مجموعة الوظائف المستمرة لها أصل السلسلة المتصلة. Continuum (نظرية المجموعات)

§2. مجموعات الطاقة من الاستمرارية.

جميع المجموعات اللانهائية التي تم اعتبارها حتى الآن قابلة للعد ، أي أنها مكافئة في القوة للمجموعة نالأعداد الطبيعية. يمتلك كانتور النظرية الرائعة التالية ، والتي تنص على أن هناك مجموعات لا نهائية غير قابلة للعد. الطريقة التي يتم بها إثبات هذه النظرية تسمى "العملية القطرية" ، أو "البناء القطري" في كانتور. لقد تم استخدامه بنجاح في العديد من الحجج الأخرى أيضًا.

نظرية 2.1.

مجموعة من ج = {0, 1} نمن جميع المتواليات اللانهائية من 0 و 1 غير معدودة.

دليل.

دع X جهي أي مجموعة فرعية قابلة للعد. يمكنك كتابة: X \ u003d (x 1، x 2، ...). كل عنصر من عناصر المجموعة X هو تسلسل لا نهائي: x j =  j 1،  j 2،… ، حيث  jk  (0، 1). لنقم ببناء تسلسل لانهائي جديد y = 1-11 ، 1-22 ، 1- 33 ،…. لاحظ أن j: y  x j ، لأن الأعضاء j من هذه التسلسلات مختلفة:  jj  1- jj. لذلك ، yX وبالتالي X  ج. هذا يعني ذاك جغير معدود.

تعريف.

كل مجموعة متكافئة جيسمى مجموعة الطاقة من الاستمرارية.

كما هو مذكور في القسم السابق ، تتمتع بقوة الاستمرارية.

لذلك ، قد تختلف العناصر الأساسية للمجموعات اللانهائية. تعد أصل السلسلة المتصلة أكبر من عدد العناصر الأساسية لمجموعة قابلة للعد. تُعطى إجابة السؤال عما إذا كانت هناك مجموعات من أصل أعلى من أصل السلسلة المتصلة من خلال النظرية التالية (معطاة بدون دليل).

نظرية على مجموعات من أصل أعلى.مجموعة جميع المجموعات الفرعية لمجموعة معينة لها عدد أكبر من العناصر الأساسية من المجموعة المحددة.

ويترتب على هذه النظرية أنه لا توجد مجموعات بها أكبر عدد من العناصر الأساسية.

أسئلة التحكم للموضوع 1.

1. اسمحوا أÎ أ. هل يتبع ذلك ( أ} أ?

2. في هذه الحالة أ أÇ في?

3. قم بتسمية المجموعة التي هي مجموعة فرعية من أي مجموعة.

4. هل يمكن أن تكون المجموعة معادلة لمجموعتها الفرعية؟

5. قوة أي مجموعة أكبر: مجموعة الأعداد الطبيعية أم مجموعة نقاط المقطع؟

لمجموعة الأعداد الحقيقية ص هناك تدوين خاص. أي مجموعة لديها مثل هذه القوة تسمى سلسلة متصلة (من الإنجليزية متابعة - للمتابعة).

يثير إدخال مفهوم قوة الاستمرارية سؤالين.

1. هل هناك مجموعة بقوة أكبر من c؟

2. هل هناك مجموعة من القوة الوسيطة بين السلسلة المعدودة والمتصلة؟

للوهلة الأولى ، فإن مجموعة العناصر الأساسية الأكبر من c هي أي مجموعة شخصية مسطحة، على سبيل المثال ، مربع. ومع ذلك ، هذا ليس صحيحا و

نظرية. مربع الوحدة المفتوحة في الطائرة له علاقة أساسية ج.

دليل. دعونا نبني خريطة f لنقاط المربع على جانبه. خذ أي نقطة داخل المربع بإحداثياتها (س ، ص). لنفترض التمثيل العشري س = 0 ، أ 1 أ 2 أ 3 ... ، ص = 0 ، ب 1 ب 2 ب 3 .... نشكل الرقم z = f (x، y) = = 0، a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ... وهو إحداثيات نقطة على جانب المربع. وبالتالي ، سنقوم بتعيين نقاط المربع على جانبه. من الواضح أن هذا التعيين هو حقنة ، أي إذا أخذنا النقاط A \ u003d (x 1 ، y 1) و B \ u003d (x 2 ، y 2) ، مثل A ¹ B ، وحددنا z A \ u003d f (A) ، z B \ u003d f (B ) ، ثم نحصل على z A ¹ z B ، أي يتم تعيين نقطتين مختلفتين A و B من المربع إلى نقطتين مختلفتين على المقطع المستقيم. في الواقع ، لنفترض أن A ¹ B. إذن x 1 ¹ x 2 أو y 1 y 2 ، وإذا كان الأمر كذلك ، فإن هذه الأرقام تختلف في منزلة عشرية واحدة على الأقل ، وبالتالي z A ¹ z B.

تعني القابلية أنه لا توجد نقاط في المربع أكثر من تلك الموجودة على قطعة. من ناحية أخرى ، لا يمكن أن يكون هناك عدد أقل منها ، لأن المقطع عبارة عن مجموعة فرعية من المربع. وبالتالي ، فإن التعيين المبني f هو واحد لواحد.

ومع ذلك ، توجد مجموعات من العناصر الأساسية فوق السلسلة المتصلة ؛ علاوة على ذلك ، لدينا

نظرية. لأي مجموعة أ ، هناك مجموعة ب من عدد أكبر من العناصر الأساسية.

دليل. لنفترض وجود مجموعة أ. ضع في اعتبارك المجموعة ب ، وهي مجموعة جميع الوظائف المحددة في نقاط المجموعة أ وتساوي 0 أو 1 في هذه النقاط. دعونا نظهر أن عدد العناصر الأساسية للمجموعة B أكبر من أصل المجموعة A.

ضع في اعتبارك في المجموعة أ وظيفة من ب محددة بالقاعدة

أين أ. دعونا نضع كل نقطة aОA في مراسلات مع الوظيفة f a (x) وننظر في المجموعة الناتجة

ب 1 = (و أ (س) О ب | أОأ) М ب.

من الواضح ، لقد أنشأنا رسم خرائط واحد لواحد - «В 1. لذلك ، | أ | = | ب 1 | ، ومن ثم | أ | £ | ب 1 |.

دعونا نظهر أن | أ | ¹ | ب 1 |. هذا يعادل حقيقة أنه لا يوجد تعيين واحد لواحد على كل ب. لنفترض ، على العكس من ذلك ، أن هناك تعيينًا حيويًا j: A ® B ، والذي يعين لكل aОA عنصر bОВ ولكل دالة من B عنصر من المجموعة A. أشر إلى j (a) = f (a) (x) ، واعتبر الوظيفة

ز (س) = 1 - و (а) (x).

وفقًا لخصائص عناصر المجموعة B ، لدينا أن قيمة f (a) (x) تساوي 0 أو 1 ، ثم يتم استيفاء هذه الخاصية أيضًا للدالة g (x). لذلك ، g (x) ОВ. ومن ثم ، من خلال الافتراض ، توجد نقطة bОA بحيث تتوافق g (x) معها بشكل فريد ، أي ، ز (س) = و (ب) (خ). لنأخذ x = b ، ثم نحصل على

ز (ب) = 1 - و (ب) (ب) = و (ب) (ب).

ومن ثم فإن f (b) (b) = 1/2 ، والذي يتعارض مع شرط أن الوظيفة f (b) (x) تنتمي إلى المجموعة B. لذلك ، مثل هذا التعيين j غير موجود. لذا فإن قوة B أكبر من قوة A.

ويترتب على النظرية أنه لا توجد مجموعة من أكبر عدد من العناصر الأساسية.

نحصل على طريقة مكافئة لبناء مجموعة من عدد أكبر من العناصر الأساسية إذا حددنا B كمجموعة تكون جميع عناصرها مجموعات فرعية محتملة من المجموعة A. تسمى مجموعة جميع المجموعات الفرعية لبعض المجموعات A Boolean ويُشار إليها بـ 2 A (2) أ = (ج | ج Í أ)). ثم م (2 أ) = 2 | أ | .

المجموعة التي يكون عدد أصلها 2 c تسمى مجموعة hypercontinuum cardinality.

أما بالنسبة لمشكلة وجود مجموعة من الحجم المتوسط ​​، فقد اتضح أن هذا البيان لا يمكن إثباته على أساس مسلمات نظرية المجموعة ، لكنه لا يتعارض معها أيضًا.

أسئلة التحكم والمهام

1. تحديد العناصر الأساسية للمجموعات التالية:

أ) مجموعة كل المثلثات في المستوى التي يتم التعبير عن إحداثيات رأسها بأرقام منطقية ؛

ب) مجموعة جذور كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة ؛

ج) مجموعة الأعداد الحقيقية من 0 إلى 1 ، في التمثيل العشري منها 7 في المرتبة الثالثة (أي أرقام النموذج 0.ab7cd ...).

2. يتم إعطاء مجموعة قابلة للعد غير محدودة E على السطر الحقيقي. أثبت أن هناك دائمًا رقم حقيقي z ، وأنه من خلال إزاحة المجموعة E عن طريق z إلى اليمين ، نحصل على مجموعة جديدة E 1 سيكون لها تقاطع فارغ مع E.

3 *. إثبات أن مجموعة جميع الوظائف المستمرة في فترة ما لها أصل سلسلة متصلة.

4. ما هي العلاقة الأساسية لمجموعة جميع الوظائف المحددة في مقطع وغير متصلة على الأقل عند نقطة واحدة من هذا المقطع؟

5. ما هي أصل مجموعة جميع الوظائف المستمرة المتزايدة بدقة والمحددة في الفترة؟

6. ما هي أصل مجموعة جميع الوظائف الرتيبة في الفترة الزمنية؟

7. تبين أن مجموعة كل التباديل من المتسلسلة الطبيعية ن لديه قوة الاستمرارية.

8. ما هي أصل مجموعة كل متواليات الأعداد الطبيعية المتزايدة بشكل صارم؟

9. ما هي أصل مجموعة كل متواليات الأعداد الطبيعية؟

أمثلة الحل

ضع في اعتبارك المجموعة Q لجميع النقاط المنطقية للقطاع ، مرقمة بشكل تعسفي ، أي س = = (ص 1 ، ص 2 ، ...). دعونا نخصص لكل متصل على الوظيفة f سلسلة من الأرقام الحقيقية f (r 1) ، f (r 2) ، ... وظائف مستمرة على وجزء من مجموعة كل متواليات الأرقام الحقيقية. ومن ثم ، وبفضل نتائج المسائل 11-13 ، البند 4 ، فإن عدد العناصر الأساسية لمجموعة كل الوظائف المستمرة ليس أكبر من عدد العناصر المتصلة بالسلسلة. من ناحية أخرى ، لا يمكن أن يكون أقل من أصل السلسلة المتصلة ، لأن جميع الوظائف الثابتة في الأصل تشكل بالفعل مجموعة من أصل السلسلة المتصلة. لإكمال الإثبات ، يبقى تطبيق نظرية كانتور برنشتاين.

المجموعات الغامضة. مفاهيم أساسية

نشأت نظرية المجموعات الكلاسيكية في بداية القرن العشرين في كتابات كانتور ، وفي عام 1965 نشر لطفي أ. مجموعة ووضعت الأسس لنمذجة النشاط الفكري للشخص.

في العديد من المشكلات التطبيقية التي تم حلها باستخدام نظرية المجموعات ، من الصعب تحديد مجموعة العناصر التي تنتمي إلى مجموعة معينة بشكل فريد وواضح ، لأن ينشأ تناقض بين الطبيعة الشكلية للرياضيات والعادة البشرية للتفكير في مفاهيم غامضة وغير محددة. (حفنة من الحجارة كم عدد القطع؟ 5 أفيال كثيرة ، 10 نمل لا تكفي ، إلخ). تمكن زاده من تجاوز هذا التناقض إلى حد ما.

أرسى المزيد من العمل الذي قام به البروفيسور ل. بحلول عام 1990 ، تم نشر أكثر من 10000 بحث حول هذا الموضوع ، ووصل عدد الباحثين إلى 10000 ، مع 200-300 في الولايات المتحدة الأمريكية ، وأوروبا ، والاتحاد السوفيتي ، وحوالي 1000 في اليابان ، و 2000-3000 في الهند ، وحوالي 5000. باحثين في الصين. في السنوات الخمس إلى السبع الماضية ، بدأ استخدام الأساليب والنماذج الجديدة في الصناعة. وعلى الرغم من أن التطبيقات الأولى لأنظمة التحكم الضبابي حدثت في أوروبا ، إلا أن هذه الأنظمة يتم تنفيذها بشكل مكثف في اليابان. نطاق تطبيقاتهم واسع: من إدارة عملية إرسال قطار الأنفاق وإيقافه ، والتحكم في مصاعد الشحن وفرن الانفجار إلى غسالة ملابسوالمكانس الكهربائية وأفران الميكروويف. في الوقت نفسه ، تتيح الأنظمة الضبابية تحسين جودة المنتج مع تقليل الموارد وتكاليف الطاقة وتوفير مقاومة أعلى لعوامل التداخل مقارنة بأنظمة التحكم الآلي التقليدية.

وبعبارة أخرى ، فإن الأساليب الجديدة تجعل من الممكن توسيع نطاق تطبيق أنظمة الأتمتة بما يتجاوز حدود قابلية تطبيق النظرية الكلاسيكية. في هذا الصدد ، فإن وجهة نظر ل. زاده مثيرة للفضول: "أعتقد أن الرغبة المفرطة في الدقة قد بدأت في التأثير على نظرية التحكم ونظرية النظم ، لأنها تؤدي إلى حقيقة أن البحث في هذا المجال يركز على تلك المشاكل التي يمكن حلها بالضبط. ونتيجة لذلك ، العديد من فئات المشكلات المهمة التي تكون فيها البيانات والأهداف والقيود معقدة للغاية أو غير محددة بشكل لا يسمح بالتحليل الرياضي الدقيق ، وقد تم استبعادها وما زالت مستبعدة لسبب أنها لا تصلح للمعالجة الرياضية. من هذا النوع ، يجب أن نتخلى عن مطالبنا بالدقة والسماح بنتائج غامضة إلى حد ما أو غير محددة ".

أدى التحول في مركز أبحاث الأنظمة الضبابية نحو التطبيقات العملية إلى صياغة عدد من المشكلات ، مثل معماريات الكمبيوتر الجديدة للحوسبة الضبابية ، وقاعدة عنصر أجهزة الكمبيوتر وأجهزة التحكم الضبابية ، وأدوات التطوير ، والأساليب الهندسية للحساب والتطوير. أنظمة تحكم غامضة ، وأكثر من ذلك بكثير.

لنفترض أن E مجموعة عالمية ، وأن تكون x عنصرًا في E ، وتكون P بعض الخصائص. تُعرَّف المجموعة الفرعية A العادية (الواضحة) من المجموعة العالمية E ، التي تفي عناصرها بالخاصية Р ، بأنها مجموعة من الأزواج المرتبة A = (الأعلى) / X } ، حيث m A (x) هي دالة مميزة تأخذ القيمة 1 إذا كانت x تفي بالخاصية Р , و 0 خلاف ذلك.

تختلف المجموعة الفرعية الضبابية عن المجموعة المعتادة في أنه بالنسبة للعناصر x من E ، لا توجد إجابة "نعم-لا" واضحة فيما يتعلق بالخاصية Р. في هذا الصدد ، تُعرَّف المجموعة الفرعية الضبابية A للمجموعة العامة E بأنها مجموعة الأزواج المرتبة أ = (m A (х) / х) ، حيث m A (х) هي وظيفة العضوية المميزة (أو ببساطة وظيفة العضوية) ، والتي تأخذ القيم في مجموعة M جيدة الترتيب (على سبيل المثال ، M = [ 0,1] ). تشير وظيفة العضوية إلى درجة (أو مستوى) عضوية العنصر x في المجموعة الفرعية A. وتسمى المجموعة M مجموعة العضوية. إذا كان M. = { 0,1} ، ثم المجموعة الفرعية الضبابية أيمكن اعتباره مجموعة عادية أو هشّة.

أمثلة على كتابة مجموعة ضبابية

دع E = (× 1 ، × 2 ، × 3 ، × 4 ، × 5) ، م = [ 0,1] ؛ A هي مجموعة ضبابية حيث m A ( x 1) = 0.3 ؛ م أ ( x 2) = 0 ؛ م أ ( x 3) = 1 ؛ م أ ( x 4) = 0.5 ؛ م أ ( x 5) = 0.9. ثم يمكن تمثيل A على النحو التالي:
أ = { 0.3 / × 1 ؛ 0 / × 2 ؛ 1 / x3 ؛ 0.5 / × 4 ؛ 0.9 / x5 } أو
أ = 0.3 / x 1 0 / x 2 1 / x 3 È 0.5 / x 4 0.9 / x 5 ، أو

أ =	x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0,3 0,5 0,9

الأنماط:. يتم استدعاء مجموعة ذات أصل متصل مستمركثير.

مصطلح أيضا الأستمراريةيمكن أن تشير إلى مجموعة الأعداد الحقيقية نفسها ، أو حتى أي مجموعة متصلة.

ملكيات

أمثلة

أمثلة على مجموعات ذات علاقة أساسية متصلة:

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

شاهد ما هو "Continuum (Set Theory)" في القواميس الأخرى:

نظرية يتم فيها دراسة مجموعات (فئات) من العناصر ذات الطبيعة التعسفية. تم إنشاؤه بشكل أساسي من خلال أعمال كانتور (وكذلك R. Dedekind و K. Weierstrass) ، T.M. بحلول نهاية القرن التاسع عشر. أصبح الأساس لبناء الأساليب الرياضية التي تطورت بحلول ذلك الوقت ... ... موسوعة فلسفية

نظرية المجموعات هي فرع من فروع الرياضيات التي تدرس الخصائص العامة للمجموعات. تقع نظرية المجموعات في قلب معظم التخصصات الرياضية. كان لها تأثير عميق على فهم الموضوع نفسه ...... ويكيبيديا

نظرية المجموعات- فرع الرياضيات الذي يدرس الخصائص العامة للمجموعات. المجموعة هي أي اتحاد في واحد كامل لبعض الأشياء المحددة والمختلفة لإدراكنا أو فكرنا. في T. م ، تمت دراسة الخصائص العامة للعمليات المختلفة ... ... القاموس الموسوعي لعلم النفس والتربية

الاتجاه في الرياضيات المنطق ، تشارك في دراسة شظايا نظرية المجموعات ذات المعنى بطرق رياضية. منطق. عادة ، لهذا الغرض ، يتم إضفاء الطابع الرسمي على أجزاء من نظرية المجموعات في شكل بديهي رسمي. النظريات. بمعنى أضيق ... ... موسوعة رياضية

صياغة نظرية المجموعات (انظر نظرية المجموعات) في شكل نظام رسمي (بديهي) (انظر الطريقة البديهية). كان الحافز الرئيسي لبناء A. t. m هو الاكتشاف في النظرية "الساذجة" للمجموعات بواسطة G.Cantor. ... ... الموسوعة السوفيتية العظمى

نظرية المجموعات هي فرع من فروع الرياضيات التي تدرس الخصائص العامة للمجموعات. تقع نظرية المجموعات في قلب معظم التخصصات الرياضية. كان لها تأثير عميق على فهم مادة الرياضيات نفسها. المحتويات 1 النظرية ... ... ويكيبيديا

من اللات. متصلة مستمرة ، صلبة. الاستمرارية (في الفيزياء) في الرياضيات: الاستمرارية (نظرية المجموعات) هي مجموعة مكافئة لمجموعة الأعداد الحقيقية R ، أو فئة كل هذه المجموعات. متصلة (طوبولوجيا) متصلة ...... ويكيبيديا

عالم رياضيات ، نظرية تدرس مشكلة اللانهاية بالوسائل الدقيقة. موضوع M. t.خصائص المجموعات (المجموعات ، الفئات ، المجموعات) ، الفصل. آر. بلا نهاية. رئيسي المحتوى الكلاسيكي. M. ت. تم تطويره بواسطته. عالم الرياضيات ج ... ... موسوعة فلسفية

- (من خط العرض المستمر) ، المصطلح المستخدم؟ الرياضيات والعلوم الطبيعية والفلسفة. في الرياضيات ، يُفهم K على أنه مجموعات لا نهائية مكافئة كميًا لمجموعة الحقائق. أعداد. السلطة ، أو الرقم الأصلي ... موسوعة فلسفية