احسب حجم جسم الثورة. حساب أحجام أجسام الثورة باستخدام تكامل محدد

يمكن حساب حجم جسم الثورة بالصيغة التالية:

في الصيغة ، يجب أن يكون هناك رقم قبل التكامل. لقد حدث ذلك تمامًا - كل شيء يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.

كيف يمكن تعيين حدود التكامل "أ" و "أكون" ، كما أعتقد ، من السهل تخمينها من الرسم المكتمل.

الوظيفة ... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. يحد الشكل المسطح من الرسم البياني للقطع المكافئ من أعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.

في المهام العملية ، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - الوظيفة في الصيغة مربعة: وهكذا حجم جسم الثورة دائمًا غير سالب، وهو أمر منطقي تمامًا.

احسب حجم جسم الثورة باستخدام هذه الصيغة:

كما أشرت بالفعل ، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا ، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.

إجابة:

في الإجابة ، من الضروري الإشارة إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسدنا الذي يدور حوله ما يقرب من 3.35 "مكعبات". لماذا بالضبط مكعب الوحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. قد يكون هناك سنتيمترات مكعبة ، وقد يكون هناك أمتار مكعبة ، وقد يكون هناك كيلومترات مكعبة ، وما إلى ذلك ، هذا هو عدد الرجال الصغار الذين يمكن أن يتناسبوا مع خيالك في طبق طائر.

مثال 2

أوجد حجم الجسم الذي شكله الدوران حول محور الشكل الذي تحده الخطوط ،

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

لنأخذ في الاعتبار مشكلتين أكثر تعقيدًا ، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

مثال 3

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور الإحداثي للشكل الذي تحده الخطوط ، و

حل:تظهر على الرسم شخصية مسطحة، مقيدة بخطوط ، ، ، ، دون أن ننسى أن المعادلة تحدد المحور:

الرقم المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مثل هذه الكعكة السريالية ذات الزوايا الأربع.

يتم حساب حجم جسم الثورة على أنه اختلاف حجم الجسم.

أولًا ، لنلق نظرة على الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعنا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع على أنه.

تأمل الشكل المحيط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور ، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع ، أصغر قليلاً فقط. دعنا نشير إلى حجمها.

ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات".

نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:

1) الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

2) الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

3) حجم الجسم المطلوب للثورة:

إجابة:

من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام صيغة المدرسة لحساب حجم المخروط المقطوع.

غالبًا ما يكون القرار نفسه أقصر ، شيء من هذا القبيل:

الآن دعنا نأخذ استراحة ونتحدث عن الأوهام الهندسية.

غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات ، والتي لاحظها بيرلمان (ليس هو نفسه) في الكتاب هندسة مثيرة للاهتمام. انظر إلى الشكل المسطح في المشكلة التي تم حلها - يبدو أنه صغير في المساحة ، وحجم جسم الثورة يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة ، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. بالمناسبة ، يشرب الشخص العادي طوال حياته سائلاً بحجم غرفة تبلغ 18 مترًا مربعًا ، والتي ، على العكس من ذلك ، تبدو صغيرة جدًا.

بشكل عام ، كان نظام التعليم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية هو الأفضل حقًا. كتاب بيرلمان نفسه ، الذي كتبه في عام 1950 ، تطور جيدًا ، كما قال الفكاهي ، في التفكير ويعلمك أن تبحث عن حلول أصلية غير قياسية للمشكلات. لقد أعدت مؤخرًا قراءة بعض الفصول باهتمام كبير ، أوصي به ، فهو متاح حتى للعاملين في المجال الإنساني. لا ، ليس عليك أن تبتسم لأنني اقترحت أن التسلية المناسبة ، وسعة الاطلاع ، ونظرة واسعة في التواصل أمر رائع.

بعد الاستطراد الغنائي ، من المناسب حل مهمة إبداعية:

مثال 4

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل المسطح الذي تحده الخطوط ، وأين.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". يرجى ملاحظة أن كل الأشياء تحدث في النطاق ، بمعنى آخر ، يتم وضع حدود تكامل جاهزة تقريبًا. حاول أيضًا رسم الرسوم البيانية للوظائف المثلثية بشكل صحيح ، إذا كانت الوسيطة مقسمة على اثنين: ، فسيتم تمديد الرسوم البيانية على طول المحور مرتين. حاول أن تجد ما لا يقل عن 3-4 نقاط وفقًا للجداول المثلثيةوجعل الرسم أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة ، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية.

حساب حجم الجسم بالدوران
شكل مسطح حول محور

ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم ثورة حول المحور الصادي هي أيضًا زائر متكرر إلى حد ما في الاختبارات. بشكل عابر سيتم النظر فيه مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية - التكامل على طول المحور ، لن يسمح لك ذلك بتحسين مهاراتك فحسب ، بل سيعلمك أيضًا كيفية العثور على الحل الأكثر ربحية. كما أن لها معنى عمليًا! كما تذكرت أستاذي في أساليب تدريس الرياضيات بابتسامة ، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "موضوعك ساعدنا كثيرًا ، والآن نحن مديرين فعالين وندير موظفينا على النحو الأمثل." أغتنم هذه الفرصة ، كما أعرب عن امتناني الكبير لها ، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود منها =).

مثال 5

بالنظر إلى شكل مسطح يحده خطوط ، ،.

1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

انتباه!حتى لو كنت تريد قراءة الفقرة الثانية فقط ، أولاً بالضرورةاقرأ أول واحد!

حل:تتكون المهمة من جزأين. لنبدأ بالمربع.

1) لننفذ الرسم:

من السهل أن نرى أن الوظيفة تحدد الفرع العلوي للقطع المكافئ ، وأن الوظيفة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطعة مكافئ تافهة ، "تقع على جانبها".

الشكل المطلوب ، الذي سيتم العثور على مساحته ، مظلل باللون الأزرق.

كيف تجد مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "المعتادة" ، والتي تم النظر فيها في الدرس. واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك ، تم العثور على مساحة الشكل كمجموع المناطق:
- في الجزء ؛
- في الجزء.

لهذا السبب:

ما الخطأ في الحل المعتاد في هذه الحالة؟ أولاً ، يوجد تكاملان. ثانيًا ، الجذور تحت التكاملات ، والجذور في التكاملات ليست هدية ، علاوة على ذلك ، يمكن للمرء أن يختلط عند استبدال حدود التكامل. في الواقع ، التكاملات ، بالطبع ، ليست مميتة ، ولكن من الناحية العملية ، كل شيء أكثر حزنًا ، لقد اخترت للتو وظائف "أفضل" للمهمة.

هناك حل أكثر عقلانية: يتمثل في الانتقال إلى الوظائف العكسية والتكامل على طول المحور.

كيفية تمرير وظائف معكوسة؟ بشكل تقريبي ، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولاً ، دعنا نتعامل مع القطع المكافئ:

هذا يكفي ، لكن دعنا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:

باستخدام خط مستقيم ، كل شيء أسهل:

انظر الآن إلى المحور: يرجى إمالة رأسك بشكل دوري إلى 90 درجة اليمنى كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الشكل الذي نحتاجه يقع على المقطع ، والذي يشار إليه بالخط المنقط الأحمر. في الوقت نفسه ، على المقطع ، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل :. ما الذي تغير في الصيغة؟ فقط رسالة ولا شيء أكثر.

! ملاحظة: يجب تعيين حدود التكامل على طول المحور بدقة من أسفل إلى أعلى!

إيجاد المنطقة:

في هذا المقطع ، لذلك:

انتبه إلى كيفية تنفيذ التكامل ، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية ، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون من الواضح سبب ذلك.

للقراء الذين يشككون في صحة التكامل ، سأجد المشتقات:

يتم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أن التكامل يتم بشكل صحيح.

إجابة:

2) احسب حجم الجسم المتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.

سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:

لذلك ، فإن الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.

لإيجاد حجم جسم الثورة ، سنتكامل على طول المحور. أولًا ، علينا الانتقال إلى الدوال العكسية. وقد تم القيام بذلك ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.

الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أن حجم جسم الثورة يجب أن يُقاس بالفرق بين الأحجام.

نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور ، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعنا نشير إلى هذا الحجم بواسطة.

نقوم بتدوير الشكل ، محاطًا بدائرة باللون الأخضر ، حول المحور ونشير إليه من خلال حجم الجسم الناتج للثورة.

حجم الفراشة لدينا يساوي الفرق في الأحجام.

نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة:

كيف تختلف عن صيغة الفقرة السابقة؟ فقط بالحروف.

وإليك ميزة التكامل ، التي تحدثت عنها مؤخرًا ، أسهل بكثير في العثور عليها من رفع التكامل إلى القوة الرابعة أولاً.

إجابة:

ومع ذلك ، فراشة مريضة.

لاحظ أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور ، فسيظهر جسم مختلف تمامًا للثورة ، بحجم مختلف ، بشكل طبيعي.

مثال 6

إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.

1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط من خلال التكامل مع المتغير.
2) احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". أولئك الذين يرغبون يمكنهم أيضًا العثور على مساحة الشكل بالطريقة "المعتادة" ، وبالتالي إكمال اختبار النقطة 1). لكن إذا قمت بتدوير شكل مسطح حول المحور ، فستحصل على جسم مختلف تمامًا من الدوران بحجم مختلف ، بالمناسبة ، الإجابة الصحيحة (أيضًا لأولئك الذين يحبون الحل).

الحل الكامل للعنصرين المقترحين للمهمة في نهاية الدرس.

أوه ، ولا تنسى إمالة رأسك إلى اليمين لفهم أجسام الدوران وضمن التكامل!

كنت أرغب بالفعل في إنهاء المقال ، لكنهم قدموا اليوم مثالًا مثيرًا للاهتمام فقط لإيجاد حجم جسم ثورة حول المحور ص. طازج:

مثال 7

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل الذي يحده منحنيات و. يتوافق الفرع الأيسر غير المستخدم من القطع المكافئ مع الوظيفة العكسية - يقع الرسم البياني للوظيفة على المقطع أعلى المحور ؛

من المنطقي أن نفترض أن حجم جسم الثورة يجب البحث عنه بالفعل كمجموع أحجام أجساد الثورة!

نستخدم الصيغة:

في هذه الحالة:

إجابة:

في مشكلة إيجاد مساحة الشكلغالبًا ما يتم استخدام تلخيص المناطق ، ويبدو أن مجموع أحجام أجسام الثورة نادر الحدوث ، نظرًا لأن مثل هذا التنوع يكاد يكون خارج مجال رؤيتي. ومع ذلك ، من الجيد أن يظهر المثال المدروس في الوقت المناسب - لقد تمكنا من استخلاص الكثير من الأشياء المفيدة.

ترقية ناجحة لشخصيات!

يمكن حساب حجم جسم الثورة بالصيغة:

في الصيغة ، يجب أن يكون هناك رقم قبل التكامل. لقد حدث ذلك تمامًا - كل شيء يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.

كيف يمكن تعيين حدود التكامل "أ" و "أكون" ، كما أعتقد ، من السهل تخمينها من الرسم المكتمل.

الوظيفة ... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المسطح يحده الرسم البياني المكافئ في الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.

في المهام العملية ، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - التكامل في الصيغة تربيع: ، وهكذا التكامل هو دائما غير سالب ، وهو أمر منطقي تمامًا.

احسب حجم جسم الثورة باستخدام هذه الصيغة:

كما أشرت بالفعل ، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا ، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.

إجابة:

في الإجابة ، من الضروري الإشارة إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسدنا الذي يدور حوله ما يقرب من 3.35 "مكعبات". لماذا بالضبط مكعب الوحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. قد يكون هناك سنتيمترات مكعبة ، وقد يكون هناك أمتار مكعبة ، وقد يكون هناك كيلومترات مكعبة ، وما إلى ذلك ، هذا هو عدد الرجال الصغار الذين يمكن أن يتناسبوا مع خيالك في طبق طائر.

مثال 2

أوجد حجم الجسم الذي تم تشكيله بالدوران حول محور الشكل المحدود بخطوط ،،

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

لنأخذ في الاعتبار مشكلتين أكثر تعقيدًا ، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

مثال 3

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور الإحداثي للشكل الذي تحده الخطوط ، و

حل: لنرسم شكلاً مسطحًا في الرسم ، محددًا بخطوط ،،،، بينما لا ننسى أن المعادلة تحدد المحور:

الرقم المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مثل هذه الكعكة السريالية ذات الزوايا الأربع.

يتم حساب حجم جسم الثورة على أنه اختلاف حجم الجسم.

أولًا ، لنلق نظرة على الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مخروط مقطوع. تشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع.

تأمل الشكل المحيط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور ، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع ، أصغر قليلاً فقط. دعنا نشير إلى حجمها.

ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات".

نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:

1) الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

2) الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

3) حجم الجسم المطلوب للثورة:

إجابة:

من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام صيغة المدرسة لحساب حجم المخروط المقطوع.

غالبًا ما يكون القرار نفسه أقصر ، شيء من هذا القبيل:

الآن دعنا نأخذ استراحة ونتحدث عن الأوهام الهندسية.

غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات ، والتي لاحظها بيرلمان (آخر) في الكتاب هندسة مثيرة للاهتمام. انظر إلى الشكل المسطح في المشكلة التي تم حلها - يبدو أنه صغير في المساحة ، وحجم جسم الثورة يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة ، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. بالمناسبة ، يشرب الشخص العادي طوال حياته سائلاً بحجم غرفة تبلغ 18 مترًا مربعًا ، والتي ، على العكس من ذلك ، تبدو صغيرة جدًا.

بشكل عام ، كان نظام التعليم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية هو الأفضل حقًا. نفس الكتاب من تأليف Perelman ، الذي نُشر في عام 1950 ، تطور جيدًا ، كما قال الفكاهي ، في التفكير ويعلمك أن تبحث عن حلول أصلية غير قياسية للمشكلات. لقد أعدت مؤخرًا قراءة بعض الفصول باهتمام كبير ، أوصي به ، فهو متاح حتى للعاملين في المجال الإنساني. لا ، ليس عليك أن تبتسم لأنني اقترحت أن التسلية المناسبة ، وسعة الاطلاع ، ونظرة واسعة في التواصل أمر رائع.

بعد الاستطراد الغنائي ، من المناسب حل مهمة إبداعية:

مثال 4

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل المسطح الذي تحده الخطوط ، أين.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". لاحظ أن كل الأشياء تحدث في النطاق ، بمعنى آخر ، حدود التكامل الجاهزة معطاة بالفعل. ارسم الرسوم البيانية للوظائف المثلثية بشكل صحيح ، وسوف أذكرك بمادة الدرس عنها التحولات الهندسية للرسوم البيانية : إذا كانت الوسيطة قابلة للقسمة على اثنين: ، فسيتم تمديد الرسوم البيانية على طول المحور مرتين. من المستحسن العثور على 3-4 نقاط على الأقل وفقًا للجداول المثلثية لإكمال الرسم بشكل أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة ، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية.

دع الخط يكون محدودا. يتم إعطاء رقم الطائرة في نظام الإحداثيات القطبية.

مثال: احسب المحيط: x 2 + y 2 = R 2

احسب طول الجزء الرابع من الدائرة الواقعة في الربع الأول (х≥0، y≥0):

إذا تم إعطاء معادلة المنحنى بصيغة البارامتر:
، يتم تعريف الدوال x (t) و y (t) ومستمرة مع مشتقاتها في الفترة [α ، β]. المشتق ، ثم إجراء استبدال في الصيغة:
ونظرا لذلك

نحن نحصل
أضف المضاعف
تحت علامة الجذر ونحصل في النهاية على

ملاحظة: تم إعطاء منحنى مستوي ، يمكنك أيضًا التفكير في وظيفة معطاة بواسطة المعلمات في الفضاء ، ثم ستتم إضافة الوظيفة z = z (t) والصيغة

مثال: احسب طول الأسترويد المعطى بالمعادلة: x = a * cos 3 (t)، y = a * sin 3 (t)، a> 0

احسب طول الجزء الرابع:

حسب الصيغة

طول قوس منحنى مستو ، الوارد في نظام الإحداثيات القطبية:

دع معادلة المنحنى تعطى في نظام الإحداثيات القطبية:
هي دالة متصلة مع مشتقها على القطعة [α، β].

صيغ الانتقال من الإحداثيات القطبية:

تعتبر حدودي:

ϕ - المعلمة ، وفقًا لـ f-le

2

على سبيل المثال: حساب طول المنحنى:
>0

Z- نشوئها: احسب نصف المحيط:

حجم الجسم ، محسوبًا من مساحة المقطع العرضي للجسم.

دع جسمًا يحده سطح مغلق ، ودع مساحة أي جزء من هذا الجسم تُعرف بمستوى عمودي على محور الثور. ستعتمد هذه المنطقة على موضع مستوى القطع.

دع الجسم كله محاطًا بين مستويين متعامدين على المحور x ، يتقاطعان معه عند النقاط x = a ، x = b (a

لتحديد حجم مثل هذا الجسم ، نقسمه إلى طبقات باستخدام مستويات قاطعة متعامدة على محور الثور وتتقاطع معها عند نقاط. في كل فترة جزئية
. دعنا نختار

ولكل قيمة i = 1، ... مثل هذه الأسطوانة الأولية بمساحة قاعدة S = C i وارتفاعها ∆х i. V i = S (C i) ∆x i. سيكون حجم كل هذه الأسطوانات الأولية
. حد هذا المجموع ، إذا كان موجودًا ومحدودًا عند الحد الأقصى ∆х  0 ، يسمى حجم الجسم المعطى.

. نظرًا لأن V n هو مجموع متكامل لوظيفة S (x) متصلة على مقطع ، فإن الحد المحدد موجود (t-ma للوجود) ويتم التعبير عنه بواسطة def. أساسي.

- حجم الجسم محسوبًا من مساحة المقطع العرضي.

حجم جسم الثورة:

دع الجسم يتشكل عن طريق الدوران حول محور الثور لشبه منحني منحني الخط يحده الرسم البياني للوظيفة y = f (x) ، محور الثور والخطوط المستقيمة x = a ، x = b.

دع الدالة y = f (x) تُعرَّف وتكون متصلة على القطعة وغير سالبة عليها ، فإن قسم هذا الجسم بمستوى عمودي على Ox هو دائرة نصف قطرها R = y (x) = f (x) ). مساحة الدائرة S (x) \ u003d Py 2 (x) \ u003d P 2. استبدال الصيغة
نحصل على صيغة لحساب حجم جسم ثورة حول محور الثور:

ومع ذلك ، إذا كان شبه منحني منحني الخطوط يدور حول محور Oy ، يحده رسم بياني مستمر على الوظيفة ، فإن حجم مثل هذا الجسم من الثورة:

يمكن حساب نفس الحجم باستخدام الصيغة:
. إذا تم إعطاء الخط بواسطة المعادلات البارامترية:

عن طريق تغيير المتغير نحصل على:

إذا تم إعطاء الخط بواسطة المعادلات البارامترية:

ص (α) = ج ، ص (β) = د. إجراء التغيير y = y (t) نحصل على:

احسب أجسام الدوران حول المحور الصادي للقطع المكافئ ، .

2) احسب V لجسم الثورة حول محور OX لشبه منحني منحني الشكل يحده خط مستقيم y \ u003d 0 ، قوس (مع المركز عند النقطة (1 ؛ 0) ، ونصف القطر = 1) ، مع.

مساحة سطح جسم ثورة

دع السطح المحدد يتشكل من خلال دوران المنحنى y = f (x) حول المحور x. من الضروري تحديد S لهذا السطح عند.

دع الدالة y \ u003d f (x) محددة ومستمرة ، ولها غير سلبية وغير سلبية في جميع نقاط المقطع [أ ؛ ج]

دعونا نرسم الحبال التي نشير إلى أطوالها على التوالي (ن الحبال)

وفقًا لنظرية لاجرانج:

ستساوي مساحة سطح الخط المكسور المحدود بالكامل

التعريف: حد هذا المجموع ، إذا كان محدودًا ، عندما يُطلق على أكبر رابط في الحد الأقصى متعدد الخطوط ، مساحة السطح المدروس للثورة.

يمكن إثبات أن حد المائة من المجموع يساوي حد المجموع المتكامل لـ p-th

صيغة لسطح S لجسم ثورة =

S للسطح الذي شكله دوران قوس المنحنى x = g (x) حول محور Oy عند

مستمر مع مشتقه

إذا تم إعطاء المنحنى حدوديًا بواسطة ur-mix= س (ر) ،ذ= ر(ر) المهامx’(ر), ذ’(ر), x(ر), ذ(ر) في الفاصل الزمني [أ; ب], x(أ)= أ, x(ب)= بثم إجراء تغيير الاستبدالx= x(ر)

إذا تم إعطاء المنحنى حدوديًا ، وإجراء تغيير في الصيغة ، نحصل على:

إذا كانت معادلة المنحنى معطاة في نظام الإحداثيات القطبية

سسيكون سطح الثورة حول المحور مساويًا لـ

كما هو الحال مع مشكلة العثور على المنطقة ، فأنت بحاجة إلى مهارات رسم واثقة - وهذا هو الشيء الأكثر أهمية تقريبًا (نظرًا لأن التكاملات نفسها غالبًا ما تكون سهلة). يمكنك إتقان تقنية الرسوم البيانية المختصة والسريعة بمساعدة المواد المنهجية والتحولات الهندسية للرسوم البيانية. لكن في الواقع ، لقد تحدثت مرارًا وتكرارًا عن أهمية الرسوم في الدرس.

بشكل عام ، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل ، بمساعدة تكامل محدد ، يمكنك حساب مساحة الشكل ، وحجم جسم الدوران ، وطول القوس ، ومساحة سطح التناوب ، وأكثر من ذلك بكثير. لذلك سيكون الأمر ممتعًا ، من فضلك كن متفائلاً!

تخيل بعض الشكل المسطح على مستوى الإحداثيات. ممثلة؟ ... أتساءل من قدم ماذا ... =))) لقد وجدنا بالفعل منطقته. ولكن ، بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أيضًا تدوير هذا الرقم وتدويره بطريقتين:

- حول المحور السيني ؛
- حول المحور ص.

في هذه المقالة ، سيتم مناقشة كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص ، فهي تسبب أكبر الصعوبات ، ولكن في الحقيقة الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. كمكافأة ، سأعود إلى مشكلة إيجاد مساحة الشكل، ويخبرك بكيفية العثور على المنطقة بالطريقة الثانية - على طول المحور. لا توجد حتى مكافأة كبيرة لأن المادة تتناسب جيدًا مع الموضوع.

لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التدوير.

شكل مسطح حول محور

مثال 1

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير الشكل المحاط بخطوط حول المحور.

حل: كما في مشكلة المنطقة ، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل محاط بخطوط ، مع عدم إغفال أن المعادلة تحدد المحور. يمكن العثور على كيفية جعل الرسم أكثر عقلانية وأسرع على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائيةو واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل. هذا تذكير صيني ولا أتوقف عند هذه النقطة.

الرسم هنا بسيط جدًا:

الشكل المسطح المطلوب مظلل باللون الأزرق ، وهذا الشكل هو الذي يدور حول المحور. ونتيجة للدوران ، يتم الحصول على صحن طائر على شكل بيضة قليلاً ، وهو متماثل حول المحور. في الواقع ، يمتلك الجسم اسمًا رياضيًا ، لكن من الكسول جدًا تحديد شيء ما في الكتاب المرجعي ، لذلك ننتقل.

كيف تحسب حجم جسم الثورة؟

يمكن حساب حجم جسم الثورة بالصيغة:

في الصيغة ، يجب أن يكون هناك رقم قبل التكامل. لقد حدث ذلك تمامًا - كل شيء يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.

كيف يمكن تعيين حدود التكامل "أ" و "أكون" ، كما أعتقد ، من السهل تخمينها من الرسم المكتمل.

الوظيفة ... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. يحد الشكل المسطح من الرسم البياني للقطع المكافئ من أعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.

في المهام العملية ، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - التكامل في الصيغة تربيع: وهكذا التكامل هو دائما غير سالب، وهو أمر منطقي تمامًا.

احسب حجم جسم الثورة باستخدام هذه الصيغة:

كما أشرت بالفعل ، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا ، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.

إجابة:

في الإجابة ، من الضروري الإشارة إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسدنا الذي يدور حوله ما يقرب من 3.35 "مكعبات". لماذا بالضبط مكعب الوحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. قد يكون هناك سنتيمترات مكعبة ، وقد يكون هناك أمتار مكعبة ، وقد يكون هناك كيلومترات مكعبة ، وما إلى ذلك ، هذا هو عدد الرجال الصغار الذين يمكن أن يتناسبوا مع خيالك في طبق طائر.

مثال 2

أوجد حجم الجسم الذي شكله الدوران حول محور الشكل الذي تحده الخطوط ،

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

لنأخذ في الاعتبار مشكلتين أكثر تعقيدًا ، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

مثال 3

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور الإحداثي للشكل الذي تحده الخطوط ، و

حل: ارسم شكلاً مسطحًا في الرسم ، محددًا بخطوط ، ، ، مع عدم نسيان أن المعادلة تحدد المحور:

الرقم المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مثل هذه الكعكة السريالية ذات الزوايا الأربع.

يتم حساب حجم جسم الثورة على أنه اختلاف حجم الجسم.

أولًا ، لنلق نظرة على الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعنا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع على أنه.

تأمل الشكل المحيط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور ، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع ، أصغر قليلاً فقط. دعنا نشير إلى حجمها.

ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات".

نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:

1) الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

2) الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

3) حجم الجسم المطلوب للثورة:

إجابة:

من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام صيغة المدرسة لحساب حجم المخروط المقطوع.

غالبًا ما يكون القرار نفسه أقصر ، شيء من هذا القبيل:

الآن دعنا نأخذ استراحة ونتحدث عن الأوهام الهندسية.

غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات ، والتي لاحظها بيرلمان (آخر) في الكتاب هندسة مثيرة للاهتمام. انظر إلى الشكل المسطح في المشكلة التي تم حلها - يبدو أنه صغير في المساحة ، وحجم جسم الثورة يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة ، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. بالمناسبة ، يشرب الشخص العادي طوال حياته سائلاً بحجم غرفة تبلغ 18 مترًا مربعًا ، والتي ، على العكس من ذلك ، تبدو صغيرة جدًا.

بشكل عام ، كان نظام التعليم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية هو الأفضل حقًا. نفس الكتاب من تأليف Perelman ، الذي نُشر في عام 1950 ، تطور جيدًا ، كما قال الفكاهي ، في التفكير ويعلمك أن تبحث عن حلول أصلية غير قياسية للمشكلات. لقد أعدت مؤخرًا قراءة بعض الفصول باهتمام كبير ، أوصي به ، فهو متاح حتى للعاملين في المجال الإنساني. لا ، ليس عليك أن تبتسم لأنني اقترحت أن التسلية المناسبة ، وسعة الاطلاع ، ونظرة واسعة في التواصل أمر رائع.

بعد الاستطراد الغنائي ، من المناسب حل مهمة إبداعية:

مثال 4

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل المسطح الذي تحده الخطوط ، وأين.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". لاحظ أن كل الأشياء تحدث في النطاق ، بمعنى آخر ، حدود التكامل الجاهزة معطاة بالفعل. ارسم الرسوم البيانية للوظائف المثلثية بشكل صحيح ، وسوف أذكرك بمادة الدرس عنها التحولات الهندسية للرسوم البيانية: إذا كانت الوسيطة قابلة للقسمة على اثنين: ، فسيتم تمديد الرسوم البيانية على طول المحور مرتين. من المستحسن العثور على 3-4 نقاط على الأقل وفقًا للجداول المثلثيةلإكمال الرسم بشكل أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة ، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية.

حساب حجم الجسم بالدوران
شكل مسطح حول محور

ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم ثورة حول المحور الصادي هي أيضًا زائر متكرر إلى حد ما في الاختبارات. بشكل عابر سيتم النظر فيه مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية - التكامل على طول المحور ، لن يسمح لك ذلك بتحسين مهاراتك فحسب ، بل سيعلمك أيضًا كيفية العثور على الحل الأكثر ربحية. كما أن لها معنى عمليًا! كما تذكرت أستاذي في أساليب تدريس الرياضيات بابتسامة ، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "موضوعك ساعدنا كثيرًا ، والآن نحن مديرين فعالين وندير موظفينا على النحو الأمثل." أغتنم هذه الفرصة ، كما أعرب عن امتناني الكبير لها ، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود منها =).

أوصي به للجميع لقراءته ، حتى الدمى الكاملة. علاوة على ذلك ، فإن المادة المتضمنة في الفقرة الثانية ستكون ذات فائدة لا تقدر بثمن في حساب التكاملات المزدوجة.

مثال 5

بالنظر إلى شكل مسطح يحده خطوط ، ،.

1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

انتباه!حتى لو كنت تريد قراءة الفقرة الثانية فقط ، أولاً بالضرورةاقرأ أول واحد!

حل: المهمة تتكون من جزئين. لنبدأ بالمربع.

1) لننفذ الرسم:

من السهل أن نرى أن الوظيفة تحدد الفرع العلوي للقطع المكافئ ، وأن الوظيفة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطعة مكافئ تافهة ، "تقع على جانبها".

الشكل المطلوب ، الذي سيتم العثور على مساحته ، مظلل باللون الأزرق.

كيف تجد مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "المعتادة" ، والتي تم النظر فيها في الدرس. واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك ، تم العثور على مساحة الشكل كمجموع المناطق:
- في الجزء ;
- في الجزء.

لهذا السبب:

ما الخطأ في الحل المعتاد في هذه الحالة؟ أولاً ، يوجد تكاملان. ثانيًا ، الجذور تحت التكاملات ، والجذور في التكاملات ليست هدية ، علاوة على ذلك ، يمكن للمرء أن يختلط عند استبدال حدود التكامل. في الواقع ، التكاملات ، بالطبع ، ليست مميتة ، ولكن من الناحية العملية ، كل شيء أكثر حزنًا ، لقد اخترت للتو وظائف "أفضل" للمهمة.

هناك حل أكثر عقلانية: يتمثل في الانتقال إلى الوظائف العكسية والتكامل على طول المحور.

كيفية تمرير وظائف معكوسة؟ بشكل تقريبي ، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولاً ، دعنا نتعامل مع القطع المكافئ:

هذا يكفي ، لكن دعنا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:

باستخدام خط مستقيم ، كل شيء أسهل:

انظر الآن إلى المحور: يرجى إمالة رأسك بشكل دوري إلى 90 درجة اليمنى كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الشكل الذي نحتاجه يقع على المقطع ، والذي يشار إليه بالخط المنقط الأحمر. علاوة على ذلك ، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل: . ما الذي تغير في الصيغة؟ فقط رسالة ولا شيء أكثر.

! ملحوظة: يجب وضع حدود التكامل على طول المحور بدقة من أسفل إلى أعلى!

إيجاد المنطقة:

في هذا المقطع ، لذلك:

انتبه إلى كيفية تنفيذ التكامل ، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية ، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون من الواضح سبب ذلك.

للقراء الذين يشككون في صحة التكامل ، سأجد المشتقات:

يتم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أن التكامل يتم بشكل صحيح.

إجابة:

2) احسب حجم الجسم المتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.

سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:

لذلك ، فإن الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.

لإيجاد حجم جسم الثورة ، سنتكامل على طول المحور. أولًا ، علينا الانتقال إلى الدوال العكسية. وقد تم القيام بذلك ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.

الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أن حجم جسم الثورة يجب أن يُقاس بالفرق بين الأحجام.

نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور ، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعنا نشير إلى هذا الحجم بواسطة.

نقوم بتدوير الشكل ، محاطًا بدائرة باللون الأخضر ، حول المحور ونشير إليه من خلال حجم الجسم الناتج للثورة.

حجم الفراشة لدينا يساوي الفرق في الأحجام.

نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة:

كيف تختلف عن صيغة الفقرة السابقة؟ فقط بالحروف.

وإليك ميزة التكامل التي كنت أتحدث عنها منذ فترة ، من الأسهل العثور عليها بدلاً من رفع عنصر التكامل إلى القوة الرابعة.

إجابة:

ومع ذلك ، فراشة مريضة.

لاحظ أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور ، فسيظهر جسم مختلف تمامًا للثورة ، بحجم مختلف ، بشكل طبيعي.

مثال 6

إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.

1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط من خلال التكامل مع المتغير.
2) احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". أولئك الذين يرغبون يمكنهم أيضًا العثور على مساحة الشكل بالطريقة "المعتادة" ، وبالتالي إكمال اختبار النقطة 1). لكن إذا قمت بتدوير شكل مسطح حول المحور ، فستحصل على جسم مختلف تمامًا من الدوران بحجم مختلف ، بالمناسبة ، الإجابة الصحيحة (أيضًا لأولئك الذين يحبون الحل).

الحل الكامل للعنصرين المقترحين للمهمة في نهاية الدرس.

أوه ، ولا تنسى إمالة رأسك إلى اليمين لفهم أجسام الدوران وضمن التكامل!