная работа , добавлен 04.02.2011


Создание комбинированных моделей и методов как современный способ прогнозирования. Модель на основе ARIMA для описания стационарных и нестационарных временных рядов при решении задач кластеризации. Модели авторегрессии AR и применение коррелограмм.

презентация , добавлен 01.05.2015


Методика получения оценок, используемых в процедурах проектирования управленческих решений. Прикладное использование модели многофакторной линейной регрессии. Создание ковариационной матрицы данных и производных от неё паттернов проектирования решений.

статья , добавлен 03.09.2016


Анализ сложных систем. Проведение экономического исследования с применением технологии компьютерного моделирования. Построение блок-схем, маршрутов потоков сообщений. Разработка модели работы автобусного маршрута. Многовариантные расчеты модели.