Kako saznati površinu jednakostraničnog trokuta: osnovne formule. Pravilan trougao

U školskom kursu geometrije, ogromna količina vremena posvećena je proučavanju trouglova. Učenici izračunavaju uglove, konstruišu simetrale i visine, otkrivaju po čemu se oblici razlikuju jedan od drugog i najlakši način da pronađu njihovu površinu i perimetar. Čini se da to neće biti korisno u životu, ali ponekad je ipak korisno naučiti, na primjer, kako odrediti je li trokut jednakostraničan ili tupokut. Kako to učiniti?

Vrste trouglova

Tri tačke koje ne leže na istoj pravoj i segmenti koji ih povezuju. Čini se da je ova brojka najjednostavnija. Kakvi trouglovi mogu biti ako imaju samo tri stranice? Zapravo, postoji prilično velik broj opcija, a nekima se posvećuje posebna pažnja u školskom kursu geometrije. Pravilan trougao je jednakostraničan, odnosno svi uglovi i stranice su mu jednaki. Ima niz izvanrednih svojstava, o kojima će se dalje govoriti.

Jednakokraka ima samo dvije jednake strane, i također je prilično zanimljiva. U pravougaonom, kao što možete pretpostaviti, jedan od uglova je ravan ili tup. Štaviše, mogu biti i jednakokračne.

Postoji i jedan poseban koji se zove Egipatski. Njegove strane su 3, 4 i 5 jedinica. Štaviše, pravougaona je. Vjeruje se da su ga aktivno koristili egipatski geodeti i arhitekte za izgradnju pravih uglova. Vjeruje se da su uz njegovu pomoć izgrađene čuvene piramide.

Pa ipak, svi vrhovi trougla mogu ležati na istoj pravoj liniji. U ovom slučaju će se zvati degenerisanim, dok će se svi ostali zvati nedegenerisanim. Oni su jedan od predmeta izučavanja geometrije.

Jednakostranični trougao

Naravno, tačne brojke uvijek izazivaju najveće interesovanje. Djeluju savršenije, gracioznije. Formule za izračunavanje njihovih karakteristika često su jednostavnije i kraće nego za obične figure. Ovo se odnosi i na trouglove. Nije iznenađujuće da im se pri proučavanju geometrije posvećuje dosta pažnje: školarci se uče da razlikuju ispravne figure od ostalih, a govore im i o nekim njihovim zanimljivim karakteristikama.

Znakovi i svojstva

Kao što možete pretpostaviti iz imena, svaka strana jednakostraničnog trougla jednaka je ostalim dvjema. Osim toga, ima niz karakteristika koje vam pomažu da utvrdite je li cifra ispravna ili ne.

Ako se primijeti barem jedan od gore navedenih znakova, onda je trokut jednakostraničan. Za tačnu cifru, sve gore navedene tvrdnje su tačne.

Svi trouglovi imaju niz izvanrednih svojstava. Prvo, srednja linija, odnosno segment koji dijeli dvije strane na pola i paralelan s trećom, jednaka je polovini baze. Drugo, zbir svih uglova ove figure je uvek jednak 180 stepeni. Osim toga, postoji još jedan zanimljiv odnos u trouglovima. Dakle, nasuprot veće strane leži veći ugao i obrnuto. Ali to, naravno, nema nikakve veze sa jednakostraničnim trouglom, jer su svi njegovi uglovi jednaki.

Upisane i opisane kružnice

Često na kursu geometrije, studenti takođe uče kako oblici mogu međusobno da komuniciraju. Posebno se proučavaju krugovi upisani u poligone ili opisani oko njih. O čemu se radi?

Upisana kružnica je kružnica kojoj su sve strane poligona tangente. Opisana - ona koja ima dodirne tačke sa svim uglovima. Za svaki trougao uvijek možete konstruirati i prvi i drugi krug, ali samo jedan od svake vrste. Dokazi za ovo dvoje

teoreme se daju u školskom kursu geometrije.

Osim izračunavanja parametara samih trouglova, neki problemi uključuju i izračunavanje polumjera ovih kružnica. I formule za
jednakostranični trokut izgleda ovako:

gdje je r poluprečnik upisane kružnice, R poluprečnik opisane kružnice, a dužina stranice trougla.

Proračun visine, perimetra i površine

Osnovni parametri koje školarci izračunavaju dok proučavaju geometriju ostaju nepromijenjeni za gotovo svaku figuru. To su obim, površina i visina. Da bismo pojednostavili proračune, postoje različite formule.

Dakle, perimetar, odnosno dužina svih strana, izračunava se na sljedeće načine:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, gde je a stranica jednakostraničnog trougla, R je poluprečnik opisane kružnice, r je upisana kružnica.

h = (√ ̅3/2)*a, gdje je a dužina stranice.

Konačno, formula je izvedena iz standardne, odnosno umnožaka polovine baze i njene visine.

S = (√ ̅3/4)*a 2, gdje je a dužina stranice.

Ova vrijednost se također može izračunati kroz parametre opisane ili upisane kružnice. Za to postoje i posebne formule:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, gdje su r i R polumjeri upisanog i opisanog kruga, respektivno.

Izgradnja

Još jedna zanimljiva vrsta problema, uključujući trouglove, uključuje potrebu za crtanjem određene figure koristeći minimalni skup

alati: šestar i ravnalo bez podjela.

Da biste konstruirali pravilan trokut koristeći samo ove uređaje, potrebno je slijediti nekoliko koraka.

1. Morate nacrtati krug bilo kojeg radijusa i sa centrom u proizvoljnoj tački A. Mora biti označen.
2. Zatim morate povući pravu liniju kroz ovu tačku.
3. Presjeci kružnice i prave linije moraju biti označeni kao B i C. Sve konstrukcije moraju biti izvedene sa najvećom mogućom preciznošću.
4. Zatim morate izgraditi još jedan krug s istim polumjerom i centrom u tački C ili luk s odgovarajućim parametrima. Tačke raskrsnice će biti označene D i F.
5. Tačke B, F, D moraju biti povezane segmentima. Konstruiran je jednakostranični trokut.

Rješavanje ovakvih problema obično je problem za školarce, ali ova vještina može biti korisna u svakodnevnom životu.

U elementarnoj geometriji, jednakostranični trokut je pravilan mnogokut sa tri strane. Ako malo proširimo i preciziramo ovu definiciju, ispada da je trokut pravilan ako su sve njegove stranice iste dužine, a uglovi jednaki 60°. Kako pronaći se uči na časovima geometrije u srednjoj školi, a u praksi to znanje često moraju da primjenjuju dizajneri i arhitekti.

Izračunavanje površine jednakostraničnog trougla

a- strana trougla

h- visina trougla

S- kvadrat

Architects površina jednakostraničnog trougla moraju biti pronađeni da li elementi zgrada koje projektuju imaju takav oblik. To mogu biti nestandardni prozori (i obični i potkrovlje), koji se često nalaze u zgradama koje imaju originalan arhitektonski dizajn. Njihovi dizajneri formula za površinu jednakostraničnog trokuta potrebna je kako bi se utvrdilo da li će prozor biti dovoljne veličine da omogući prodiranje potrebne količine dnevne svjetlosti u prostoriju. Osim toga, zabati stambenih seoskih kuća i vikendica, kao i gospodarskih zgrada, čiji se nagibi krova ponekad nalaze pod uglom od 60 °, često imaju oblik jednakostraničnih trokuta.

Jednakostranični trouglovičesto se mogu naći kao dio različitih tehničkih uređaja i alata. Na primjer, zamjenjivi umetci karbidnih karbidnih alata za struganje imaju ovaj oblik. Ugrađuju se na držač ugradnjom na posebnu osovinu, a učvršćuju se pomoću klinastog čeličnog elementa čije se stezanje vrši navojnom vezom. Nakon što jedna od ivica umetka postane tupa tokom procesa rezanja, ploča se uklanja, rotira za 60° i ponovo fiksira, zbog čega se može koristiti druga, oštra ivica. Dakle, zbog činjenice da karbidni umetak ima oblik jednakostraničnog trokuta, takva ponovna instalacija može se izvesti tri puta. Tupe ivice se ne mogu oštriti, a ovi elementi reznog alata se odlažu topljenjem.

I vozači i pješaci su svjesni prometnih znakova koji su jednakostranični trouglovi. Ovaj oblik ih čini uočljivijim, pa su uglavnom znakovi upozorenja. Podrazumijeva se da je u procesu njihovog razvoja i pisanja odgovarajuće regulatorne i tehničke dokumentacije bilo potrebno koristiti formula za izračunavanje površine jednakostraničnog trokuta.

Oni savršeno dobro znaju šta je to jednakostranični trougao, ljubitelji tako popularne igre kao što je bilijar. Koristeći posebne okvire odgovarajućeg oblika, lopte se postavljaju određenim redoslijedom prije početka svake utakmice. Ovi proizvodi se izrađuju od drveta, plastike ili metala.

Među geometrijskim figurama o kojima se govori u odeljku o geometriji, najčešće se susreće pri rješavanju određenih zadataka je trokut. Sastoji se od tri prave linije. One se ne seku u jednoj tački i nisu paralelne. Može se dati još jedna definicija: trokut je izlomljena zatvorena linija koja se sastoji od tri karike, gdje su njen početak i kraj povezani u jednoj tački. Ako su sve tri strane jednake veličine, onda je to pravilan trokut, ili, kako kažu, jednakostraničan.

Kako odrediti Da biste riješili takve probleme, morate znati neka svojstva ove geometrijske figure. Prvo, ovaj ima sve uglove jednake. Drugo, visina koja se spušta od vrha do dna je i medijana i visina. Ovo sugerira da visina dijeli vrh trougla na dva jednaka ugla, a suprotnu stranu na dva jednaka segmenta. Kako se jednakostranični trokut sastoji od dva, pri određivanju tražene vrijednosti potrebno je koristiti Pitagorinu teoremu.

Izračunavanje površine trokuta može se izvršiti na različite načine, u zavisnosti od poznatih veličina.

1. Razmotrimo jednakostranični trokut sa poznatom stranicom b i visinom h. Površina trokuta u ovom slučaju bit će jednaka polovini proizvoda stranice i visine. U formi formule to će izgledati ovako:

Drugim riječima, površina jednakostraničnog trokuta jednaka je polovini umnoška njegove stranice i visine.

2. Ako je poznata samo veličina strane, onda je prije traženja površine potrebno izračunati njenu visinu. Da biste to učinili, uzmite u obzir polovicu trokuta u kojem će visina biti jedna od krakova, hipotenuza je stranica trokuta, a drugi krak je polovina stranice trokuta prema njegovim svojstvima. Sve iz iste Pitagorine teoreme.Kao što je poznato iz nje, kvadrat hipotenuze odgovara zbiru kvadrata kateta. Ako uzmemo u obzir polovinu trokuta, onda je u ovom slučaju stranica hipotenuza, polovina stranice je jedna noga, a visina je druga.

(b/2)²+ h2= b², dakle

h²= b²-(b/2)². Hajde da to dovedemo do zajedničkog imenioca:

Kao što vidite, visina dotične figure jednaka je proizvodu polovine njene stranice i korijena tri.

Zamenimo ga u formulu i vidimo: S=1/2* b* b/2√3= b²/4√3.

To jest, površina jednakostraničnog trokuta jednaka je proizvodu četvrtog dijela kvadrata stranice i korijena tri.

3. Postoje i problemi gdje je potrebno odrediti površinu jednakostraničnog trougla sa poznatom visinom. A ispostavilo se da je to lako kao ljuštenje krušaka. Već smo u prethodnom slučaju zaključili da je h²= 3 b²/4. Zatim, morate izvući stranu odavde i zamijeniti je u formulu površine. To će izgledati ovako:

b²=4/3* h², dakle b=2h/√3. Zamjenom u formulu za područje, dobijamo:

S=1/2* h*2h/√3, dakle S= h²/√3.

Postoje problemi kada je potrebno pronaći površinu jednakostraničnog trokuta duž polumjera upisane ili opisane kružnice. Postoje i određene formule za ovaj proračun, koje izgledaju ovako: r = √3* b/6, R=√3* b/3.

Ponašamo se po principu koji nam je već poznat. Sa poznatim radijusom, izvlačimo stranu iz formule i izračunavamo je zamjenom poznate vrijednosti radijusa. Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u već poznatu formulu za izračunavanje površine pravilnog trokuta, vršimo aritmetičke proračune i pronalazimo željenu vrijednost.

Kao što vidimo, da bi se riješili slični problemi, potrebno je poznavati ne samo svojstva pravilnog trougla, već i Pitagorinu teoremu, te polumjer opisane i upisane kružnice. Za one koji imaju ovo znanje, rješavanje ovakvih problema neće biti posebno teško.

Možete pronaći površinu jednakostraničnog trokuta koristeći bilo koju formulu za proizvoljnu figuru date vrste ili koristiti one koje već uzimaju u obzir osobitosti ove određene figure, a matematički izrazi su značajno pojednostavljeni.

Prvi slučaj zahtijeva samo zamjenu svih stranica sa istom vrijednošću i uzimanje u obzir činjenice da su svi uglovi trokuta jednaki 60º. Zatim ostaje izvršiti jednostavne transformacije, koje će dovesti do formula datih u gotovom obliku malo ispod.

Formula 1: strana poznata

U ovoj i sljedećim formulama koriste se standardne oznake za veličine trokuta. Detaljnije ih možete vidjeti u predloženoj tabeli.

Površina trokuta u ovom slučaju će se izračunati pomoću formule:

S = √3/4 * a 2.

Lako se dobija od onog poznatog po proizvoljnoj figuri sa tri strane. Samo treba uzeti u obzir u formuli da su sve strane trokuta jednake.

Da budemo precizniji, trebaće vam Heronova formula: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Vrijednost poluperimetra za jednakostranični trokut će biti 3a/2. Dakle, u svakoj zagradi ispod korijena dobijamo izraz ((3a/2) - a). Daće nakon transformacije a/2.

Pošto postoje tri zagrade, ovaj izraz će imati treći stepen. To znači da će se transformisati u 3/8.

Još ga treba pomnožiti sa poluperimetrom, koji je definiran kao zbir stranica podijeljen sa 2. Rezultat je izraz: 3a 4 /16. Nakon vađenja kvadratnog korijena, ostat će izraz dat u prvoj formuli za površinu jednakostraničnog trokuta.

Stoga nema potrebe za pamćenjem mnogih formula. Možete se sjetiti samo jednog - Heron. Iz njega se, jednostavnim matematičkim transformacijama, dobijaju svi ostali, na primjer, za jednakostranični trokut.

Formula 2: dat je radijus upisane kružnice

Ovaj izraz je vrlo sličan prethodnom unosu. Ali i dalje postoje značajne razlike: koristi se drugačije slovo, iracionalnost je otišla u nazivnik, pojavio se faktor 3 i nestao je broj 4. Uglavnom, lako ga je zapamtiti.

S = 3√3 * r 2 .

Ovu formulu je takođe lako dobiti iz one koja je data za proizvoljan trougao. U njemu se radijus množi sa zbirom strana i dijeli sa 4. Pošto stranice imaju istu vrijednost, zbir će biti zamijenjen sa 3a. Sada moramo ukloniti "a" tako da ostane samo vrijednost radijusa. Da biste to učinili, trebat će vam izraz u kojem je stranica podijeljena umnoškom 2 i sinusom ugla suprotnog strani. Budući da je ugao 60º, vrijednost sinusa će biti √3/2. Tada će se strana izraziti kroz radijus na sljedeći način: a = √3R. Nakon jednostavne transformacije, možete doći do izraza za područje koje je dato na početku.

Formula 3: dat je opisani krug i njegov polumjer

Vrlo je sličan prvom. Samo se u njegovom brojiocu pojavljuje broj 3, a slovo je promijenjeno u R.

S = 3√3/4 * R 2.

Pošto je radijus duplo veći od onog o kome je bilo reči u prethodnom paragrafu, jasno je kako se dobija. Jednostavno zamjenjuje r sa R/2. I potrebne promjene se sprovode.

Stoga, ne morate pamtiti formulu. Samo imajte na umu omjer polumjera upisanih i opisanih kružnica jednakostraničnog trougla.

Formula 4: poznata visina

U ovom slučaju, površina jednakostraničnog trokuta je:

S = n 2 / √3.

Da biste razumjeli kako se dobiva takva formula, morat ćete opet koristiti onu zajedničku za sve trokute. Izgleda kao umnožak stranice pomnožen visine i ½. Sada, da biste saznali površinu jednakostraničnog trokuta, morat ćete zapamtiti ili izvesti matematički izraz za visinu.

Lako je prepoznati ako iskoristite činjenicu da visina čini pravougaoni trokut. To znači da se visina može naći kao noga - iz Pitagorine teoreme. Drugi krak će biti jednak polovini stranice, jer je visina ujedno i medijana (ovo je dobro poznato svojstvo jednakostraničnog trougla). Tada će se visina odrediti kao kvadratni korijen razlike dvaju kvadrata. Prvi je “a”, a drugi “a/2”. Nakon podizanja na drugi stepen i izdvajanja korijena, ono što ostaje je: n = (√3/2)*a. Odatle je a = 2n/√3. Nakon što ga zamenite u osnovnu formulu za sve trouglove, dobićete izraz koji je naznačen na početku odeljka.

Primjer br. 1

Stanje. Izračunajte površinu jednakostraničnog trokuta ako je poznato da njegova stranica ima vrijednost 4 cm.

Rješenje. Budući da je značenje stranica figure poznato, potrebno je koristiti prvu formulu.

Prvo morate kvadrirati broj 4. Iz ove akcije dobijate broj 16. Sada se poništava sa četiri u nazivniku. I kao rezultat, brojilac ostaje 4 i √3, a imenilac postaje jednak jedan, što znači da se jednostavno ne može zapisati. Ovo je rezultat koji je trebalo pronaći u problemu.

odgovor: 4√3 cm 2.

Primjer br. 2

Stanje. Sve stranice jednakostraničnog trougla jednake su 2√2 in. Izračunajte njegovu površinu.

Rješenje. Obrazloženje je isto kao u prvom problemu. Samo će vrijednost kvadrata stranice biti drugačija. U njemu morate odvojeno podići 2 i iracionalnost na drugi stepen. A rezultat će biti ovakav: 4*2 = 8. Nakon smanjenja sa nazivnikom, 2 i √3 ostaju u brojiocu razlomka, a imenilac nestaje.

odgovor: 2√3 dm 2 .

Primjer br. 3

Stanje. U jednakostranični trokut je upisan krug, polumjer mu je 2,5 cm. Potrebno je izračunati površinu trokuta.

Rješenje. Da biste izračunali potrebnu vrijednost, morat ćete koristiti drugu formulu.

Prvo, vrijednost radijusa mora biti kvadrirana. Rezultat će biti 6,25. Zatim se ova vrijednost mora pomnožiti sa 3. Rezultat ove akcije bit će broj 18,75. Ali ovo nije konačna vrijednost: ona će sadržavati faktor √3, koji je prisutan u korištenoj formuli.

odgovor: 18,75√3 cm2.

Primjer br. 4

Stanje. Morate odrediti koja je površina jednakostraničnog trokuta ako je poznata njegova visina - 3 dm.

Rješenje. Naravno, morate odabrati četvrtu formulu. To je najlakši način da pronađete odgovor na ovaj problem.

Dovoljno je samo kvadrirati broj 3, odnosno visinu, što će dati vrijednost 9. I onda ga podijeliti sa √3, što je u formuli.

Pošto u matematici nije uobičajeno ostavljati iracionalnost u nazivniku odgovora, moramo je se riješiti. Da biste to uradili, razlomak 9/√3 će se morati pomnožiti sa razlomkom sa istim brojnikom i nazivnikom, odnosno √3/√3. Iz ove akcije, vrijednost 9√3 će se pojaviti u brojiocu, a broj 3 će se pojaviti u nazivniku.

Ovaj razlomak se može i treba smanjiti za 3. Ovo je konačni rezultat.

odgovor: površina - 3√3 dm 2.

Primjer br. 5

Stanje. Dat je jednakostranični trokut čija je površina 27 cm 2 . Iz ove vrijednosti morate saznati dužinu stranice figure.

Rješenje. Pošto govorimo o strani, prva formula će biti dovoljna. Iz njega možete odmah izvesti matematički izraz koji će vam omogućiti da odredite stranu trougla.

Da biste to učinili, površina se mora pomnožiti sa 4 i podijeliti s kvadratnim korijenom od tri. Ovo će vam dati vrijednost za stranu na kvadrat. Da biste dobili samo stranu, morate izvaditi korijen. Izraz za stranu će izgledati ovako: a = 2 * √(S/√3).

Pošto je područje poznato, možete odmah započeti proračune. Radikalni izraz izgleda kao količnik 27 i √3. Moramo se riješiti iracionalnosti u nazivniku. Rezultat je 27√3 podijeljeno sa 3. Nakon smanjenja, 1 ostaje u nazivniku, koji se može izostaviti, a 9√3 ostaje u brojiocu.

Sljedeći korak je izdvajanje korijena rezultirajućeg izraza. Prvi faktor daje vrijednost 3. Ali drugi - √3 - zahtijeva pažnju. Da biste olakšali stvari, možete izdvojiti ove korijene i zaokružiti vrijednosti.

√3 = 1,73; Sada ponovo izvlačimo koren i dobijamo 1.32.

Ostaje samo da ga pomnožite sa 2 i dobijete željeni rezultat.

odgovor: strana je 2,64 cm.

Najčešća pitanja

Da li je moguće napraviti pečat na dokumentu prema datom uzorku? Odgovori Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili kvalitetnu fotografiju na našu email adresu, a mi ćemo napraviti potreban duplikat.

Koje vrste plaćanja prihvatate? Odgovori Dokument možete platiti po prijemu od strane kurira, nakon provjere ispravnosti popune i kvaliteta izrade diplome. To se može učiniti i u kancelarijama poštanskih kompanija koje nude usluge pouzeća.
Svi uslovi isporuke i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku „Plaćanje i dostava“. Spremni smo da saslušamo i Vaše sugestije u vezi sa uslovima isporuke i plaćanja dokumenta.

Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovori Imamo dosta dugo iskustvo u oblasti izrade diploma. Imamo nekoliko web stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući preko 10 dokumenata dnevno. Tokom godina, naši dokumenti su pomogli mnogim ljudima da riješe probleme sa zapošljavanjem ili pređu na bolje plaćene poslove. Stekli smo povjerenje i priznanje među klijentima, tako da nema apsolutno nikakvog razloga da to radimo. Štoviše, to je jednostavno nemoguće učiniti fizički: plaćate narudžbu kada je dobijete u ruke, nema plaćanja unaprijed.

Mogu li naručiti diplomu sa bilo kojeg univerziteta? Odgovori Generalno, da. U ovoj oblasti radimo skoro 12 godina. Za to vrijeme formirana je gotovo potpuna baza dokumenata izdatih sa gotovo svih univerziteta u zemlji i za različite godine izdavanja. Sve što trebate je odabrati fakultet, specijalnost, dokument i popuniti obrazac za narudžbu.

Šta učiniti ako nađete greške u kucanju i greške u dokumentu? Odgovori Prilikom primanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske kompanije, preporučujemo da pažljivo provjerite sve detalje. Ako se otkrije greška u kucanju, greška ili netačnost, imate pravo da ne preuzmete diplomu, ali uočene nedostatke morate navesti lično kuriru ili pisanim putem slanjem e-maila.
Ispravićemo dokument u najkraćem mogućem roku i ponovo ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša kompanija.
Kako bismo izbjegli ovakve nesporazume, prije popunjavanja originalnog obrasca, klijentu šaljemo e-mailom maketu budućeg dokumenta radi provjere i odobrenja konačne verzije. Prije slanja dokumenta kurirskom službom ili poštom, također snimamo dodatne fotografije i video zapise (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali jasnu predstavu šta ćete na kraju dobiti.

Šta da uradim da naručim diplomu od vaše kompanije? Odgovori Da biste naručili dokument (sertifikat, diplomu, akademsko uvjerenje, itd.), morate popuniti online formular za narudžbu na našoj web stranici ili navesti svoj e-mail kako bismo vam mogli poslati obrazac za prijavu, koji morate popuniti i poslati nazad nama.
Ako ne znate šta da naznačite u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ih praznim. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti telefonom.

Najnovije recenzije

Viktor:

Veoma sam zadovoljan svojom diplomom. Hvala ti. Kada biste naučili i kako da napravite pasoše, to bi bilo idealno.

Karina:

Danas sam dobio diplomu. Hvala na kvalitetnom radu. Svi rokovi su takođe ispoštovani. Definitivno ću te preporučiti svim svojim prijateljima.